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\COI{L'auteur ne travaille pas, ne conseille pas, ne poss\`{e}de pas de
parts, ne re\c{c}oit pas de fonds d'une organisation qui pourrait tirer
profit de cet article, et n'a d\'{e}clar\'{e} aucune autre affiliation
que son organisme de recherche.}

\dateposted{2026-05-13}
\begin{document}

%\dateposted{2026-02-16}

\begin{noXML}

\CDRsetmeta{articletype}{review}

\title{Pinwheels et champs de phases}

\alttitle{Pinwheels and phase fields}

\author{\firstname{Jean} \lastname{Petitot}}
\address{Centre d'Analyse et de Math\'{e}matique Sociales, \'{E}cole des Hautes
\'{E}tudes en Sciences Sociales, 54 boulevard Raspail, 75014, Paris, France}
\email{petitot@ehess.fr}

\begin{abstract}
Cet article se propose de r\'{e}sumer des mod\`{e}les
math\'{e}matiques de l'architecture fonctionnelle du cortex visuel
primaire (aire \textit{V}1) de certaines  esp\`{e}ces, et en particulier de
leur structuration en hypercolonnes d'orientation. Les cartes
d'orientaion y sont interpr\'{e}t\'{e}es comme des champs de phases et
leurs \og pinwheels \fg{} comme des
singularit\'{e}s.
\end{abstract}

\begin{altabstract}
This article aims to summarize the mathematical models of the
functional architecture of the primary visual cortex (area \textit{V}1) in
certain species, and in particular its organization into orientation
hypercolumns. The orientation maps are interpreted here as phase fields
and their ``pinwheels'' as singularities.
\end{altabstract}

\keywords{\kwd{Champ}
\kwd{Fibration}
\kwd{Hypercolonne}
\kwd{Orientation}
\kwd{Pinwheel}
\kwd{Singularit\'{e}}}

\altkeywords{\kwd{Field}\kwd{Fiber bundle}\kwd{Hypercolumn}\kwd{Orientation}\kwd{Pinwheel}\kwd{Singularity}}

\editornote{Article soumis sur invitation}
\alteditornote{Article submitted by invitation}

%\input{CR-pagedemetas}

\maketitle

\twocolumngrid

\end{noXML}

\defcitealias{Schum02}{ibid.}

\section{Introduction}

Les m\'{e}thodes d'imagerie ont r\'{e}v\'{e}l\'{e} des architectures
fonctionnelles d'aires c\'{e}r\'{e}brales qui sont assez pr\'{e}cises
pour etre math\'{e}matis\'{e}es.

Dans cet article\footnote{La traduction anglaise de certaines sources 
de  cet article a \'{e}t\'{e} int\'{e}gr\'{e}e \`{a} mon ouvrage 
\citep{P17}.}, nous nous focaliserons sur des images
m\'{e}soscopiques de  $V1$, la premi\`{e}re des aires visuelles
primaires. Bien s\^{u}r il existe de nombreux feedbacks descendants
(\guillemotleft~top-down~\guillemotright{}) des aires successives
comme $V2$ ou $V4$ sur  $V1 $. Mais $V1$ est d\'{e}j\`{a} tr\`{e}s
important. Selon la \guillemotleft~high-resolution buffer
hypothesis~\guillemotright{}\ de Mumford et Lee \citep{Lee98}, $V1$
n'est pas un simple \guillemotleft~bottom-up
early-module~\guillemotright{}, mais participe  \`{a} tous les
processus visuels exigeant des r\'{e}solutions fines. Son architecture
fonctionnelle est par cons\'{e}quent essentielle pour l'ensemble du
syst\`{e}me visuel.

Elle comprend trois grandes composantes, c'est-\`{a}-dire trois grandes
classes de connexions.\ La premi\`{e}re est celle des connexions
\guillemotleft~verticales~\guillemotright{}\
r\'{e}tino-g\'{e}niculo-corticales.\  La seconde et la troisi\`{e}me
sont celles des connexions intracorticales~: d'une part les connexions
\`{a} courte port\'{e}e et isotropes internes aux (hyper)colonnes
d'orientation que nous allons  d\'{e}finir, d'autre part les connexions
\guillemotleft~horizontales~\guillemotright{}\ cortico-corticales
\`{a} longue port\'{e}e et tr\`{e}s fortement anisotropes entre
(hyper)colonnes.

\section{La structure hypercolumnaire de l'aire \textit{V}1}\label{HyperV1}

Dans $V1$, la densit\'{e} de neurones est de l'ordre de $2\times
10^{5}/\mathrm{mm}^{2}$  et les champs r\'{e}cepteurs sont de l'ordre
de quelques degr\'{e}s. Trois types de structures y interviennent,
respectivement laminaire, r\'{e}tinotopique  et (hyper)columnaire.
C'est la troisi\`{e}me qui nous int\'{e}resse ici.  Elle est la grande
d\'{e}couverte de Vernon Mountcastle et des prix Nobel (1981) David
Hubel et Torsten Wiesel \`{a} la fin des ann\'{e}es 1950.

Il existe dans $V1$ des neurones
\guillemotleft~simples~\guillemotright{}\  (par opposition aux
cellules \guillemotleft~complexes~\guillemotright{}\  et
\guillemotleft~hypercomplexes~\guillemotright{}) sensibles \`{a}
l'orientation, \`{a} la dominance oculaire et \`{a} la couleur. Leurs
profils r\'{e}cepteurs sont connus \citep[cf.\ par exemple][]{DeAng95}.
Si l'on simplifie au maximum la situation en ne tenant compte ni de
l'\'{e}chelle (de la r\'{e}solution et de la fr\'{e}quence spatiale) ni
de la phase, on peut dire que ces neurones  d\'{e}tectent des couples
$(a,p)$ d'une position r\'{e}tinienne $a$ et d'une orientation $p$ en
$a$, ce que l'on appelle en g\'{e}om\'{e}trie des
\guillemotleft~\'{e}l\'{e}ments de contact~\guillemotright{}.

Par les m\'{e}thodes d'enregistrement de r\'{e}ponses \`{a} des stimuli
appropri\'{e}s (barres orient\'{e}es traversant le champ r\'{e}cepteurs
des neurones, etc.), on a pu montrer que, perpendiculairement \`{a} la
surface du cortex, la position r\'{e}tinienne $a$ et l'orientation 
pr\'{e}f\'{e}rentielle $p$ restent \`{a} peu pr\`{e}s constantes. Cette
redondance \guillemotleft~verticale~\guillemotright{} --- qui
d\'{e}finit un codage par population de la position --- d\'{e}finit des
colonnes d'orientation d'environ $20~\upmu $m. Comme l'a montr\'{e}
\citet{DeAng99} c'est la variation de la phase qui domine dans les
colonnes. Par ailleurs, le codage par population permet au syst\`{e}me
d'avoir une r\'{e}solution  sup\'{e}rieure \`{a} celle des neurones
individuels.

En revanche, le long de lignes parall\`{e}les \`{a} la surface du
cortex, l'orientation pr\'{e}f\'{e}rentielle $p$ varie par pas
d'environ 10\textdegree. Un regroupement
\guillemotleft~horizontal~\guillemotright{}\ de colonnes
d'orientation de m\^{e}me $a$ variant de $\uppi $ d\'{e}finit une 
\emph{hypercolonne d'orientation} qui est un micromodule neuronal large
de  $200~\upmu $m \`{a} 1~mm.

Le concept de colonne doit \'{e}videmment \^{e}tre notablement
pr\'{e}cis\'{e}  et un nombre consid\'{e}rable de travaux lui ont
\'{e}t\'{e}  consacr\'{e}s. Parmi les reviews disponibles sur ces
sujets, on pourra consulter celle de \citet{LundAB}.

Nous nous occuperons d'esp\`{e}ces de mammif\`{e}res, tupaya (tree
shrew), chats, primates, hommes, o\`{u} le concept de colonne
d'orientation est d'une pertinence essentielle. Cela est assez
restrictif.\ Toutefois,  m\^{e}me en se restreignant \`{a} de telles
esp\`{e}ces, il existe n\'{e}anmoins une certaine diversit\'{e} de la
structure de $V1$.\ La structure  g\'{e}n\'{e}rale demeure invariante~:
r\'{e}tinotopie, s\'{e}lectivit\'{e} \`{a} l'orientation, tuning de
fr\'{e}quences spatiales, etc., mais la structure fine est variable.\
Comme le note \citet{VanHoos},

\begin{quote}
\noindent \guillemotleft~There is considerable diversity in the
abundance of different cell classes, laminar organization, functional
architecture, and functional connectivity.~\guillemotright{} 
\footnote{Dans cet article, l'auteur compare le macaque (primate,
diurne, yeux frontaux), le chat (carnivore, cr\'{e}pusculaire, yeux
frontaux), le tree shrew ou tupaya (scandentia, diurne, yeux
lat\'{e}raux), l'\'{e}cureuil gris ou gray squirrel (rongeur, diurne,
yeux lat\'{e}raux), le rat (rongeur, nocturne, yeux lat\'{e}raux) et le
singe de nuit, singe hibou, douroucoulis ou Owl Monkey (primate du
Nouveau Monde, nocturne, yeux frontaux), le furet, etc. Plus
r\'{e}cemment (2022), \citet{Jung} ont trait\'{e} le cas de marsupiaux
australiens.} 
\end{quote}

La structure hypercolumnaire de $V1$ \'{e}tant fondamentale, il est 
int\'{e}ressant de trouver des \mbox{math\'{e}matiques} ad\'{e}quates pour la
mod\'{e}liser.  Un premier concept, tout \`{a} fait naturel, est, au
niveau m\'{e}soscopique  qui est le n\^{o}tre, le concept
g\'{e}om\'{e}trique, bien connu des math\'{e}maticiens, de fibration.

\vspace*{-2pt}

\section{\textit{V}1 comme fibration m\'{e}soscopique}\label{V1meso}

\vspace*{-2pt}

\subsection{\guillemotleft~Bridging scales~\guillemotright{} : le
niveau  m\'{e}soscopique}\label{BridgingScales}

\vspace*{-2pt}

Nous nous situons \`{a} un niveau m\'{e}soscopique car les simulations
\guillemotleft~micro~\guillemotright{}\ r\'{e}alistes d'une colonne
d'orientation sont \`{a} elles seules d'une complexit\'{e} inou\"{\i}e
et ont fait l'objet de certains parmi les plus gros projets
computationnels mondiaux~: le \guillemotleft~Blue Brain
Project~\guillemotright{}\ (lanc\'{e}  en 2005 par Henry Markram \`{a}
l'\'{E}cole Polytechnique  F\'{e}d\'{e}rale de Lausanne) qui visait
\`{a} simuler une colonne corticale de rat d'environ 10~000 neurones et
30 millions de synapses, puis en 2013, le \guillemotleft~Human Brain
Project~\guillemotright{}\ (flagship de l'Union Europ\'{e}enne \`{a}
un milliard d'euros sur 10 ans, rival du projet am\'{e}ricain
\guillemotleft~Brain~\guillemotright{}) qui en a pris le relai avec
des supercalculateurs allant jusqu'au million de teraflops\,\ldots\,.

\vspace*{-2pt}

\subsection{Fibration et \guillemotleft~engrafted
variables~\guillemotright{}}\label{FibrEngraft}

\vspace*{-2pt}

Au niveau m\'{e}soscopique, \`{a} travers l'architecture fonctionnelle
hypercolumnaire de $V1$, \`{a} chaque position r\'{e}tinienne $a\in R$
du plan r\'{e}tinien $R$ se trouve associ\'{e} de fa\c{c}on
r\'{e}tinotopique et anatomiquement observable un exemplaire
(discr\'{e}tis\'{e}) de l'espace  $P$ des orientations $p$ du
plan\footnote{Les g\'{e}om\`{e}tres parlent de directions l\`{a} o\`{u}
les neurophysiologistes parlent d'orientations.}. $P$ est cod\'{e} par
le cercle unit\'{e} $\mathbb{S}^{1}$ des angles que font les
orientations $p$ par rapport \`{a} une orientation de r\'{e}f\'{e}rence
et s'appelle traditionnellement en g\'{e}om\'{e}trie classique une 
\guillemotleft~droite projective~\guillemotright{}. Il existe par
cons\'{e}quent une  impl\'{e}mentation neuronale de la projection $\uppi
:R\times P\rightarrow R$ du produit cart\'{e}sien $R\times P$ sur son
premier facteur $R$, projection qui est une
\guillemotleft~fibration~\guillemotright{}\ ayant pour base
l'espace r\'{e}tinien $R$ et pour fibre la droite projective des
orientations $P$.

La notion cl\'{e} de \textit{fibration} a \'{e}t\'{e} \'{e}labor\'{e}e
par les math\'{e}maticiens (puis, ensuite, par les physiciens
th\'{e}oriciens) pour mod\'{e}liser des processus qui exigent
d'associer \`{a} chaque point d'un espace de base $M$ une entit\'{e}
d'un certain type $F$ (un scalaire, un vecteur, un tenseur, une forme
diff\'{e}rentielle, une direction, une phase, un nombre quantique,
etc.) d\'{e}pendant
\guillemotleft~r\'{e}guli\`{e}rement~\guillemotright{}\ de ce
point. Une solution \'{e}vidente pour mod\'{e}liser de tels
\emph{champs} sur $M$ serait d'utiliser des applications $\varphi
:M\rightarrow F$. Mais dans bien des cas, il est n\'{e}cessaire de
consid\'{e}rer qu'\`{a} chaque point de $M$ se trouve associ\'{e}
\emph{l'ensemble complet} $F$ des valeurs possibles de telles $\varphi
$.

