<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">%~MoulinÃ© par MaN_auto v.0.33.8 (9c3f6e85) 2025-04-18 17:00:36
\documentclass[CRMATH,Unicode,XML,biblatex,francais]{cedram}

\TopicFR{ThÃ©orie des nombres}
\TopicEN{Number theory}

\addbibresource{CRMATH_Hu_20230028.bib}

\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathtools}
\usepackage[all]{xy}
\usepackage[nameinlink]{cleveref}

\DeclareMathOperator{\Nrd}{Nrd}
\DeclareMathOperator{\cd}{cd}
\DeclareMathOperator{\scd}{scd}
\DeclareMathOperator{\SK}{SK}
\DeclareMathOperator{\USK}{USK}
\DeclareMathOperator{\GL}{\mathbf{GL}}
\DeclareMathOperator{\Ker}{Ker}
\DeclareMathOperator{\ind}{ind}
\DeclareMathOperator{\Aut}{Aut}
\DeclareMathOperator{\Gal}{Gal}
\DeclareMathOperator{\Int}{Int}
\DeclareMathOperator{\PU}{PU}
\DeclareMathOperator{\algmatr}{M}
\DeclareMathOperator{\SL}{SL}
\DeclareMathOperator{\vcd}{vcd}
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}

\newcommand{\car}{\mathrm{car}}

%%%---------------------------------------------------------------------------

%%% BAR &amp; OVERLINE

%%% Better widebar macro
\makeatletter
\let\save@mathaccent\mathaccent
\newcommand*\if@single[3]{%
  \setbox0\hbox{${\mathaccent"0362{#1}}^H$}%
  \setbox2\hbox{${\mathaccent"0362{\kern0pt#1}}^H$}%
  \ifdim\ht0=\ht2 #3\else #2\fi
  }
%The bar will be moved to the right by a half of \macc@kerna, which is computed by amsmath:
\newcommand*\rel@kern[1]{\kern#1\dimexpr\macc@kerna}
%If there's a superscript following the bar, then no negative kern may follow the bar;
%an additional {} makes sure that the superscript is high enough in this case:
\newcommand*\widebar[1]{\@ifnextchar^{{\wide@bar{#1}{0}}}{\wide@bar{#1}{1}}}
%Use a separate algorithm for single symbols:
\newcommand*\wide@bar[2]{\if@single{#1}{\wide@bar@{#1}{#2}{1}}{\wide@bar@{#1}{#2}{2}}}
\newcommand*\wide@bar@[3]{%
  \begingroup
  \def\mathaccent##1##2{%
%Enable nesting of accents:
    \let\mathaccent\save@mathaccent
%If there's more than a single symbol, use the first character instead (see below):
    \if#32 \let\macc@nucleus\first@char \fi
%Determine the italic correction:
    \setbox\z@\hbox{$\macc@style{\macc@nucleus}_{}$}%
    \setbox\tw@\hbox{$\macc@style{\macc@nucleus}{}_{}$}%
    \dimen@\wd\tw@
    \advance\dimen@-\wd\z@
%Now \dimen@ is the italic correction of the symbol.
    \divide\dimen@ 3
    \@tempdima\wd\tw@
    \advance\@tempdima-\scriptspace
%Now \@tempdima is the width of the symbol.
    \divide\@tempdima 10
    \advance\dimen@-\@tempdima
%Now \dimen@ = (italic correction / 3) - (Breite / 10)
    \ifdim\dimen@&gt;\z@ \dimen@0pt\fi
%The bar will be shortened in the case \dimen@&lt;0 !
    \rel@kern{0.6}\kern-\dimen@
    \if#31
      \overline{\rel@kern{-0.6}\kern\dimen@\macc@nucleus\rel@kern{0.4}\kern\dimen@}%
      \advance\dimen@0.4\dimexpr\macc@kerna
%Place the combined final kern (-\dimen@) if it is &gt;0 or if a superscript follows:
      \let\final@kern#2%
      \ifdim\dimen@&lt;\z@ \let\final@kern1\fi
      \if\final@kern1 \kern-\dimen@\fi
    \else
      \overline{\rel@kern{-0.6}\kern\dimen@#1}%
    \fi
  }%
  \macc@depth\@ne
  \let\math@bgroup\@empty \let\math@egroup\macc@set@skewchar
  \mathsurround\z@ \frozen@everymath{\mathgroup\macc@group\relax}%
  \macc@set@skewchar\relax
  \let\mathaccentV\macc@nested@a
%The following initialises \macc@kerna and calls \mathaccent:
  \if#31
    \macc@nested@a\relax111{#1}%
  \else
%If the argument consists of more than one symbol, and if the first token is
%a letter, use that letter for the computations:
    \def\gobble@till@marker##1\endmarker{}%
    \futurelet\first@char\gobble@till@marker#1\endmarker
    \ifcat\noexpand\first@char A\else
      \def\first@char{}%
    \fi
    \macc@nested@a\relax111{\first@char}%
  \fi
  \endgroup
}
\makeatother

\let\oldbar\bar
\renewcommand*{\bar}[1]{{\mathchoice{\widebar{#1}}{\widebar{#1}}{\widebar{#1}}{\oldbar{#1}}}}

% /!\ Il y a parfois des soucis avec cette macro lorsqu'il y a des caractÃ¨res en minuscule en subscript (et dans les captions). Dans ce cas, faire avec \overline et des espaces manuels.

%%% Double bar
% \overline{\overline{\!a}}

%\newcommand\bx{\,\overline{\!x}}
%\newcommand\brho{\,\overline{\!\rho}}
%better widebar a apparemment des soucis avec les \subcaptions pour les CR :shrug:

\newcommand{\ol}{\bar}

%%%---------------------------------------------------------------------------

%%% DELIMITERS

%%\usepackage{mathtools}
\DeclarePairedDelimiter{\parens}{\lparen}{\rparen}
\DeclarePairedDelimiter{\braces}{\{}{\}}
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
\DeclarePairedDelimiter{\norm}{\lVert}{\rVert}
\DeclarePairedDelimiter{\bracks}{[}{]}
\DeclarePairedDelimiter{\angles}{\langle}{\rangle}
\DeclarePairedDelimiter{\aangles}{\langle\!\langle}{\rangle\!\rangle}
\DeclarePairedDelimiter{\pparens}{(\!(}{)\!)}

%%%---------------------------------------------------------------------------

%%% PACKAGE CLEVEREF
%%% FranÃ§ais

%\usepackage[english,capitalize,nameinlink]{cleveref}
\newcommand*\conjref[1]{\hyperref[#1]{Conjecture~\ref*{#1}}}
\newcommand*\cororef[1]{\hyperref[#1]{Corollaire~\ref*{#1}}}
\newcommand*\defiref[1]{\hyperref[#1]{DÃ©finition~\ref*{#1}}}
\newcommand*\figureref[1]{\hyperref[#1]{Figure~\ref*{#1}}}
\newcommand*\lemmref[1]{\hyperref[#1]{Lemme~\ref*{#1}}}
\newcommand*\propref[1]{\hyperref[#1]{Proposition~\ref*{#1}}}
\newcommand*\subsectionref[1]{\hyperref[#1]{Section~\ref*{#1}}}
\newcommand*\theoref[1]{\hyperref[#1]{ThÃ©orÃ¨me~\ref*{#1}}}
\newcommand*\remaref[1]{\hyperref[#1]{Remarque~\ref*{#1}}}
\newcommand*\scholieref[1]{\hyperref[#1]{Scholie~\ref*{#1}}}

%%%---------------------------------------------------------------------------

%%% VERTICAL BAR

%%% ''Evaluated at'' macro
\newcommand\restr[2]{{% we make the whole thing an ordinary symbol
 \left.\kern-\nulldelimiterspace % automatically resize the bar with \right
 #1 % the function
 \vphantom{\big|} % pretend it's a little taller at normal size
 \right|_{#2} % this is the delimiter
 }}
% As a subscript: \phi_{F_f\rvert_{K_\ell}} [NO : \phi_{\left.h\right|_{K_\ell}}].
% In textstyle : \bigr\rvert_{}.

%%% ''Such that'' macro
\newcommand*{\st}{\;\vert\;}
\newcommand*{\bigst}{\;\big\vert\;}
\newcommand*{\Bigst}{\;\Big\vert\;}
\newcommand*{\biggst}{\;\bigg\vert\;}
\newcommand*{\Biggst}{\;\Bigg\vert\;}
% Scaling version (with \left and \right delimiters): \,\middle\vert\,

%%%---------------------------------------------------------------------------

%%% RÃ©fÃ©rences doubles
% Dans le texte : Example~\eqref{ex:1}-\eqref{ex:1a}.
\makeatletter
\renewcommand\p@enumii{}
\makeatother

%%%---------------------------------------------------------------------------

%%% Changer la largeur des adresses
% Jouer avec \hsize :
\makeatletter
\def\@setafterauthor{%
  \vglue3mm%
%  \hspace*{0pt}%
\begingroup\hsize=12.5cm\advance\hsize\abstractmarginL\raggedright
\noindent
%\hspace*{\abstractmarginL}\begin{minipage}[t]{10cm}
   \leftskip\abstractmarginL
  \normalfont\Small
  \@afterauthor\par
\endgroup
\vskip2pt plus 3pt minus 1pt
}
\makeatother

%%%---------------------------------------------------------------------------

\graphicspath{{./figures/}}

\newcommand*{\mk}{\mkern -1mu}
\newcommand*{\Mk}{\mkern -2mu}
\newcommand*{\mK}{\mkern 1mu}
\newcommand*{\MK}{\mkern 2mu}

\hypersetup{urlcolor=purple, linkcolor=blue, citecolor=red}

\newcommand*{\relabel}{\renewcommand{\labelenumi}{(\theenumi)}}
\newcommand*{\romanenumi}{\renewcommand*{\theenumi}{\roman{enumi}}\relabel}
\newcommand*{\Romanenumi}{\renewcommand*{\theenumi}{\Roman{enumi}}\relabel}
\newcommand*{\alphenumi}{\renewcommand*{\theenumi}{\alph{enumi}}\relabel}
\newcommand*{\Alphenumi}{\renewcommand*{\theenumi}{\Alph{enumi}}\relabel}
\let\oldtilde\tilde
\renewcommand*{\tilde}[1]{\mathchoice{\widetilde{#1}}{\widetilde{#1}}{\oldtilde{#1}}{\oldtilde{#1}}}
\let\oldhat\hat
\renewcommand*{\hat}[1]{\mathchoice{\widehat{#1}}{\widehat{#1}}{\oldhat{#1}}{\oldhat{#1}}}

