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\TopicFR{Histoire des mathématiques}
\TopicEN{History of Mathematics}

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\title{Une note in\'edite de Lagrange \og sur la g\'eom\'etrie des indivisibles \fg\ et le \og tr\'esor\fg\ de Cavalieri}
\alttitle{An unpublished note by Lagrange ``on the geometry of indivisibles'' and Cavalieri's ``treasure''}

\author{\firstname{Philippe} \lastname{Henry}}
\address{1222 Vésenaz, Genève, Suisse}
\email{philippe.henry@a3.epfl.ch}

\subjclass{01A45, 26-03, 28-03}

\begin{abstract}
La Biblioth\`eque de l'Institut de France conserve quatre pages manuscrites de Lagrange au sujet de la \og g\'eom\'etrie des indivisibles\fg. Elles t\'emoignent de sa qu\^ete pour comprendre, plus d'un si\`ecle apr\`es Cavalieri, comment celui-ci a obtenu et tent\'e de d\'emontrer l'\'egalit\'e que nous \'ecririons de nos jours $\int_0^ax^m\,\mathrm{d}x=\frac{a^{m+1}}{m+1}$. Suivant l'approche originale du j\'esuate de Bologne, Lagrange parvient \`a trouver la voie \`a suivre pour obtenir une preuve compl\`ete. Dans cet article, nous pr\'esentons la d\'emarche de Cavalieri et reconstruisons le contexte historique utile pour la compr\'ehension de la note de Lagrange avant de pr\'esenter sa d\'emonstration. Nous terminons par quelques applications du r\'esultat donn\'ees jadis par Cavalieri.
\end{abstract}

\begin{altabstract}
The Library of the Institut de France preserves four handwritten pages by Lagrange on the subject of ``the geometry of indivisibles''. They bear witness to his quest to understand, more than a century after Cavalieri, how he obtained and attempted to demonstrate the equality that we would write today as $\int_0^ax^m\,\mathrm{d}x=\frac{a^{m+1}}{m+1}$. Following the original approach of the Jesuate from Bologna, Lagrange manages to find the way to obtain a complete proof. In this article, we present Cavalieri's approach and reconstruct the historical context useful for understanding Lagrange's note before presenting its demonstration. We conclude with some applications of the result previously given by Cavalieri.
\end{altabstract}

\begin{document}

\maketitle

\begin{enonce*}[remark]{Introduction}
Joseph Louis Lagrange (1736--1813) poss\'edait une grande \'erudition en histoire des math\'ematiques comme en t\'emoignent de nombreux passages de ses \'ecrits\footnote{Pour quelques exemples, voir~\cite[\pages~184--185]{DD92}. D'apr\`es une lettre publi\'ee dans \emph{Le Moniteur Universel} du 26 f\'evrier 1814 sign\'ee LBMDG (= Le Baron Maurice de Gen\`eve, Fr\'ed\'eric Maurice (1775--1851)) et ayant pour objet de discuter le texte de l'\'eloge de Lagrange par Delambre, on apprend que selon Lagrange c'est \og une excellente pratique [que] celle de faire l'analyse des m\'ethodes, et m\^eme l'extrait des r\'esultats, quand l'ouvrage [est] important ou estim\'e\fg\ (p.~228). Dans cette m\^eme lettre sont rapport\'es ses propos sur l'importance de \og toujours \'etudier dans les sources\fg\ (p.~227) et \og un certain nombre de principes [qu'il a] toujours fid\`element suivis\fg\ dans ses \'etudes. Voir aussi~\cite[\pages~3--4]{Pep14}.}. Pour ses le\c cons \`a l'\'Ecole normale de l'an III, celle-ci lui sert afin de pr\'esenter le d\'eveloppement historique des notions abord\'ees. Dans ses propres recherches, elle lui est utile dans le but de comprendre les probl\'ematiques de ses pr\'ed\'ecesseurs, analyser leurs \'ecrits ou en dresser le bilan. Parfois, lui arrive-t-il de trouver dans les traces math\'ematiques du pass\'e une source d'inspiration afin de laisser se d\'evelopper ses propres facult\'es cr\'eatrices\footnote{Un exemple diff\'erent de celui faisant l'objet de ce travail est donn\'e par un long manuscrit dans lequel Lagrange s'emploie \`a d\'emontrer rigoureusement un r\'esultat de Johann Bernoulli (1667--1748) g\'en\'eralis\'e par Leonhard Euler (1707--1783) sur le d\'eveloppement successif des courbes planes. Voir~\cite{Hen21} pour une \'edition de ce travail.}.

\`A sa mort au mois d'avril 1813, Lagrange laisse derri\`ere lui de nombreux papiers qui sont aujourd'hui conserv\'es \`a la Biblioth\`eque de l'Institut de France\footnote{Au sujet de leur mise en ordre, on peut consulter l'introduction de~\cite{Hen21}.}. On trouve parmi eux une note t\'emoignant de son int\'er\^et pour la m\'ethode que le pionnier du calcul int\'egral Bonaventura Cavalieri\footnote{Pour des \'el\'ements biographiques, voir~\cite[\pages~1--23]{Giu80} et les r\'ef\'erences cit\'ees dans~\cite[p.~293]{And85}.} (v.~1598--1647) a utilis\'ee afin d'obtenir, vers 1640, l'\'egalit\'e qui serait pour nous aujourd'hui $\int_0^ax^m\,\dd x=\frac{a^{m+1}}{m+1}$. Tout d'abord d\'emontr\'ee par Cavalieri dans sa \emph{Geometria}\footnote{\cite{Cav35}. Le titre complet de ce livre pourrait se traduire par \og G\'eom\'etrie des continus d'indivisibles d\'evelopp\'ee par une certaine nouvelle m\'ethode\fg.} pour les cas $m=1,2$, puis pour $m=4$ (lors de ses recherches sur la mesure du fuseau parabolique) et enfin dans le cas $m=3$, il en d\'eduit alors la g\'en\'eralisation \`a partir de ces quatre valeurs. Amen\'e \`a rechercher comment adapter son approche pour en fournir la d\'emonstration pour des valeurs plus grandes de $m$, Cavalieri s'embarque dans de longs d\'eveloppements difficiles \`a suivre et parfois d\'epr\'eci\'es (lourdeur du style, manque d'une notation alg\'ebrique, concepts utilis\'es sujets \`a critiques\footnote{Paul Guldin (1577--1643) reprochera \`a Cavalieri d'avoir \og renvers\'e\fg\ la g\'eom\'etrie des anciens au lieu de l'\'etendre. Maximilien Marie (1819--1891) \'ecrira : \og Si l'on donnait des prix d'obscurit\'e, Cavalieri aurait d\^u sans conteste emporter le premier.\fg~\cite[p.~162 \& p.~165]{Bru47}. Sur la r\'eception des travaux de Cavalieri, voir~\cite[\pages~353--363]{And85}. Sur la controverse avec Guldin, voir~\cite[\pages~55--65]{Giu80}.}). Malgr\'e ses d\'emonstrations des cas suppl\'ementaires $m=5,6,9$ \`a l'aide d'un \og lemme\fg\ qu'il doit \`a Jean de Beaugrand (v.~1584--1640), il ne parviendra pas \`a obtenir une preuve g\'en\'erale.

Les quatre pages et demie de la note~\cite{Lagrange_manu} (et sa retranscription en annexe) r\'ev\`elent que Lagrange s'est livr\'e \`a l'exp\'erience de remonter le temps en se pla\c cant \`a l'\'epoque de Cavalieri. Il a souhait\'e utiliser les m\^emes outils que ce dernier pour voir si ceux-ci auraient permis d'aboutir \`a la d\'emonstration recherch\'ee et, sans doute aussi, a-t-il voulu mesurer \`a quel point Cavalieri en \'etait \'eloign\'e. Cette note g\'en\'eralise en effet la voie suivie par son pr\'ed\'ecesseur et aboutit \`a la preuve de l'\'egalit\'e quel que soit l'entier $m$. Une fois la preuve obtenue, la note se termine. Lagrange n'a probablement pas poursuivi la lecture de la quatri\`eme partie des \emph{Exercitationes geometric\ae\ sex}~\cite{Cav47} de Cavalieri dans laquelle celui-ci applique son r\'esultat \`a certaines quadratures ou cubatures, comme nous le verrons.
\end{enonce*}

\begin{enonce*}[remark]{\emph{Omnes line\ae}}
Consid\'erons la figure centrale pour notre propos : un parall\'elogramme d\'ecompos\'e en deux triangles par sa diagonale (voir figure~\ref{figcavanaltissu}, gauche). Un argument montrant que les deux triangles sont isom\'etriques est connu depuis l'Antiquit\'e. La proposition~I.4 des \emph{\'El\'ements} peut le justifier. Dans la preuve, Euclide d\'eduit le r\'esultat en consid\'erant l'un des triangles comme \og \'etant appliqu\'e\fg\ sur l'autre\footnote{Felix Klein (1849--1925) \'ecrira qu'Euclide est ici \og coupable d'une inconsistance\fg~\cite[p.~199]{Kle08} -- il faudrait, par exemple, s'assurer qu'une isom\'etrie pr\'eserve les droites. Dans la pr\'esentation axiomatique de David Hilbert (1862--1943), cette proposition~I.4 deviendra un axiome.}. Ainsi, s'abstenant de d\'efinir l'\'egalit\'e des figures g\'eom\'etriques, Euclide utilise sa notion commune 7 (\og Et les choses qui s'ajustent les unes sur les autres sont \'egales entre elles.\fg) pour faire voir l'\'egalit\'e des triangles. Pour Cavalieri, invers\'ement, c'est l'\'egalit\'e qui doit entra\^iner la congruence\footnote{Voir~\cite[p.~490]{Pal09}. Ceci ne signifie pas que Cavalieri n'a jamais utilis\'e la superposition dans ses travaux comme moyen de d\'emontrer une \'egalit\'e~\cite[\pages~472--476]{Pal09}.}. Il utilise alors son approche reposant sur les \og indivisibles\fg\ composant les triangles et justifie \`a l'aide de celle-ci (\emph{Geometria}, proposition~19, livre~II) que l'aire du parall\'elogramme est double de celle de chacun des triangles en associant \`a ceux-ci la collection de tous les segments parall\`eles \`a leur base (\og omnes line\ae\fg, abr\'eg\'e ici $\omnesl$).

Dans sa note, Lagrange ne s'attarde pas sur cette proposition et se contente d'indiquer que \og ces sommes [de toutes les lignes] sont comme les aires\fg. Sans doute est-il clair pour lui qu'il est n\'ecessaire de balayer simultan\'ement les triangles \`a l'aide de ce que Cavalieri nomme \og une r\`egle\fg\ (\og regula\fg), parall\`ele \`a la base. Il ne suffit \'evidemment pas d'avoir une infinit\'e d'\'egalit\'es telle que $\segm{BM}=\segm{EH}$ pour conclure \`a l'\'egalit\'e des aires comme le montre une objection longuement discut\'ee par Cavalieri dans ses \emph{Exercitationes}\footnote{\cite[\pages~238--240]{Cav47}. Voir aussi~\cite[\pages~309--310]{And85}. Cavalieri ne prendra jamais de position d\'efinitive au sujet des implications de sa th\'eorie sur la composition du continu. Il s'emploie \og \`a construire une th\'eorie qui semble philosophiquement neutre mais math\'ematiquement f\'econde\fg~\cite[p.~172]{Gan91}.} (voir figure~\ref{figcavanaltissu}, droite).
\end{enonce*}

\begin{figure}[ht!]
\includegraphics[width=4.5cm]{Cav19}
\hspace{.5cm}
\includegraphics{figcavanaltissu}
\caption{Figure pour la proposition~19 (gauche) et objection discut\'ee par Cavalieri (droite) : les triangles $\triang{ADH}$ et $\triang{GDH}$ n'ont pas la m\^eme aire bien qu'il existe une correspondance bijective entre leurs lignes verticales.}\label{figcavanaltissu}
\end{figure}

\begin{enonce*}[remark]{\emph{Omnia quadrata}}L'\'etape suivante consiste \`a choisir l'un des triangles et \`a consid\'erer \og tous les carr\'es\fg\ (\og omnia quadrata\fg, abr\'eg\'e ici $\omnesq$) qui ont pour c\^ot\'e l'un des segments qui le composent. La proposition~24 de Cavalieri, red\'emontr\'ee par Lagrange dans sa note (voir ci-dessous), \'enonce le r\'esultat suivant :
\begin{quote}
\og Propos.~XXIV. Soit donn\'e un parall\'elogramme quelconque dans lequel une diagonale est trac\'ee ; alors tous les carr\'es du parall\'elogramme seront en raison triple avec tous les carr\'es de l'un des triangles d\'etermin\'es par la diagonale lorsque l'un des c\^ot\'es du parall\'elogramme est pris pour r\`egle commune\footnote{\cite[p.~78]{Cav35}, \cite[p.~50]{Cav47}, \cite[p.~159]{Cav53}, trad.\,P.H.}\fg.
\end{quote}
Ainsi, Cavalieri affirme que (voir figure~\ref{figcavanaltissu}, gauche) $\omnesq \; \triangle \triang{FDC}=\frac{1}{3} \omnesq \; \quadri{AFDC}$. En supposant que $\quadri{AFDC}$ est un rectangle et en notant $\segm{AF}=a$ et $\segm{FD}=b$, ce r\'esultat peut s'\'ecrire $\int_0^b\parens[\big]{\frac{a}{b}x}^2\,\dd x=\frac{1}{3} a^2b$ (voir figure~\ref{figCavProp24} (gauche) pour le volume ainsi consid\'er\'e).