Tr\`{e}s intuitivement, une fibration est constitu\'{e}e d'un espace de
base  $M$ et de copies d'une vari\'{e}t\'{e} $F$, appel\'{e}e la fibre,
\guillemotleft~au-dessus~\guillemotright{}\ de chaque point de $F$
(cf.\  Figure~\ref{Fibr1}). Globalement, l'espace $E$ de la fibration
(les fibres recoll\'{e}es ensemble) n'est pas forc\'{e}ment le produit
cart\'{e}sien  $M\times F$. Il r\'{e}sulte du recollement de plusieurs
produits cart\'{e}siens  $U_{i}\times F$ d\'{e}finis sur des domaines
locaux $U_{i}$ de $M$ (cf.\ Figure \ref{Fibr2}).

\begin{figure}
\includegraphics{fig01}
\caption{\label{Fibr1}Le sch\'{e}ma g\'{e}n\'{e}ral d'une fibration
d'espace de base $M$, de fibre $F$ et d'espace total $E$. Au-dessus de
chaque point $x$ de $M$ la fibre $\uppi ^{-1}(x)=E_{x}$ est
isomorphe \`{a} $F$.}
\end{figure}

\begin{figure}
\includegraphics{fig02}
\caption{\label{Fibr2}La trivialit\'{e} locale d'une fibration. Pour
tout point $x$ de $M$ il existe un voisinage $U$ de $x$ dont l'image
inverse $\uppi  ^{-1}(U)=E_{U}$ est le produit direct $U\times F$,
$\uppi $ \'{e}tant la projection sur le premier facteur.}
\end{figure}

Une \emph{section} d'une fibration est une application
diff\'{e}rentiable qui rel\`{e}ve la projection $\uppi $, en associant
\`{a} chaque point $x$ de la base $M$ un \'{e}l\'{e}ment de la fibre
$E_{x}$. Si $s:M\rightarrow E$ est une section, l'application
compos\'{e}e $\uppi \circ s$ est donc \'{e}gale  \`{a} l'identit\'{e} de
$M$ (cf.\ Figure~\ref{Fibr3}).

\begin{figure}
\includegraphics{fig03}
\caption{\label{Fibr3}Une section d'une fibration d\'{e}finie sur un
ouvert $U$ de $M$ associe \`{a} chaque point $x$ de $U$ une valeur
$s(x)$ dans la fibre $E_{x}$ au-dessus de $x$.}
\end{figure}

Dans notre cas la projection $\uppi :R\times P\rightarrow R$ est
math\'{e}matiquement triviale mais ne l'est pas du tout
neurophysiologiquement~:

\begin{enumerate}[(i)]
\item les champs r\'{e}cepteurs des neurones des colonnes
corticales sont des tr\`{e}s petites cartes locales s'intersectant et
se recollant entre elles~;

\item il n'est pas du tout \'{e}vident de tester
exp\'{e}rimentalement la structure de produit direct, c'est-\`{a}-dire
l'ind\'{e}pendance des variables de position et d'orientation ; les
diff\'{e}rences intersp\'{e}cifiques sont importantes : pour certaines
esp\`{e}ces c'est une m\^{e}me couche de $V1$ qui impl\'{e}mente
$R\times P$ alors que pour d'autres ce sont des couches
diff\'{e}rentes ;

\item la projection (au sens g\'{e}om\'{e}trique) $\uppi $ est
impl\'{e}ment\'{e}e par toute la fine connectique des voies
r\'{e}tino-g\'{e}niculo-corticales qui projettent (au sens
neurophysiologique) la r\'{e}tine sur $V1$ {\footnote{Dans la
mod\'{e}lisation g\'{e}om\'{e}trique des architectures fonctionnelles
neurales, on rencontre de nombreux conflits terminologiques.\ Des items
lexicaux comme \guillemotleft~fibre~\guillemotright{},
\guillemotleft~projection~\guillemotright{}, 
\guillemotleft~connexion~\guillemotright{}, etc. sont utilis\'{e}s
avec des sens diff\'{e}rents par les math\'{e}maticiens et les
neurophysiologistes. Le contexte permet en g\'{e}n\'{e}ral de lever
facilement les ambigu\"{\i}t\'{e}s.}}. 
\end{enumerate}

Quoi qu'il en soit de ces difficult\'{e}s, dans les mod\`{e}les
m\'{e}soscopiques pr\'{e}sent\'{e}s ici, une colonne avec ses
connexions internes isotropes \`{a} courte port\'{e}e se r\'{e}duit
\`{a} un simple \'{e}l\'{e}ment de contact $( a,p) $ et une
hypercolonne, avec \'{e}galement ses connexions internes, se r\'{e}duit
\`{a} une fibre de $\uppi $ de forme $\{a\}\times P$. Cela peut sembler
\^{e}tre une r\'{e}duction inacceptable eu  \'{e}gard aux projets
computationnels que nous venons d'\'{e}voquer. Mais notre propos est de
montrer que, malgr\'{e} cette \'{e}norme r\'{e}duction de leur
complexit\'{e}, l'organisation fonctionnelle de ces \'{e}l\'{e}ments
conduit cependant d\'{e}j\`{a} \`{a} une notable complexit\'{e}.\ 

La structure g\'{e}om\'{e}trique constitu\'{e}e par le produit de $R$
comme espace de base avec un espace de variables
\guillemotleft~secondaires~\guillemotright{}\ (orientation,
dominance oculaire, couleur, direction du mouvement, etc.) a
\'{e}t\'{e} fort bien formul\'{e}e par David Hubel avec le concept
d'\guillemotleft~engrafted variables~\guillemotright{}~:

\begin{quote}
\noindent \guillemotleft~What the cortex does is map not just two but
many variables on its two-dimensional surface. It does so by selecting as
the basic parameters the two variables that specify the visual field
coordinates (distance out and up or down from the fovea), and on this map it
engrafts other variables, such as orientation and eye preference, by finer
subdivisions.~\guillemotright{}\ \citet[][p. 131]{Hubel88}
\end{quote}

\noindent C'est ce mod\`{e}le de $V1$ propos\'{e} par Hubel qui nous a
conduit au concept g\'{e}om\'{e}trique fondamental de fibration ou
d'espace fibr\'{e}.

Toutefois il faut tenir compte d'une contrainte dimensionnelle. La
fibration  $\uppi :R\times P\rightarrow R$ est abstraitement de dimension
$3$ ($2$  degr\'{e}s de libert\'{e} pour la position r\'{e}tinienne
$a=(x,y)$, $1$  degr\'{e} de libert\'{e} pour l'orientation $p$), alors
que les couches corticales sont essentiellement de dimension $2$. Il
existe par  cons\'{e}quent un probl\`{e}me de
\guillemotleft~collapse dimensionnel~\guillemotright{}.\ Les
syst\`{e}mes visuels issus de  l'\'{e}volution qui nous int\'{e}ressent
ici l'ont r\'{e}solu \`{a} travers la fascinante structure en
\guillemotleft~pinwheels~\guillemotright{}\  (roues d'orientation)
de $V1$ analys\'{e}e en d\'{e}tail depuis les travaux pionniers de
Tobias Bonh\"{o}ffer, Gary Blasdel et Amiram Grinvald.

\section{La structure en pinwheels de \textit{V}1}\label{Pinwheels}

\subsection{L'observation des pinwheels}\label{ObsPinwh}

\subsubsection{Les cartes fonctionnelles d'orientation}

Les exp\'{e}riences permises par les progr\`{e}s de l'imagerie 
c\'{e}r\'{e}brale ont montr\'{e} que les hypercolonnes sont en fait 
g\'{e}om\'{e}triquement organis\'{e}es en \guillemotleft~roues
d'orientation~\guillemotright{}\ baptis\'{e}es 
\guillemotleft~pinwheels~\guillemotright{}.  La couche corticale
observ\'{e}e est  r\'{e}ticul\'{e}e par un r\'{e}seau de points
singuliers (distants d'environ  $1200~\upmu $m chez le chat et
d'environ $600~\upmu $m chez le primate) qui sont les centres de
pinwheels locaux qui se recollent en une structure globale. La
m\'{e}thode d'imagerie employ\'{e}e a \'{e}t\'{e} mise au point au 
d\'{e}but des ann\'{e}es 1990, entre autres par  \citet{BonGrin91}.
Baptis\'{e}e \guillemotleft~\textit{in vivo} optical imaging based on
activity-dependent intrinsic signals~\guillemotright{}, elle est
fond\'{e}e sur le fait que l'activit\'{e} m\'{e}tabolique des tissus
nerveux change leurs propri\'{e}t\'{e}s optiques et elle permet 
d'acqu\'{e}rir ainsi des images de l'activit\'{e} des couches
corticales superficielles. Plus pr\'{e}cis\'{e}ment, elle repose sur
l'absorption  diff\'{e}rentielle d'oxyh\'{e}moglobine ou de
d\'{e}oxyh\'{e}moglobine, ou sur des colorants (dyes) dont la
\mbox{fluorescence} est un indicateur de la  d\'{e}polarisation locale des
neurones. 

Cette m\'{e}thode a amorc\'{e} une v\'{e}ritable r\'{e}volution. Elle a
permis de visualiser les organisations fonctionnelles. Comme le
soulignent \citet{Ohki07},

\begin{quote}
\noindent \guillemotleft~optical imaging revolutionized the study of
functional architecture by showing the overall geometry of functional
maps.~\guillemotright{}
\end{quote}

Mais le d\'{e}fi exp\'{e}rimental est consid\'{e}rable. D'abord le
rapport signal/bruit est tr\`{e}s petit (${\sim} 10^{-3}$) car le bruit
de fond est  \'{e}norme. Ensuite des millions de neurones sont
connect\'{e}s entre eux, chacun poss\'{e}dant des centaines (voire des
milliers) de synapses et l'imagerie op\`{e}re \`{a} une
m\'{e}so-\'{e}chelle d\'{e}finie par des moyennages (mais il existe des
m\'{e}thodes de microscopie confocale biphotonique de niveau
\guillemotleft~micro~\guillemotright{}). Un
\guillemotleft~neurone~\guillemotright{}\ m\'{e}so est en fait une
position corticale o\`{u} se trouve localis\'{e} un paquet de neurones.
Qui plus est, les m\'{e}thodes d'imagerie optique \textit{in vivo} qui ont une
bonne  r\'{e}solution spatiale m\'{e}soscopique ($50~\upmu $m) ont en
revanche une mauvaise r\'{e}solution temporelle. Pour visualiser la
dynamique corticale on a besoin d'autres m\'{e}thodes comme les
colorants voltage-d\'{e}pendants (voltage-sensitive dyes) qui
permettent d'obtenir des r\'{e}solutions temporelles de l'ordre de la
ms.

Pour une pr\'{e}sentation de ces nouvelles techniques d'analyse du
cerveau des mammif\`{e}res, on pourra se r\'{e}f\'{e}rer \`{a} la
synth\`{e}se \citep{IVOI} pr\'{e}sent\'{e}e par son cr\'{e}ateur Amiram
Grinvald.

D\`{e}s la fin des ann\'{e}es 80, de telles cartes ont commenc\'{e}
\`{a}  \^{e}tre disponibles. Dans un protocole standard, on
pr\'{e}sente \`{a} l'animal plusieurs dizaines de fois (de $20$ \`{a}
$80$ fois) des grilles (gratings) de fort contraste constitu\'{e}es de
bandes noires (par exemple de 6.25\textdegree) altern\'{e}es avec des
bandes blanches (par exemple de  1.25\textdegree), avec plusieurs (par
exemple $8$) orientations  diff\'{e}rentes et une vitesse par exemple
de 22.5\textdegree/s. On ouvre une  fen\^{e}tre cr\^{a}nienne au-dessus
de $V1$ et on illumine le cortex en  lumi\`{e}re orange (605~nm). On
observe alors, en fonction de l'orientation des gratings, des patterns
d'absorption diff\'{e}rentielle dus aux  inhomog\'{e}n\'{e}it\'{e}s
spatiales locales du rapport  d\'{e}oxyh\'{e}moglobine~/
oxyh\'{e}moglobine.  On somme ensuite les images de l'activit\'{e} de
$V1$ obtenues pour diff\'{e}rentes grilles et l'on construit des cartes
diff\'{e}rentielles que l'on normalise et dont on \'{e}limine le bruit
de basse  fr\'{e}quence.

On obtient ainsi des cartes fonctionnelles comme celles de la 
Figure~\ref{CartesOrient} et de la Figure~\ref{Bosking} dues \`{a} 
\citet{Crai97} et \citet{Bosk97} et concernant les couches $2/3$ d'un
tree shrew (tupaya)~: LGN\ $\rightarrow $\  couche $4$\ $\rightarrow $\ 
(strictement feedforward)\ $\rightarrow $\ couches  $2/3$. (Le tupaya
ressemble aux primates mais, contrairement \`{a} eux, n'a pas de
distinction fov\'{e}a/p\'{e}riph\'{e}rie, ce qui facilite les
observations). Les orientations y sont cod\'{e}es par des couleurs et
les lignes d'iso-orientation y sont donc les lignes monochromatiques.

\begin{figure*}
\vspace*{3pt}
\includegraphics{fig04}
\vspace*{2pt}
\caption{\label{CartesOrient}M\'{e}thode d'\'{e}tablissement d'une
carte d'orientation de $V1$ (les orientations pr\'{e}f\'{e}rentielles
sont conventionnellement  cod\'{e}es par des couleurs).
\citep[D'apr\`{e}s][]{Crai97}.}
\vspace*{6pt}
\end{figure*}

\begin{figure*}
\includegraphics{fig05}
\vspace*{2pt}
\caption{\label{Bosking}$V1$ d'un tree shrew (tupaya). Les
diff\'{e}rentes orientations sont cod\'{e}es par des couleurs. \`{A}
droite, zoom sur des exemples de points r\'{e}guliers et de points
singuliers de chiralit\'{e}s oppos\'{e}es.
\citep[D'apr\`{e}s][]{Bosk97}.}
\vspace*{2pt}
\end{figure*}

On remarque qu'il existe trois classes de points~:

\begin{enumerate}[(i)]
\item Des points r\'{e}guliers o\`{u} le champ d'orientation est
localement trivial au sens o\`{u} les lignes d'iso-orientation y sont
approximativement parall\`{e}les.