\title{TrivialitÃ© des groupes de Whitehead rÃ©duits avec applications Ã&nbsp; l'approximation faible et l'approximation forte}
\alttitle{Triviality of reduced Whitehead groups with applications to weak approximation and strong approximation}

\author{\firstname{Yong} \lastname{Hu}}
\address{Department of Mathematics, Southern University of Science and Technology, Shenzhen 518055, China}
\email{huy@sustech.edu.cn}

\author{\firstname{Yisheng} \lastname{Tian}}
\address{Institute for Advanced Study in Mathematics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China}
\email{tysmath@mail.ustc.edu.cn}

\begin{abstract}
Nous prouvons certains rÃ©sultats de trivialitÃ© pour des groupes de Whitehead rÃ©duits et groupes de Whitehead unitaires rÃ©duits pour des algÃ¨bres Ã&nbsp; division sur un corps de valuation discrÃ¨te hensÃ©lien dont le corps rÃ©siduel a dimension cohomologique virtuelle ou sÃ©parable $\le 2$. Ces rÃ©sultats sont appliquÃ©s pour dÃ©montrer l'approximation forte pour des groupes simplement connexes absolument presque simples isotropes de type A. Comme cas particulier, un tel groupe dÃ©fini sur le corps des fonctions d'une courbe non rÃ©elle $C/k$ vÃ©rifie l'approximation forte si le corps de base $k$ est un corps de nombres, un corps $p$-adique, $\mathbb{C}(\!(t)\!)$ ou un corps de fonctions Ã&nbsp; deux variables sur $\mathbb{R}$.
\end{abstract}

\begin{altabstract}
We prove some triviality results for reduced Whitehead groups and reduced unitary Whitehead groups for division algebras over a Henselian discrete valuation field whose residue field has virtual cohomological dimension or separable dimension $\le 2$. These results are applied to show strong approximation for isotropic absolutely almost simple simply connected groups of type A. In particular, such a group defined over the function field of a nonreal curve $C/k$ satisfies strong approximation if the base field $k$ is a number field, a $p$-adic field, $\mathbb{C}(\!(t)\!)$ or a two-variable function field over $\mathbb{R}$.
\end{altabstract}
%\begin{abstract}
%We prove some triviality results for reduced Whitehead groups and reduced unitary Whitehead groups for division algebras over a henselian discrete valuation field whose residue field has virtual cohomological dimension or separable dimension â‰¤ 2. These results are applied to show strong approximation for isotropic absolutely almost simple simply connected groups of type A. In particular, such a group defined over the function field of a nonreal curve C/k satisfies strong approximation if the base field k is a number field, p-adic field, C((t)) or a two-variable function field over R.
%\end{abstract}

\subjclass{11E57, 19B99, 20G35, 16K20}

\keywords{\kwd{Groupe de Whitehead rÃ©duit} \kwd{groupe de Whitehead unitaire} \kwd{algÃ¨bre Ã&nbsp; division sur un corps hensÃ©lien} \kwd{approximation faible} \kwd{approximation forte} \kwd{groupes simplement connexes}}
\altkeywords{\kwd{Reduced Whitehead group} \kwd{unitary Whitehead group} \kwd{division algebra over a Henselian field} \kwd{weak approximation} \kwd{strong approximation} \kwd{simply connected groups}}

\thanks{Le premier auteur a bÃ©nÃ©ficiÃ© d'une subvention de la Guangdong Basic and Applied Basic Research Foundation (no.~2021A1515010396). Le deuxiÃ¨me auteur a bÃ©nÃ©ficiÃ© d'une subvention de la Postdoctoral Fellowship Program of CPSF (no.~GZC20233474) ainsi que d'une subvention de la National Natural Science Foundation of China (no.~12401014)}
\CDRGrant[Guangdong Basic and Applied Basic Research Foundation]{2021A1515010396}
\CDRGrant[Postdoctoral Fellowship Program of CPSF]{GZC20233474}
\CDRGrant[National Natural Science Foundation of China]{12401014}

\dedicatory{DÃ©diÃ© au Professeur Jean-Louis Colliot-ThÃ©lÃ¨ne Ã&nbsp; l'occasion de son 75Ã¨me anniversaire}

\begin{document}

\maketitle

\section{Introduction}

Soit $A$ une algÃ¨bre simple centrale (de dimension finie) sur un corps $K$. DÃ©signons par $A^*$ le groupe des unitÃ©s de $A$. Le \emph{groupe de Whitehead} $K_1(A)$ est un quotient de $A^*/[A^*,A^*]$, oÃ¹ $[A^*,A^*]$ est le sous-groupe des commutateurs de $A^*$, et la norme rÃ©duite de $A$ induit un homomorphisme bien dÃ©fini $\Nrd_A \colon K_1(A)\to K^*$ (voir par exemple~\cite[Section~2.10]{GSz17}). Le \emph{groupe de Whitehead rÃ©duit} de $A$ est dÃ©fini par
\[
\SK_1(A)\coloneqq \Ker \parens[\big]{\Nrd_A \colon K_1(A) \rightarrow K^*}.
\]
Si $B$ est une algÃ¨bre simple centrale sur $K$ qui est Brauer Ã©quivalente Ã&nbsp; $A$, alors on a $\SK_1(A)\cong \SK_1(B)$ par~\cite[Lemmas~2.10.5 et~2.10.8]{GSz17}. Ã€ l'exception de l'algÃ¨bre matricielle $A=\algmatr_2(\mathbb{F}_2)$, oÃ¹ $\mathbb{F}_2$ est le corps fini de $2$ Ã©lÃ©ments, on a un isomorphisme (voir~\cite[Section~20, Theorem~4(iii)]{Draxl})
\[
\SK_1(A)\cong\frac{\SL_1(A)}{[A^*,A^*]} \quad\text{oÃ¹} \ \SL_1(A)\coloneqq \Ker \parens[\big]{\Nrd_A \colon A^* \rightarrow K^*}.
\]
Il est bien connu que l'Ã©tude de $\SK_1(A)$ peut Ãªtre rÃ©duite au cas oÃ¹ $A$ est une algÃ¨bre simple centrale Ã&nbsp; division de degrÃ© une puissance d'un nombre premier~\cite[Section~23, Lemma~6]{Draxl}.

On Ã©crit $\SK_1(A)=1$ si le groupe $\SK_1(A)$ est trivial. Un thÃ©orÃ¨me de Wang~\cite{WangShianghaw50AJM} dit que $\SK_1(A)=1$ si $K$ est un corps de nombres ou l'indice (de Schur) $\ind(A)$ est sans facteurs carrÃ©s. Pour chaque nombre premier $p$, soit $\cd_p(K)$ la $p$-dimension cohomologique du corps~$K$ (voir~\cite[Section~I.3.1]{SerreCG94}). La \emph{$p$-dimension cohomologique virtuelle} $\vcd_p(K)$ est dÃ©finie par $\vcd_p(K)\coloneqq \cd_p\parens[\big]{K(\sqrt{-1})}$. Yanchevskii a prouvÃ© que si la caractÃ©ristique $\car(K)$ ne divise pas $\ind(A)$ et $\vcd_p(K)\le 2$ pour chaque nombre premier $p\,\big\vert\,\ind(A)$, alors $\SK_1(A)=1$~\cite{Yanchevskii74MatSb,Yanchevskii04Whitehead}. Un analogue dans le cas $\car(K)\,\big\vert\,\ind(A)$ a Ã©tÃ© Ã©tabli dans~\cite{GB07}.

Soit $(K,v)$ un corps valuÃ© hensÃ©lien Ã&nbsp; corps rÃ©siduel $\ol{K}$ et groupe de valeurs $\Gamma_K=v(K^*)$. Soient $p$ un nombre primier et $r_p\coloneqq \dim_{\mathbb{F}_p}(\Gamma_K/p\Gamma_K)$ (ici, on considÃ¨re $\Gamma_K$ comme un groupe additif). Soit $D$ une algÃ¨bre simple centrale Ã&nbsp; division sur $K$ de degrÃ© une puissance de $p$. Soman~\cite{Soman19} a prouvÃ© que $\SK_1(D)=1$ si $\car(\ol{K})\neq p$, $1\le r_p\le 3$ et $\cd_p(\ol{K})\le 3-r_p$.

Le premier objectif du prÃ©sent article est d'Ã©tendre le thÃ©orÃ¨me de Soman dans deux cas. L'un est le cas oÃ¹ $p=\car(\ol{K})$ (\theoref{1.1.5}), et l'autre est le cas oÃ¹ $v$ est une valuation discrÃ¨te et $\vcd_p(\ol{K})\le 2$ (\theoref{1.1.8}). En particulier, nous pouvons conclure que $\SK_1(A)=1$ pour toutes les algÃ¨bres simples centrales $A$ sur des corps comme $\mathbb{Q}\pparens{t}$, $\mathbb{R}(x,y)\pparens{t}$, etc. Comme produit secondaire, nous obtenons Ã©galement la trivialitÃ© de $\SK_1(A)$ pour les algÃ¨bres de biquaternions sur certains corps \og semi-globaux \fg\ (\theoref{thm2.6}).

Soit $C$ une courbe affine irrÃ©ductible normale sur un corps $k$. De la trivialitÃ© des groupes de Whitehead rÃ©duits, on obtient des rÃ©sultats d'approximation pour un groupe absolument presque simple et simplement connexe de type A intÃ©rieur, c'est-Ã&nbsp;-dire, un groupe algÃ©brique de la forme $G=\mathbf{SL}_n(D)$, oÃ¹ $n\ge 1$ et $D$ est une algÃ¨bre simple centrale Ã&nbsp; division sur le corps des fonction $k(C)$. Avec quelques hypothÃ¨ses sur $D$ ou $k$, on prouve dans le \theoref{thm4.3} que $G$ satisfait l'approximation faible sur $C$ et que si $n\ge 2$, $G$ satisfait mÃªme l'approximation forte. En particulier, si $n\ge 2$ et $k$ est un corps de caractÃ©ristique $0$ avec $\vcd(k)\le 2$ (par exemple, $k$ est une extension finie de $\mathbb{Q}$, $\mathbb{Q}_p$, $\mathbb{R}\pparens{t}$, $\mathbb{R}(x)$ ou $\mathbb{R}(x,y)$), alors $G$ satisfait l'approximation forte sur $C$.