Ici, de m\^eme que dans le cas pr\'ec\'edent, il n'y a rien de nouveau pour l'\'epoque. Il est connu au moins depuis le livre~XII des \emph{\'El\'ements} que tout prisme
\`a base triangulaire se d\'ecompose en trois pyramides \`a base triangulaire de m\^eme volume ce qui est utile pour d\'eduire que le volume de toute pyramide est le tiers du prisme ayant la m\^eme base et la m\^eme hauteur. Le but de la preuve de Cavalieri est donc de valider son approche en obtenant par sa m\'ethode le r\'esultat escompt\'e.

En poursuivant sur ce chemin, nous verrons que Cavalieri va exploiter sa m\'ethode jusqu'\`a l'obtention de r\'esultats nouveaux (p.~ex.\ la mesure du fuseau parabolique laiss\'ee sans r\'eponse par Kepler ou les cas $m=3,4,5,6,9$) et, finalement, entrevoir l'utilit\'e de l'associer avec le calcul litt\'eral.
\end{enonce*}

\begin{enonce*}[remark]{R\'esultats pr\'eliminaires \'enonc\'es par Lagrange} Avant de donner son interpr\'etation de la preuve de la proposition~24, Lagrange pr\'esente avec grand soin les r\'esultats ant\'erieurs sur lesquels celle-ci repose. Ils montrent comment manipuler le concept \og $\omnesq$ \fg.

Tout d'abord (proposition~9), Cavalieri d\'emontre (voir figure~\ref{figCavProp2}, gauche) que si $\segm{AM}$, $\segm{MC}$ sont deux parall\'elogrammes (nomm\'es par une diagonale) de m\^eme inclinaison et de m\^eme hauteur, alors on a\footnote{\cite[livre~II, proposition~9]{Cav35}.} $\frac{\omnesq \; \segm{AM}}{\omnesq \; \segm{MC}}=\frac{\segm{GM}\,^2}{\segm{MH}\,^2}$, c'est-\`a-dire que le rapport des volumes des parall\'el\'epip\`edes rouge et bleu est \'egal au rapport des carr\'es des bases\footnote{Nous avons fait appara\^itre les volumes pour faciliter la compr\'ehension. Toutefois, Cavalieri se garde d'affirmer que le continu se compose d'indivisibles~\cite[p.~307]{And85}. Il s'int\'eresse aux r\'esultats math\'ematiques et moins \`a la philosophie !}. En effet, en tra\c cant des parall\`eles $\segm{DI}$ \`a la base, on a toujours $\segm{DE}=\segm{GM}$ et $\segm{EI}=\segm{MH}$. Ainsi, $\frac{\segm{DE}\,^2}{\segm{EI}\,^2}=\frac{\segm{GM}\,^2}{\segm{MH}\,^2}$ et donc \og ut unum a unum, ita omnia ad omnia\fg\footnote{Cavalieri utilise ainsi une g\'en\'eralisation hardie de la proposition~V.12 des \emph{\'El\'ements} d'Euclide : si $x_1/y_1=x_2/y_2=\ldots=x_n/y_n$, alors ce rapport est aussi \'egal \`a $\sum_{i=1}^n x_i/\sum_{i=1}^ny_i$.\label{neuclidV12}}. Lagrange note l'\og \'evidence\fg\ de cette proposition.

Ensuite (proposition~10), si $\segm{AD}$, $\segm{BD}$ sont deux parall\'elogrammes de m\^eme inclinaison, de m\^eme base~$\segm{CD}$ et de hauteur respective $\segm{AO}$, $\segm{CN}$ (voir figure~\ref{figCavProp2}, milieu), alors Cavalieri montre\footnote{\cite[livre~II, proposition~10]{Cav35}.} que $\frac{\omnesq \; \segm{AD}}{\omnesq \; \segm{BD}}=\frac{\segm{AO}}{\segm{CN}}$. Pour cela, il copie le parall\'elogramme $\segm{AD}$ vers le haut et $\segm{BD}$ vers le bas. La proposition pr\'ec\'edente entra\^ine $\omnesq \; \segm{AD}=\omnesq \; \segm{IF}=\omnesq \; \segm{HM}=\ldots$ et $\omnesq \; \segm{BD}=\omnesq \; \segm{PE}=\ldots$ de sorte que Cavalieri se repr\'esente facilement $n\cdot \omnesq \; \segm{AD}$ et $m\cdot \omnesq \; \segm{BD}$ ($m,n\in\mathbf{N}^\ast$, sur la figure $n=3$ et $m=2$). Sa preuve consiste \`a s'assurer que la d\'efinition~V.5 des \emph{\'El\'ements} d'Euclide est satisfaite\footnote{Elle d\'efinit ce que sont ``des grandeurs (...) dans le m\^eme rapport''. Celle-ci peut \^etre reformul\'ee par les \'equivalences :
\[
\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \ \Longleftrightarrow \ \parens[\Bigg]{\frac{m}{n}\gtreqqless \frac{a}{b}\Leftrightarrow\frac{m}{n}\gtreqqless \frac{c}{d}}\ \forall m,n\in\mathbf{N}^\ast \ \Longleftrightarrow \ \parens[\Big]{na\lesseqqgtr mb\Leftrightarrow nc\lesseqqgtr md}\ \forall m,n\in\mathbf{N}^\ast.
\]
Cavalieri discute de la troisi\`eme formulation avec $a=\segm{AO}$, $b=\segm{CN}$, $c=\omnesq \; \segm{AD}$ et $d=\omnesq \; \segm{BD}$. Appara\^it donc ici une manifestation de ses tentatives d'ancrer sa doctrine dans la g\'eom\'etrie traditionnelle afin de lui donner le statut de th\'eorie. Pour une \'etude de cet aspect de l'\oe uvre de Cavalieri, voir~\cite{Gan91}.}. Lagrange indique donc que cette preuve repose sur \og l'ancienne geometrie\fg.

Enfin (proposition~11), Cavalieri traite le cas de deux parall\'elogrammes de bases et de hauteurs diff\'erentes\footnote{\cite[livre~II, proposition~11]{Cav35}.} (voir figure~\ref{figCavProp2}, droite) : $\frac{\omnesq \; \segm{AD}}{\omnesq \; \segm{FM}}=\frac{\segm{CD}\,^2}{\segm{GM}\,^2}\cdot\frac{\segm{BV}}{\segm{ON}}$. En d\'ecoupant dans $\segm{AD}$ un parall\'elogramme de m\^eme hauteur que $\segm{FM}$ on a, vu les deux r\'esultats pr\'ec\'edents,
\[
\frac{\omnesq \; \segm{AD}}{\omnesq \; \segm{FM}}=\frac{\omnesq \; \segm{AD}}{\omnesq \; \segm{DP}}\cdot \frac{\omnesq \; \segm{DP}}{\omnesq \; \segm{FM}}=\frac{\segm{BV}}{\segm{ON}}\cdot\frac{\segm{CD}\,^2}{\segm{GM}\,^2}.
\]

\begin{figure}[h!]
\includegraphics[width=\textwidth]{figCavProp2}
\caption{Figures pour la proposition~9 (gauche), 10 (milieu), 11 (droite).}\label{figCavProp2}
\end{figure}

Lagrange insiste encore sur un corollaire des trois propositions pr\'ec\'edentes. Il s'agit du fait que le rapport de tous les carr\'es d'un parall\'elogramme \`a ceux d'un des triangles form\'es par une diagonale est constant quel que soit le parall\'elogramme\footnote{\cite[livre~II, proposition~22]{Cav35}.} (proposition~22) : \'etant donn\'es deux parall\'elogrammes $\segm{AS}$, $\segm{T\beta}$ (voir figure~\ref{figprop22}, gauche), alors on a
\begin{equation}\label{enoncprop22}
\frac{\omnesq \; \segm{AS}}{\omnesq \; \triangle \triang{OES}}=\frac{\omnesq \; \segm{T\beta}}{\omnesq \; \triangle \triang{\&Z\beta}}.
\end{equation}
Pour d\'emontrer cette \'egalit\'e, Cavalieri propose un double raisonnement par l'absurde sur presque quatre pages. Pour en faire comprendre l'esprit, nous en exposons une partie.

Supposons, par exemple, que le membre de gauche de~\eqref{enoncprop22} soit strictement plus grand que le membre de droite. On a donc une \'egalit\'e en rempla\c cant le d\'enominateur de gauche par $\omnesq \; \triangle \triang{OES}+\omnesq \; \Omega$ pour une certaine figure $\Omega$. \og \`A la mani\`ere ancienne\fg, comme l'\'ecrit Lagrange\footnote{Notons que la proposition~XII.2 des \emph{\'El\'ements} constitue le premier exemple euclidien de ce sch\'ema de preuve dit \og par exhaustion\fg.}, Cavalieri divise $\segm{OS}$ en deux, puis les deux segments ainsi form\'es en deux et ainsi de suite. Les segments $\triang{L9N}$, $\triang{GIK}$, $\triang{FHM}$ permettent de construire la figure $\mathcal{C}_1$, circonscrite au triangle $\triang{OES}$, form\'ee des parall\'elogrammes $\segm{LP}$, $\segm{GQ}$, $\segm{FR}$, $\segm{DS}$ et la figure inscrite $\mathcal{I}_1$ form\'ee par $\segm{9Q}$, $\segm{IR}$, $\segm{HS}$. Supposons les divisions effectu\'ees de sorte que $\omnesq \; \segm{DS}<\omnesq \; \Omega$. Nous avons un empilement de parall\'el\'epip\`edes rectangles
\[
\omnesq \; \mathcal{C}_1 = \omnesq \; \segm{DS}+\omnesq \; \segm{FR}+\omnesq \; \segm{GQ}+\omnesq \; \segm{LP}
\]
et, par exemple, $\omnesq \; \segm{DS}=\omnesq \; DM+\omnesq \; \segm{HS}+2\mathcal{R}$ c'est-\`a-dire que l'exc\`es de $\omnesq \; \segm{DS}$ sur $\omnesq \; \segm{HS}$ est la partie rouge ou blanche de $\omnesq \; \segm{DS}$ (voir figure~\ref{figprop22}, droite). Puisqu'en sommant tous les tels exc\`es pour les parall\'elogrammes suivants $\segm{FR}$, $\segm{GQ}$, $\segm{LP}$ on reconstitue $\omnesq \; \segm{DS}$, Cavalieri obtient
\[
\omnesq \; \segm{DS}=\omnesq \; \mathcal{C}_1-\omnesq \; \mathcal{I}_1<\omnesq \; \Omega \qquad \text{d'o\`u} \qquad \omnesq \; \mathcal{C}_1<\omnesq \; \triangle \triang{OES}+\omnesq \; \Omega.
\]

\begin{figure}[h!]
%\includegraphics[width=\textwidth]{figprop22}
\includegraphics[width=7.5cm,angle=0]{Prop22Or}
\includegraphics[width=4.8cm]{figprop22}
\caption{Figures pour la proposition~22.}\label{figprop22}
\end{figure}