\item Des points singuliers au centre des pinwheels o\`{u}
convergent toutes les orientations.\ Ils ont une 
\guillemotleft~chiralit\'{e}~\guillemotright{}\ positive ou
n\'{e}gative et sont  de chiralit\'{e}s oppos\'{e}es lorsqu'ils sont
adjacents.

\item Des points cols au centre des cellules du r\'{e}seau,
points  o\`{u} les lignes d'iso-orientation bifurquent.
\end{enumerate}

La Figure~\ref{PinwhLines2}, bas\'{e}e sur la figure~14 du chapitre~27
``Central Visual Pathways'' du trait\'{e} classique \citet{KSJ}, montre
mieux les lignes isochromatiques qui sont les lignes de champ
d'iso-orientation de $V1$.

\begin{figure}
\includegraphics{fig06}
\caption{\label{PinwhLines2}Les lignes isochromatiques sont les lignes
d'iso-orientation de $V1$.  \citep[D'apr\`{e}s][]{KSJ}.}
\end{figure}

\vspace*{-4pt}

\begin{proof}[Remarque]
Depuis ces travaux pionniers, de nombreux approfondissements ont
\'{e}t\'{e} obtenus, en particulier avec des stimuli qui sont des
images naturelles \citep[cf.\ par exemple l'article de 2004
de][]{Wang}.\ Mais dans cet article nous nous limiterons aux cartes
fonctionnelles de base.
\let\qed\relax
\end{proof}

\vspace*{-6pt}

\subsubsection{$2D-2({1}/{2})D-3D$}

\vspace*{-2pt}

Les cartes d'orientations avec leurs \guillemotleft~engrafted
variables~\guillemotright{}, leurs pinwheels et leurs singularit\'{e}s
$c_{i}$,  sont des entit\'{e}s g\'{e}om\'{e}triques fort
int\'{e}ressantes ayant le statut de \guillemotleft~fibrations
partielles~\guillemotright{}. Au-dessus des points singuliers $c_{i}$
on a la fibre des orientations $P=\mathbb{S}^{1}$. Mais au-dessus des
points r\'{e}guliers on a seulement une orientation. Une carte
d'orientation sans pinwheels serait un simple champ d'orientation
r\'{e}gulier et serait une entit\'{e} de dimension $2$. Une fibration
compl\`{e}te avec un exemplaire de $P$ au-dessus de chaque point serait
une entit\'{e} de dimension 3.\ Les cartes d'orientation sont donc si
l'on peut dire des entit\'{e}s de dimension
\guillemotleft~$2({1}/{2})$~\guillemotright{}. 

Il y a donc une balance, mesur\'{e}e par la densit\'{e} des pinwheels,
dans la fa\c{c}on dont les cartes repr\'{e}sentent concr\`{e}tement
(neurophysiologiquement) la vari\'{e}t\'{e} abstraite $3D$ des
\'{e}l\'{e}ments de contact $(a,p)$ sur une couche $2D$. Une carte est
une approximation discr\'{e}tis\'{e}e $2({1}/{2})D$ de la fibration
$3D$.\ D'o\`{u} l'int\'{e}r\^{e}t d'\'{e}tudier plus
pr\'{e}cis\'{e}ment la structure  \textit{fine} des cartes au voisinage
de leurs singularit\'{e}s.

\subsubsection{La structure des cartes au voisinage des
singularit\'{e}s}

En couplant d'une part des m\'{e}thodes d'imagerie et d'autre part des
m\'{e}thodes d'enregistrement intracellulaire de spikes
d\'{e}clench\'{e}s par les inputs synaptiques et de potentiels de
membrane de neurones individuels, \citet{MalEtAl} ont analys\'{e} la
structure fine des cartes d'orientation aux singularit\'{e}s. Ils ont
constat\'{e} que

\begin{quote}
``orientation columns contain sharply tuned neurons of different
orientation preference lying in close proximity.'' (p. 969)
\end{quote}

\noindent Autrement dit, la redondance colomnaire dispara\^{\i}trait aux
points singuliers.

Par ailleurs, \citet{Schum02}, en utilisant comme stimuli des grilles
en mouvement, ont montr\'{e} de m\^{e}me que

\begin{quote}
``neurons near pinwheel centers have subthreshold responses to all stimulus
orientations but spike responses to only a narrow range of orientations.''
\citepalias[p.~969]{Schum02}
\end{quote}

\noindent On \'{e}value la s\'{e}lectivit\'{e} des r\'{e}ponses
spikantes et des r\'{e}ponses sous-liminaires en fonction de la
position par rapport aux pinwheels. Loin des pinwheels, les cellules

\begin{quote}
``show a strong membrane depolarization response only for a limited range of
stimulus orientation, and this selectivity is reflected in their spike
responses''. \citepalias[p.~970]{Schum02}
\end{quote}

\noindent Au centre d'un pinwheel, au contraire, seule la r\'{e}ponse
spikante est s\'{e}lective et il existe une forte d\'{e}polarisation de
la membrane pour toutes les orientations.

Cela laisse supposer qu'aux points singuliers toutes les orientations
sont bien en quelque sorte pr\'{e}sentes. C'est une solution originale
au probl\`{e}me des singularit\'{e}s qui renvoie \`{a} la
connectivit\'{e} des micro-circuits neuronaux mis en jeu.

\begin{quote}
``These examples indicate that both simple and complex cells located near
pinwheel centers receive synaptic inputs over a broad range of stimulus
orientations, although not all of these inputs are represented in the spike
outputs.'' \citepalias[][p.~971]{Schum02}
\end{quote}

En r\'{e}sum\'{e},

\begin{quote}
``Neurons close to pinwheel centers receive inputs at all stimulus
orientations, whereas neurons far from pinwheel centers only receive
synaptic inputs over a narrow range of orientations.'' 
\citepalias[][p.~974]{Schum02}
\end{quote}

\subsubsection{Microscopie confocale biphotonique}\label{MicroConf}

Mais les techniques d'imagerie \'{e}voqu\'{e}es jusqu'ici ne sont pas
assez pr\'{e}cises.\ Aujourd'hui de nouvelles techniques comme celles
de l'imagerie \textit{in vivo} par \textit{microscopie confocale biphotonique}
ont fourni des cartes fonctionnelles ayant une r\'{e}solution au niveau
des neurones individuels.\ Kenichi Ohki et ses coll\`{e}gues
\citep{Ohki06} ont montr\'{e} que, chez le chat, les pinwheels
d\'{e}finis au niveau m\'{e}so restent tr\`{e}s bien ordonn\'{e}s au
niveau micro et que par cons\'{e}quent

\begin{quote}
``pinwheels centers truly represent singularities in the cortical map''.
\end{quote}

La m\'{e}thode consiste en l'injection d'indicateurs calciques (Oregon
Green BAPTA-1 acetoxylmethyl esther) qui \'{e}tiquettent quelques
milliers de neurones dans des r\'{e}gions de taille 300--$600\mu $. On
mesure simultan\'{e}ment les signaux calciques \'{e}voqu\'{e}s par les
stimuli visuels dans des centaines de neurones \`{a} diff\'{e}rentes
profondeurs (de $130$ \`{a} $290\mu $ par pas de $20\mu $). 
Comme le montre la Figure~\ref{Ohki}, on trouve
des pinwheels avec la m\^{e}me roue d'orientation.

\begin{quote}
``This demonstrates the columnar structure of the orientation map at a
very fine spatial scale.''
\end{quote}

\begin{figure*}
\includegraphics{fig07}
\caption{\label{Ohki}L'imagerie optique biphotonique mesure
simultan\'{e}ment les signaux calciques \'{e}voqu\'{e}s par les stimuli
visuels dans des centaines de neurones \`{a} diff\'{e}rentes
profondeurs (de $130$ \`{a} $290\mu $ par pas de $20\mu $). On trouve
des pinwheels analogues poss\'{e}dant la m\^{e}me roue d'orientation
\`{a} ces diff\'{e}rentes profondeurs.  \citet[D'apr\`{e}s][]{Ohki06}.}
\end{figure*}

D'o\`{u} le probl\`{e}me de la connectivit\'{e} impl\'{e}mentant la
s\'{e}lection fine des orientations pr\`{e}s des singularit\'{e}s.
Plusieurs hypoth\`{e}ses sont envisag\'{e}es par les auteurs concernant
l'arbre dendritique pr\`{e}s d'un centre $C$ (quelques dizaines de $\mu
$) dans un domaine $D$ d'iso-orientation~:

\begin{enumerate}[(i)]
\item arbre dendritique d\'{e}s\'{e}quilibr\'{e} vers $D$~;

\item arbre dendritique sym\'{e}trique, mais inputs excitateurs
d\'{e}s\'{e}quilibr\'{e}s vers $D$~;

\item arbre dendritique sym\'{e}trique, inputs excitateurs
sym\'{e}triques mais locaux et int\'{e}rieurs \`{a} $D$ (bonne
s\'{e}gr\'{e}gation au voisinage de $C$) ~;

\item arbre dendritique sym\'{e}trique, inputs excitateurs
sym\'{e}triques et int\'{e}gr\'{e}s sur une grande aire dendritique.
\end{enumerate}

\subsubsection{P\'{e}riodicit\'{e}}\label{orientmap}

Dans la Figure \ref{Bosking} on remarque qu'il existe une sorte de
longueur caract\'{e}ristique --- une maille, un nombre d'onde --- du
r\'{e}seau.\ On peut mesurer de fa\c{c}on pr\'{e}cise cette
p\'{e}riodicit\'{e} en prenant la carte des pinwheels, en la
translatant de $t=( u,v) $ et en calculant la corr\'{e}lation des deux
cartes.\ L'autocorr\'{e}lation  $C( t) $ a \'{e}videmment un pic
primaire en $t=( 0,0) $ (la carte s'auto-corr\`{e}le parfaitement avec
elle-m\^{e}me) et des pics secondaires donnent la p\'{e}riodicit\'{e}.

En cas d'isotropie, $C( t) $ ne d\'{e}pend que du module  $r=\vert
t\vert $ de $t$. Si l'on consid\`{e}re alors la  transform\'{e}e de
Fourier $P( k) $ de $C( r) $ (ce que l'on appelle le
\guillemotleft~spectre de puissance~\guillemotright{}), on constate
que $P( k) $ est maximal sur un anneau de rayon  $k_{0}=2\uppi /\Lambda
_{0}$ et $\Lambda _{0}$ d\'{e}finit la maille du  r\'{e}seau de
pinwheels.\ 

La Figure~\ref{Niebur2AB} due \`{a} \citet{Niebur}  montre une carte
d'orientation chez le macaque (aire 18) et le spectre de puissance
concentr\'{e} sur un anneau de rayon moyen  $k_{0}=2\uppi /\Lambda _{0}$.
Nous allons revenir plus bas sur le cas limite  o\`{u} le spectre de
puissance est totalement concentr\'{e} sur le cercle de rayon~$k_{0}$.

\begin{figure*}
\includegraphics{fig08}
\caption{\label{Niebur2AB}La p\'{e}riodicit\'{e} d'une carte
d'orientation (\`{a} droite).\ Le spectre de puissance (la
transform\'{e}e de Fourier de la fonction d'autocorr\'{e}lation de la
carte) est concentr\'{e} sur un anneau de rayon moyen  $k_{0}={2\uppi
}/{\Lambda _{0}}$ et $\Lambda _{0}$  d\'{e}finit la p\'{e}riodicit\'{e}
de la carte. \citep[D'apr\`{e}s][]{Niebur}.}
\end{figure*}

Cette p\'{e}riodicit\'{e} est utilis\'{e}e dans des mod\`{e}les
\guillemotleft~cristallographiques~\guillemotright{}\ des cartes
o\`{u} les pinwheels sont distribu\'{e}s sur des r\'{e}seaux
r\'{e}guliers  (carr\'{e}s, hexagonaux, etc.) poss\'{e}dant de fortes
sym\'{e}tries (cf. par exemple notre article de 2003 \citep{P03}). Une
hypoth\`{e}se de  sym\'{e}trie permet de mieux calculer la dynamique
des activit\'{e}s de $V1$.\ Un bon exemple est l'article \citep{Veltz}
de Romain Veltz, Pascal Chossat et Olivier Faugeras.