Dans un autre travail avec J.~Liu~\cite{HuLiuTian23}, on utilise l'arithmÃ©tique des formes quadratiques entiÃ¨res pour donner un exemple oÃ¹ le groupe $\mathbf{SL}_1(Q)$ associÃ© Ã&nbsp; une certaine algÃ¨bre de quaternions $Q$ sur $k(C)$ ne satisfait pas l'approximation forte.

La partie restante de cet article concerne des rÃ©sultats de trivialitÃ© pour le groupe de Whitehead unitaire rÃ©duit et des applications aux propriÃ©tÃ©s d'approximation pour les groupes semi-simples simplement connexes de type A extÃ©rieur. Les principaux rÃ©sultats dans cette direction sont les ThÃ©orÃ¨mes~\ref{2.3.7} et~\ref{thm4.7}.

Certains de nos rÃ©sultats sur les groupes de Whitehead rÃ©duits (unitaires) et l'approximation faible ont Ã©tÃ© obtenus par V.~Suresh indÃ©pendamment.

\section{Les groupes de Whitehead rÃ©duits}\label{sec2}

Dans cette section, soit $(K,v)$ un corps valuÃ© hensÃ©lien Ã&nbsp; corps rÃ©siduel $\ol{K}$ et groupe de valeurs~$\Gamma_K$. Soient $p$ un nombre premier et $r_p=\dim_{\mathbb{F}_p}(\Gamma_K/p\Gamma_K)$.

Nous rappelons quelques notations de~\cite[Section~2]{Soman19}. Soit $D$ une algÃ¨bre simple centrale Ã&nbsp; division sur $K$. La valuation $v$ s'Ã©tend uniquement Ã&nbsp; une valuation sur $D$. On Ã©crit $\ol{D}$ et $\Gamma_D$ pour l'algÃ¨bre Ã&nbsp; division rÃ©siduelle et le groupe de valeurs de $D$ respectivement. L'application canonique $\theta_D \colon \Gamma_D\to \Aut\parens[\big]{Z(\ol{D})/\ol{K}}$ est dÃ©finie dans~\cite[Section~1.1.1, p.~3]{TignolWadsworth15}, oÃ¹ $Z(\ol{D})$ est le centre de $\ol{D}$. On sait que $\theta_D$ est surjective et que l'extension $Z(\ol{D})/\ol{K}$ est quasi-galoisienne~\cite[Proposition~1.5]{TignolWadsworth15}.

Suivant~\cite[Section~6]{JW90}, on dit que $D$ est \emph{modÃ©rÃ©e} (\og \emph{tame} \fg\ en anglais) sur $K$ si $D$ est sans dÃ©faut (c'est-Ã&nbsp;-dire $[D:K]=[\ol{D}:\ol{K}][\Gamma_D:\Gamma_K]$), l'extension $Z(\ol{D})/\ol{K}$ est sÃ©parable (donc abÃ©lienne) et $\car(\ol{K})\nmid [\Ker (\theta_D):\Gamma_K]$.

Si $\car(\ol{K})\nmid\deg(D)$, alors $D$ est modÃ©rÃ©e par~\cite[Proposition~4.9]{TignolWadsworth15}.

Lorsque $D$ est modÃ©rÃ©e, le nombre
\[
\zeta\coloneqq \frac{\deg(D)}{\deg(\ol{D})[Z(\ol{D}):\ol{K}]}
\]
est un entier. En effet,
\[
\zeta^2 =\frac{[D:K]}{[\ol{D}:Z(\ol{D})][Z(\ol{D}):\ol{K}]^2} =\frac{[\Gamma_D:\Gamma_K]}{[Z(\ol{D}):\ol{K}]} =[\Ker (\theta_D):\Gamma_K]\;\in\,\mathbb{N}.
\]
Notons $\mu_{\zeta}(\ol{K})$ le groupe des racines $\zeta$-iÃ¨mes de l'unitÃ© dans $\ol{K}$.

On utilisera le lemme suivant, dÃ» Ã&nbsp; Ershov; voir~\cite[p.~68]{Ershov82MathSb} ou~\cite[Theorem~2.1]{Soman19}.

\begin{lemm}\label{2p2new}
Avec les notations ci-dessus, soit $\ell=Z(\ol{D})$. Lorsque $D$ est modÃ©rÃ©e, pour un certain sous-groupe $C\le\mu_{\zeta}(\ol{K})$ et deux groupes convenables $G_1$, $G_2$, on a trois suites exactes comme suit:
\begin{gather*}
\SK_1(\ol{D}) \longrightarrow G_1 \longrightarrow \hat{H}^{-1}\parens[\big]{\ell/\ol{K},\,\Nrd_{\ol{D}}(\ol{D}^*)} \longrightarrow 1,\\
1 \longrightarrow G_1 \longrightarrow G_2 \longrightarrow C \longrightarrow 1,\\
G_2 \longrightarrow \SK_1(D) \longrightarrow 1.
\end{gather*}
(On Ã©crit simplement $\ell/\ol{K}$ au lieu du groupe de Galois $\Gal(\ell/\ol{K})$ dans la notation du groupe de cohomologie, par convention standard en cohomologie galoisienne.)
\end{lemm}

Le rÃ©sultat suivant gÃ©nÃ©ralise~\cite[Theorem~1.1]{Soman19} dans le cas $r_p=1$.

\begin{theo}\label{1.1.8}
Soit $D$ une algÃ¨bre simple centrale Ã&nbsp; division sur $K$ de degrÃ© une puissance d'un nombre premier $p$. Supposons $\car(\ol{K})\neq p$, $r_p=1$ et $\vcd_p(\ol{K})=\cd_p\parens[\big]{\ol{K}(\sqrt{-1})}\le 2$. Alors\/ $\SK_1(D)=1$.
\end{theo}
\begin{proof}
Rappelons qu'un corps $k$ est appelÃ© \emph{(formellement) rÃ©el} ou \emph{ordonnable} si $-1$ n'est pas une somme d'un nombre fini de carrÃ©s dans $k$. On peut supposer que $p=2$ et $\ol{K}$ est rÃ©el, car sinon $\cd_p(\ol{K})=\vcd_p(\ol{K})$ d'aprÃ¨s~\cite[Section~II.4, Proposition~10']{SerreCG94} et le rÃ©sultat est dÃ©jÃ&nbsp; connu dans le thÃ©orÃ¨me de Soman.

Soit $\ell=Z(\ol{D})$. Comme $D$ est modÃ©rÃ©e, l'extension $\ell/\ol{K}$ est galoisienne. On a $\vcd_2(\ell)\le \vcd_2(\ol{K})\le 2$. Par~\cite[Theorem~3.1]{Yanchevskii04Whitehead}, on voit que $\SK_1(\ol{D})=1$.

L'hypothÃ¨se $r_p=1$ entra\^ine que le groupe $\Gamma_D/\Gamma_K$ est cyclique, d'aprÃ¨s~\cite[Lemma~4.2]{Soman19}. Ainsi, $\Ker (\theta_D)/\Gamma_K$ est cyclique aussi, et la surjectivitÃ© de $\theta_D$ implique que l'extension $\ell/\ol{K}$ est cyclique. D'autre part, \cite[Proposition~8.17(iv)]{TignolWadsworth15} nous dit que le groupe $\Ker (\theta_D)/\Gamma_K$ admet un accouplement alternÃ© non-dÃ©gÃ©nÃ©rÃ©. Ce groupe, Ã©tant cyclique, doit alors Ãªtre trivial. Cela montre que $\zeta=1$. Le groupe $C\le \mu_{\zeta}(\ol{K})$ est donc trivial.

D'aprÃ¨s le \lemmref{2p2new}, il suffit de montrer que $\hat{H}^{-1}\parens[\big]{\ell/\ol{K},\,\Nrd_{\ol{D}}(\ol{D}^*)}=1$.

Si $\ell$ n'est pas rÃ©el, alors $\cd_2(\ell)=\vcd_2(\ell)\le 2$. Cela donne $\Nrd_{\ol{D}}(\ol{D}^*)=\ell^*$, par un thÃ©orÃ¨me bien connu de Merkurjev--Suslin~\cite{MerkurjevSuslin82English}. Ainsi, on obtient
\[
\hat{H}^{-1}\parens[\big]{\ell/\ol{K},\,\Nrd_{\ol{D}}(\ol{D}^*)}=\hat{H}^{-1}(\ell/\ol{K},\ell^*)=H^1(\ell/\ol{K},\ell^*)=1
\]
par le ThÃ©orÃ¨me~$90$ de Hilbert. (Ici on utilise le fait que $\ell/\ol{K}$ est cyclique.)

Supposons maintenant $\ell$ rÃ©el. Soit $S_0$ l'ensemble des ordres $i$ de $\ell$ tels que $\ol{D}$ n'est pas dÃ©ployÃ©e sur la clÃ´ture rÃ©elle de $\ell$ par rapport Ã&nbsp; $i$. D'aprÃ¨s~\cite[Theorem~2.1]{BFP98}, on a
\[
\Nrd_{\ol{D}}(\ol{D}^*)=\ell^+\coloneqq \braces[\big]{a\in \ell \bigst i(a)&gt;0 \ \text{pour tout} \ i\in S_0}.
\]
(Ici, on identifie un ordre avec un plongement dans un corps rÃ©ellement clos.) On dÃ©finit $S\coloneqq \braces[\big]{i\sigma \bigst i\in S_0, \; \sigma\in \Gal(\ell/\ol{K})}$. Comme expliquÃ© dans~\cite[p.~66]{Ershov82MathSb}, $\Nrd_{\ol{D}}(\ol{D}^*)$ est stable sous l'action galoisienne de $\Gal(\ell/\ol{K})$. Cela implique
\[
\Nrd_{\ol{D}}(\ol{D}^*)=\ell^+=\ell_S^+\coloneqq \braces[\big]{a\in \ell \bigst i(a)&gt;0 \ \text{pour tout} \ i\in S}.
\]
Il reste Ã&nbsp; prouver $\hat{H}^{-1}(\ell/\ol{K},\ell_S^+)=1$, que l'on fait dans le \lemmref{1.1.7}\eqref{1.1.7.3} ci-dessous.
\end{proof}