Ainsi, vu l'hypoth\`ese de d\'epart, nous avons
\begin{equation}\label{eqprop22}
\frac{\omnesq \; \segm{AS}}{\omnesq \; \mathcal{C}_1}>\frac{\omnesq \; \segm{T\beta}}{\omnesq \; \triangle \triang{\&Z\beta}}.
\end{equation}
Il s'agit maintenant de diviser le parall\'elogramme $\segm{T\beta}$ de fa\c con similaire au pr\'ec\'edent de sorte \`a construire une figure $\mathcal{C}_2$ circonscrite au triangle $\triang{\&Z\beta}$. Par la proposition~10, on a alors
\begin{equation}\label{eqcav22proof1}
\frac{\omnesq \; \segm{AS}}{\omnesq \; \segm{DS}}=\frac{\segm{OS}}{SR}=\frac{\segm{\&\beta}}{\beta\Sigma}=\frac{\omnesq \; \segm{T\beta}}{\omnesq \; \segm{Y\beta}}
\end{equation}
et, par la proposition~9,
\begin{equation}\label{eqcav22proof1bis}
\frac{\omnesq \; \segm{Y\beta}}{\omnesq \; 4\Sigma}=\frac{\omnesq \; \segm{Y\beta}}{\omnesq \; 6\beta}=\frac{\segm{Z\beta}^2}{7\beta^2}=\frac{\segm{Z\beta}^2}{6\Sigma^2}=\frac{\segm{\&\beta}^2}{\&\Sigma^2}=\frac{\segm{OS}\,^2}{\segm{OR}\,^2}=\frac{\segm{ES}\,^2}{\segm{HR}\,^2}=\frac{\omnesq \; \segm{DS}}{\omnesq \; \segm{FR}},
\end{equation}
d'o\`u, en multipliant~\eqref{eqcav22proof1} et~\eqref{eqcav22proof1bis},
\begin{equation}\label{eqcav22proof2}
\frac{\omnesq \; \segm{AS}}{\omnesq \; \segm{FR}}=\frac{\omnesq \; \segm{T\beta}}{\omnesq \; 4\Sigma} \qquad \text{et de m\^eme} \qquad \frac{\omnesq \; \segm{AS}}{\omnesq \; \segm{GQ}}=\frac{\omnesq \; \segm{T\beta}}{\omnesq \; \Lambda\Delta}, \qquad \frac{\omnesq \; \segm{AS}}{\omnesq \; \segm{LP}}=\frac{\omnesq \; \segm{T\beta}}{\omnesq \; \Phi \mathfrak{R}}.
\end{equation}
Enfin, \`a l'aide de~\eqref{eqprop22}, \eqref{eqcav22proof1} et~\eqref{eqcav22proof2}, Cavalieri obtient finalement
\[
\frac{\omnesq \; \segm{T\beta}}{\omnesq \; \triangle\triang{\&Z\beta}}<\frac{\omnesq \; \segm{AS}}{\underbrace{\omnesq \; \segm{DS}+\omnesq \; \segm{FR}+\omnesq \; \segm{GQ}+\omnesq \; \segm{LP}}_{=\omnesq \; \mathcal{C}_1}}=\frac{\omnesq \; \segm{T\beta}}{\underbrace{\omnesq \; \segm{Y\beta}+\omnesq \; 4\Sigma+\omnesq \; \Lambda\Delta+\omnesq \; \Phi\mathfrak{R}}_{=\omnesq \; \mathcal{C}_2}}
\]
d'o\`u $\omnesq \; \mathcal{C}_2<\omnesq \; \triangle\triang{\&Z\beta}$, ce qui est une contradiction !

Lagrange se contente de r\'esumer en quelques lignes la d\'emonstration qui pr\'ec\`ede en insistant en particulier sur les proportions qui sont constantes dans les deux figures.
\end{enonce*}

\begin{enonce*}[remark]{Preuve de la proposition~24 ($\boldsymbol{m=2}$)}
Lagrange peut maintenant r\'ediger sa version de la preuve du r\'esultat de Cavalieri en reprenant les \'etapes principales de son texte. Il introduit pour cela la notation $\SSs$ (simplifi\'ee dans le manuscrit apr\`es sa quatri\`eme utilisation ($\mathbin{!}$) par $\int$) afin de remplacer l'expression originale \emph{omnia}. On peut bien s\^ur comprendre cette notation comme une somme infinie en acte m\^eme si ce n'est \'evidemment pas une somme au sens strict du terme et que Cavalieri se garde bien d'utiliser ce langage. Pour faciliter la compr\'ehension de la d\'emonstration originale de Cavalieri, nous la pr\'esentons \`a notre tour dans une version plus analytique. Nous faisons appara\^itre les variables $x$, $y$, $z$\footnote{Hieronymus Georg Zeuthen (1839--1920) semble le premier \`a avoir transcrit la preuve de Cavalieri de cette mani\`ere~\cite[\pages~260--261]{Zeu03} (voir aussi~\cite[p.~40]{Zeu95}). D'autres pr\'esentations apparaissent par exemple dans~\cite[\pages~325--326]{And85} ou~\cite[\pages~86--87]{Boy41}.} (voir figure~\ref{figCavvsLag}, gauche) et nous indiquons sur le signe $\SSs$, comme de coutume aujourd'hui, les points entre lesquels se d\'eplace la \og r\`egle\fg\ de Cavalieri.

\begin{figure}[ht!]
\includegraphics[width=\textwidth]{figCavvsLag}
\caption{Figures pour la preuve de la proposition~24 : notations (gauche), approche de Cavalieri (centre) et de Lagrange (droite).}\label{figCavvsLag}
\end{figure}

Posons $\segm{AC}=a$ et soit $M$ le milieu de la diagonale $\segm{CE}$. Dans les triangles $\triang{ECG}$ et $\triang{CAE}$, on a respectivement, en les balayant de haut en bas par une \og r\`egle\fg\ parall\`ele \`a la base~$\segm{EG}$,
\[
\SSSS{C}{G} x^2=\SSSS{C}{H} \parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a-z}^2+\SSSS{H}{G}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a+z}^2 \qquad \text{et} \qquad \SSSS{C}{G}y^2=\SSSS{C}{H}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a+z}^2+\SSSS{H}{G}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a-z}^2.
\]
Cavalieri additionne ces quantit\'es \'egales. Nous avons alors, en groupant les parties claires et fonc\'ees (voir figure~\ref{figCavvsLag}, milieu) et apr\`es modification des bornes (car $\segm{CH}=\segm{HG}$),
\[
2\SSSS{C}{G}x^2 = 2\parens*{\SSSS{C}{H}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a-z}^2+\SSSS{H}{G}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a+z}^2}.
\]
En d\'eveloppant, puisque $\SSSs{C}{H}-\!az$ et $\SSSs{H}{G}az$ s'annulent, nous avons
\[
2\SSSS{C}{G}\!x^2 = 2\parens*{\SSSS{C}{G}\parens[\Bigg]{\frac{a}{2}}^2+\SSSS{C}{H}\!z^2+\SSSS{H}{G}\!z^2}=2\parens[\big]{\omnesq \; \segm{AF}\!+\!\omnesq \;\triangle \triang{CBM}\!+\!\omnesq \;\triangle \triang{EMF}}
\]
\emph{i.e.}
\begin{center}
\includegraphics[width=12.0cm]{Exlatin}
\end{center}
Ainsi, en divisant par deux, on a
\[
\omnesq \;\triangle \triang{CEG}=\omnesq \; \segm{AF}+\omnesq \;\triangle \triang{CBM}+\omnesq \;\triangle \triang{EMF}.
\]
Dans sa pr\'esentation, Lagrange supprime l'\'etape inutile de Cavalieri consistant \`a additionner deux quantit\'es \'egales puis \`a diviser par deux en sommant de mani\`ere sym\'etrique\footnote{\og (...) si on prend $ru$ egalement eloign\'e de $\segm{EG}$ que $\segm{RV}$ l'est de $\segm{AC}$ (...).\fg} (voir figure~\ref{figCavvsLag}, droite) pour obtenir
\[
\SSSS{C}{G}y^2=\SSSS{C}{H}\bracks[\Bigg]{\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a+z}^2+\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a-z}^2}=\SSSS{C}{H}\frac{a^2}{2}+2\SSSS{C}{H}z^2=\SSSS{C}{G}\parens[\Bigg]{\frac{a}{2}}^2+2\SSSS{C}{H}z^2.
\]
Il s'agit maintenant de d\'eterminer $\SSSs{C}{H}z^2=\SSSs{C}{H}x^2$. Cavalieri d\'eduit par la proposition~22 et la proposition~11 (voir ci-dessus) que
\[
\frac{\SSSs{C}{G}x^2}{\SSSs{C}{H}x^2}=\frac{\SSSs{C}{G}a^2}{\SSSs{C}{H}\parens[\big]{\frac{1}{2}a}^2}=\frac{a^2h}{\frac{1}{4}a^2\frac{1}{2}h}=8
\]
o\`u $h$ est la hauteur du parall\'elogramme $AG$. Par cons\'equent, on obtient finalement
\[
\SSSS{C}{G}x^2=\frac{1}{4}\SSSS{C}{G}a^2+2\cdot\frac{1}{8}\SSSS{C}{G}x^2
\]
ou
\[
\SSSS{C}{G}x^2=\frac{1}{3}\SSSS{C}{G}a^2.
\]

La figure~\ref{figCavProp24} (gauche) illustre g\'eom\'etriquement le membre de gauche de l'\'egalit\'e pr\'ec\'edente. Le volume du parall\'el\'epip\`ede de hauteur $\segm{AC}$ ayant le parall\'elogramme $\quadri{ACGE}$ comme base est \'egal \`a celui de trois pyramides rouges comme d\'emontr\'e ci-dessus par Cavalieri. Notons que celui-ci ne mentionne pas que si $\quadri{ACGE}$ est un carr\'e de c\^ot\'e $a$, alors l'\'egalit\'e $\SSSs{C}{G}x^2=\frac{1}{3}a^3$ peut se voir en disposant trois pyramides identiques de sorte \`a former un cube (centre et droite).
\end{enonce*}

\begin{figure}[h!]
\includegraphics[width=4.3cm]{figCavProp24}
\hspace{.5cm}
\includegraphics[width=4.2cm,angle=0]{Prop24Fig3}
\hspace{.5cm}
\includegraphics[width=3.9cm,angle=0]{CubeGW}
\caption{Illustration du volume $\omnesq \; \triang{CAE}$ (gauche, l'id\'ee de cette figure est d\^ue \`a Paolo Palmieri~\cite{Pal09}) et deux vues d'un cube d\'ecompos\'e en trois pyramides identiques (figure de l'auteur au centre et de Gerhard Wanner \`a droite).}\label{figCavProp24}
\end{figure}

\begin{enonce*}[remark]{L'introduction de l'\emph{Exercitatio quarta}}
La suite de la note de Lagrange montre qu'il a lu l'introduction de l'\emph{Exercitatio quarta}\footnote{\cite[\pages~243--245]{Cav47}. Celle-ci est traduite en fran\c cais dans~\cite[\pages~367--369]{Bos22}.} dans laquelle Cavalieri raconte l'histoire de sa d\'ecouverte. On y apprend qu'en r\'efl\'echissant \`a la mesure du \og fuseau parabolique\fg, solide engendr\'e par la rotation d'une parabole autour du segment reliant ses extr\'emit\'es, comme Johannes Kepler (1571--1630) en a appel\'e \`a le faire dans sa \emph{Stereometria}\footnote{Kepler pr\'evient que l'\'etude du fuseau parabolique est plus difficile que celles qu'il a d\'ej\`a pr\'esent\'ees car \og la m\'ethode de d\'emonstration qu'il a employ\'ee jusqu'ici \'echoue\fg\ (\og Restat nunc difficilior de Fusis Parabolicis \& Hyperbolicis contemplatio, in qua nos demonstrationis methodus hactenus adhibita rursum deficit.\fg, \cite{Kep15}, scholie avant la proposition~XXIII.) Il invite les g\'eom\`etres, en particulier Willebrord Snell (1580--1626), \`a rechercher sa cubature (fin de la Part.~I).}, Cavalieri se rend compte qu'il peut r\'esoudre ce probl\`eme \`a la condition suivante : conna\^itre \og la raison de la somme des carr\'es-carr\'es du parall\'elogramme \`a la somme des carr\'es-carr\'es faits sur les segments d\'etermin\'es par l'un quelconque des deux triangles\fg.