La structure la plus normale de $V1$ est ainsi une distorsion de
r\'{e}seaux relativement
\guillemotleft~cristallins~\guillemotright{}, ce qui correspond au
fait que les chiralit\'{e}s de pinwheels adjacents sont oppos\'{e}es. 
Mais la distorsion peut devenir consid\'{e}rable au bord entre $V1$ et
$V2$ car, comme l'ont montr\'{e} entre autres Kenichi Ohki et des
collaborateurs dans \citet{Ohki00}, des pinwheels de \emph{m\^{e}me} 
chiralit\'{e} sont align\'{e}s le long du bord (cf.
Figure~\ref{V1_V2}).

\begin{figure}
\includegraphics{fig09}
\caption{\label{V1_V2}La disposition des pinwheels au voisinage de la
fronti\`{e}re entre  $V1$ et $V2$. Elle est tr\`{e}s distordue car elle
comprend des alignements de plusieurs pinwheels de m\^{e}me
chiralit\'{e}.\ \citep[D'apr\`{e}s][]{Ohki00}.}
\end{figure}

\subsection{Les cartes fonctionnelles comme champs: le 
\guillemotleft~spatial layout~\guillemotright{}}
\label{PinwhChamp}

Il est int\'{e}ressant de noter que les r\'{e}seaux de pinwheels avec
leurs lignes d'iso-orientation ressemblent \`{a} des mod\`{e}les de
type ``champ''. Nous entendons ici par ``champ'' la donn\'{e}e, en
(presque) chaque point d'un espace, d'une direction ou d'un vecteur
tangent variant  r\'{e}guli\`{e}rement avec le point. Les lignes de
champ sont  alors les courbes tangentes en chacun de leur point \`{a}
la direction ou au vecteur tangent donn\'{e} en ce point. Quant aux
singularit\'{e}s ce sont les points exceptionnels o\`{u} le champ
s'annule ou bien o\`{u} plusieurs directions sont pr\'{e}sentes.

\subsubsection{L'abduction de Braitenberg}\label{abducBrait}

Ici, les singularit\'{e}s $c_{i}$ situ\'{e}es aux centres des pinwheels 
sont analogues, avec leur chiralit\'{e}s, \`{a} des charges ${\pm}$ produisant
des lignes de champ dans $\mathbb{R}^{2}$. Une telle structure de champ a 
\'{e}t\'{e} introduite tr\`{e}s t\^{o}t par Valentino et Carla Braitenberg,
en fait d\`{e}s 1979, bien avant l'introduction des m\'{e}thodes
d'imagerie optique \emph{in vivo}, dans \citet{Brait}. Partant des 
r\'{e}sultats de 1962 de Hubel et Wiesel sur le singe et le chat, ils ont 
anticip\'{e} par de remarquables inf\'{e}rences abductives l'organisation radiale
en pinwheels d\'{e}couverte plus tard exp\'{e}rimentalement.

\subsubsection{L'abduction de Swindale}\label{abdSwin}

Dans un papier \'{e}tonnant de 1987 \citep{SwinMatCy} (toujours avant
l'apparition des techniques d'imagerie optique), Nicholas Swindale,
Joanne Matsubara et Max Cynader ont reconstruit abductivement, pour
l'aire $18$ du chat, la premi\`{e}re carte d'orientation 2D
(bidimensionnelle)  pr\'{e}sentant des pinwheels.\ Il s'agit d'une
vraie performance. Ils surent interpoler entre les orientations
pr\'{e}f\'{e}rentielles mesur\'{e}es \`{a} diff\'{e}rents sites et
construire une carte \guillemotleft~fine grained~\guillemotright{}
repr\'{e}sent\'{e}e \`{a} la  Figure~\ref{Swindale_87_7bis}.

\begin{figure}
\includegraphics{fig10}
\caption{\label{Swindale_87_7bis}La reconstruction par Swindale d'une
carte d'orientation 2D \guillemotleft~fine
grained~\guillemotright{}\ \`{a} partir d'enregistrements
d'\'{e}lectrodes.\ \citep[D'apr\`{e}s][]{SwinMatCy}.}
\end{figure}

Ils d\'{e}couvrirent alors les fameux futurs pinwheels qui confirmaient
l'organisation radiale anticip\'{e}e par les Braitenberg et qu'ils 
appel\`{e}rent des \guillemotleft~180\textdegree\
singularities~\guillemotright{}\  parce que l'orientation tourne de
$\uppi $ lorsque l'on tourne de $2\uppi $ autour du point singulier.\ En
introduisant un code-couleur pour les orientations, ils obtinrent alors
une carte d'orientation analogue \`{a} celles construites plus tard par
imagerie \textit{in vivo}.

Mais les auteurs all\`{e}rent d'embl\'{e}e plus loin. Ils comprirent la
structure du champ des orientations pr\`{e}s des singularit\'{e}s. Ce
sont soit des points d'arr\^{e}t soit des points triples.

\subsection{Points d'arr\^{e}t et points triples}\label{Stop-Triple points}

Il est essentiel de bien comprendre qu'il existe \textit{deux} champs dans une
carte d'orientation, d\'{e}doublement qui donne \`{a} ces cartes leur 
int\'{e}r\^{e}t g\'{e}om\'{e}trique.

\begin{enumerate}[(1)]
\item le champ dont les lignes de champ sont les lignes isochromatiques,
i.e. les lignes d'iso-orientation~;

\item le champ dont les lignes de champ sont les int\'{e}grales du champ
d'orientations lui-m\^{e}me.
\end{enumerate}

\noindent Ces deux champs sont diff\'{e}rents car en g\'{e}n\'{e}ral
l'orientation $p$ en un point $a$ n'est pas du tout tangente \`{a} la igne
d'iso-orientation passant par $a$.\ Qui plus est, le premier champ est 
d\'{e}fini modulo $2\uppi $ et le second modulo $\uppi $.

La Figure~\ref{Shmuel00} est due \`{a} \citet{Shmuel00}.  Nous y avons
ajout\'{e} (en noir) les lignes du champ d'orientation au voisinage de
deux singularit\'{e}s de chiralit\'{e}s oppos\'{e}es.

\begin{figure}
\includegraphics{fig11}
\caption{\label{Shmuel00}Cartes des orientations et des pinwheels du
$V1$ d'un tupaya. On y observe la relation entre les pinwheels
(couleurs) et les orientations  pr\'{e}f\'{e}rentielles. On a
repr\'{e}sent\'{e} en noir les lignes de champ d'orientation au
voisinage de deux singularit\'{e}s de chiralit\'{e}  oppos\'{e}e. 
\citep[En partie d'apr\`{e}s][]{Shmuel00}.}
\end{figure}

Nous allons pr\'{e}ciser dans les
Figures~\ref{PinDir1}--\ref{StreamPlot_pinwh}  la g\'{e}om\'{e}trie de
ces lignes de champ.  On y voit que les pinwheels respectivement
dextrogyres et l\'{e}vogyres sont associ\'{e}s aux deux types de
singularit\'{e}s g\'{e}n\'{e}riques des champs d'orientations dans le
plan.\ Cela est d\^{u} au fait que quand le rayon tourne autour du
centre du pinwheel d'un angle $\theta $, l'orientation associ\'{e}e
tourne de $\theta /2$. Donc deux rayons  diam\'{e}tralement oppos\'{e}s
correspondent \`{a} des orientations orthogonales.

\begin{figure}
\vspace*{-2pt}
\includegraphics{fig12}
\vspace*{-2pt}
\caption{\label{PinDir1}La singularit\'{e} \guillemotleft~point 
d'arr\^{e}t~\guillemotright{}\ (\guillemotleft~end
point~\guillemotright{}).}
\end{figure}

\begin{figure}
\includegraphics{fig13}
\vspace*{-2pt}
\caption{\label{PinDir2}La singularit\'{e} \guillemotleft~point
triple~\guillemotright{}.}
\vspace*{-2pt}
\end{figure}

\begin{figure}
\includegraphics{fig14}
\caption{\label{PinDirTraj}Les courbes int\'{e}grales du champ des
orientations au voisinage des pinwheels. \`{A} gauche une
singularit\'{e} point d'arr\^{e}t, \`{a} droite une singularit\'{e}
point triple.}
\end{figure}

\begin{figure*}
\vspace*{-2pt}
\includegraphics{fig15}
\vspace*{-2pt}
\caption{\label{StreamPlot_pinwh}Colonnes de gauche \`{a} droite : les
lignes de champ des champs  $\varphi ^{+}$, $\varphi ^{-}$, $\psi
^{+}$,  $\psi ^{-}$ (voir texte) pour les quatre valeurs (de haut en
bas) $0$,  ${\uppi }/{8}$, ${\uppi }/{4}$, ${3\uppi }/{8}$, du
param\`{e}tre $\alpha $.}
\vspace*{-2pt}
\end{figure*}

Quand on observe empiriquement les pinwheels on constate qu'il existe
soit une ligne soit trois lignes o\`{u} le rayon d'angle $\theta $
porte l'orientation $\theta $. Cela peut s'expliquer facilement \`{a}
partir d'un angle $\alpha $, caract\'{e}ristique du pinwheel
consid\'{e}r\'{e}, et qui mesure en quelque sorte l'\'{e}cart entre
l'orientation port\'{e}e par le rayon d'angle $\theta $ du pinwheel et
l'orientation $\theta /2$.


Si l'orientation $\psi _{\theta }$ associ\'{e}e avec le rayon d'angle 
$\theta $ est $\psi _{\theta }^{+}=\alpha +\theta /2=\varphi _{\theta
}^{+}/2$, les deux directions seront les m\^{e}mes pour $\psi _{\theta
_{0}}^{+}=\alpha +\theta _{0}/2=\theta _{0}$, c'est-\`{a}-dire pour
$\theta _{0}=2\alpha $ et alors $\varphi _{\theta }^{+}=4\alpha $.
Comme $\alpha $ est d\'{e}fini modulo $\uppi $, il n'y a qu'une solution
et l'on obtient le  mod\`{e}le local de la Figure~\ref{PinDir1} (point
d'arr\^{e}t ou \guillemotleft~end point~\guillemotright{}). Si au
contraire l'orientation $\psi _{\theta }$ associ\'{e}e avec le rayon
d'angle $\theta $ est $\psi _{\theta }^{-}=\alpha -\theta /2=\varphi
_{\theta }^{-}/2$, les deux directions seront les m\^{e}mes pour $\psi
_{\theta _{0}}^{-}=\alpha -\theta _{0}/2=\theta _{0}$, c.a.d.\ pour
$\theta _{0}=2\alpha /3$ et alors  $\varphi _{\theta }^{+}=4\alpha /3$.
Il y a trois solutions et l'on obtient le mod\`{e}le local de la
Figure~\ref{PinDir2} (point triple).

Il est tr\`{e}s facile de calculer les courbes int\'{e}grales du champ
des orientations au voisinage de ces singularit\'{e}s, par exemple pour
$\alpha =0$. Pla\c{c}ons-nous en coordonn\'{e}es polaires $( \rho
,\theta ) $. On a $x=\rho \cos ( \theta ) $ et $y=\rho \sin ( \theta )
$ et par cons\'{e}quent
{\begin{equation*}
\left\{ 
\begin{array}{@{}c@{}}
\mathrm{d} x=\cos ( \theta ) \,\mathrm{d}\rho -\rho \sin ( \theta ) \,\mathrm{d}\theta
\vspace*{6pt}\\ 
\mathrm{d} y=\sin ( \theta ) \,\mathrm{d}\rho +\rho \cos ( \theta ) \,\mathrm{d}\theta.
\end{array}\right.
\end{equation*}}\unskip
Pour les points d'arr\^{e}t, la contrainte est
${\mathrm{d}y}/{\mathrm{d}x}=\tan ( \theta /2) $, c'est-\`{a}-dire
$\sin ( \theta /2) \mathrm{d}x-\cos ( \theta /2) \,\mathrm{d}y=0$, ce
qui donne l'\'{e}quation  diff\'{e}rentielle
{\begin{equation*}
\sin( \theta /2) \frac{\mathrm{d}\rho }{\mathrm{d}\theta }+\rho \cos ( \theta
/2) =0.
\end{equation*}}\unskip
Les solutions sont
{\begin{equation*}
\rho =\frac{\rho _{\uppi }}{\sin ^{2}( \theta /2) }=2\frac{\rho
_{\uppi }}{1-\cos ( \theta ) }
\end{equation*}}\unskip
o\`{u} la constante d'int\'{e}gration $\rho _{\uppi }$ est la valeur 
$\rho ( \uppi ) $.\ Il s'agit d'une parabole sym\'{e}trique par rapport
\`{a} l'axe des $x$ avec sa tangente verticale en $( \rho =\rho _{\uppi
}, \theta =\uppi) $ et ses branches qui tendent vers l'infini pour 
$\theta \rightarrow 0$. La Figure \ref{PinDirTraj} montre le cas $\rho
_{\uppi }=1$.

Pour les points triples, la contrainte est
${\mathrm{d}y}/{\mathrm{d}x}=-\tan ( \theta /2) $ et les calculs
donnent les solutions
{\begin{equation*}
\rho =\frac{\rho _{\uppi }}{\sin ( 3\theta /2) ^{\frac{2}{3}}}.
\end{equation*}}\unskip
La sym\'{e}trie $\theta \rightarrow \theta +2\uppi /3$  est
\'{e}vidente puisqu'elle change $3\theta /2$ en $3\theta /2+\uppi $ et
laisse donc invariant $\sin ( 3\theta /2) ^{{2}/{3}}$.\ La  Figure
\ref{PinDirTraj} montre une des trajectoires dans le cas $\rho _{\uppi
}=1$.