\begin{lemm}\label{1.1.7}
Soit $L/k$ une extension finie galoisienne de corps rÃ©els avec $G=\Gal(L/k)$. Soit $S$ un ensemble d'ordres de $L$ qui est stable sous l'action naturelle de $G$, c'est-Ã&nbsp;-dire, $i\sigma\in S$ pour tout $i\in S$ et tout $\sigma\in G$. Soient $H\lhd G$ un sous-groupe distinguÃ©, $E\coloneqq L^H$ le sous-corps fixÃ© et $T$ l'ensemble des ordres de $E$ obtenus par restriction des ordres dans $S$ Ã&nbsp; $E$.
\begin{enumerate}
\item \label{1.1.7.1} L'ensemble $S$ est prÃ©cisÃ©ment l'ensemble des ordres de $L$ qui Ã©tendent les ordres dans $T$, et $T$ est stable sous l'action naturelle de $\Gal(E/k)=G/H$.
\item \label{1.1.7.2} On dÃ©finit $L_S^+\coloneqq \braces[\big]{a\in L^* \bigst i(a)&gt;0 \ \text{pour tout} \ i\in S}$. Alors $L_S^+$ est stable sous l'action naturelle de $G$ sur $L^*$, et
\[
(L_S^+)^H=E_{T}^+\coloneqq \braces[\big]{x\in E^* \bigst i(x)&gt;0 \ \text{pour tout} \ i\in T}.
\]
\item \label{1.1.7.3} Supposons que $[L:k]$ est une puissance de $2$. On a $H^1(L/k,L_S^+)=1$.
\end{enumerate}
\end{lemm}
\begin{proof}
\mbox{}
\begin{enumerate}
\item[\eqref{1.1.7.1}] La premiÃ¨re affirmation est un fait standard (voir par exemple~\cite[Chapter~VIII, Appendix~A, Corollary~2.20]{Lam05}). La deuxiÃ¨me est une consÃ©quence de la dÃ©finition.
\item[\eqref{1.1.7.2}] Ceci est une consÃ©quence de la stabilitÃ© de $S$ sous l'action de $G$.
\item[\eqref{1.1.7.3}] On peut choisir comme $H$ un sous-groupe d'indice 2 dans $G$. Par~\eqref{1.1.7.2}, la suite exacte de restriction-inflation pour le $G$-module $L_S^+$ est
\[
1\longrightarrow H^1(E/k,E_T^+)\longrightarrow H^1(L/k,L_S^+)\longrightarrow H^1(L/E,L_S^+).
\]
Par rÃ©currence sur $[L:k]$, on se rÃ©duit au cas $[L:k]=2$. Selon l'isomorphisme $H^1(L/k,L_S^+)\cong \hat{H}^{-1}(L/k,L_S^+)$, il suffit de montrer que pour tout $a\in L_S^+$ tel que $N_{L/k}(a)=1$, il existe $b\in L_S^+$ tel que $a=b/\sigma(b)$, oÃ¹ $\sigma$ est l'Ã©lÃ©ment non trivial du groupe $G=\Gal(L/k)$. Pour ce faire, observons d'abord qu'il existe un Ã©lÃ©ment $c\in L^*$ tel que $a=c/\sigma(c)$. Comme $a\in L_S^+$, pour chaque $i\in S$ les Ã©lÃ©ments $c$ et $\sigma(c)$ ont le mÃªme signe par rapport Ã&nbsp; l'ordre~$i$. Donc $t\coloneqq c+\sigma(c)\in k$ est du mÃªme signe que $c$ par rapport Ã&nbsp; chaque $i\in S$. En prenant $b=tc$, on obtient $a=b/\sigma(b)$ et $b\in L_S^+$. Ceci complÃ¨te la dÃ©monstration.
\qedhere
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{rema}\label{remark2.4}
Sans aucune restriction sur $r_p$ et $D$, on peut montrer que $\SK_1(D)=1$ si $\ol{K}=\mathbb{R}$ \cite[Exercise~11.1]{TignolWadsworth15} ou si $K=k\pparens{t_1} \cdots \pparens{t_n}$, oÃ¹ $k$ est un corps de fonctions Ã&nbsp; une variable sur $\mathbb{R}$~\cite{Lipnitskii82}.

Si $D$ est une algÃ¨bre simple centrale Ã&nbsp; division non ramifiÃ©e (ou \og inertial \fg\ en terminologie de~\cite[p.~138]{JW90} et~\cite[Chapter~8]{TignolWadsworth15}) sur $K$, on a $\SK_1(D)\cong\SK_1(\ol{D})$ par~\cite[Theorem~11.23(i)]{TignolWadsworth15}. Dans ce cas, on a $\SK_1(D)=1$ si $\SK_1(\ol{D})=1$ (par exemple si $\ol{K}=\mathbb{Q}\pparens{t}$, par le \theoref{1.1.8}).
\end{rema}

\begin{rema}\label{remark2.5new}
Soit $D$ une algÃ¨bre simple centrale Ã&nbsp; division sur un corps $F$ de caractÃ©ristique $\neq 2$. On sait que $\SK_1(D)=1$ dans chacun des cas suivants :
\begin{enumerate}
\item\label{remark2.5new.1} $\deg(D)=4$ et $\cd_2(F)\le 3$ ;
\item\label{remark2.5new.2} $D$ est une algÃ¨bre de biquaternions et $F$ est le corps des fonctions d'une courbe sur un corps de nombres.
\end{enumerate}

Le cas~\eqref{remark2.5new.1} rÃ©sulte de~\cite[Theorem~6.6]{Merkurjev99crelle} ou~\cite[p.~134, Theorem~3]{Suslin06SK1}. Le cas~\eqref{remark2.5new.2} a Ã©tÃ© prouvÃ© dans~\cite[ThÃ©orÃ¨me~3.1]{Colliot96Ktheory}.
\end{rema}

Nous observons le rÃ©sultat suivant du mÃªme type que la \remaref{remark2.5new}\eqref{remark2.5new.2}.

\begin{theo}\label{thm2.6}
Soit $k$ un corps rÃ©el tel que $\vcd_2(k)\le 1$ (par exemple $k=\mathbb{R}(t)$ ou $\mathbb{R}\pparens{t}$). Soit $F$ une extension finie de $k\pparens{x,y}$ ou de $k\pparens{x}(y)$.

Alors\/ $\SK_1(A)=1$ pour chaque algÃ¨bre de biquaternions $A$ sur $F$.
\end{theo}
\begin{proof}
Soit $\Omega$ l'ensemble $\mathcal{X}^{(1)}$ dÃ©fini comme dans~\cite[Theorem~1.2]{Hu2017IMRN}. Pour chaque valuation discrÃ¨te $v\in\Omega$, son corps rÃ©siduel $\kappa(v)$ est isomorphe Ã&nbsp; une extension finie de $k\pparens{x}$ ou de $k(x)$. On a donc $\vcd_2\parens[\big]{\kappa(v)}\le 2$. Par le \theoref{1.1.8}, sur le complÃ©tÃ© $F_v$ l'algÃ¨bre $A_v\coloneqq A\otimes_FF_v$ satisfait $\SK_1(A_v)=1$ pour toute $v\in\Omega$. Maintenant le rÃ©sultat est une consÃ©quence de~\cite[Theorem~1.2]{Hu2017IMRN} et du diagramme commutatif
\[
\xymatrix{
\SK_1(A) \ar[d]\ar[rr] &amp;&amp; \prod_{v\in\Omega}\SK_1(A_v) \ar[d] \\
H^4(F,\mathbb{Z}/2) \ar[rr] &amp;&amp; \prod_{v\in\Omega} H^4(F_v,\mathbb{Z}/2) }
\]
oÃ¹ les flÃ¨ches verticales sont les invariants de Rost (qui sont fonctoriels et injectifs, voir~\cite[Theorem~4]{Merkurjev95ProcSympos58}).
\end{proof}

\begin{enonce}[remark]{Scholie}\label{para2.4new}
Pour tout corps $k$, la \emph{$p$-dimension sÃ©parable} $\scd_p(k)$ est dÃ©finie dans~\cite[p.~62]{Gille00}. Si $\car(k)\neq p$, alors $\scd_p(k) \mk = \mk \cd_p(k)$. En utilisant la dÃ©finition et la thÃ©orie de Galois, on peut montrer que $\scd_p(k) \mk = \mk 0$ si et seulement si pour toute extension sÃ©parable finie $\ell/k$, le corps $\ell$ n'a pas d'extension sÃ©parable de degrÃ© une puissance de $p$. D'aprÃ¨s~\cite[Proposition~4.6.1 et ThÃ©orÃ¨me~4.7.1]{Gille19book}, on~a :
\begin{itemize}
\item $\scd_p(k)\le 1$ si et seulement si pour toute extension sÃ©parable finie $\ell/k$, l'application de norme $N_{E/\ell} \colon E^*\to \ell^*$ est surjective pour toute extension sÃ©parable finie $E/\ell$ ;
\item $\scd_p(k)\le 2$ si et seulement si pour toute extension sÃ©parable finie $\ell/k$, l'application de norme rÃ©duite $\Nrd_{B/\ell} \colon B^*\to \ell^*$ est surjective pour chaque algÃ¨bre simple centrale $B$ sur~$\ell$ d'indice une puissance de $p$.
\end{itemize}
\end{enonce}

Maintenant, on Ã©tend~\cite[Theorem~1.1]{Soman19} au cas $p=\car(\ol{K})$.

\begin{theo}\label{1.1.5}
Soit $D$ une algÃ¨bre simple centrale Ã&nbsp; division \emph{modÃ©rÃ©e} de degrÃ© une puissance de $p$. Supposons $\car(\ol{K})=p$, $1\le r_p\le 3$ et\/ $\scd_p(\ol{K})\le 3-r_p$. Alors\/ $\SK_1(D)=1$.
\end{theo}

\begin{proof}
Les idÃ©es cruciales sont similaires Ã&nbsp; celles dans la preuve du thÃ©orÃ¨me de Soman. Remarquons d'abord que comme $\zeta$ est une puissance de $p$ et $\car(\ol{K})=p$, le groupe $\mu_{\zeta}(\ol{K})$ et son sous-groupe $C$ sont nuls. (Gr\^ace Ã&nbsp; ce fait, notre dÃ©monstration devient plus courte que celle de Soman.)