\begin{center}
\includegraphics[width=.4\textwidth]{parabole}
\end{center}

Consid\'erons en effet la parabole $\triang{CAI}$ ci-dessus et le solide engendr\'e par sa r\'evolution autour de $\segm{CI}$. Cavalieri d\'emontre\footnote{\cite[proposition~XXIV, \pages~281--282]{Cav47}.} que le rapport du volume de ce solide \`a celui du cylindre circonscrit est \'egal \`a $\frac{8}{15}$. Pour cela, il suffit de d\'eterminer le rapport du demi \og fusus parabolicus\fg\ engendr\'e par $\quadri{ABCH}$ au cylindre engendr\'e par $\quadri{ABCD}$. Comme $\segm{EF}=\segm{EH}+\segm{HF}$, on a
\[
\SSSS{A}{D}\segm{EF}\,^2=\SSSS{A}{D}\segm{EH}\,^2+2\SSSS{A}{D}\segm{EH}\cdot \segm{HF}+\SSSS{A}{D}\segm{HF}\,^2
\]
et, par cons\'equent,
\begin{equation}\label{eqcavfusus}
1=\frac{\SSs \segm{EH}\,^2}{\SSs \segm{EF}\,^2}+2\,\frac{\SSs \segm{EH}\cdot \segm{HF}}{\SSs \segm{EF}\,^2}+\frac{\SSs \segm{HF}\,^2}{\SSs \segm{EF}\,^2}.
\end{equation}
Le rapport recherch\'e \'etant le premier terme du membre de droite, il faut donc d\'eterminer les deux autres rapports. Pour le terme central, en utilisant la quadrature de la parabole, Cavalieri consid\`ere
\begin{equation}\label{eqcavfusus2}
\frac{1}{3}=\frac{\SSs \segm{HF}}{\SSs \segm{EF}}=\frac{\SSs \segm{EF}\cdot \segm{HF}}{\SSs \segm{EF}\,^2}=\frac{\SSs(\segm{EH}+\segm{HF})\segm{HF}}{\SSs \segm{EF}\,^2}=\frac{\SSs \segm{EH}\cdot \segm{HF}}{\SSs \segm{EF}\,^2}+\frac{\SSs \segm{HF}\,^2}{\SSs \segm{EF}\,^2}
\end{equation}
o\`u le dernier terme appara\^it aussi dans~\eqref{eqcavfusus}. Comme $\segm{AF}\,^2=\segm{HF}$, $\segm{AD}\,^2=\segm{EF}$ et $\frac{\segm{AF}}{\segm{AD}}=\frac{\segm{GF}}{\segm{EF}}$ d'o\`u $\frac{\segm{HF}\,^2}{\segm{EF}\,^2}=\frac{\segm{GF}\,^4}{\segm{EF}\,^4}$, ce terme devient donc\footnote{Cavalieri utilise ici une g\'en\'eralisation de son principe (voir la note~\ref{neuclidV12}) avec deux familles de rapports. En effet, la proposition~V.12 des \emph{\'El\'ements} se g\'en\'eralise : si $x_i/y_i=X_i/Y_i$ et $x_i/X_i=x_{i+1}/X_{i+1}$ pour $i=1,\dotsc,n$, alors $\sum_{i=1}^nx_i/\sum_{i=1}^ny_i=\sum_{i=1}^nX_i/\sum_{i=1}^nY_i$ (voir~\cite[\pages~260--261]{Cav47}). Ici $x_i/X_i=1/\segm{EF}\,^2$.\label{neuclidV12gen}}
\begin{equation}\label{eqcavfusus3}
\frac{\SSs \segm{HF}\,^2}{\SSs \segm{EF}\,^2}=\frac{\SSs \segm{GF}\,^4}{\SSs \segm{EF}\,^4}=\frac{\omnesqq \;\triangle \triang{ACD}}{\omnesqq \; \segm{BD}}.
\end{equation}
Cavalieri parvient \`a montrer que ce rapport est \'egal \`a $\frac{1}{5}$ (voir ci-dessous). Ainsi, \`a l'aide de~\eqref{eqcavfusus2} et de~\eqref{eqcavfusus}, il trouve finalement
\[
\frac{\SSs \segm{EH}\,^2}{\SSs \segm{EF}\,^2} = 1-2\parens[\Bigg]{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}-\frac{1}{5}=\frac{8}{15}.
\]

En r\'esolvant cette question, Cavalieri r\'ealise qu'il obtient de mani\`ere inattendue \og un tr\'esor beaucoup plus pr\'ecieux que la mesure de [ce solide]\fg. Le r\'esultat trouv\'e pour~\eqref{eqcavfusus3} est un d\'eclic. Il \'ecrit :
\begin{quote}
\og Rapprochant ensuite ce r\'esultat de ceux du {Livre II} de ma \emph{Geometria}, je me rappelais que dans la {Prop.~19} il est dit que toutes les lignes du parall\'elogramme sont doubles de toutes les lignes du triangle ; et dans la {Prop.~24} que les carr\'es de ces lignes sont triples des carr\'es des lignes du triangle. Pour ne pas laisser d'espace vide entre les carr\'es et les carr\'es-carr\'es, je m'appliquais \`a trouver aussi le rapport de tous les cubes du parall\'elogramme \`a tous les cubes des dits triangles. Je d\'ecouvris qu'il \'etait quadruple. Je vis donc, non sans grande surprise, que toutes les lignes \'etaient en raison double, tous les carr\'es en raison triple, tous les cubes en raison quadruple, tous les carr\'es-carr\'es en raison quintuple. J'en conclus que tous les carr\'es-cubes devaient \^etre en raison sextuple, tous les cubo-cubes en raison octuple (\emph{sic}) et ainsi de suite d'apr\`es l'ordre naturel des nombres en commen\c cant par l'unit\'e. Voil\`a le tr\'esor que le premier, que je sache, j'ai d\'ecouvert \`a l'occasion de la mesure du fuseau parabolique. Je l'ai signal\'e moi-m\^eme aux g\'eom\`etres avant 1640 apr\`es le dernier probl\`eme de ma \emph{Centuria}\footnote{\cite{Cav39}. Il s'agit d'un recueil de probl\`emes divers ayant pour objectif de montrer l'utilit\'e des logarithmes. C'est la premi\`ere fois que ce r\'esultat est publi\'e~\cite[p.~85]{Boy41}.\label{ncenturia}}.\fg~\cite[p.~244]{Cav47}, \cite[p.~368]{Bos22}
\end{quote}

Dans la suite de l'introduction, Cavalieri mentionne avoir communiqu\'e ses d\'ecouvertes au P\`ere Nic\'eron (1613--1646) (de l'ordre des Minimes, tout comme le P\`ere Mersenne (1588--1648)) afin de les faire conna\^itre aux math\'ematiciens parisiens. Les explications de Jean de Beaugrand re\c cues en retour impressionnent Cavalieri et le poussent \`a lui proposer de nouvelles questions\footnote{Voir la note~\ref{nmercav}.}. Toutefois, les \'enonc\'es de celles-ci ne parviendront jamais \`a Beaugrand et l'annonce de sa mort peu de temps apr\`es encouragera Cavalieri \`a poursuivre son travail en y ins\'erant les d\'ecouvertes du d\'efunt \og pour qu'elles ne se perdent pas\fg. Ceci est \`a l'origine de la r\'edaction de la quatri\`eme partie de ses \emph{Exercitationes geometric\ae\ sex}~\cite{Cav47}.
\end{enonce*}

\begin{enonce*}[remark]{Les tentatives de g\'en\'eralisation de Cavalieri}
Face aux cas $m=3$ et $m=4$, Cavalieri n'est pas dans la position de faire des essais afin de valider sa th\'eorie par applications de celle-ci pour obtenir des propositions d\'ej\`a connues et d\'emontr\'ees par d'autres voies. Il doit trouver de nouveaux r\'esultats \og d\'epassant par l\`a m\^eme le cadre de la g\'eom\'etrie proprement dite\fg, comme l'\'ecrit Koyr\'e\footnote{\cite[\pages~353--354]{Koy61}.}.

Avec les m\^emes notations et la m\^eme figure utilis\'ee pour la preuve du cas $m=2$ (voir aussi la figure~\ref{figcavlag}), les d\'emonstrations de Cavalieri peuvent se transposer de la mani\`ere suivante.
\end{enonce*}

\begin{enonce*}[remark]{Preuve pour $\boldsymbol{m=3}$}
Dans ce cas\footnote{\cite[proposition~XXI, \pages~273--274]{Cav47}. Pour une traduction du texte en anglais, voir~\cite[\pages~215--216]{Str69}.}, Cavalieri utilise une structure de preuve diff\'erente que celle pour $m=2$. Utilisant d'embl\'ee le r\'esultat pour ce cas, il obtient
\[
3=\frac{\SSSs{C}{G}a^2}{\SSSs{C}{G}x^2}=\frac{\SSSs{C}{G}a^3}{\SSSs{C}{G}ax^2} \qquad \text{d'o\`u} \qquad \SSSS{C}{G}a^3=3\SSSS{C}{G}ax^2=3\SSSS{C}{G}(x+y)x^2=3\SSSS{C}{G}x^3+3\SSSS{C}{G}yx^2.
\]
Or, il sait aussi que
\begin{equation}\label{deveq3}
\SSSS{C}{G}a^3=\SSSS{C}{G}(x+y)^3=\SSSS{C}{G}x^3+3\SSSS{C}{G}x^2y+3\SSSS{C}{G}xy^2+\SSSS{C}{G}y^3.
\end{equation}
En \'egalant cette derni\`ere expression avec la pr\'ec\'edente et en utilisant $\SSSs{C}{G}x^3=\SSSs{C}{G}y^3$, il trouve
\[
\SSSS{C}{G}x^3=3\SSSS{C}{G}xy^2 \qquad \text{et donc aussi} \qquad \SSSS{C}{G}y^3=3\SSSS{C}{G}x^2y.
\]
Par cons\'equent, l'égalité \eqref{deveq3} devient $\SSSs{C}{G}a^3=4\SSSs{C}{G}x^3$.
\end{enonce*}