Lorsque $\alpha \neq 0$, les solutions deviennent respectivement $\rho
={\rho _{\uppi +2\alpha }}/{\sin ^{2}( \theta /2-\alpha ) }$ et 
$\rho =({\rho _{( \uppi +2\alpha ) /3}})/({\sin ( 3\theta /2-\alpha )
^{{2}/{3}}})$ et les champs d'orientations tournent de  $\alpha $.\ 
Mais il faut noter que les champs des $\varphi =2\psi $ varient plus
subtilement avec $\alpha $.\ La singularit\'{e} des  $\varphi ^{+}$
\'{e}volue d'un n\oe ud avec sym\'{e}trie  centrale ($\alpha =0$)
d'abord \`{a} des foyers stables puis \`{a} un centre ($\alpha ={\uppi
}/{4}$) puis \`{a} des foyers instables, alors que la singularit\'{e}
des $\varphi ^{-}$ donne diff\'{e}rents types de cols.\ La Figure
\ref{StreamPlot_pinwh} montre les lignes de champ de $\varphi ^{+}$,
$\varphi ^{-}$, $\psi ^{+}$, $\psi ^{-}$, pour quatre valeurs du
param\`{e}tre $\alpha $: $0$, $\uppi /8$, $\uppi /4$, $3\uppi /8$.

\section{Les pinwheels comme champs de phases}\label{PhaseFields}

Nous allons maintenant \'{e}tudier math\'{e}matiquement un peu plus en 
d\'{e}tail les cartes fonctionnelles d'orientation.\ Elles assignent,
\`{a} une certaine \'{e}chelle, une orientation $\psi ( a)
\,\mathrm{mod}\,\uppi $ \`{a} chaque point $a$ de la surface corticale
de $V1$, surface que nous mod\'{e}lisons pour simplifier par un plan
$\mathbb{R}^{2}$ de  coordonn\'{e}es $( x,y) $ identifi\'{e} \`{a} un
plan complexe $\mathbb{C} $ de coordonn\'{e}e $z$.\ On lui associe la
fonction $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi }$ o\`{u}  $\varphi $ est la
phase $\varphi =2\psi $ d\'{e}finie $\mathrm{mod}\,2\uppi $.

Ces cartes sont donc des champs de phases dont les pinwheels sont des
singularit\'{e}s (les lignes de niveau sont les m\^{e}mes pour $\psi $
et  $\varphi $). On rencontre de tels champs dans de nombreux types de 
ph\'{e}nom\`{e}nes physiques, en particulier dans les structures
optiques et les cristaux liquides. Il existe une vaste litt\'{e}rature
\`{a} leur sujet et, en particulier, au sujet de leurs
singularit\'{e}s.\ On peut donc essayer de transf\'{e}rer \`{a}
l'\'{e}tude des cartes d'orientation un certain nombre de ces
formalismes et de ces mod\`{e}les.

\subsection{Champs et coordonn\'{e}es}\label{ChampsCoord}

Comme nous avons plusieurs espaces et plusieurs champs \`{a}
consid\'{e}rer, fixons d'abord les notations. La couche corticale est
mod\'{e}lis\'{e}e par un plan $\mathbb{R}^{2}$. Si $a=( x,y) $ est un
point de $\mathbb{R}^{2}$, il sera souvent utile de le consid\'{e}rer
comme l'affixe complexe  $z=x+\mathrm{i}y$ au moyen de l'isomorphisme
$\mathbb{R}$-lin\'{e}aire standard de  $\mathbb{C}$ avec
$\mathbb{R}^{2}$.  La diff\'{e}rence entre $a$ et $z$ est que $a$ est
une entit\'{e} g\'{e}om\'{e}trique alors que $z$ est une entit\'{e}
num\'{e}rique. Que le plan $\mathbb{R}^{2}$ avec sa structure d'espace
vectoriel puisse \^{e}tre muni d'une structure alg\'{e}brique de corps
a  \'{e}t\'{e} une grande d\'{e}couverte due \`{a} Argand, Gauss et
Cauchy\footnote{Un th\'{e}or\`{e}me profond dit que les seuls
$\mathbb{R}^{n}$ que l'on peut munir d'une structure de corps sont
$\mathbb{R}$ (le corps des nombres r\'{e}els), $\mathbb{R}^{2}$ (le
corps des nombres complexes), $\mathbb{R}^{4}$ (le corps non commutatif
des quaternions de Hamilton) et $\mathbb{R}^{8}$ (le corps non
associatif et  non commutatif des octonions de Cayley). Cela est
li\'{e} au fait que les seules sph\`{e}res $\mathbb{S}^{n-1}$
\guillemotleft~parall\'{e}lisables~\guillemotright{}\ (i.e.\ dont
le fibr\'{e} tangent est isomorphe au produit direct
$\mathbb{S}^{n-1}\times  \mathbb{R}^{n-1}$) sont $\mathbb{S}^{1}$,
$\mathbb{S}^{3}$ et $\mathbb{S}^{7} $ (Frank Adams). $\mathbb{R}^{3}$
n'a pas de structure de corps et $\mathbb{S}^{2}$ n'est pas
parall\'{e}lisable~: tout champ de vecteurs sur $\mathbb{S}^{2}$
s'annulle quelque part (th\'{e}or\`{e}me de Poincar\'{e}--Hopf, quand on
\guillemotleft~peigne~\guillemotright{}\ une $\mathbb{S}^{2}$
\guillemotleft~chevelue~\guillemotright{}\ il y a toujours un
\guillemotleft~\'{e}pi~\guillemotright{}\ quelque part).}. 


Souvent, pour \'{e}tudier la structure du champ au voisinage d'un point
singulier $a_{0}$, il sera utile de d\'{e}placer le rep\`{e}re de
$\mathbb{R}^{2}$ en $a_{0}$ par une translation transportant $0$ en
$a_{0}$ et une rotation appropri\'{e}e des axes et de consid\'{e}rer
alors les coordonn\'{e}es polaires $( \rho ,\theta ) $ en $a_{0}=0$,
{i.e.}\ $z=\rho \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta }$, $x=\rho \cos ( \theta
) $, $y=\rho \sin ( \theta ) $.\ Un champ de phases assignant \`{a}
chaque point $a\in \mathbb{R}^{2}$ la phase $\varphi ( a) $ en $a$ est
donc une application $\Phi :\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{S}^{1}$,
$\Phi ( a) =\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi ( a) }$, du plan
$\mathbb{R}^{2}$ dans le cercle unit\'{e} $\mathbb{S}^{1}$, autrement
dit une section de la fibration $\uppi :\mathbb{R}^{2}\times 
\mathbb{S}^{1}\rightarrow \mathbb{R}^{2}$, poss\'{e}dant des
singularit\'{e}s d'un type particulier l\`{a} o\`{u} la phase $\varphi
( a) $ n'est pas d\'{e}finie.

Supposons pour simplifier que $\psi ( a) $ est r\'{e}guli\`{e}re  en
dehors des points singuliers o\`{u} elle est
ind\'{e}termin\'{e}e\footnote{Dans certains cas il peut y avoir, en
plus des pinwheels, des \guillemotleft~fractures~\guillemotright{}\
dans les cartes d'orientation.}.  Dans les mod\`{e}les locaux de
pinwheels de type point d'arr\^{e}t et point triple de la
Section~\ref{Stop-Triple points}, nous avons pris $\psi =\alpha \pm
\theta /2$.

Il est souvent possible et naturel d'associer \`{a} la phase d'un champ
de phases une amplitude, c'est-\`{a}-dire un module $r( a) $.\ Pour les
cartes fonctionnelles d'orientation, Fred Wolf et Theo Geisel 
\citep[cf.][]{WolfGei,WolfGei03} ont propos\'{e} d'introduire la force de
la  s\'{e}lectivit\'{e} \`{a} l'orientation pr\'{e}f\'{e}rentielle
(autrement dit la largeur de la courbe d'accord, de tuning). Sous une
telle hypoth\`{e}se, le champ de phases $\Phi $ devient la partie
\guillemotleft~phase~\guillemotright{}\ d'un champ scalaire
complexe  $Z:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}$, $z=\rho
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta }\mapsto r( z)
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi ( z) }$ (aussi not\'{e} $r( a)
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi ( a) }$).\ En coordonn\'{e}es
cart\'{e}siennes, $Z( a)  $ s'\'{e}crira $Z( a) =X( a) +\mathrm{i}Y( a)
$, $X$ et $Y$ \'{e}tant deux fonctions r\'{e}elles des variables $(
x,y)  $.

\subsection{Les singularit\'{e}s d'un champ de phases}

\'{E}tant donn\'{e} un champ de phases $Z( a)$\ (not\'{e} suivant les
contextes $Z( z) $, $X( a) +\mathrm{i}Y( a) $, $X( z) +\mathrm{i}Y( z)
$, $r( a) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi ( a) }$ ou $r( z)
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi ( z) }$), on peut analyser sa
g\'{e}om\'{e}trie en utilisant les outils classiques de l'analyse
vectorielle~: gradients $\nabla $, divergences, rotationnels,
laplaciens $\Delta $, etc.

Les singularit\'{e}s de $Z$ sont des points o\`{u} la phase $\varphi $
n'est pas d\'{e}finie mais o\`{u} $Z$ est quant \`{a} lui bien
\mbox{d\'{e}fini} mais avec une valeur particuli\`{e}re, $0$ ou $\infty $.
Elles correspondent aux  z\'{e}ros et aux p\^{o}les de $Z$. Si $\vert
Z\vert $ est  born\'{e}, alors elles ne peuvent \^{e}tre que des
z\'{e}ros. Nous supposerons que c'est le cas. Pour un z\'{e}ro, le
mod\`{e}le local le plus simple est $\pm z $ si $Z$ est une fonction
holomorphe, c'est-\`{a}-dire une fonction  r\'{e}guli\`{e}re de la
variable complexe $z$ qui est d\'{e}rivable par rapport  \`{a} $z$ (et
pas seulement par rapport \`{a} $x$ et $y$  s\'{e}par\'{e}ment).\ Mais
$Z$ n'a \textit{a priori} aucune raison d'\^{e}tre holomorphe. Au voisinage d'un
point $a_{0}$ du plan de base $\mathbb{R}^{2}$ pris pour origine $0$,
on a alors au premier ordre 
{\begin{eqnarray*}
Z( x,y) &
\simeq &
X( 0) +x\frac{\partial X}{\partial x}
( 0) +y\frac{\partial X}{\partial y}( 0) 
\\&&
+
\,
\mathrm{i}\left(
Y( 0) +x\frac{\partial Y}{\partial x}( 0) +y\frac{
\partial Y}{\partial y}( 0) \right)
\end{eqnarray*}}\unskip
c'est-\`{a}-dire (en notant . le produit scalaire de deux vecteurs)
{\begin{equation*}
Z( a) \simeq Z( 0) +a\cdot\nabla _{0}X+\mathrm{i}a\cdot\nabla _{0}Y
\end{equation*}}\unskip
o\`{u} $\nabla _{0}X$ est la valeur en $0$ du gradient de $X$, $\nabla
X=( {\partial X}/{\partial x},{\partial X}/{\partial y}) $, et idem
pour $Y$. On v\'{e}rifie que, \`{a} cet ordre d'approximation, $Z( a)
-Z( 0) $ est un nombre complexe de partie r\'{e}elle $a\cdot\nabla
_{0}X$ et de partie imaginaire  $a\cdot\nabla _{0}Y$ et que donc 
{\begin{equation*}
\vert Z( a) -Z( 0) \vert ^{2}\simeq
R^{2}=( a\cdot\nabla _{0}X) ^{2}+( a\cdot\nabla _{0}Y) ^{2}.
\end{equation*}}\unskip
Les courbes de niveaux $R=\mathrm{cste}$ sont des ellipses \`{a} cet
ordre d'approximation.\ Ce ne sont des cercles que si $Z( a) $ peut
s'\'{e}crire comme une fonction $Z( z) $ de $z$, autrement dit si d'une
part $x({\partial X}/{\partial x})+\mathrm{i}y({\partial Y}/{\partial
y})$ est proportionnel \`{a} $z$, ce qui suppose ${\partial X}/{
\partial x}={\partial Y}/{\partial y}$, et d'autre part si $y({
\partial X}/{\partial y})+\mathrm{i}x({\partial Y}/{\partial x})$ est
proportionnel  \`{a} $\mathrm{i}z$, ce qui suppose ${\partial
X}/{\partial y}=-({\partial Y}/{ \partial x})$.\ Ces conditions
fondamentales, dites de Cauchy-Riemann, expriment que les gradients
$\nabla X$ et $\nabla Y$ de $Z$ sont orthogonaux.\ Elles
caract\'{e}risent la propri\'{e}t\'{e} d'holomorphie.

Dans les situations o\`{u} l'on doit analyser des champs, les
singularit\'{e}s  jouent un r\^{o}le structural d\'{e}terminant et
concentrent l'essentiel de l'information morphologique. Cela est d\^{u}
au fait qu'en dehors des singularit\'{e}s les champs sont localement
\guillemotleft~rectifiables~\guillemotright{}\ c'est-\`{a}-dire
localement trivialisable.\  Nous l'avons vu avec les cartes
d'orientation des  Figures~\ref{CartesOrient}--\ref{PinwhLines2}~: en
dehors des singularit\'{e}s que sont les centres des pinwheels, les
lignes d'iso-orientation (i.e.\  monochromatiques) sont localement
comme des droites parall\`{e}les un peu  d\'{e}form\'{e}es. 