En vertu des trois suites exactes du \lemmref{2p2new}, il reste Ã&nbsp; dÃ©montrer que les groupes $\SK_1(\ol{D})$ et $\hat{H}^{-1}\parens[\big]{\ell/\ol{K},\,\Nrd_{\ol{D}}(\ol{D}^*)}$ s'annulent, oÃ¹ $\ell=Z(\ol{D})$.

\begin{itemize}
\item Le cas $r_p=1$. Par l'hypothÃ¨se, on a $\scd_p(\ol{K})\le 2$. Ainsi $\scd_p(\ell)\le\scd_p(\ol{K})\le 2$. On obtient $\Nrd_{\ol{D}}(\ol{D}^*)=\ell^*$ par la \scholieref{para2.4new}, et $\SK_1(\ol{D})=1$ Ã&nbsp; l'aide de~\cite[Corollary~5.5]{GB07}. Comme on a vu dans la preuve du \theoref{1.1.8}, $\ell/\ol{K}$ est une extension cyclique, et donc la trivialitÃ© de $\hat{H}^{-1}(\ell/\ol{K},\ell^*)$ rÃ©sulte du thÃ©orÃ¨me~90 de Hilbert.
\item Le cas $2\le r_p\le 3$. Dans ce cas, on a $\scd_p(\ell)\le \scd_p(\ol{K})\le 1$. Cela signifie que le groupe de Brauer de $\ell$ n'a pas de $p$-torsion. Il s'ensuit que $\ol{D}=\ell$ et donc $\SK_1(\ol{D})=1$. De plus, en tant que $\Gal(\ell/\ol{K})$-module, $\ell^*$ est cohomologiquement trivial par~\cite[IX.5, Theorem~8]{SerreCL}. Donc, $\hat{H}^{-1}\parens[\big]{\ell/\ol{K},\,\Nrd_{\ol{D}}(\ol{D}^*)}=\hat{H}^{-1}(\ell/\ol{K},\ell^*)=1$.
\qedhere
\end{itemize}
\end{proof}

\section{Les groupes de Whitehead unitaires rÃ©duits}

Dans cette section, soit $K/F$ une extension quadratique sÃ©parable de corps.

Soit $A$ une algÃ¨bre simple centrale sur $K$ qui admet une $K/F$-involution unitaire $\sigma$ (c'est-Ã&nbsp;-dire une involution de seconde espÃ¨ce telle que $F$ est le sous-corps des Ã©lÃ©ments fixÃ©s par $\sigma$ dans $K$). On dÃ©finit les groupes
\[
\begin{split}
\Sigma_{\sigma}(A)	&amp; \coloneqq \text{le groupe engendrÃ© par tous les Ã©lÃ©ments  $a\in A^*$ tels que $\sigma(a)=a$}, \\
\Sigma'_{\sigma}(A)	&amp; \coloneqq \braces[\big]{a\in A^* \bigst \Nrd_{A/K}(a)=\sigma\big(\Nrd_{A/K}(a)\big)}.
\end{split}
\]
Si $\tau$ est une autre $K/F$-involution sur $A$, il existe $u\in A^*$ tel que $\sigma(u)=u=\tau(u)$ et $\tau=\Int(u)\circ\sigma$, oÃ¹ $\Int(u)$ est l'automorphisme intÃ©rieur $x\mapsto uxu^{-1}$~\cite[(2.18)]{KMRT98}. Il s'ensuit que $\Sigma_{\sigma}(A)=\Sigma_{\tau}(A)$ et $\Sigma'_{\sigma}(A)=\Sigma'_{\tau}(A)$~\cite[Lemma~1]{Yanchevskii74MatSb}.

Le \emph{groupe de Whitehead unitaire rÃ©duit} de $A/F$ est dÃ©fini par
\[
\USK_1(A/F)\coloneqq \USK_1(\sigma,A)\coloneqq \Sigma'_{\sigma}(A)/\Sigma_{\sigma}(A),
\]
oÃ¹ $\sigma$ est une $K/F$-involution unitaire quelconque sur $A$.

\begin{rema}\label{remark on USK1 and SK1}
Les faits suivants rÃ©vÃ¨lent certaines analogies entre les groupes $\USK_1(A/F)$ et $\SK_1(A)$.
\begin{enumerate}
\item Si $A=A_1\otimes_KA_2$, oÃ¹ $A_1$ et $A_2$ sont des algÃ¨bres simples centrales sur $K$ dont les indices sont premiers entre eux, alors $\USK_1(A/F)\cong\USK_1(A_1/F)\times\USK_1(A_2/F)$~\cite[Proposition~2.7]{Yanchevskii78}.
\item Si $D$ est l'algÃ¨bre simple centrale Ã&nbsp; division sur $K$ Brauer Ã©quivalent Ã&nbsp; $A$, alors on a $\USK_1(A/F)\cong \USK_1(D/F)$ par~\cite[Lemma~3]{Yanchevskii74MatSb}.
\item \label{remark on USK1 and SK1_3} On a $\USK_1(A/F)=1$ dans chacun des cas suivants :
\begin{enumerate}\romanenumi
\item $\ind(A)$ est sans facteurs carrÃ©s~\cite[Lemma~2.8]{Yanchevskii78} ;
\item $K$ est un corps global~\cite{PlatonovYanchevskii73} ;
\item \label{remark on USK1 and SK1_3_3} Pour chaque diviseur premier $p$ de $\ind(A)$, $\scd_p(K)\le 2$ (\cite[Theorem~1]{Yanchevskii74MatSb} et~\cite[Theorem~1.1 et Corollary~5.5]{GB07}) ;
\item \label{remark on USK1 and SK1_3_4} $\car(k)=0$ et $\vcd(k)\le 2$~\cite[Theorem~3.1]{Yanchevskii04Whitehead}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{rema}

En particulier, on peut se limiter Ã&nbsp; considÃ©rer les algÃ¨bres Ã&nbsp; division de degrÃ© une puissance d'un nombre premier lors de l'Ã©tude des groupes de Whitehead unitaires rÃ©duits.

\begin{theo}[{\cite[Corollaries~4.10, 4.13 et~4.14]{Yanchevskii78}}]\label{2.3.5}
Soit $K$ un corps de valuation discrÃ¨te hensÃ©lien et supposons que l'extension $\ol{K}/\ol{F}$ est sÃ©parable. Soit $D$ une algÃ¨bre simple centrale Ã&nbsp; division \emph{modÃ©rÃ©e} sur $K$ admettant une $K/F$-involution.

\begin{enumerate}
\item Si $D/K$ et $K/F$ sont non ramifiÃ©es, on a\/ $\USK_1(D/F)\cong\USK_1(\ol{D}/\ol{F})$.

\item Si $K/F$ est totalement ramifiÃ©e, ou si $D/K$ est ramifiÃ©e et $\ol{D}$ est commutative, alors $\USK_1(D/F)=1$.
\end{enumerate}
\end{theo}

\begin{enonce}[remark]{Scholie}\label{3p4new}
Supposons que $K/F$ est une extension quadratique non ramifiÃ©e de corps de valuation discrÃ¨te hensÃ©liens avec l'extension de corps rÃ©siduels $\ol{K}/\ol{F}$ (sÃ©parable). Soit $D$ une $K$-algÃ¨bre simple centrale Ã&nbsp; division admettant une $K/F$-involution. Supposons que $D/K$ est modÃ©rÃ©e et ramifiÃ©e.

Comme l'algÃ¨bre rÃ©siduelle $\ol{D}$ est sÃ©parable sur $\ol{K}$, il existe une sous-algÃ¨bre $E\subseteq D$ non ramifiÃ©e sur $K$ telle que $\ol{E}=\ol{D}$~\cite[Theorem~2.9]{JW90}. On choisit une telle sous-algÃ¨bre $E\subseteq D$. D'aprÃ¨s~\cite[Proposition~3.17]{Yanchevskii78}, on peut choisir une $K/F$-involution convenable $\tau$ sur $D$ et une certaine uniformisante $\Pi$ de $D$ telles que $\tau(E)=E$, $\tau(\Pi)=\Pi$ et $\Int(\Pi)(E)=E$, oÃ¹ $\Int(\Pi) \colon D\to D$ dÃ©signe l'automorphisme intÃ©rieur $x\mapsto \Pi x\Pi^{-1}$. Posons $\tau_2=\Int(\Pi)\circ\tau$.

La restriction $\restr{\tau}{K}$ est l'automorphisme non trivial de $K/F$. Comme $K/F$ est non ramifiÃ©e, la rÃ©duction $\ol{\tau}$ de $\tau$ est non triviale sur $\ol{K}$. Ainsi, $\ol{\tau}$ est une involution unitaire sur $\ol{D}$. Comme $\restr{\tau_2}{K}=\restr{\tau}{K}$, la rÃ©duction $\ol{\tau}_2$ est aussi une involution unitaire sur $\ol{D}$.

Comme dans~\cite[\nopp 4.11]{Yanchevskii78}, on dit qu'un Ã©lÃ©ment
\[
\tilde{a}\;\in\; \frac{Z(\ol{D})^*}{\ol{K}^*\Nrd_{\ol{D}/Z(\ol{D})}\parens[\big]{\Sigma_{\ol{\tau}}(\ol{D})}}
\]
est une \emph{conorme unitaire projective} s'il existe un reprÃ©sentant $a\in Z(\ol{D})^*$ de $\tilde{a}$ et un Ã©lÃ©ment $b\in\Nrd_{\ol{D}}(\ol{D}^*)$ tels que $\sigma(a)/a=b/\ol{\tau}_2(b)$, oÃ¹ $\sigma$ dÃ©signe le gÃ©nÃ©rateur du groupe cyclique $\Gal\parens[\big]{Z(\ol{D})/\ol{K}}$ obtenue par restriction de $\ol{\Int(\Pi)}$.

Les conormes unitaires projectives forment un groupe, que l'on note $\PU(\tau,D)$.
\end{enonce}

\begin{prop}[{\cite[Theorem~4.12]{Yanchevskii78}}]\label{3p5new}
Avec les notations et les hypothÃ¨ses de la \scholieref{3p4new}, il existe une suite exacte
\[
\USK_1(\ol{\tau}_2,\ol{D})\longrightarrow \USK_1(\tau,D)\longrightarrow \PU(\tau,D)\longrightarrow 1.
\]
\end{prop}

Le thÃ©orÃ¨me suivant est essentiellement une rÃ©pÃ©tition de~\cite[Corollary~4.15]{Yanchevskii78}.

\begin{theo}\label{3p6new}
Soit $K$ un corps de valuation discrÃ¨te hensÃ©lien et supposons que l'extension $\ol{K}/\ol{F}$ est sÃ©parable. Soit $D$ une algÃ¨bre simple centrale Ã&nbsp; division \emph{modÃ©rÃ©e} sur $K$ admettant une $K/F$-involution.