\begin{enonce*}[remark]{Preuve pour $\boldsymbol{m=4}$}
Ici\footnote{\cite[proposition~XXII, \pages~274--277]{Cav47}.}, Cavalieri reprend la m\^eme id\'ee d'amorce que dans le cas $m=2$ car l'approche pour $m=3$ ne se g\'en\'eralise pas \`a ce cas :
\[
\SSSS{C}{G} x^4=\SSSS{C}{H}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a-z}^4+\SSSS{H}{G}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a+z}^4, \qquad \SSSS{C}{G} y^4=\SSSS{C}{H}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a+z}^4+\SSSS{H}{G}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a-z}^4.
\]
En additionnant ces expressions, on trouve apr\`es avoir d\'evelopp\'e et effectu\'e les simplifications n\'ecessaires\footnote{\og Quapropter $\tomnesqq$ triangulorum, $\triang{CAE}$, $\triang{CGE}$, \ae quabuntur $\tomnesqq$ $\segm{AF}$, \& triangulorum, $\triang{CBM}$, $\triang{EMF}$, bis una cum 12. factis sub $\tomnesq$ $\segm{AF}$, \& sub $\tomnesq$ triangulorum, $\triang{CBM}$, $\triang{EMF}$\fg~\cite[p.~275]{Cav47}. Nous avons modifi\'e les lettres du texte original pour qu'elles correspondent \`a notre figure.\label{ntrad}}
\[
\SSSS{C}{G} x^4+\SSSS{C}{G} y^4=2\bracks*{\SSSS{C}{G}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a}^4+\SSSS{C}{H}z^4+\SSSS{H}{G}z^4}+12\bracks*{\SSSS{C}{H}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a}^2z^2+\SSSS{H}{G}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a}^2z^2}
\]
ou
\begin{equation}\label{eq4cav1}
\SSSS{C}{G} x^4=\SSSS{C}{G}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a}^4+\SSSS{C}{H}z^4+\SSSS{H}{G}z^4+6\bracks*{\SSSS{C}{H}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a}^2z^2+\SSSS{H}{G}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a}^2z^2}.
\end{equation}
Son id\'ee, t\'emoignant de la difficult\'e \'eprouv\'ee face \`a cette preuve, est de d\'ecomposer le rapport recherch\'e en un produit de rapports connus. Tout d'abord, par une g\'en\'eralisation de~\eqref{enoncprop22}, on a (en notant $h$ la hauteur du parall\'elogramme $AG$)
\begin{equation}\label{eq4cav2}
\frac{\SSSs{C}{G}x^4}{\SSSs{C}{H}z^4}=\frac{\SSSs{C}{G}a^4}{\SSSs{C}{H}\parens[\big]{\frac{1}{2}a}^4}=\frac{a^4h}{\parens[\big]{\frac{1}{2}a}^4\frac{1}{2}h}=32\qquad\text{d'o\`u}\qquad\frac{\SSSs{C}{G}x^4}{\SSSs{C}{H}z^4+\SSSs{H}{G}z^4}=16,
\end{equation}
et donc~\eqref{eq4cav1} devient
\begin{equation}\label{eq4cav3}
15=16-1=\frac{\SSSs{C}{G} x^4-\SSSs{C}{H}z^4-\SSSs{H}{G}z^4}{\SSSs{C}{H}z^4+\SSSs{H}{G}z^4}=\frac{\SSSs{C}{G}\parens[\big]{\frac{1}{2}a}^4+6\SSSs{C}{H}\parens[\big]{\frac{1}{2}a}^2z^2+6\SSSs{H}{G}\parens[\big]{\frac{1}{2}a}^2z^2}{\SSSs{C}{H}z^4+\SSSs{H}{G}z^4}.
\end{equation}
Puis, en multipliant
\begin{equation}\label{eq4cav4}
\frac{\SSSs{C}{G}\parens[\big]{\frac{1}{2}a}^2a^2}{\SSSs{C}{G}\parens[\big]{\frac{1}{2}a}^4}=4
\end{equation}
et
\begin{equation}\label{eq4cav5}
\frac{\SSSs{C}{G}\parens[\big]{\frac{1}{2}a}^4}{6\SSSs{C}{H}\parens[\big]{\frac{1}{2}a}^2z^2+6\SSSs{H}{G}\parens[\big]{\frac{1}{2}a}^2z^2}=\frac{\SSSs{C}{G}\parens[\big]{\frac{1}{2}a}^2}{6\SSSs{C}{H}z^2+6\SSSs{H}{G}z^2}=\frac{2\SSSs{C}{H}\parens[\big]{\frac{1}{2}a}^2}{12\SSSs{C}{H}z^2}=\frac{1}{6}\cdot3=\frac{1}{2},
\end{equation}
il trouve
\begin{equation}\label{eq4cav6}
\frac{\SSSs{C}{G}\parens[\big]{\frac{1}{2}a}^2a^2}{6\SSSs{C}{H}\parens[\big]{\frac{1}{2}a}^2z^2+6\SSSs{H}{G}\parens[\big]{\frac{1}{2}a}^2z^2}=2.
\end{equation}
Ensuite, \eqref{eq4cav6} et~\eqref{eq4cav4}, livrent
\begin{equation}\label{eq4cav7}
\frac{\SSSs{C}{G}\parens[\big]{\frac{1}{2}a}^2a^2}{\SSSs{C}{G}\parens[\big]{\frac{1}{2}a}^4+6\SSSs{C}{H}\parens[\big]{\frac{1}{2}a}^2z^2+6\SSSs{H}{G}\parens[\big]{\frac{1}{2}a}^2z^2}=\parens[\Bigg]{\frac{1}{4}+\frac{1}{2}}^{-1}=\frac{4}{3}.
\end{equation}
Enfin, en multipliant~\eqref{eq4cav7}, \eqref{eq4cav3} et l'inverse de~\eqref{eq4cav2}, Cavalieri trouve
\[
\frac{\SSSs{C}{G}\parens[\big]{\frac{1}{2}a}^2a^2}{\SSSs{C}{G}x^4}=\frac{4}{3}\cdot15\cdot\frac{1}{16}=\frac{5}{4}
\]
et donc $\SSSs{C}{G}a^4=5\SSSs{C}{G}x^4$.

Plus $m$ devient grand, plus il est difficile pour Cavalieri de trouver le moyen de d\'emontrer l'\'egalit\'e $\SSSs{C}{G}a^m=(m+1)\SSSs{C}{G}x^m$ puisque le nombre de rapports partiels \`a d\'eterminer augmente. C'est ce qu'il explique \`a Evangelista Torricelli (1608--1647) dans sa lettre du 25 octobre 1644 :
\begin{quote}
\og En somme, vous avez \'egalement recueilli le beau et le bien qui, il me semble, peuvent \^etre d\'eduits de ce lemme dont, m\^eme si je ne l'ai pas enti\`erement d\'emontr\'e par moi-m\^eme, ce que j'ai prouv\'e a pu cependant \'eclairer le reste, le tout consistant en la d\'ecomposition des dignit\'es\footnote{Ce terme est utilis\'e ici par Cavalieri pour d\'esigner les produits (ou mon\^omes) qui apparaissent : \og Cela est plus connu des G\'eom\`etres sous le nom de puissance que sous celui de Dignit\'e.\fg\ (A. Sav\'erien, \emph{Dictionnaire universel de math\'ematique et de physique}, Tome 1, J. Rollin, Paris, 1753, p.~275)} alg\'ebriques faites par le diam\`etre du parall\'elogramme et par la ligne divisant en deux les c\^ot\'es oppos\'es ; celle-ci, m\^eme si elle appara\^it facile dans les lignes, les carr\'es et les cubes, plus on monte, plus le nombre de pi\`eces grandit, et en voulant marcher pr\'ecis\'ement le long de la route que j'ai prise, elle devient beaucoup plus confuse, et pourtant j'y suis rest\'e ; si la pratique de l'Alg\`ebre litt\'erale m'avait \'et\'e connue, comme alors je n'y avais pas pr\^et\'e attention et je l'ai vu ensuite, j'aurais lev\'e une telle confusion, et j'aurais fini moi aussi la d\'emonstration puisqu'elle consiste en ladite d\'ecomposition. Mais tout sera mieux compris par la d\'emonstration.\fg
\begin{flushright}
\cite[III, \pages~234--235]{Tor19}, \cite[p.~79]{Giu80} (trad. N.E. \& P.H.)
\end{flushright}
\end{quote}
\end{enonce*}

\begin{enonce*}[remark]{La g\'en\'eralisation de Cavalieri}
Cavalieri est tout \`a fait lucide lorsqu'il indique \`a Torricelli que la principale difficult\'e qui l'arr\^ete est sa faible pratique du calcul litt\'eral. Selon son propre aveu, il ne sait \og pas tr\`es bien g\'erer les op\'erations alg\'ebriques\fg\footnote{\cite[p.~78]{Giu80}.}. Une lettre \'ecrite par Beaugrand peu avant son d\'ec\`es\footnote{Cette lettre est aujourd'hui perdue~\cite[p.~339]{And85}.} et contenant un lemme utile (voir figure~\ref{lembeau}) va procurer \`a Cavalieri les lumi\`eres n\'ecessaires pour effectuer une preuve de structure similaire pour tous les autres cas.
\end{enonce*}

\begin{figure}[h!]
 \raisebox{-0.5\height}{\includegraphics[width=7.0cm]{Beaugrand6}}
\hspace{.1cm}
\begin{minipage}[c]{5cm}
\begin{scriptsize}
\begin{align*}
	& 2 \ : \ 2\mathbf{a}^2+2\mathbf{b}^2
\\	& 3 \ : \ 2\mathbf{a}^3+6\mathbf{a}\mathbf{b}^2
\\	& 4 \ : \ 2\mathbf{a}^4+12\mathbf{a}^2\mathbf{b}^2+2\mathbf{b}^4
\\	& 5 \ : \ 2\mathbf{a}^5+20\mathbf{a}^3\mathbf{b}^2+10\mathbf{a}\mathbf{b}^4
\\	& 6 \ : \ 2\mathbf{a}^6+30\mathbf{a}^4\mathbf{b}^2+30\mathbf{a}^2\mathbf{b}^4+2\mathbf{b}^6
\\	& 7 \ : \ 2\mathbf{a}^7+42\mathbf{a}^5\mathbf{b}^2+70\mathbf{a}^3\mathbf{b}^4+14\mathbf{a}\mathbf{b}^6
\\	& 8 \ : \ 2\mathbf{a}^8+56\mathbf{a}^6\mathbf{b}^2+140\mathbf{a}^4\mathbf{b}^4+56\mathbf{a}^2\mathbf{b}^6+2\mathbf{b}^8
\\	& 9 \ : \ 2\mathbf{a}^9+72\mathbf{a}^7\mathbf{b}^2+252\mathbf{a}^5\mathbf{b}^4+168\mathbf{a}^3\mathbf{b}^6+18\mathbf{a}\mathbf{b}^8
\end{align*}
\end{scriptsize}
\end{minipage}
\caption{Le lemme de Beaugrand : d\'eveloppement de $(\mathbf{a}-\mathbf{b})^m+(\mathbf{a}+\mathbf{b})^m$ pour $m=6$ (gauche) \cite[\pages~283--285]{Cav47} et $m=2,\dotsc,9$ (droite).}\label{lembeau}
\end{figure}

\begin{enonce*}[remark]{Preuve pour $\boldsymbol{m=5}$}
Dans ce cas\footnote{\cite[proposition~XXV, \pages~286--287]{Cav47}.}, le lemme indiqu\'e par Beaugrand appliqu\'e avec $\mathbf{a}=\frac{1}{2}a$ et $\mathbf{b}=z$ livre, en groupant selon $\SSSs{C}{\!H}$ et $\SSSs{H}{G}$,
\[
\begin{split}
\SSSS{C}{G}x^5+\SSSS{C}{G}y^5
	& = \SSSS{C}{H}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a-z}^5+\SSSS{H}{G}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a+z}^5+\SSSS{C}{H}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a+z}^5+\SSSS{H}{G}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a-z}^5
\\	& = \SSSS{C}{H}2\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a}^5+20\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a}^3z^2+10\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a}z^4+\SSSS{H}{G}2\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a}^5+20\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a}^3z^2+10\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a}z^4
\end{split}
\]
ou\footnote{\og Bis $\tomnesqc$ trianguli, $\triang{CEG}$, \ae quantur bis $\tomnesqc$ $\segm{AF}$, plus $40$ factis sub $\tomnesc$~$\segm{DF}$, \& sub $\tomnesq$~$\triang{EMF}$, plus $20$.\ factis sub $\tomnesl$~$\segm{DF}$, \& sub $\tomnesqq$~$\triang{EMF}$\fg~\cite[p.~287]{Cav47}. La m\^eme remarque que celle figurant \`a la note~\ref{ntrad} s'applique.}
\[
2\SSSS{C}{G}x^5=2\SSSS{C}{G}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a}^5+40\SSSS{H}{G}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a}^3z^2+20\SSSS{H}{G}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a}z^4.
\]
Or, Cavalieri sait que
\[
\frac{\SSSs{H}{G}\parens[\big]{\frac{1}{2}a}^5}{\SSSs{H}{G}\parens[\big]{\frac{1}{2}a}^3z^2}=\frac{\SSSs{H}{G}\parens[\big]{\frac{1}{2}a}^2}{\SSSs{H}{G}z^2}=3\qquad\text{d'o\`u}\qquad 40\SSSS{H}{G}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a}^3z^2=\frac{40}{3}\SSSS{H}{G}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a}^5=\frac{20}{3}\SSSS{C}{G}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a}^5
\]
et
\[
\frac{\SSSs{H}{G}\parens[\big]{\frac{1}{2}a}^5}{\SSSs{H}{G}\parens[\big]{\frac{1}{2}a}z^4}=\frac{\SSSs{H}{G}\parens[\big]{\frac{1}{2}a}^4}{\SSSs{H}{G}z^4}=5\qquad\text{d'o\`u}\qquad 20\SSSS{H}{G}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a}z^4=4\SSSS{H}{G}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a}^5=2\SSSS{C}{G}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a}^5.
\]
Ainsi, il trouve
\[
2\SSSS{C}{G}x^5=\parens[\Bigg]{2+\frac{20}{3}+2}\SSSS{C}{G}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a}^5=\frac{32}{3}\cdot\frac{1}{32}\SSSS{C}{G}a^5
\]
et donc $\SSSs{C}{G}a^5=6\SSSs{C}{G}x^5$.