Tout un ensemble de concepts de la th\'{e}orie des singularit\'{e}s se
r\'{e}v\`{e}lent donc  \^{e}tre pertinents pour l'analyse des cartes
d'orientation. Supposons le champ $Z$ r\'{e}gulier en dehors des points
singuliers o\`{u} la phase  $\varphi $ est ind\'{e}termin\'{e}e et
o\`{u} $Z$ s'annule.\ Comme $Z=X+\mathrm{i}Y$, ces points sont les
intersections des courbes d'\'{e}quation $X=0$ et $Y=0$. La condition
$X=0$ correspond \`{a} $r\cos ( \varphi ) =0$,  {i.e.}\ $\varphi
={\uppi }/{2}\,\mathrm{mod}\,\uppi $ si $r\neq 0$ et $Y=0$ correspond
\`{a} $r\sin ( \varphi ) =0$, {i.e.}\ $\varphi =0$ 
$\mathrm{mod}\,\uppi $ si $r\neq 0$.\ Si $X=Y=0$, on a
n\'{e}cessairement $r=0$ car les deux conditions sur $\varphi $ sont
incompatibles.  G\'{e}n\'{e}riquement, deux courbes r\'{e}guli\`{e}res 
dans un plan se coupent transversalement en des points isol\'{e}s.
C'est le cas ici des courbes $X=0$ et $Y=0$.\ G\'{e}n\'{e}riquement les
points qui satisfont \`{a} ces deux conditions sont de codimension $2$
et, comme l'espace ambiant $\mathbb{R}^{2} $ est de dimension $2$, sont
des points isol\'{e}s\footnote{Dans la th\'{e}orie des m\'{e}sophases
(cristaux liquides), ces  singularit\'{e}s de phase sont appel\'{e}es
des \guillemotleft~dislocations~\guillemotright{}.}.

\subsection{Les deux champs d'orientation et d'iso-orientation}

Insistons sur le fait que, comme nous l'avons indiqu\'{e} plus haut, il
faut bien distinguer plusieurs champs. Le champ $Z$ est le champ des
phases  $\varphi ( a) =2\psi ( a) $.\ Il poss\`{e}de des lignes
d'\emph{isophase}, appel\'{e}es les \guillemotleft~fronts
d'onde~\guillemotright{}\ par analogie avec l'optique.\ Comme
iso-phase ${=}$ iso-orientation, elles sont repr\'{e}sent\'{e}es par
les lignes isochromatiques dans les cartes de pinwheels.

D'autre part, il y a le champ des orientations $\psi ( a) =\varphi ( a)
/2$ interpr\'{e}t\'{e} non plus comme une fonction angulaire sur
$\mathbb{R}^{2}$ mais vraiment comme un champ d\'{e}finissant en chaque
point $a$ une orientation. En tant que tel, il d\'{e}finit un
feuilletage du plan $\mathbb{R}^{2}$ par ses courbes
int\'{e}grales\footnote{Un feuilletage du plan est une
d\'{e}composition en une famille de courbes.}.  Nous avons vu \`{a} la
Section~\ref{Stop-Triple points} avec les mod\`{e}les des points
d'arr\^{e}t et des points triples quelle \'{e}tait la g\'{e}om\'{e}trie
locale de ces feuilletages aux points singuliers. Notons ce champ  $W(
a) =s( a) \mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi ( a) }$ en supposant que l'on ait
pu attribuer une signification \`{a} l'amplitude $s( a) $. $W$
poss\`{e}de \'{e}galement des lignes de champ et des lignes d'isophase.
Mais, contrairement \`{a} la phase $\varphi $ qui est  d\'{e}finie
modulo $2\uppi $, l'angle $\psi $ n'est d\'{e}fini que modulo $\uppi
$.\  Pour ces pinwheels mod\`{e}les, $\varphi $ s'identifie en fait
\`{a}  $2\alpha \pm \theta $ et $\psi $ \`{a} $\alpha \pm \theta /2$.\ 
On a dans ce cas $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi }=(
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\psi }) ^{2}$.\ La fa\c{c}on la plus simple de
satisfaire cette contrainte est de prendre $Z=W^{2}$.

\subsection{Courant, vorticit\'{e} et divergence}\label{Courant}

La diff\'{e}rentielle $\mathrm{d}\varphi =({\partial \varphi
}/{\partial x})\,\mathrm{d}x +({\partial \varphi }/{\partial
y})\,\mathrm{d}y$ correspond au vecteur gradient  $\nabla \varphi $ de
composantes $\nabla \varphi =( {\partial \varphi }/{\partial
x},{\partial \varphi }/{\partial y})$. Le long des fronts d'onde la
phase $\varphi $ est constante, i.e.\  $\mathrm{d}\varphi =0$, et donc,
puisque (si l'on interpr\`{e}te comme autrefois les 
diff\'{e}rentielles comme des variations infinit\'{e}simales)
$\mathrm{d}\varphi =\nabla \varphi \cdot\mathrm{d}a$ (produit
scalaire), on a $\nabla \varphi \cdot\mathrm{d}a=0$~:\ les trajectoires
de $\nabla \varphi $ sont \textit{orthogonales} aux fronts.

Pour comprendre le comportement de $\nabla \varphi $ au voisinage d'une
singularit\'{e}, le mieux est de se placer en coordonn\'{e}es polaires 
$x=\rho \cos ( \theta ) $ et $y=\rho \sin ( \theta ) $. Au point
singulier $\rho =0$ le gradient $\nabla \varphi $ n'est pas  d\'{e}fini
et diverge.

Pour r\'{e}gulariser cette situation, les physiciens ont l'habitude de 
consid\'{e}rer ce que l'on appelle le courant $\mathcal{J}$ du champ 
$Z=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi }$, qui est le vecteur d\'{e}fini par
{\begin{equation*}
\mathcal{J}=r^{2}\nabla \varphi .
\end{equation*}}\unskip
On note que si $Z=X+\mathrm{i}Y$, alors 
{\begin{equation*}
\mathcal{J}=X\nabla Y-Y\nabla X
\end{equation*}}\unskip
et que donc $\mathcal{J}$ est bien d\'{e}fini m\^{e}me aux points
singuliers de la phase $\varphi $ de $Z$. 

Un autre vecteur (en fait un pseudovecteur) que consid\`{e}rent les
physiciens est la vorticit\'{e} $\Omega $ du courant $\mathcal{J}$ 
c'est-\`{a}-dire, \`{a} un facteur pr\`{e}s, son rotationnel. Par
d\'{e}finition,
{\begin{equation*}
\Omega =\tfrac{1}{2}\nabla \times \mathcal{J}=\nabla X\times \nabla Y
\end{equation*}}\unskip
o\`{u} $\times $ repr\'{e}sente le produit ext\'{e}rieur de deux
vecteurs de $\mathbb{R}^{2}$. Si $u=( u_{x},u_{y})
=u_{x}e_{x}+u_{y}e_{y}$ et $v=( v_{x},v_{y}) =v_{x}e_{x}+v_{y}e_{y}$
(avec $e_{x}$ et $e_{y}$ les vecteurs unitaires des axes $x$ et $y$)
sont deux vecteurs de $\mathbb{R}^{2}$, le produit  ext\'{e}rieur
$u\times v$ consiste \`{a} porter le d\'{e}terminant  $\det \left( 
\begin{array}{@{}cc@{}}
u_{x} & u_{y} \\ 
v_{x} & v_{y}
\end{array}
\right) =u_{x}v_{y}-u_{y}v_{x}=\omega $ sur un axe orthogonal \`{a} 
$\mathbb{R}^{2}$ de vecteur unitaire $e_{3}$ tel que le rep\`{e}re $\{
e_{x},e_{y},e_{3}\} $ soit direct. C'est l'aire orient\'{e}e du 
parall\'{e}logramme construit sur $u$ et $v$. Pour $\nabla X\times
\nabla Y$, $\omega =\det \left( 
\begin{array}{@{}cc@{}}
{\partial X}/{\partial x} & {\partial X}/{\partial y} \\ 
{\partial Y}/{\partial x} & {\partial Y}/{\partial y}
\end{array}
\right) $ est le d\'{e}terminant du jacobien de $Z$ consid\'{e}r\'{e}
comme application de $\mathbb{R}^{2}$ dans~$\mathbb{R}^{2}$.

On remarquera que lorsque $\Omega =0$, soit $\nabla X=0$ ou $\nabla
Y=0$ (points isol\'{e}s de codimension $2$), soit les gradients
r\'{e}els $\nabla X$ et $\nabla Y$ ont m\^{e}me orientation (lignes de
codimension $1$), autrement dit $\nabla Y=\alpha \nabla X$ pour un
$\alpha \in \mathbb{R}$.\  La condition $\Omega =0$ disant que $\nabla
X$ et $\nabla Y$ sont  parall\`{e}les est l'oppos\'{e} des conditions
de Cauchy--Riemann disant que $\nabla X$ et $\nabla Y$ sont
orthogonaux.

La vorticit\'{e} $\Omega $ de $\mathcal{J}$ n'est pas triviale en
g\'{e}n\'{e}ral.\ Ce n'est pas le cas pour $\nabla \varphi $ car le
rotationnel d'un gradient $\nabla \times \nabla f$ est toujours nul en
vertu du fait que pour tout vecteur on a $u\times u=0$. En dehors des
pinwheels o\`{u} il n'est pas d\'{e}fini, le champ $\nabla \varphi $
est par cons\'{e}quent irrotationnel.

Nous avons vu plus haut que, au premier ordre au voisinage d'un point
$a_{0}$ pris comme origine $0$, le module de $Z$ est donn\'{e} par
{\begin{equation*}
\vert Z( a) -Z( 0) \vert ^{2}=R^{2}=(
a\cdot\nabla _{0}X) ^{2}+( a\cdot\nabla _{0}Y) ^{2}.
\end{equation*}}\unskip
Le courant $\mathcal{J}$ est donn\'{e} quant \`{a} lui au premier ordre
par un vecteur un peu compliqu\'{e} qui, si $X( 0) =0$ et $Y( 0) =0$
(pinwheel) se simplifie \'{e}norm\'{e}ment et s'\'{e}crit alors
{\begin{eqnarray*}
\mathcal{J}( a)  &=&\mathcal{J}( x,y) \\
&\simeq& \left( 
\begin{array}{@{}c@{}}
\displaystyle y\left( \frac{\partial X}{\partial y}( 0) \frac{\partial Y}{
\partial x}( 0) -\frac{\partial X}{\partial x}( 0) 
\frac{\partial Y}{\partial y}( 0) \right) ,\vspace*{5pt} \\ 
\displaystyle x\left( -\frac{\partial X}{\partial y}( 0) \frac{\partial Y}{
\partial x}( 0) +\frac{\partial X}{\partial x}( 0) 
\frac{\partial Y}{\partial y}( 0) \right) 
\end{array}
\right)  \\
&=&( a\cdot \nabla _{0}X) \nabla _{0}Y-( a\cdot \nabla _{0}Y)
\nabla _{0}X\\
&=&\Omega _{0}\times a=\omega _{0}( -y,x). 
\end{eqnarray*}}\unskip

Cela permet d'\'{e}valuer $\vert \mathcal{J}\vert =r^{2}\vert \nabla
\varphi \vert \approx \vert \omega \vert \rho $ au voisinage des
pinwheels o\`{u} $\omega \neq 0$. Mais localement $\varphi $ est
constante sur les rayons d'un tel point singulier et $\nabla \varphi $
est orthogonal aux rayons et donc, puisqu'en  coordonn\'{e}es polaires
$\nabla \varphi =({\partial \varphi }/{\partial \rho }) e_{\rho
}+({1}/{\rho })({\partial \varphi }/{\partial \theta })e_{\theta }$
(avec $e_{\rho }$ le vecteur unitaire du rayon en $a$ et $e_{\theta }$
le vecteur unitaire orthogonal \`{a} $e_{\rho }$, {i.e.}\ $e_{\rho }$ 
tourn\'{e} de $+{\uppi }/{2}$), on a $\nabla \varphi \simeq ({1}/{\rho
}) ({\partial \varphi }/{\partial \theta })e_{\theta }$. D'o\`{u} la
formule 
{\begin{equation*}
r^{2}\left\vert \frac{\partial \varphi }{\partial \theta }\right\vert
\approx \rho ^{2}\vert \omega \vert .
\end{equation*}}\unskip
Cette formule dit que, alors que $r$ est (localement) constant sur les
ellipses $r^{2}=( a\cdot\nabla X) ^{2}+( a\cdot\nabla Y) ^{2}$,
$r^{2}\vert {\partial \varphi }/{\partial \theta } \vert $ est quant
\`{a} lui constant sur les cercles $\rho =\mathrm{cste} $. Comme le
note Mark Richard Dennis dans \citep{Dennis}, il s'agit l\`{a} d'une
sorte de \guillemotleft~loi de Kepler~\guillemotright{}\ (purement
formelle) pour  $r^{2}\vert {\partial \varphi }/{\partial \theta }\vert
$ qui fonctionne comme un \guillemotleft~moment
angulaire~\guillemotright{} ~:

\begin{quote}
\noindent \guillemotleft~equal area vectors of the core anisotropy
ellipse [$r^{2}=\mathrm{cst}$] are swept out in equal intervals of
phase.~\guillemotright{}\ (p.41)
\end{quote}

Remarquons que l'excentricit\'{e} des ellipses mesure l'anisotropie de
la vorticit\'{e}. Comme nous l'avons vu, il n'y a isotropie (les
ellipses ne sont des cercles) que si les conditions de Cauchy-Riemann sont
satisfaites.