Si\/ $\scd_p(\ol{K})\le 2$ pour chaque diviseur premier $p$ de\/ $\deg(D)$, alors $\USK_1(D/F)=1$.
\end{theo}
\begin{proof}
La preuve suit les mÃªmes lignes que celles dans la preuve de Yanchevskii. En effet, si $D/K$ et $K/F$ sont non ramifiÃ©es, l'hypothÃ¨se sur la dimension sÃ©parable implique que $\USK_1(\ol{D}/\ol{F})=1$, par la \remaref{remark on USK1 and SK1}\eqref{remark on USK1 and SK1_3}-\eqref{remark on USK1 and SK1_3_3}. Vu le \theoref{2.3.5}, on peut supposer que $\ol{D}$ est non commutative et que $K/F$ est non ramifiÃ©e.

Prenons les notations de la \scholieref{3p4new}. On a $\USK_1(\ol{\tau}_2,\ol{D})=1$, par la \remaref{remark on USK1 and SK1}\eqref{remark on USK1 and SK1_3}-\eqref{remark on USK1 and SK1_3_3}. Selon la \propref{3p5new}, il suffit de montrer que $\PU(\tau,D)=1$.

Soient $\ell=Z(\ol{D})$ et $\ell_0\subseteq \ell$ le sous-corps fixÃ© par $\ol{\tau}$. La \remaref{remark on USK1 and SK1}\eqref{remark on USK1 and SK1_3}-\eqref{remark on USK1 and SK1_3_3} nous garantit aussi que $\Sigma_{\ol{\tau}}(\ol{D})=\Sigma'_{\ol{\tau}}(\ol{D})$. En outre, $\Nrd_{\ol{D}}\parens[\big]{\Sigma'_{\ol{\tau}}(\ol{D})}=\ell_0^*$ puisque $\Nrd_{\ol{D}}(\ol{D}^*)=\ell^*$ par la \scholieref{para2.4new}. D'oÃ¹
\[
\frac{Z(\ol{D})^*}{\ol{K}^*\Nrd_{\ol{D}/Z(\ol{D})}\parens[\big]{\Sigma_{\ol{\tau}}(\ol{D})}}=\frac{\ell^*}{\ol{K}^*\ell_0^*}\;.
\]
Soit $a\in\ell^*$ un Ã©lÃ©ment tel que $\sigma(a)/a=b/\ol{\tau}_2(b)$ pour un certain $b\in\ell^*=\Nrd_{\ol{D}}(\ol{D}^*)$. Notre but est de dÃ©montrer que $a\in \ol{K}^*\ell_0^*$.

En fait, on a
\[
\ol{\tau}_2\sigma(a)\ol{\tau}_2(a)^{-1}\sigma(a)a^{-1}=\ol{\tau}_2\parens[\big]{\sigma(a)a^{-1}}\cdot \parens[\big]{\sigma(a)a^{-1}}=\ol{\tau}_2\parens[\big]{b\ol{\tau}_2(b)^{-1}}\cdot b\ol{\tau}_2(b)^{-1}=1.
\]
Par dÃ©finition, $\ol{\tau}_2\sigma=\ol{\tau}$ et $\ol{\tau}_2=\sigma\ol{\tau}$. On obtient ainsi
\[
\sigma\big(a\ol{\tau}(a)^{-1}\big)\cdot\big(a\ol{\tau}(a)^{-1}\big)^{-1}=\sigma(a)\parens[\big]{\sigma\ol{\tau}(a)}^{-1}\ol{\tau}(a)a^{-1} =\ol{\tau}(a)\parens[\big]{\sigma\ol{\tau}(a)}^{-1}\sigma(a)a^{-1}=1.
\]
Comme $\sigma$ est un gÃ©nÃ©rateur de $\Gal(\ell/\ol{K})$, il s'ensuit que $a\ol{\tau}(a)^{-1}\in \ol{K}^*$. D'autre part, comme $K/F$ est non ramifiÃ©e, $\restr{\ol{\tau}}{\ol{K}}$ est l'unique Ã©lÃ©ment non trivial du groupe $\Gal(\ol{K}/\ol{F})$. Donc,
\[
N_{\ol{K}/\ol{F}}\parens[\big]{a\ol{\tau}(a)^{-1}}=a\ol{\tau}(a)^{-1}\cdot\ol{\tau}\big(a\ol{\tau}(a)^{-1}\big)=1.
\]
Cela implique que $a\ol{\tau}(a)^{-1}=\alpha\ol{\tau}(\alpha)^{-1}$ pour un certain Ã©lÃ©ment $\alpha\in \ol{K}^*$. Alors, l'Ã©lÃ©ment $t\coloneqq a\alpha^{-1}\in\ell^*$ est fixÃ© par $\ol{\tau}$, c'est-Ã&nbsp;-dire, $t\in \ell_0^*$. Ainsi on voit que $a=\alpha t\in \ol{K}^*\ell_0^*$ comme dÃ©sirÃ©.
\end{proof}

Dans le contexte du \theoref{3p6new}, Yanchevskii a Ã©galement prouvÃ© la trivialitÃ© du groupe $\USK_1(D/F)$ lorsque $\ol{K}$ est un corps de nombres~\cite[Corollary~4.17]{Yanchevskii78}. On gÃ©nÃ©ralise ce rÃ©sultat au thÃ©orÃ¨me suivant.

\begin{theo}\label{2.3.7}
Soit $K$ un corps de valuation discrÃ¨te hensÃ©lien Ã&nbsp; corps rÃ©siduel $\ol{K}$. Supposons que $\car(\ol{K})=0$, $\vcd(\ol{K})\le 2$ et $\ol{K}$ n'a qu'un nombre fini d'ordres.

Alors on a $\USK_1(D/F)=1$ pour chaque $K$-algÃ¨bre simple centrale Ã&nbsp; division $D$ qui a une $K/F$-involution unitaire.
\end{theo}
\begin{proof}
On peut supposer que $\ol{K}$ est rÃ©el et que $\deg(D)$ est une puissance de $2$, car sinon le rÃ©sultat est immÃ©diat du \theoref{3p6new}. Comme on a vu dans la \remaref{remark on USK1 and SK1}\eqref{remark on USK1 and SK1_3}-\eqref{remark on USK1 and SK1_3_4}, l'hypothÃ¨se $\vcd(\ol{K})\le 2$ implique $\USK_1(\theta,\ol{D})=1$ pour toute involution unitaire $\theta$ sur $\ol{D}$. Vu le \theoref{2.3.5}, on peut d'ailleurs supposer que $K/F$ est non ramifiÃ©e, que $\ol{D}$ est non commutative et que $D/K$ est ramifiÃ©e.

Prenons les notations de la \scholieref{3p4new}. En vertu de la \propref{3p5new}, il suffit de prouver $\PU(\tau,D)=1$.

On met $\ell\coloneqq Z(\ol{D})$ et $\ell_0\coloneqq \braces[\big]{a\in \ell \bigst \ol{\tau}(a)=a}$. Si $\ell$ n'est pas rÃ©el, alors on a $\Nrd_{\ol{D}}(\ol{D}^*)=\ell^*$ et on peut raisonner comme dans la dÃ©monstration du \theoref{3p6new}.

Supposons $\ell$ rÃ©el et notons $S_0$ l'ensemble de tous les ordres de $\ell$ dont la clÃ´ture rÃ©elle ne dÃ©ploie pas $\ol{D}$. Soit $S=\braces[\big]{ig \bigst i\in S_0, \; g\in \Gal(\ell/\ol{K})}$. Comme dans la preuve du \theoref{1.1.8}, on~a
\[
\Nrd_{\ol{D}}(\ol{D}^*)=\ell_{S_0}^+=\ell^+_S=\braces[\big]{a\in \ell \bigst i(a)&gt;0 \ \text{pour tout} \ i\in S}.
\]
Soit $T_0$ l'ensemble des ordres de $\ell_0$ au dessous de $S$.

Nous savons dÃ©jÃ&nbsp; que $\USK_1(\ol{\tau},\ol{D})=1$, d'oÃ¹ $\Sigma_{\ol{\tau}}(\ol{D})=\Sigma'_{\ol{\tau}}(\ol{D})$. Ainsi,
\[
\Nrd_{\ol{D}}\parens[\big]{\Sigma_{\ol{\tau}}(\ol{D})} =\Nrd_{\ol{D}}\big(\Sigma'_{\ol{\tau}}(\ol{D})\big)=(\ell_0)^+_{T_0} =\braces[\big]{x\in\ell_0 \bigst i(x)&gt;0 \ \text{pour tout} \ i\in T_0}.
\]

Pour prouver la trivialitÃ© de $\PU(\tau,D)$, on considÃ¨re un Ã©lÃ©ment $a\in\ell^*$ tel que $\sigma(a)a^{-1}=b\ol{\tau}_2(b)^{-1}$ pour un certain $b\in\Nrd_{\ol{D}}(\ol{D}^*)$. Il faut montrer $a\in \ol{K}^*\Nrd_{\ol{D}}\parens[\big]{\Sigma_{\ol{\tau}}(\ol{D})}=\ol{K}^*(\ell_0)^+_{T_0}$.

Comme dans la preuve du \theoref{3p6new}, on voit que $a\in \ol{K}^*\ell_0^*$. On peut donc supposer $a\in\ell_0^*$.

Maintenant, il suffit de trouver un Ã©lÃ©ment $c\in\ol{F}^*$ tel que $ca\in\Nrd_{\ol{D}}(\ol{D}^*)=\ell_S^+$. En effet, cela implique que $ca\in\ell_S^+\cap \ell_0=(\ell_0)_{T_0}^+$, donc $a\in \ol{K}^*(\ell_0)^+_{T_0}=\ol{K}^*\Nrd_{\ol{D}}\parens[\big]{\Sigma_{\ol{\tau}}(\ol{D})}$.

Pour voir l'existence de $c$, soient $T$ l'ensemble des ordres de $\ol{F}$ au dessous de $T_0$ et $T^{(i)}$ l'ensemble des ordres de $\ell_0$ au dessus de $i$ pour chaque $i\in T$. On affirme que les Ã©lÃ©ments $j(a),\,j\in T^{(i)}$ ont tous le mÃªme signe.