Cavalieri traite encore sur un mod\`ele identique les cas\footnote{\cite[proposition~XXVI, \pages~288--289]{Cav47}, \cite[proposition~XXVII, \pages~289--290]{Cav47}.} $m=6$ et $m=9$. Le lecteur nous saura gr\'e de lui \'epargner les d\'etails. La structure de cette preuve peut en effet \^etre r\'eutilis\'ee afin d'obtenir le r\'esultat pour d'autres valeurs de $m$, \`a condition de conna\^itre le d\'eveloppement sugg\'er\'e par Beaugrand et d'avoir d\'emontr\'e le r\'esultat pour les cas pr\'ec\'edents. Toutefois, l'ampleur de la t\^ache ne cesse de cro\^itre et une preuve g\'en\'erale ne peut \^etre obtenue sans parvenir \`a en exprimer son m\'ecanisme.
\end{enonce*}

\begin{figure}[h!]
\includegraphics[width=5cm]{Prop24Or}
\hspace{.5cm}
\includegraphics[width=4.8cm]{LagrangeCav}
\caption{Copie par Lagrange (droite) de la figure de Cavalieri (gauche).}\label{figcavlag}
\end{figure}

\begin{enonce*}[remark]{La g\'en\'eralisation de Lagrange}
La r\'edaction de la preuve propos\'ee par Lagrange n'est pas d'un acc\`es ais\'e de prime abord (bornes d'int\'egration absentes, notations compliqu\'ees). En reprenant nos notations habituelles, nous la pr\'esentons de la mani\`ere suivante.

Tout comme Cavalieri, Lagrange utilise l'identit\'e de Beaugrand
\begin{equation}\label{eqlagm}
(\mathbf{a}+\mathbf{b})^m+(\mathbf{a}-\mathbf{b})^m=2\mathbf{a}^m+2\binom{m}{2}\mathbf{a}^{m-2}\mathbf{b}^2+2\binom{m}{4}\mathbf{a}^{m-4}\mathbf{b}^4+ \cdots.
\end{equation}
\`A l'aide de~\eqref{eqlagm}, en sommant \`a nouveau de mani\`ere sym\'etrique, il trouve alors
\begin{equation}\label{lagproof1}
\begin{split}
\SSSS{C}{G}y^m
	& =\SSSS{C}{H}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a+z}^m+\SSSS{H}{G}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a-z}^m
\\	& = \SSSS{C}{H}\bracks[\Bigg]{\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a+z}^m+\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a-z}^m}
\\	& = \SSSS{C}{G}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a}^m+{\binom{m}{2}}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a}^{m-2}2\SSSS{C}{H}z^2+{\binom{m}{4}}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a}^{m-4}2\SSSS{C}{H}z^4+ \cdots.
\end{split}
\end{equation}
Or, on a d'une part $\frac{\SSSs{C}{G}y^{2m}}{2\SSSs{C}{H}z^{2m}}=\frac{\SSSs{C}{G}a^{2m}}{2\SSSs{C}{H}\parens*{\frac{1}{2}a}^{2m}}=2^{2m}$ (proposition~22) d'o\`u l'\'egalit\'e $2\SSSs{C}{H}z^{2m}=\frac{1}{2^{2m}}\SSSs{C}{G}y^{2m}$ et, d'autre part, $\SSSs{C}{G}\parens*{\frac{1}{2}a}^m=\frac{1}{2^m}\SSSs{C}{G}a^m$. Ainsi, \eqref{lagproof1} devient
\begin{equation}\label{lagproof2}
\SSSS{C}{G}y^m=\frac{1}{2^m}\SSSS{C}{G}a^m+{\binom{m}{2}}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a}^{m-2}\cdot\frac{1}{2^2}\SSSS{C}{G}y^2+{\binom{m}{4}}\parens[\Bigg]{\frac{1}{2}a}^{m-4}\cdot\frac{1}{2^4}\SSSS{C}{G}y^4+ \cdots.
\end{equation}
\og Or on a prouv\'e\fg, \'ecrit-il, par hypoth\`ese de r\'ecurrence, que $\SSSs{C}{G}y^2=\frac{1}{3}\SSSs{C}{G}a^2$, $\SSSs{C}{G}y^4=\frac{1}{5}\SSSs{C}{G}a^4$ et ainsi de suite. Par cons\'equent, \eqref{lagproof2} devient
\begin{equation}\label{lagproof3}
\SSSS{C}{G}y^m=\frac{1}{2^m}\SSSS{C}{G}a^m+\binom{m}{2}\frac{a^{m-2}}{2^{m-2}}\cdot\frac{1}{2^2}\cdot\frac{1}{3}\SSSS{C}{G}a^2+\binom{m}{4}\frac{a^{m-4}}{2^{m-4}}\cdot\frac{1}{2^4}\cdot\frac{1}{5}\SSSS{C}{G}a^4+ \cdots.
\end{equation}
Mais, puisque nous avons \og en general\fg\ $\SSSs{C}{G}a^m=a^mb$ o\`u $b=\segm{AE}$, \eqref{lagproof3} devient
\begin{equation}\label{lagproof4}
\SSSS{C}{G}y^m=\frac{1}{2^m}a^mb+\binom{m}{2}\frac{a^{m}b}{2^{m}\cdot3}+\binom{m}{4}\frac{a^{m}b}{2^{m}\cdot5}+\dotso= \frac{a^mb}{2^m}\parens*{1+\binom{m}{2}\cdot\frac{1}{3}+\binom{m}{4}\cdot\frac{1}{5}+\dots}.
\end{equation}
Ceci donne :
\begin{alignat*}{3}
	& m=1	\quad&&\SSSS{C}{G}y=\frac{ab}{2}\parens*{=\frac{\SSSs{C}{G}a}{2}\,},
\\	& m=2	\quad&&\SSSS{C}{G}y^2=\frac{a^2b}{4}\parens[\Bigg]{1+\frac{1}{3}}=\frac{a^2b}{3}\parens*{=\frac{\SSSs{C}{G}a^2}{3}\,},
\\	& m=3	\quad&&\SSSS{C}{G}y^3=\frac{a^3b}{8}\parens[\Bigg]{1+3\cdot\frac{1}{3}}=\frac{a^3b}{4}\parens*{=\frac{\SSSs{C}{G}a^3}{4}\,},
\\	& m=4	\quad&&\SSSS{C}{G}y^4=\frac{a^4b}{16}\parens[\Bigg]{1+6\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}=\frac{a^4b}{5}\parens*{=\frac{\SSSs{C}{G}a^4}{5}\,},
\end{alignat*}
\og et ainsi de suite\fg. Pour \'etablir l'expresssion g\'en\'erale, il s'agit de trouver la somme de la s\'erie du membre de droite de~\eqref{lagproof4}. Pour cela, Lagrange int\`egre
\[
1+\binom{m}{2}x^2+\binom{m}{4}x^4+\dotso=\frac{(1+x)^m+(1-x)^m}{2}
\]
d'o\`u
\[
x+\binom{m}{2}\frac{x^3}{3}+\binom{m}{4}\frac{x^5}{5}+\dotso=\frac{(1+x)^{m+1}-(1-x)^{m+1}}{2(m+1)}
\]
qui, pour $x=1$ donne $\frac{2^{m}}{m+1}$, la somme recherch\'ee. Ainsi, nous avons
\[
\SSSS{C}{G}y^m=\frac{a^mb}{m+1}\parens*{=\frac{\SSSs{C}{G}a^m}{m+1}\,}.
\]

Lagrange se rend compte que cette derni\`ere int\'egration n'a pas lieu d'\^etre puisqu'il utilise dans sa preuve ce qu'il cherche \`a d\'emontrer ! Il ne met alors un point final \`a sa note qu'apr\`es avoir ajout\'e comment obtenir la somme de la s\'erie sans int\'egrer. Lagrange ne pousse probablement pas sa lecture de l'\emph{Exercitatio quarta} plus loin car aucune mention n'est faite des applications du r\'esultat pr\'esent\'ees par Cavalieri.
\end{enonce*}

\begin{enonce*}[remark]{Applications du \og tr\'esor\fg\ par Cavalieri}
Le premier des probl\`emes envoy\'es par Cavalieri \`a Beaugrand\footnote{On trouve l'\'enonc\'e des ces probl\`emes dans une lettre de Cavalieri \`a Mersenne du 23 novembre 1641~\cite[IV, \pages~71--81]{FOE}. Apr\`es avoir d\'efini les courbes de la figure~\ref{figcavxn} (gauche) point par point par $\frac{\segm{AC}}{\segm{AB}}=\frac{\segm{BE}}{\segm{BG}}=\frac{\segm{BE}^2}{\segm{BH}^2}=\frac{\segm{BE}^3}{BI^3}=\ldots$ ($\segm{AC}=b$, $\segm{AB}=y$, $\segm{BE}=a$), Cavalieri demande : (1)~On sait que $\frac{2}{1}\quadri{AGDC}=\segm{FC}$ et $\frac{3}{2}\quadri{AHDC}=\segm{FC}$. Est-il vrai que $\frac{4}{3}\quadri{AIDC}=\segm{FC}$, $\frac{5}{4}\quadri{AKDC}=\segm{FC}$ et ainsi de suite ? Cette question se r\'esume aujourd'hui pour nous \`a la formule $\parens[\big]{\frac{n+1}{n}}\bracks[\big]{ab-\int_0^a\frac{b}{a^n}x^n\,\dd x}=ab$. (2)~Trouver le rapport du cyclindre circonscrit \`a chacun des solides engendr\'es par la r\'evolution des courbes autour de $\segm{AC}$. (Il est d\'ej\`a connu que le cyclindre est triple du c\^one et double du cono\"ide parabolique). Aujourd'hui, on obtient imm\'ediatement $\pi a^2b/\bracks[\big]{\pi a^2b-2\pi\int_0^a\frac{b}{a^n}x^{n+1}\,\dd x}=(n+2)/n$. (3)~Trouver le rapport du cyclindre circonscrit \`a chacun des solides engendr\'es par la r\'evolution des courbes autour de $\segm{CD}$. (Comme on l'a vu, Cavalieri a trouv\'e que le cyclindre repr\'esente les $\frac{15}{8}$ du solide engendr\'e par $\quadri{AHDC}$ qui est la moiti\'e d'un fuseau parabolique). La r\'eponse \`a cette question peut aujourd'hui \^etre donn\'ee par $\pi b^2a/\bracks[\big]{\pi\int_0^a\parens[\big]{b-\frac{b}{a^n}x^n}^2\dd x}$ qui est \'egal \`a $1/\parens[\big]{1-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{2n+1}}$. (4)~Les courbes pour $n\ge3$ sont-elles des sections coniques ? Peut-on les rectifier ?\label{nmercav}} mentionn\'es ci-dessus permet de comprendre comment Cavalieri revient au \og cadre de la g\'eom\'etrie\fg\ en envisageant une repr\'esentation concr\`ete de son r\'esultat pour $m\ge3$. Ce probl\`eme concerne la quadrature des espaces d\'elimit\'es par les courbes $y=\frac{b}{a^m}x^m$ (voir figure~\ref{figcavxn}) : $\quadri{AGDF}$ est le premier espace, $\quadri{AHDF}$ le second, $\quadri{AIDF}$ le troisi\`eme, etc. Cavalieri\footnote{\cite[proposition~XXIII, p.~279]{Cav47}. Dans la suite, nous avons chang\'e les lettres de la figure originale de Cavalieri afin d'utiliser \`a sa place la figure~\ref{figcavxn}.} d\'ecouvre que
\begin{equation}\label{prop23}
\quadri{ACDF}=2\quadri{AGDF}=3\quadri{AHDF}=4\quadri{AIDF}=\cdots.
\end{equation}
En effet, par d\'efinition des courbes, on a par exemple dans le cas $m=2$
\[
\frac{\segm{AF}\,^2}{\segm{AE}\,^2}=\frac{\segm{BE}}{\segm{EH}}\quad\parens[\Bigg]{\text{\emph{i.e.}}\ \frac{a^2}{x^2}=\frac{b}{y}\;}
\]
et donc\footnote{Voir la note~\ref{neuclidV12gen}. Comme ce r\'esultat est une application directe de son \og tr\'esor\fg\ dont il doit l'id\'ee de la d\'emonstration au lemme de Beaugrand, Cavalieri \'ecrit : \og cela m'a (...) \'et\'e appris par la d\'emonstration que M. de Beaugrand m'a envoy\'ee\fg~\cite[IV, p.~76]{FOE}.}
\[
3=\frac{\omnesq \; \segm{AD}}{\omnesq \; \triangle \triang{ACD}}=\frac{\omnesl \; \segm{AD}}{\omnesl \; \quadri{AHDF}}\quad\parens*{\text{\emph{i.e.}}\ \frac{\int_0^ba^2\,\dd x}{\int_0^b\parens[\big]{\frac{ax}{b}}^2\,\dd x}=\frac{\int_0^ab\,\dd x}{\int_0^a\frac{b}{a^2}x^2\,\dd x}\;}.
\]