\subsection{\'{E}quation de Helmholtz}\label{Helmholtz}

Nous avons vu en pr\'{e}sentant les donn\'{e}es exp\'{e}rimentales sur
les pinwheels que ceux-ci apparaissent lorsqu'on superpose les
diff\'{e}rentes cartes de r\'{e}ponse aux diff\'{e}rentes
orientations.\ Nous avons vu  \'{e}galement qu'il existe une maille
caract\'{e}ristique du r\'{e}seau de pinwheels (cf.\
Section~\ref{ObsPinwh}). Ces deux faits empiriques  sugg\`{e}rent de
consid\'{e}rer le champ $Z$ comme une superposition de champs plus
simples pr\'{e}sentant une longueur caract\'{e}ristique. Par ailleurs,
sur le plan math\'{e}matique tout champ peut \^{e}tre consid\'{e}r\'{e}
\`{a} travers sa transform\'{e}e de Fourier comme une superposition
d'ondes planes. Les ondes planes sont les plus simples des champs
poss\'{e}dant une longueur caract\'{e}ristique.\ Elles s'\'{e}crivent
$A\mathrm{e}^{\mathrm{i}\kappa \cdot a}$ o\`{u}  $A$ est une amplitude
complexe $E\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi }$ et $\kappa =( \kappa
_{x},\kappa _{y}) $ un vecteur appel\'{e} vecteur d'onde dont le module
$k=\vert \kappa \vert $, appel\'{e} nombre d'onde, est l'analogue d'une
quantit\'{e} de mouvement et est associ\'{e} \`{a} la longueur d'onde
$\Lambda =2\uppi /k$ (plus la longueur d'onde est petite plus le nombre
d'onde est grand). Lorsqu'elles \'{e}voluent dans le temps, leur
prototype est $A\mathrm{e}^{\mathrm{i}( \kappa \cdot a-\omega t) }$
o\`{u} $\omega $ est une fr\'{e}quence angulaire (ou pulsation)
associ\'{e}e \`{a} la  fr\'{e}quence $\nu =\omega /2\uppi $ et \`{a} la
p\'{e}riode  $T=1/\nu =2\uppi /\omega $.

La question de savoir si des d\'{e}compositions math\'{e}matiques
d'entit\'{e}s d'un certain type (ici des champs) en superpositions
d'entit\'{e}s de m\^{e}me type mais \'{e}l\'{e}mentaires (ici des ondes
planes) sont des d\'{e}compositions
\guillemotleft~r\'{e}elles~\guillemotright{}\ ayant un sens
physique, est un vieux probl\`{e}me \'{e}pist\'{e}mologique qui remonte
\`{a} l'antiquit\'{e}. D\'{e}j\`{a} quand Ptol\'{e}m\'{e}e
d\'{e}crivait les trajectoires
\guillemotleft~errantes~\guillemotright{}\ des plan\`{e}tes comme
compositions de mouvements circulaires uniformes sur des
\'{e}picycles\footnote{Le titre \guillemotleft~H\^{e} Meg\'{a}l\^{e}
S\'{u}ntaxis~\guillemotright{}\ de son c\'{e}l\`{e}bre trait\'{e}
l'\guillemotleft~Almageste~\guillemotright{}\ signifie
pr\'{e}cis\'{e}ment \guillemotleft~La Grande
Composition~\guillemotright{}.}, les
\guillemotleft~physiciens~\guillemotright{}\ critiquaient les
\guillemotleft~math\'{e}maticiens~\guillemotright{}\ en arguant que
seules les trajectoires observ\'{e}es avaient une r\'{e}alit\'{e}
physique et que les \'{e}picycles n'\'{e}taient que des art\'{e}facts
math\'{e}matiques.\ Mais en fait il faut bien comprendre que de telles
d\'{e}compositions servent \`{a} calculer et qu'elles sont
indispensables pour \emph{reconstruire computationnellement} les
donn\'{e}es empiriques. De telles \guillemotleft~synth\`{e}ses
computationnelles~\guillemotright{}\ n'ont pas de contenu
ontologique.\ Elles sont justement
\guillemotleft~computationnelles~\guillemotright{}. C'est le cas
ici avec les d\'{e}compositions en ondes planes.\looseness=-1

Les superpositions d'onde planes ont \'{e}t\'{e} utilis\'{e}es entre
autres par Theo Geisel, Matthias Kaschube, Michael Schnabel1 et Fred
Wolf  \citep[cf.\ par exemple][]{Kasch} pour construire de remarquables
mod\`{e}les d'auto-organisation et d'\'{e}volution par \mbox{bifurcations}
successives de cartes d'orientations lors d'un processus
d'apprentissage. Dans ce qui suit nous supposerons que la carte
d'orientation est stabilis\'{e}e.\looseness=-1

Il est trivial de v\'{e}rifier que les ondes planes
$U=A\mathrm{e}^{\mathrm{i}\kappa \cdot a}$ satisfont une \'{e}quation
fondamentale, dite \emph{\'{e}quation de Helmholtz},  $\Delta
U+k^{2}U=0$. En effet, $\kappa \cdot a=x\kappa _{x}+y\kappa _{y}$ et
donc 
\vspace*{-2pt}
{\begin{equation*}
\Delta U=\frac{\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}+\frac{\partial ^{2}U}{
\partial y^{2}}=-A\kappa _{x}^{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\kappa \cdot 
a}-A\kappa _{y}^{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\kappa \cdot a}=-k^{2}U.
\end{equation*}}\unskip
Et comme l'\'{e}quation de Helmholtz est lin\'{e}aire, toute
superposition lin\'{e}aire de solutions avec des $\kappa $
diff\'{e}rents mais de m\^{e}me module $k$ est aussi une solution.\ Il
est donc int\'{e}ressant de supposer pour simplifier que le champ $Z$
satisfait  l'\'{e}quation de Helmholtz pour une certaine longueur
d'onde $\Lambda =2\uppi /k$~:
\vspace*{-2pt}
{\begin{equation*}
\Delta Z+k^{2}Z=0.
\end{equation*}}\unskip

Il est int\'{e}ressant d'illustrer un exemple.\ Nous le ferons en
suivant une analogie avec les champs de phases en optique.

\vspace*{-2pt}

\section{Illustration d'un exemple}\label{Exemple}

\vspace*{-2pt}

\subsection{La structure du champ}\label{structure}

\vspace*{-2pt}

La Figure~\ref{BerryField}, inspir\'{e}e d'un travail de  
\citet{Berry414} sur les courants optiques montre une superposition de
$10$ ondes planes de m\^{e}me $k$.\ On voit \`{a} quel point ce champ
de phases ressemble \`{a} nos pinwheels, avec ses lignes d'isophase
({i.e.}\  d'iso-orientation), ses lignes de gradient orthogonales et
ses points cols.

\begin{figure}
\includegraphics{fig16}
\vspace*{-2pt}
\caption{\label{BerryField}La structure du champ de phases $Z$ qui est
une superposition de  $10 $ ondes planes de m\^{e}me nombre d'onde
$k$.\ Les vecteurs d'ondes  $\kappa $ sont donn\'{e}s dans 
la Table~\ref{table:1} tir\'{e}e 
de  \citet{Berry414}. Les lignes d'isophase sont en orange et
les lignes de courant en bleu.}
\vspace*{-2pt}
\end{figure}

Plus pr\'{e}cis\'{e}ment, $Z$ est une superposition de $10$ ondes
planes
\vspace*{-2pt}
{\begin{eqnarray*}
Z&=&\sum_{j=1}^{j=10}E_{j}\exp ( \mathrm{i}( \phi _{j}+2\uppi x\cos (
\alpha _{j}) +2\uppi y\sin ( \alpha _{j}) ) ) \\
&=&r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi }
\end{eqnarray*}}\unskip
de m\^{e}me nombre d'onde $k=2\uppi $ (et donc de longueur d'onde 
$\Lambda =2\uppi /k=1$) et de vecteurs d'onde $\kappa _{j}=( 2\uppi
\cos ( \alpha _{j}) ,2\uppi \sin ( \alpha _{j}) ) $. Les angles $\alpha
_{j}$ sont choisis al\'{e}atoirement dans  $[ 0,2\uppi ] $, le
d\'{e}calage de phase $\phi _{j}$ al\'{e}atoirement dans  $[ 0,2\uppi ]
$ et les amplitudes $E_{j}$ al\'{e}atoirement dans  $[ 0,1] $.\ Les
valeurs utilis\'{e}es par Berry sont donn\'{e}es dans la Table~\ref{table:1}.

\begin{table*}
\caption{\label{table:1}Les $\alpha _{j}$, $\phi _{j}$, $E_{j}$ des 10
ondes planes dont la superposition est montr\'{e}e  la
Figure~\ref{BerryField}}
\begin{tabular}{ccccccccccc}
\thead
& $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ \\ 
\endthead
$\alpha _{j}$ & $5.971$ & $2.666$ & $0.939$ & $4.629$ & $1.023$ & $1.537$ & 
$2.710$ & $3.273$ & $4.356$ & $5.032$ \\ 
$\phi _{j}$ & $3.846$ & $0.777$ & $5.008$ & $2.916$ & $6.274$ & $4.344$ & 
$2.411$ & $5.688$ & $1.734$ & $0.214$ \\ 
$E_{j}$ & $0.337$ & $0.015$ & $0.762$ & $0.785$ & $0.625$ & $0.442$ & $0.688$
& $0.065$ & $0.064$ & $0.035$ 
\botline
\end{tabular}
\end{table*}

Si l'on note $\Phi _{j}$ les phases $\phi _{j}+2\uppi x\cos ( \alpha
_{j}) +2\uppi y\sin ( \alpha _{j}) $, on obtient une expression
$Z=\sum_{j=1}^{j=10}E_{j}\exp ( \mathrm{i}\Phi _{j}) $ sur laquelle il
est facile de calculer. La Figure \ref{BerryPinwh} montre les pinwheels
de $Z$. Les lignes blanches sont des coupures o\`{u} $\varphi $ saute
de $2\uppi $, cela \'{e}tant d\^{u} au fait que $\varphi $ est \`{a}
valeurs dans $\mathbb{S}^{1}$ mais est repr\'{e}sent\'{e} comme ayant
ses valeurs dans $\mathbb{R}$. Les coordonn\'{e}es des $5$ pinwheels
sont  \{0.528545, 0.942654\}, \{0.988124,  0.811337\}, 
\{0.433271, 0.516137\}, \{0.761954, 0.258734\}, 
\{0.0838329, 0.0359263\}. Ils sont donn\'{e}s par les intersections des
lignes de niveau $X=0$, $Y=0$. La Figure \ref{Berry_X_Y_0}
repr\'{e}sente ces lignes, $X=0$ en rouge et $Y=0$ en bleu.

\begin{figure}
\includegraphics{fig17}
\caption{\label{BerryPinwh}Pinwheels du champ de phases $Z$ pour
$x,y\in [ 0,1] $. Les lignes blanches sont des coupures o\`{u} $\varphi
$ saute de  $2\uppi $.}
\end{figure}

\begin{figure}
\includegraphics{fig18}
\caption{\label{Berry_X_Y_0}Lignes $X=0$ (en rouge) et $Y=0$ (en bleu)
du champ de phases $Z$.}
\end{figure}

La Figure~\ref{BerryPlots} montre quant \`{a} elle la structure du
champ de phases $Z$ sur le carr\'{e} $x,y\in [ 0,1] $. La premi\`{e}re
ligne montre le module $r$ de $Z$ 

\begin{figure*}
\vspace*{4pt}
\includegraphics{fig19}
\vspace*{4pt}
\caption{\label{BerryPlots}Structure du champ de phases $Z$ pour
$x,y\in [ 0,1] $. Premi\`{e}re ligne: module $r$ de $Z$; (i) lignes de
niveau; (ii) fonction  $r( x,y) $ sous deux perspectives, la seconde
permettant de voir les points singuliers (dislocations) o\`{u} $r=0$
ainsi que les maxima de $r$.\  Seconde ligne: argument $\varphi $ de
$Z$; (i) lignes de niveau; (ii) fonction $\varphi ( x,y) $ sous deux
perspectives, la seconde permettant de voir les coupures o\`{u}
$\varphi $ saute de $2\uppi $.}
\vspace*{4pt}
\end{figure*}

\begin{enumerate}[(i)]
\item d'abord avec ses lignes de niveau puis 

\item en tant que fonction $r( a) =r( x,y) $ sous deux perspectives, la
seconde permettant de bien voir les points singuliers (dislocations)
o\`{u} $r=0$ et les maxima de $r$.
\end{enumerate}
\pagebreak
La seconde ligne montre l'argument $\varphi $ de $Z$ (i)~d'abord avec
ses lignes de niveau (on retrouve celles de la Figure~\ref{BerryField})
puis (ii) en tant que fonction $\varphi ( a) =\varphi ( x,y) $ sous
deux perspectives, la seconde permettant de bien voir les coupures
o\`{u} $\varphi $ saute de~$2\uppi $.