Admettons cette affirmation pour l'instant. On peut alors dÃ©finir le signe $\sgn_i(a)$ de $a$ en $i\in T$ comme le signe $\sgn\parens[\big]{j(a)}$ pour tout $j\in T^{(i)}$. Puisque par l'hypothÃ¨se $S$ est un ensemble fini, l'ensemble $T$ est fini aussi. Donc par l'approximation faible~\cite[Theorem~10.1.7]{Efrat2006book}, il existe un Ã©lÃ©ment $c\in \ol{F}$ tel que $\sgn\parens[\big]{i(c)}=\sgn_i(a)$ pour tout $i\in T$. Alors $ca\in\ell_S^+=\Nrd_{\ol{D}}(\ol{D}^*)$, comme dÃ©sirÃ©.

Il reste Ã&nbsp; prouver notre affirmation concernant les signes des Ã©lÃ©ments $j(a)$, $j$ parcourant l'ensemble $T^{(i)}$ pour un $i\in T$ fixÃ©.

Observons d'abord que les deux extensions (sÃ©parables) $\ell_0/\ol{F}$ et $\ol{K}/\ol{F}$ sont disjointes, car $\restr{\ol{\tau}}{\ol{K}}$ est non trivial. Donc tout $\ol{F}$-plongement de $\ell_0$ dans une clÃ´ture algÃ©brique de $\ol{F}$ s'Ã©tend en un $\ol{K}$-plongement de $\ell$. Soit $\ol{F}_i$ la clÃ´ture rÃ©elle de $\ol{F}$ en $i$, et soit $\ol{K}_i$ la clÃ´ture rÃ©elle de $\ol{K}$ en un ordre au dessus de $i$. Alors les Ã©lÃ©ments de $T^{(i)}$ correspondent aux $\ol{F}$-plongements de $\ell_0$ dans $\ol{F}_i$. On sait que tout $\ol{F}$-plongement de $\ell_0$ dans $\ol{F}_i$ est la restriction d'un $\ol{K}$-plongement de $\ell$ dans $\ol{K}_i$. Donc, si $j\in T^{(i)}$ correspond au gÃ©nÃ©rateur $\sigma\in\Gal(\ell/\ol{K})$ (on rappelle que l'on a supposÃ© $\ell$ rÃ©el), alors tout $j'\in T^{(i)}$ s'Ã©crit $j'=j\sigma^r$ pour un entier $r\ge 1$. Or, $\sigma(a)a^{-1}=b\ol{\tau}_2(b)^{-1}$ pour un $b\in\Nrd_{\ol{D}}(\ol{D}^*)$. En particulier, $\sigma(a)a^{-1}\in\Nrd_{\ol{D}}(\ol{D}^*)=\ell_S^+$. Cela donne $\sigma^2(a)\sigma(a)^{-1}=\sigma\parens[\big]{\sigma (a)a^{-1}}\in \ell_S^+$ et ainsi de suite. On en dÃ©duit
\[
\sigma^r(a)a^{-1} = \parens[\big]{\sigma^r(a)\sigma^{r-1}(a)^{-1}} \cdot \parens[\big]{\sigma^{r-1}(a)\sigma^{r-2}(a)^{-1}} \cdots \parens[\big]{\sigma(a)a^{-1}}\in \ell_S^+,
\]
d'oÃ¹
\[
j'(a)=j\parens[\big]{\sigma^r(a)}=j\parens[\big]{\sigma^r(a)a^{-1}}j(a)\;\in\;j(a)\ell_S^+.
\]
Notre affirmation est ainsi dÃ©montrÃ©e. Ceci complÃ¨te la dÃ©monstration du thÃ©orÃ¨me.
\end{proof}

\begin{rema}
Soit $k$ un corps. Alors $k$ ne possÃ¨de qu'un nombre fini d'ordres s'il est un corps de nombres, ou si le sous-groupe des sommes non nulles de carrÃ©s dans $k^*$ est d'indice fini~\cite[Chapter~VIII, Exercise~11]{Lam05}. Par exemple, le corps $\mathbb{R}\pparens{t_1}\cdots\pparens{t_n}$ n'a qu'un nombre fini d'ordres pour chaque $n\in\mathbb{N}$ (voir aussi~\cite[Proposition~VIII.4.11]{Lam05} pour une assertion plus prÃ©cise pour ce corps).

Par consÃ©quent, dans le \theoref{2.3.7} le corps rÃ©siduel $\ol{K}$ peut Ãªtre $\mathbb{R}\pparens{x}$ ou $\mathbb{R}\pparens{x}\pparens{y}$.
\end{rema}

\section{PropriÃ©tÃ©s d'approximation pour les groupes simplement connexes de type A}

Dans cette section, soit $C$ une courbe affine irrÃ©ductible normale sur un corps $k$ et soit $K=k(C)$ le corps des fonctions de $C$. Soit $\Omega$ l'ensemble des valuations discrÃ¨tes de $K$ correspondant aux points fermÃ©s de $C$. Pour chaque $v\in\Omega$, soit $K_v$ le complÃ©tÃ© de $K$ en $v$ et soit $\mathcal{O}_v$ l'anneau de valuation de $K_v$. Si $D$ est une $K$-algÃ¨bre, on note $D_v\coloneqq D\otimes_KK_v$ pour chaque $v\in \Omega$.

\begin{defi}
Soit $X$ une variÃ©tÃ© algÃ©brique sur $K$. L'espace adÃ©lique $X(\mathbf{A}_K)$ est l'espace produit restreint des espaces topologiques $v$-adiques $X(K_v)$, $v\in\Omega$ par rapport aux sous-espaces ouverts $X(\mathcal{O}_v)$ dÃ©finis pour presque toute $v\in\Omega$.

On dit que $X$ satisfait \emph{l'approximation forte} (resp. \emph{l'approximation faible}) si $X(K)$ est dense dans l'espace adÃ©lique $X(\mathbf{A}_K)$ (resp. dans l'espace produit $\prod_{v\in\Omega}X(K_v)$).
\end{defi}

On peut utiliser la mÃªme mÃ©thode de~\cite[Theorem~4.7]{CTGP04Duke} pour montrer que les groupes de type $\mathbf{A}$ satisfont l'approximation faible.

\begin{prop}\label{prop4.2}
Soit D une algÃ¨bre simple centrale Ã&nbsp; division sur $K=k(C)$ et $n\ge 1$. Supposons que\/ $\SK_1(D_v)=1$ pour toute $v\in\Omega$. Alors le groupe $G\coloneqq \mathbf{SL}_n(D)$ satisfait l'approximation faible. Si $n\ge 2$, alors $G$ satisfait l'approximation forte.
\end{prop}
\begin{proof}
Soient $S\subset \Omega$ un sous-ensemble fini, $B=\algmatr_n(D)$ et $(g_v)\in \prod_{v\in S}G(K_v)=\prod_{v\in S}\SL_1(B_v)$. Par hypothÃ¨se, pour toute $v\in S$ on a $\SK_1(B_v)=1$, donc chaque $g_v$ est un produit fini de commutateurs dans $B_v^*$. Mais l'ensemble $S$ est fini, alors on peut supposer que
\[
g_v=(a_{v,1}b_{v,1}a_{v,1}^{-1}b_{v,1}^{-1})\cdots (a_{v,m}b_{v,m}a_{v,m}^{-1}b_{v,m}^{-1}) \quad \text{avec} \ a_{v,i},\,b_{v,i}\in B_v^* \ \text{en toute} \ v\in S,
\]
pour un entier $m\ge 1$ indÃ©pendant de $v$. L'ensemble $B^*$, vu comme l'ensemble des $K$-points d'un ouvert de Zariski dans un espace affine sur $K$, est dense dans $\prod_{v\in S}B_v^*$. En choisissant des Ã©lÃ©ments $a_i,\,b_i\in B^*$ assez proches de $a_{v,i}$, $b_{v,i}$ en toute $v\in S$, on obtient un point $g=(a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1})\cdots (a_mb_ma_m^{-1}b_m^{-1})\in G(K)$, approchant de $g_v$ en toute $v\in S$. Cela montre que $G(K)$ est dense dans $\prod_{v\in S}G(K_v)$.

Pour l'approximation forte, on prend une famille $(g_v)\in G(\mathbf{A}_K)$ et un sous-ensemble fini (assez grand) $S\subset\Omega$. On cherche un point $g\in G(K)$ qui est suffisamment proche de $g_v$ en toute $v\in S$ et tel que $g\in G(\mathcal{O}_v)$ pour toute $v\notin S$. Comme la multiplication est continue, on peut supposer que pour une certaine place $w\in S$, $g_v\in G(K_v)=\SL_1\parens[\big]{\algmatr_n(D_v)}$ est la matrice identitiÃ© $I_n$ pour toute $v\in S$ sauf $v=w$. Pour $n\ge 2$, le groupe $G(K_w)=\SL_1\parens[\big]{\algmatr_n(D_w)}$ est engendrÃ© par des matrices Ã©lÃ©mentaires de la forme $I_n+\lambda_w E_{ij}$~\cite[Section~20, Theorem~3]{Draxl}, oÃ¹ $\lambda_w \in D_w$, $1\le i\neq j\le n$, et $E_{ij}$ dÃ©signe la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf que celui Ã&nbsp; la position $(i,j)$ vaut 1. Encore par la continuitÃ© de la multiplication, on peut donc supposer $g_w=I_n+\lambda_wE_{ij}$ pour un certain $\lambda_w\in D_w$. En identifiant $D$ avec l'ensemble des $K$-points d'un espace affine sur $K$, on est ramenÃ© Ã&nbsp; voir qu'un espace affine sur $K$ vÃ©rifie l'approximation forte. Cette derniÃ¨re assertion revient au lemme chinois pour des anneaux de Dedekind~\cite[Section~I.3, Approximation Lemma]{SerreCL}.
\end{proof}