\begin{figure}[h!]
 \raisebox{-0.5\height}{\includegraphics[width=6.97cm, height=4cm]{Lettre}}
\hspace{.5cm} 
 \raisebox{-0.5\height}{\includegraphics[width=5cm]{figcavxn}}
\caption{Figure de Cavalieri sur sa lettre \`a Mersenne du 23 novembre 1641 (Ms fr.\ nouv.\ acq.~6204, fol.~255r, Biblioth\`eque Nationale) et les courbes $y=\frac{b}{a^m}x^m$ pour $m=1,\dotsc,20$ ($\segm{AF}=a$, $\segm{FD}=b$).}\label{figcavxn}
\end{figure}

Comme corollaire de ce r\'esultat, Cavalieri obtient\footnote{\cite[proposition~XXXI, \pages~302--304]{Cav47}.}
\begin{equation}\label{prop31}
\frac{\omnesp \; \segm{AD}}{\omnesp \;\ \text{\og espace $m$ \fg}}=pm+1\quad\parens*{\text{\emph{i.e.}}\ =\frac{\int_0^ab^p\,\dd x}{\int_0^a\parens[\big]{\frac{b}{a^m}x^m}^p\,\dd x}\;}
\end{equation}
o\`u $p$ d\'esigne une puissance enti\`ere quelconque (\og omnes potestates\fg). Par exemple, pour $p=3$ et $m=4$, il trouve $\frac{\omnesc \; \segm{AD}}{\omnesc \; \quadri{AKDF}}=13$. En effet, on a
\[
\frac{\segm{BE}}{\segm{EK}}=\frac{\segm{BE}\,^4}{\segm{EG}\,^4}\quad\parens*{\text{\emph{i.e.}}\ \frac{b}{\frac{b}{a^4}x^4}=\frac{b^4}{\parens[_big]{\frac{b}{a}x}^4}\;} \ \Longrightarrow \ \frac{\segm{BE}\,^3}{\segm{EK}\,^3}=\frac{\segm{BE}\,^{12}}{\segm{EG}\,^{12}}=\frac{\segm{BE}}{\segm{EP}}
\]
o\`u $P$ est le point d'intersection de $\segm{BE}$ avec la courbe pour $m=3\cdot4=12$. Par cons\'equent, Cavalieri peut d\'eduire que\footnote{\`A nouveau, il utilise son principe discut\'e \`a la note~\ref{neuclidV12gen}.}
\[
\frac{\omnesc \; \segm{AD}}{\omnesc \; \quadri{AKDF}}=\frac{\omnesl \; \segm{AD}}{\omnesl \; \quadri{APDF}}=13\quad\parens*{\text{\emph{i.e.}}\ =\frac{\int_0^ab^3\,\dd x}{\int_0^a\parens[\big]{\frac{b}{a^4}x^4}^3\,\dd x}=\frac{\int_0^ab\,\dd x}{\int_0^a\frac{b}{a^{12}}x^{12}\,\dd x}\;}.
\]
En g\'en\'eral, comme il l'observe, le sch\'ema de la preuve est clair\footnote{\og Sed ut universaliter fiat demonstratio sic procedemus.\fg~\cite[p.~304]{Cav47} Ce n'est toutefois pas l'avis partag\'e par tous les historiens : \og The extent to which Cavalieri's demonstration of this proposition is truly universal is unclear. However, what is clear are the pains Cavalieri takes -- that a modern mathematician would not take -- to explain how the degree of the diagonal in question can be represented numerically and employed in a computation to achieve the desired ratio.\fg~\cite[p.~238]{Mun00}} ce qui lui permet de construire une table~(voir figure~\ref{cavtable}, gauche).

Cavalieri s'int\'eresse encore aux rapports de $\omnesq \; \segm{AD}$ \`a $\omnesq$ des \og espaces r\'esiduels\fg\ $\quadri{AGDC}$, $\quadri{AHDC}$, $\quadri{AIDC}$ et ainsi de suite\footnote{\cite[proposition~XXXIII, \pages~307--309]{Cav47}.} (voir figure~\ref{cavtable}, droite, pour les valeurs trouv\'ees). Il explique que ces rapports sont obtenus par un m\^eme algorithme : par exemple, dans le cas du quatri\`eme espace r\'esiduel $\quadri{AKDC}$, la valeur se trouve en faisant $(\mathbf{4}+1)(2\cdot\mathbf{4}+1)=5\cdot9=45$, puis $2(9-5)+5=13$ et enfin $45-13=32$ d'o\`u
\[
\frac{\omnesq \; \segm{AD}}{\omnesq \; \quadri{AKDC}}=\frac{45}{32}\quad\parens*{\text{\emph{i.e.}}\ =\frac{\int_0^ab^2\,\dd x}{\int_0^a\parens[\big]{b-\frac{b}{a^4}x^4}^2\,\dd x}\;}.
\]
La figure~\ref{figcavx4} repr\'esente g\'eom\'etriquement, \`a l'int\'erieur du parall\'el\'epip\`ede $\omnesq \; \segm{AD}$, le volume $\omnesq \; \quadri{AKDC}$ (en rouge) d\'etermin\'e par la courbe $\triang{AKD}$ (dans le rectangle $\quadri{ACDF}$) d'\'equation $y=\frac{b}{a^4}x^4$. Cavalieri justifie son algorithme sans dire explicitement que la structure de sa preuve se base g\'eom\'etriquement sur l'\'egalit\'e $\triang{EB}\,^2=(\segm{EK}+\segm{KB})^2=\segm{EK}\,^2+2\segm{EK}\cdot \segm{KB}+\segm{KB}\,^2$ qui d\'etermine dans le parall\'el\'epip\`ede, outre celui qu'il cherche \`a calculer, trois autres volumes (bleu, vert clair et vert fonc\'e).

\begin{figure}[h!]
\includegraphics[width=\textwidth]{figcavx4}
\caption{Le volume $\omnesq \; \quadri{AKDC}$ (en rouge) et les trois autres volumes constituant le parall\'el\'epip\`ede $\omnesq \; \segm{AD}$.}\label{figcavx4}
\end{figure}

Nous avons:
\begin{enumerate}\romanenumi
\item \label{item_1} $\frac{\omnesq \; \segm{AD}}{\omnesl \; \segm{AD} \ \& \ \omnesl \; \quadri{AKDF}}=\frac{\omnesl \; \segm{AD}}{\omnesl \; \quadri{AKDF}}=4+1=5=\frac{45}{9}$ par~\eqref{prop23};
\item \label{item_2} $\frac{\omnesq \; \segm{AD}}{\omnesq \; \quadri{AKDF}}=2\cdot4+1=9=\frac{45}{5}$ pour le volume bleu par~\eqref{prop31}.
\end{enumerate}
Ainsi, \`a l'aide de~\eqref{item_1} et~\eqref{item_2}, Cavalieri trouve
\[
\frac{45}{9-5}=\frac{\omnesq \; \segm{AD}}{\omnesl \; \segm{AD} \ \& \ \omnesl \; \quadri{AKDF}-\omnesq \; \quadri{AKDF}}=\frac{\omnesq \; \segm{AD}}{\omnesl \; \quadri{AKDF} \ \& \ \omnesl \; \quadri{AKDC}}
\]
d'o\`u le rapport pour les volumes verts
\[
\frac{45}{2(9-5)}=\frac{\omnesq \; \segm{AD}}{2(\omnesl \; \quadri{AKDF} \ \& \ \omnesl \; \quadri{AKDC})}.
\]
Cette derni\`ere \'egalit\'e et~\eqref{item_2} livrent le rapport pour le volume constitu\'e des volumes verts et bleu
\[
\frac{\omnesq \; \segm{AD}}{2(\omnesl \; \quadri{AKDF} \ \& \ \omnesl \; \quadri{AKDC})+\omnesq \; \quadri{AKDF}}=\frac{45}{2(9-5)+5}=\frac{45}{13}
\]
et donc
\[
\frac{\omnesq \; \segm{AD}}{\omnesq \; \quadri{AKDC}}\!=\!\frac{\omnesq \; \segm{AD}}{\omnesq \; \segm{AD} - 2(\omnesl \; \quadri{AKDF} \ \& \ \omnesl \; \quadri{AKDC}) - \omnesq \; \quadri{AKDF}}\!=\!\frac{45}{45 - 13}\!=\!\frac{45}{32}.
\]
Par cons\'equent, l'algorithme de calcul est justifi\'e.
\end{enonce*}

\begin{figure}[t]
\includegraphics[width=8.5cm]{Cavprop31table}
\hspace{.5cm}
\includegraphics[width=3.5cm]{Cavprop33table}
\caption{Tables construites par Cavalieri~\cite[p.~306 \& p.~309]{Cav47} (dans la table de droite, lire $18$ au lieu de $14$).}\label{cavtable}
\end{figure}

\begin{enonce*}[remark]{Conclusion}
Aujourd'hui encore, comme du temps de Lagrange, il est possible de faire un retour dans le pass\'e, de ressentir une part des impressions des pionniers et d'utiliser certaines des id\'ees d\'evelopp\'ees par Cavalieri. Parvenir \`a simplifier sa d\'emarche afin d'en ramener l'essentiel dans le pr\'esent est une mani\`ere de lui rendre hommage : Gerhard Wanner observe rapidement que l'approche suivie ci-dessus par Cavalieri pour la construction de la table de la figure~\ref{cavtable} (droite) est trop compliqu\'ee et qu'une formule litt\'erale peut \^etre obtenue en utilisant son \og tr\'esor\fg.