La Figure \ref{BerryMultiPinwh} montre plus de pinwheels de $Z$ 
($x,y\in [ 0,3] $), les coupures blanches y repr\'{e}sentant $\varphi
=0=2\uppi $. On notera qu'il y a $29$ pinwheels dans une aire de
$3^{2}=9$, ce qui donne une densit\'{e} $d$ de $29/9\sim 3.2$.\ Nous
expliquerons plus bas une formule donnant $d=\uppi /\Lambda ^{2}$, soit,
dans notre cas o\`{u}  $\Lambda =1$, $d=\uppi $. On voit que
l'approximation est excellente.

\begin{figure}
\includegraphics{fig20}
\caption{\label{BerryMultiPinwh}Pinwheels de $Z$ pour $x,y\in [ 0,3]
$.\ Les coupures blanches repr\'{e}sentent $\protect\varphi =0=2\uppi
$.}
\end{figure}

Nous repr\'{e}sentons \'{e}galement \`{a} la Figure~\ref{BerryStream}
les lignes d'orientation, c'est-\`{a}-dire les lignes de champ de $W$,
ainsi que les lignes de champ de $Z$ (\`{a} ne pas confondre avec les
lignes d'isophase). On retrouve bien des occurrences des
singularit\'{e}s typiques illustr\'{e}es \`{a} la
Figure~\ref{StreamPlot_pinwh} de la  Section~\ref{Stop-Triple points}.
\`{A} gauche nous voyons un point triple et un point d'arr\^{e}t comme
dans les deux colonnes de droite de la Figure~\ref{StreamPlot_pinwh} et
\`{a} droite un point col et un point foyer comme dans les deux
colonnes de gauche de cette figure.

\begin{figure*}
\includegraphics{fig21}
\caption{\label{BerryStream}Lignes de champ de $W$ et de $Z$ dans le
cas de l'exemple de la Figure~\ref{BerryPlots}. \`{A} gauche un point
triple et un point d'arr\^{e}t comme dans les deux colonnes de droite
de la Figure~\ref{StreamPlot_pinwh} et \`{a} droite un point col et un
point foyer comme dans les deux colonnes de gauche de cette figure.}
\end{figure*}

\subsection{Statistique des pinwheels comme singularit\'{e}s de
phase}\label{StatPinwh}

Les cartes des pinwheels comme champs de phases peuvent \^{e}tre
tr\`{e}s vari\'{e}es.\ Il est donc int\'{e}ressant d'en faire une
\'{e}tude  \emph{statistique} \`{a} partir de certaines hypoth\`{e}ses
simplificatrices.\ De telles \'{e}tudes ont d\'{e}j\`{a} \'{e}t\'{e}
men\'{e}es \`{a} bien en optique en particulier par Michael Berry et
Mark Richard Dennis  \citep[cf.\ par exemple][]{Berry321,Berry395}. Il
s'agit d'un sujet o\`{u} ont converg\'{e} des \'{e}tudes de Wolf,
Geisel~et~Kaschube  \citep[cf.][]{WolfGei,
WolfGei03,Kasch}\footnote{Dans ces articles, la statistique des
pinwheels est  calcul\'{e}e en d\'{e}tail dans le cadre des mod\`{e}les
d'auto-organisation  et d'\'{e}volution des cartes d'orientations.},
celles d'un groupe de travail autour de Daniel Bennequin, et
\'{e}galement des travaux de Citti, Sarti et d'un de leurs doctorants
\citet{Barbieri}.

Dans sa th\`{e}se \citep{Dennis}, Dennis donne des r\'{e}sultats
pr\'{e}cis pour les superpositions d'ondes planes 
{\begin{equation*}
Z=\sum_{\kappa }A_{\kappa }\mathrm{e}^{\mathrm{i}\kappa \cdot a}
\end{equation*}}\unskip
d'amplitudes complexes $A_{\kappa }=E_{\kappa
}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi _{\kappa }} $, en particulier dans le cas
isotrope ({i.e.}\ invariant par rotation)  o\`{u} les $E_{\kappa }$ ont
une distribution ne d\'{e}pendant que du module $k=\left\vert \kappa
\right\vert $ des vecteurs d'onde (le nombre d'onde) et o\`{u} les
phases spatiales $\phi _{\kappa }$ sont des variables  al\'{e}atoires
de distribution uniforme sur $[ 0,2\uppi ] $. Si  l'\'{e}chantillonnage
des $\kappa $ dans les sommes $Z$ consid\'{e}r\'{e}es est suffisamment
fin, on peut consid\'{e}rer que les statistiques des composantes $X$ et
$Y$ de $Z$ et de leurs d\'{e}riv\'{e}es partielles sont des
distributions gaussiennes circulaires ce qui rend les calculs assez
accessibles. On d\'{e}finit en particulier le spectre d'\'{e}nergie 
$\mathcal{E}( \kappa ) $ par $( 1/2) \sum_{\kappa }E_{\kappa }^{2}=\int
\mathcal{E}( \kappa ) ^{2}\,\mathrm{d}\kappa $ et le spectre
d'\'{e}nergie radiale $\mathcal{R}( k) $ par $( 1/2) \sum_{\kappa
}E_{\kappa }^{2}=\int ({\mathcal{R}( k) ^{2}}/{2\uppi
k})\,\mathrm{d}k$.\ 

Une simplification suppl\'{e}mentaire consiste \`{a} consid\'{e}rer des
ondes \guillemotleft~monochromatiques~\guillemotright{}\ de
m\^{e}me nombre d'onde $k$, le vecteur d'onde $\kappa $ variant donc
sur le cercle de rayon $k$. Dans ce cas, $\mathcal{R}( u) $ devient le
Dirac  $\delta ( u-k) $. Cette hypoth\`{e}se correspond au fait que $Z$
est solution de l'\'{e}quation de\break Helmholtz.

On peut alors calculer la densit\'{e} moyenne $d$ des dislocations de
phase. Comme celles-ci sont d\'{e}finies par les conditions $X=0$,
$Y=0$, elle sera donn\'{e}e par la moyenne de $\delta ( X) \delta ( Y)
$ relativement \`{a} la mesure $\,\mathrm{d}X\,\mathrm{d}Y$.
Relativement \`{a} la mesure $\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ il faut faire intervenir le
jacobien de $Z( x,y) =X( x,y) +\mathrm{i}Y( x,y) $, c'est-\`{a} dire 
{\begin{equation*}
\vert \omega \vert =\vert \nabla X\wedge \nabla X\vert
=\left\vert \frac{\partial X}{\partial x}\frac{\partial Y}{\partial y}-
\frac{\partial X}{\partial y}\frac{\partial Y}{\partial x}\right\vert.
\end{equation*}}\unskip
Il faut donc calculer la moyenne $\left\langle \delta ( X) \delta ( Y) \vert
({\partial X}/{\partial x})\right.$\ubreak$({\partial Y}/{\partial y})-({\partial
X}/{\partial y})\left.({\partial Y}/{ \partial x})\vert \right\rangle $.\ Sous
l'hypoth\`{e}se que $X$, $Y$ et leurs d\'{e}riv\'{e}es partielles sont
des variables al\'{e}atoires gaussiennes ind\'{e}pendantes, on sait
faire le calcul en utilisant les  int\'{e}grales $\delta ( u) =(
1/2\uppi ) \int \mathrm{e}^{\mathrm{i}tu}\,\mathrm{d}t$ et $\vert
u\vert =-( 1/\uppi ) \int ({\partial }/{ \partial s})(
\mathrm{e}^{\mathrm{i}su})\,( {\mathrm{d}s}/{s})$ (l'int\'{e}grale
\'{e}tant prise au sens de la valeur principale de Cauchy) et l'on
trouve 
{\begin{eqnarray*}
d=K/4\uppi\ \mathrm{avec}\ K=\int_{0}^{\infty }k^{2}\mathcal{R}
( k)\,\mathrm{d}k=\langle k^{2}\rangle _{\mathcal{R}} 
\end{eqnarray*}}\unskip
pour la mesure $\mathcal{R}( k)\,\mathrm{d}k$.
Comme le note \citet{Berry321}, le fait que $Z$ soit une
superposition d'ondes intervient peu dans le calcul et

\begin{quote}
\noindent \guillemotleft~the results apply to any complex scalar
random function.~\guillemotright{} (\ldots) \guillemotleft~The
geometry thus revealed is extraordinary complicated and occasionally
counterintuitive.~\guillemotright{}\ (p.~2076)
\end{quote}

Le nombre d'onde $k$ est proportionnel \`{a} l'inverse d'une longueur
d'onde  $\Lambda =2\uppi /k$ et donc $\Lambda ^{2}=4\uppi ^{2}/k^{2}$
et $k^{2}/4\uppi =\uppi /\Lambda ^{2}$.\ Par cons\'{e}quent la
densit\'{e} de singularit\'{e}s  $d$ est la moyenne $\langle \uppi
/\Lambda ^{2}\rangle _{\mathcal{R}} $. Le $d=\uppi /\Lambda ^{2}$ de la
section pr\'{e}c\'{e}dente~\ref{structure} en est un cas particulier.

Nous avons vu \`{a} la Figure~\ref{BerryMultiPinwh} qu'il y avait $29$ 
pinwheels dans une aire de $3^{2}=9$, ce qui donnait une densit\'{e}
empirique de $d$ de $29/9\sim 3.2$ pour une densit\'{e} th\'{e}orique
de $d=\uppi$ puisque  $\Lambda =1$. Le r\'{e}sultat est remarquable.

\section{Conclusion}

Dans cet article nous avons surtout discut\'{e} la fa\c{c}on dont les
cartes d'orientations impl\'{e}mentent (\`{a} travers un collapse
dimensionnel  $2D\longrightarrow 3D$) une version discr\'{e}tis\'{e}e
de la fibration $\uppi :R\times P\rightarrow R$ ayant pour base l'espace
r\'{e}tinien $R$ et pour fibre la droite projective des orientations
$P$. Nous n'avons rien dit des connexions
\guillemotleft~horizontales~\guillemotright{}\  cortico-corticales
\`{a} longue port\'{e}e qui connectent des  \'{e}l\'{e}ments de contact
$(a,p)$ appartenant \`{a} des hypercolonnes  diff\'{e}rentes.\ Elles
sont pourtant fondamentales car elles sont extr\`{e}mement anisotropes
et connectent entre eux\ des \'{e}l\'{e}ments de contact 
$(a_{1},p_{1})$ et $(a_{2},p_{2})$ tels que (i) $p_{1}$ et $p_{2}$
soient approximativement  parall\`{e}les\footnote{Le transport
parall\`{e}le est l'un des  principaux fondements de la 
g\'{e}om\'{e}trie comme l'ont bien expliqu\'{e} \'{E}lie Cartan et
Hermann Weyl.} et (ii) la direction commune $p$ soit celle de la droite
$(a_{1},a_{2})$.\  Comme l'explique William Bosking dans
\citep{Bosk97}~:

\begin{quote}
\noindent \guillemotleft~The system of long-range horizontal connections
can be summarized as preferentially linking neurons with co-oriented,
co-axially aligned receptive fields~\guillemotright{}.
\end{quote}

Cette architecture tr\`{e}s sp\'{e}cifique hautement anisotrope
explique la fa\c{c}on dont le syst\`{e}me visuel primaire est capable
d'int\'{e}grer des donn\'{e}es locales en contours globaux et m\^{e}me
de construire des contours illusoires qui compl\`{e}tent des
donn\'{e}es sensorielles lacunaires. Elle est \`{a} la base des
propri\'{e}t\'{e}s gestaltistes, bien connues mais bien
\'{e}nigmatiques, de la perception. Elle est  extr\^{e}mement
int\'{e}ressante \`{a} math\'{e}maiser et nous lui avons consacr\'{e}
de nombreuses et longues \'{e}tudes.\ Le lecteur int\'{e}ress\'{e}
pourra consulter par exemple \citet{P, P03, P06} ou \citet{P14}.

Une fois mod\'{e}lis\'{e}e \`{a} un niveau m\'{e}soscopique les deux
grandes classes de connexions internes \`{a} $V1$ dont nous avons
parl\'{e}  d'embl\'{e}e dans notre introduction, celle des connexions 
\guillemotleft~verticales~\guillemotright{}\ intra-columnaires
isotropes et \`{a} courte port\'{e}e et celle des connexions
\guillemotleft~horizontales~\guillemotright{}\ cortico-corticales
inter-columnaires anisotropes et \`{a} longue port\'{e}e, la
mod\'{e}lisation des niveaux micro sous-jacents devient mieux
contr\^{o}lable sur le plan th\'{e}orique. Elle peut \'{e}chapper aux
limites du \guillemotleft~tout computationnel~\guillemotright{}\
anti-conceptuel. Comme en optique, la  m\'{e}sog\'{e}om\'{e}trie
commande la microphysique.

En optique, il existe trois niveaux~: g\'{e}om\'{e}trique, ondulatoire,
quantique. Dans l'analogie, le niveau g\'{e}om\'{e}trique correspond
\`{a} notre niveau m\'{e}so-g\'{e}om\'{e}trique. Le niveau ondulatoire
correspond au traitement que nous venons d'effectuer en identifiant les
pinwheels \`{a} des singularit\'{e}s de champs de phases. Mais, ainsi
que le note \citet{Berry414}, l'optique ondulatoire est
une moyenne sur des \mbox{interactions} microphysiques relevant de l'optique
quantique~et\looseness=1

\begin{quote}
\guillemotleft~the current gives the time-averaged force on small
particules~\guillemotright{}.
\end{quote}

\noindent Le gradient de phase $\nabla \varphi $ donne le moment
induit sur les particules par les impacts des photons individuels.\ Et
comme la probabilit\'{e} de ces impacts est $r^{2}$, le moment moyen
est bien le courant $\mathcal{J}=r^{2}\nabla \varphi $.

On peut ainsi faire l'hypoth\`{e}se qu'il existe une microphysique 
d'\'{e}v\'{e}nements \'{e}l\'{e}mentaires dont la
m\'{e}sog\'{e}om\'{e}trie des cartes d'orientation est une sorte de
squelette morphologique.\ Ce sont sans doute les potentiels d'action
qui jouent le r\^{o}le de  \guillemotleft~petites
particules~\guillemotright{}.

\vspace*{-2pt}

\section*{Remerciements}

\vspace*{-2pt}

Je remercie Olivier Faugeras de m'avoir propos\'{e} de participer \`{a} ce
num\'{e}ro th\'{e}matique ainsi que Madame Isabelle Vallet pour son aide 
\'{e}ditoriale. Je remercie aussi beaucoup le reviewer pour 
ses remarques constructives.

\vspace*{-2pt}

\printCOI

\back{}

\vspace*{-2pt}

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\refinput{crbiol20250991-reference.tex}

\end{document}