La combinaison de la \propref{prop4.2} avec les rÃ©sultats discutÃ©s dans la \subsectionref{sec2} donne plusieurs exemples oÃ¹ $G=\mathbf{SL}_n(D)$ satisfait l'approximation faible ou forte. En particulier, on obtient :

\begin{theo}\label{thm4.3}
Soit D une algÃ¨bre simple centrale Ã&nbsp; division sur $K=k(C)$. Supposons $n\ge 2$ et $\car(k)=0$. Alors le groupe $G=\mathbf{SL}_n(D)$ satisfait l'approximation forte dans les deux cas suivants :

\begin{enumerate}
\item $\vcd(k)\le 2$ ;
\item $k=k_0\pparens{t}$ pour un corps $k_0$ tel que $\vcd(k_0)=2$, et $D$ est non ramifiÃ©e sur $C$ (c'est-Ã&nbsp;-dire, non ramifiÃ©e en toute $v\in\Omega$).
\end{enumerate}
\end{theo}
\begin{proof}
Par la \propref{prop4.2}, il suffit de vÃ©rifier que $\SK_1(D_v)=1$ pour toute $v\in\Omega$. Le premier cas est Ã©vident par le \theoref{1.1.8}, et le second cas suit en combinant le \theoref{1.1.8} avec la \remaref{remark2.4} sur le cas non ramifiÃ©.
\end{proof}

\begin{exem}
Le corps $k$ dans le premier cas du \theoref{thm4.3} peut Ãªtre une extension finie de l'un des corps suivants: $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}(t)$, $\mathbb{R}\pparens{t}$, $\mathbb{R}(x,y)$, $\mathbb{R}\pparens{x}(y)$, $\mathbb{R}\pparens{x,y}$, $\mathbb{Q}_p$, etc. Il en est de mÃªme du corps $k_0$ dans le deuxiÃ¨me cas du \theoref{thm4.3}.
\end{exem}

\begin{rema}
On montre dans un autre article avec J.~Liu~\cite{HuLiuTian23} que pour une certaine algÃ¨bre des quaternions $Q$, le groupe $\mathbf{SL}_1(Q)$ ne satisfait pas l'approximation forte.
\end{rema}

\begin{prop}\label{prop4.6}
Soit D une algÃ¨bre simple centrale Ã&nbsp; division sur une extension sÃ©parable quadratique $L$ de $K=k(C)$. Soient $\sigma$ une $L/K$-involution unitaire sur $D$ et $(V,h)$ une forme hermitienne non dÃ©gÃ©nÃ©rÃ©e sur $(D,\sigma)$. Supposons que $\USK_1(D_v/K_v)=1$ pour toute $v\in\Omega$.

Alors le groupe $G\coloneqq \mathbf{SU}(D,h)$ satisfait l'approximation faible. Si de plus $h$ est isotrope, alors $G$ satisfait l'approximation forte.
\end{prop}
\begin{proof}
Pour l'approximation faible, considÃ©rons la suite exacte
\[
1 \longrightarrow H \longrightarrow R_{L \vert K}\GL_{1,D}\overset{\alpha}{\longrightarrow} R^1_{L \vert K}\mathbb{G}_m \longrightarrow 1,
\]
oÃ¹ la flÃ¨che $\alpha$ est donnÃ©e par $x\mapsto \Nrd(x)/\sigma\parens[\big]{\Nrd(x)}$. Selon~\cite[Proposition~5.7]{CM98}, le groupe $H$ est stablement birationnel Ã&nbsp; $G$ sur $K$. Il suffit de montrer que $H$ satisfait l'approximation faible. Par la construction de $H$, on a $H(K)=\braces[\big]{x\in D^* \bigst \sigma\parens[\big]{\Nrd(x)}=\Nrd(x)}$. On note
\[
\Sigma\coloneqq \angles[\big]{x\in D^* \,\big\vert\, \sigma(x)=x} \subset H(K)
\qquad\text{et}\qquad
\Sigma_v\coloneqq \angles[\big]{x\in D_v^* \,\big\vert\, \sigma(x)=x}.
\]
Par ailleurs, l'hypothÃ¨se $\USK_1(D_v/K_v)=1$ implique $H(K_v)=\Sigma_v$. Soit $S\subset\Omega$ un sous-ensemble fini, et soit $(h_v)\in \prod_{v\in S}H(K_v)$. On peut choisir un entier $m\ge 1$, indÃ©pendant de $v\in S$, tel que $h_v\in H(K_v)$ est un produit de prÃ©cisÃ©ment $m$ Ã©lÃ©ments $\sigma$-invariants de $D_v^*$ pour toute $v\in S$. Utilisant un argument similaire Ã&nbsp; celui dans la preuve de la \propref{prop4.2}, de la densitÃ© de $D^*$ dans $\prod_{v\in S}D_v^*$ on peut dÃ©duire que $H(K)$ est dense dans $\prod_{v\in S}H(K_v)$.

Pour l'approximation forte, l'hypothÃ¨se que $h$ est isotrope signifie que le groupe $G$ est isotrope. Pour chaque $v\in \Omega$, on note $G(K_v)^+$ le sous-groupe de $G(K_v)$ engendrÃ© par les Ã©lÃ©ments unipotents. D'aprÃ¨s~\cite[Theorem~1]{Wall59}, on a $G(K_v)/G(K_v)^+\simeq \USK_1(D_v/K_v)$. Donc, par hypothÃ¨se on a $G(K_v)^+=G(K_v)$ pour chaque $v\in \Omega$. Par consÃ©quent, le groupe $G$ satisfait l'approximation forte par~\cite[Lemme~5.6(2)]{Gille09KT}.
\end{proof}

\begin{theo}\label{thm4.7}
Soit $D$ une algÃ¨bre simple centrale Ã&nbsp; division sur une extension sÃ©parable quadratique $L$ de $K=k(C)$. Soient $\sigma$ une $L/K$-involution unitaire sur $D$ et $(V,h)$ une forme hermitienne non dÃ©gÃ©nÃ©rÃ©e sur $(D,\sigma)$. Supposons que $\car(k)=0$ et que $h$ est isotrope.

Alors le groupe $G=\mathbf{SU}(D,h)$ satisfait l'approximation forte dans chacun des cas suivants :

\begin{enumerate}
\item\label{thm4.7.1} $\ind(D)$ est sans facteurs carrÃ©s ;
\item\label{thm4.7.2} $\vcd(k)\le 1$ ;
\item\label{thm4.7.3} $K$ n'est pas rÃ©el et\/ $\vcd(k)=2$ ;
\item\label{thm4.7.4} $K$ n'est pas rÃ©el, $k=k_0\pparens{t}$ pour un corps $k_0$ tel que\/ $\vcd(k_0)=2$, et $D$ est non ramifiÃ©e sur $C$ (c'est-Ã&nbsp;-dire, pour toute $v\in\Omega$, $D_v\coloneqq D\otimes_KK_v$ est non ramifiÃ©e sur $K_v$) ;
\item\label{thm4.7.5} $K$ est rÃ©el et $k=\mathbb{R}\pparens{x}\pparens{y}$.
\end{enumerate}
\end{theo}
\begin{proof}
D'aprÃ¨s la \propref{prop4.6}, il suffit de vÃ©rifier que les groupes de Whitehead unitaires rÃ©duits locaux sont triviaux. Les cas~\eqref{thm4.7.1} et~\eqref{thm4.7.2} sont des consÃ©quences de la \remaref{remark on USK1 and SK1}\eqref{remark on USK1 and SK1_3}. Pour les cas~\eqref{thm4.7.3} et~\eqref{thm4.7.4}, on peut utiliser le \theoref{2.3.5}. Le cas~\eqref{thm4.7.5} est valable en vertu du \theoref{2.3.7}.
\end{proof}

\begin{exem}
Le corps $k$ dans le cas~\eqref{thm4.7.3} du \theoref{thm4.7} peut Ãªtre une extension finie de l'un des corps : $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}(t)$, $\mathbb{R}\pparens{t}$, $\mathbb{R}(x,y)$, $\mathbb{R}\pparens{x}(y)$, $\mathbb{R}\pparens{x,y}$, $\mathbb{Q}_p$, etc. Il en est de mÃªme du corps $k_0$ dans le cas~\eqref{thm4.7.4} du \theoref{thm4.7}.
\end{exem}

\begin{rema}
Soit $G$ un groupe simplement connexe absolument presque simple sur $K$. Rappelons que $G$ satisfait l'approximation forte s'il est isotrope et $K$-rationnel, par~\cite[Corollaire~5.11]{Gille09KT}.

Supposons que $K=k(C)$ n'est pas rÃ©el. Si $k$ est une extension finie de $\mathbb{R}\pparens{t}$, on peut utiliser~\cite[Theorem~4.3]{CTGP04Duke} pour voir que $G$ est isotrope et $K$-rationnel s'il n'est pas de type A. Il en va de mÃªme si $k$ est une extension finie de $\mathbb{R}(t)$ et $G$ n'est pas de type A ou $E_8$. (Ici, on utilise~\cite[Theorem~0.12]{Benoist19PIHES} pour vÃ©rifier la condition pÃ©riode-indice dans~\cite[Theorem~4.3]{CTGP04Duke}.) Pour ces deux types de corps $k$, les ThÃ©orÃ¨mes~\ref{thm4.3} et~\ref{thm4.7} couvrent le cas oÃ¹ $G$ est isotrope de type A.

Lorsque $k$ est un corps $p$-adique, le groupe $G$ est $K$-rationnel s'il est isotrope et de type B, C, ou D classique (cf.~\cite[ThÃ©orÃ¨me~6.1]{Gille09KT}). Pour le type D classique, notons que toute algÃ¨bre Ã&nbsp; division centrale sur $K$ admettant une involution orthogonale est de degrÃ© $\le 4$, d'aprÃ¨s un thÃ©orÃ¨me de Saltman~\cite{Saltman97} (voir~\cite{PS14invent} dans le cas $p=2$).
\end{rema}

\begin{rema}
Dans les Propositions~\ref{prop4.2} et~\ref{prop4.6}, l'assertion sur l'approximation faible a Ã©tÃ© remarquÃ©e indÃ©pendamment par V.~Suresh. Notons aussi que pour l'approximation faible on peut agrandir l'ensemble $\Omega$ en y rajoutant toutes les valuations discrÃ¨tes $v$ (non seulement celles provenant de la courbe $C$) telles que les groups $\SK_1$ ou $\USK_1$ en $v$ sont triviaux.

Par exemple, si $k=\mathbb{Q}_p$ et $p\nmid \deg(D)$, on peut mettre dans $\Omega$ les valuations de $K$ correspondant aux points de codimension~1 des modÃ¨les rÃ©guliers de $C$ sur $\mathbb{Z}_p$.
\end{rema}

\section*{Remerciements}

Nous remercions Ting-Yu Lee pour des discussions utiles, et les rapporteurs pour des commentaires qui nous aident Ã&nbsp; amÃ©liorer l'article.

\section*{DÃ©claration d'intÃ©rÃªts}

Les auteurs ne travaillent pas, ne conseillent pas, ne possÃ¨dent pas de parts, ne reÃ§oivent pas de fonds dâ€™une organisation qui pourrait tirer profit de cet article, et nâ€™ont dÃ©clarÃ© aucune autre affiliation que leurs organismes de recherche.

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