En effet, pour $a=b=1$, l'\'egalit\'e suivante des surfaces (o\`u le carr\'e gris\'e est compt\'e deux fois)
\begin{center}
\includegraphics[width=.8\textwidth]{egalite}
\end{center}
devient $1+(x^n)^2=(\segm{BK})^2+2x^n$ et donc
\[
1+\frac{1}{2n+1}=\SSS(\segm{BK})^2+\frac{2}{n+1}
\]
d'o\`u
\[
\SSS(\segm{BK})^2=1-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{2n+1}=\frac{2n^2}{(n+1)(2n+1)}.
\]
\end{enonce*}

\section*{Remerciements}

C'est toujours un grand plaisir de remercier \'Etienne Ghys pour sa recommandation n\'ecessaire afin de consulter les manuscrits de Lagrange et aussi pour ses remarques sur les versions pr\'ec\'edentes de ce texte. Merci \'egalement \`a Gerhard Wanner pour sa lecture de ce travail, ses belles figures (figure~\ref{figCavProp24} (droite) et figure~\ref{figcavx4}) et ses encouragements, \`a Nicola Ermotti pour son aide avec les traductions de l'italien et \`a mon fils Alexandre (7 ans) d'avoir trouv\'e \og remarquable\fg\ qu'un cube se d\'ecompose en trois pyramides identiques.

\section*{Déclaration d'intérêts}

L'auteur ne travaille pas, ne conseille pas, ne possède pas de parts, ne reçoit pas de fonds d’une organisation qui pourrait tirer profit de cet article, et n’a déclaré aucune autre affiliation que ses organismes de recherche.

\appendix
\section*{\sectionname. La note de Lagrange}

Une page de titre (fol.~62r) indiquant \og Sur la G\'eom\'etrie des Indivisibles\fg\ pr\'ec\`ede la note de Lagrange~\cite{Lagrange_manu}. Plus loin suivent (fol.~63v) les indications \og n.~32. (7 pages) Sur les quadratures par la Geometrie des indivisibles et par la methode de Fermat tir\'ee des progressions g\'eom\'etriques\fg\ (probablement de la main de Lagrange\footnote{Puisque la note de Lagrange ne traite pas de la m\'ethode de Fermat, il est possible qu'elle fasse partie d'un projet de recherches plus vaste sur les m\'ethodes de quadrature du XVII\textsuperscript{\`eme} si\`ecle qui n'a finalement pas vu le jour.}) puis les signatures des membres de la commission nomm\'ee apr\`es la mort de Lagrange afin d'examiner ses manuscrits : Gaspard de Prony (1755--1839), Sim\'eon Denis Poisson (1781--1840), Adrien-Marie Legendre (sign\'e Le Gendre) (1752--1833) et Sylvestre-Fran\c cois Lacroix (1765--1843). Dans la transcription ci-dessous, nous avons reproduit \`a l'identique l'orthographe et les notations du texte de Lagrange.

\bigskip

\goodbreak

\begin{center}
Sur la g\'eom\'etrie des indivisibles.
\end{center}

\medskip

\noindent En 1635 Cavalieri a publi\'e sa geometrie intitul\'ee \emph{Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota}\footnote{\cite{Cav35}. En 1653, une seconde \'edition para\^it (avec pagination continue) \cite{Cav53}.}.

\noindent Dans la prop.~19 du livre 2, il trouve que la somme de toutes les lignes du parallelogramme a toutes les lignes du triangle est comme $2$ \`a $1$, car ces sommes sont comme les aires\footnote{\cite[p.~63]{Cav35}, \cite[p.~146]{Cav53}.}.

\noindent Dans la prop.~24 il trouve que la somme des carr\'es de toutes les lignes du parallelogramme aux carr\'es de toutes les lignes du triangle est comme $3$ \`a $1$\footnote{\cite[p.~78]{Cav35}, \cite[p.~159]{Cav53}.}.

\noindent Pour cela il prouve d'abord prop.~9 que tous les carr\'es des lignes de deux parall\'elogrammes qui ont la meme hauteur sont comme les carr\'es des bases, ce qui est evident et cette proposition est generale pour toutes les puissances\footnote{\cite[p.~29]{Cav35}, \cite[p.~120]{Cav53}.}. Ensuite prop.~10 il prouve que tous les carr\'es des lignes de deux parallelogrammes ayant meme base sont comme les hauteurs, ce qui se demontre par l'ancienne geometrie\footnote{\cite[p.~30]{Cav35}, \cite[p.~121]{Cav53}}. Ce theoreme est vrai aussi de toutes les puissances.

\noindent Donc pour deux parallelogrammes dont les bases sont $b$ et $B$, les hauteurs $h$ et $H$, les sommes de toutes les puissances $m$ des lignes paralleles \`a la base seront comme $b^mh$ \`a $B^mH$ (prop.~11)\footnote{\cite[p.~32]{Cav35}, \cite[p.~123]{Cav53}.}.

\noindent  De la il conclut (prop.~22) que si l'on a deux parallelogrammes quelconques les sommes de tous les carr\'es des lignes dans les parallelogrammes sont proportionnelles aux sommes de tous les carr\'es des lignes dans les triangles\footnote{\cite[p.~68]{Cav35}, \cite[p.~150]{Cav53}.} ce qu'il demontre a la maniere ancienne en divisant les deux parallelogrammes en un nombre quelconque de parallelogrammes qui ont meme base et dont les hauteurs sont proportionnelles aux hauteurs totales, et consid\'erant les parallelogrammes inscrits et circonscrits aux triangles. Car il resulte de la que la meme proportion a toujours lieu pour les parallelogrammes partiels faisant partie des grands parallelogrammes, et pour les portions de ces parallelogrammes qui forment les figures inscrites et circonscrites aux triangles.

\noindent Il resulte de la que deux triangles dont les bases $b$ et $B$ et les hauteurs $h$, $H$, ont les sommes des puissances $m$ de toutes les leurs lignes paralleles \`a la base comme $b^mh$ \`a $B^mh$.

\noindent Enfin dans la prop.~24 il demontre que la somme des carr\'es de toutes les lignes d'un parall\'elogramme est a la somme des carr\'es de toutes les lignes du triangle comme $3$ \`a $1$.

\noindent Ayant tir\'e $BF$ qui divise le parallelogramme en deux, on a $RT=RS+ST$ donc 
\[
\overline{RT}^2=\overline{RS}^2+\overline{ST}^2+2RS\times ST,
\]
et si on prend $ru$ egalement eloign\'e de $EG$ que $RV$ l'est de $AC$ on a [puisque $rt=rs-st$]
\[
\overline{rt}^2=\overline{rs}^2+\overline{st}^2-2RS\times st
\]
donc
\[
\overline{RT}^2+\overline{rt}^2=\overline{RS}^2+\overline{rs}^2+\overline{ST}^2+\overline{st}^2.
\]
Donc
\[
\SSS\ \overline{RT}^2=\SSS\ \overline{RS}^2+2\SSS\ \overline{ST}^2;
\]
mais $\displaystyle\SSS\ \overline{ST}^2 : \int\overline{RT}^2=\overline{BC}^2\cdot BM : \overline{AC}^2\cdot AE=\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}:1=1:8$, 

\noindent $\displaystyle\int\overline{RS}^2=\frac{1}{4}\int\overline{RV}^2$ donc 
$$\int\overline{RT}^2=\frac{1}{4}\int\overline{RV}^2+\frac{1}{4}\int\overline{RT}^2;$$
donc $3\int\overline{RT}^2=\int\overline{RV}^2$ et de la $\int\overline{RT}^2=\frac{1}{3}\int\overline{RV}^2$.

\begin{center}
\includegraphics[width=.9\textwidth]{LagrangeCav_propre}
\end{center}

\noindent Dans les exercitationes geometric\ae\ [sex] qui est paru en 1647 il a determin\'e (prop.~21 et~22) les proportions qu'ont tous les cubes et les quatriemes puissances des lignes d'un parallelogramme a celles des lignes d'un triangle. Il a trouve la premiere de $4$ \`a $1$ et la 2$^\text{d}$ de $5$ \`a $1$ et de la il a conclu pour les puissances suivantes. Il dit dans la preface de l'exercitatione 4$^\text{m}$ qu'il avoit trouv\'e ces resultats des 1640 et qu'il les a publi\'es dans le dernier probleme de sa Centuria\footnote{Voir l'ouvrage cit\'e \`a la note \ref{ncenturia}.}.

\noindent Voici comment on peut faire la demonstration generale. En conservant la meme figure on aura [puisque $RT=RS+ST$]
$$\int\overline{RT}^m=\int\overline{RS}^m+m\overline{RS}^{m-1}\int TS+\frac{m(m-1)}{2}\overline{RS}^{m-2}\int\overline{TS}^2+\text{\&c}.$$
Or $\int TS=0$, $\int\overline{TS}^3=0$ \&c et $\int\overline{TS}^2=\frac{1}{4}\int\overline{RT}^2$, $\int\overline{TS}^4=\frac{1}{16}\int\overline{RT}^4$ \&c et 

\noindent $\int\overline{RS}^m=\frac{1}{2^m}\int\overline{RV}^m$ [car $RS=\tfrac{1}{2}RV$].
\[
\begin{split}
\int\overline{RT}^m
	& =\frac{1}{2^m}\int\overline{RV}^m+\frac{m(m-1)}{2}\overline{RS}^{m-2}\times\frac{1}{2^2}\int\overline{RT}^2
\\	& \quad +\frac{m(m-1)(m-2)(m-3)}{2\cdot3\cdot4}\overline{RS}^{m-4}\times\frac{1}{2^4}\int\overline{RT}^4+\text{\&c}.
\end{split}
\]
Or on a prouv\'e que $\int\overline{RT}^2=\frac{\int\overline{RV}^2}{3}$, $\int\overline{RT}^4=\frac{\int\overline{RV}^4}{5}$ \&c donc
\[
\begin{split}
\int\overline{RT}^m
	& = \frac{1}{2^m}\int\overline{RV}^m+\frac{m(m-1)}{2}\,\frac{\overline{RV}^{m-2}}{2^{m-2}}
\times\frac{1}{2^2}\times\frac{\int\overline{RV}^2}{3}
\\	& \quad +\frac{m(m-1)(m-2)(m-3)}{2\cdot3\cdot4}\,\frac{\overline{RV}^{m-4}}{2^{m-4}}\times\frac{1}{2^4}\times\frac{\int\overline{RV}^4}{5}+\text{\&c}.
\end{split}
\]
Mais on a en general [$\overline{RV}=\overline{AC}$ et] $\int\overline{RV}^m=\overline{AC}^m\times AE$. Donc
\[
\begin{split}
\int\overline{RT}^m
	& = \frac{1}{2^m}\,\overline{AC}^m\times AE+\frac{m(m-1)}{2}\,\frac{\overline{AC}^m\times AE}{2^{m}\cdot3}
\\	& \quad + \frac{m(m-1)(m-2)(m-3)}{2\cdot3\cdot4}\,\frac{\overline{AC}^m\times AE}{2^{m}\cdot5}+\text{\&c}
\\	& = \frac{\overline{AC}^m\times AE}{2^m}\Big(1+\frac{m(m-1)}{2\cdot3}+\frac{m(m-1)(m-2)(m-3)}{2\cdot3\cdot4\cdot5}+\text{\&c}\Big).
\end{split}
\]

\noindent\!\!\!\!\!\! $\begin{array}{llll}
\text{Soit}&m=1&\text{donc}&\displaystyle\int RT=\frac{AC\times AE}{2}\\[0.2cm]
&m=2&&\displaystyle\int\overline{RT}^2=\frac{\overline{AC}^2\times AE}{4}\big(1+\tfrac{1}{3}\big)=\frac{\overline{AC}^2\times AE}{3}\\
&m=3&&\displaystyle\int\overline{RT}^3=\frac{\overline{AC}^3\times AE}{8}\big(1+1\big)=\frac{\overline{AC}^3\times AE}{4}\\
&m=4&&\displaystyle\int\overline{RT}^4=\frac{\overline{AC}^4\times AE}{16}\big(1+2+\tfrac{1}{5}\big)=\frac{\overline{AC}^4\times AE}{5}\\
\end{array}$

\noindent et ainsi de suite. Par suite
\[
1+\frac{m(m-1)}{2}x^2+\frac{m(m-1)(m-2)(m-3)}{2\cdot3\cdot4}x^4+\text{\&c}=\frac{(1+x)^m+(1-x)^m}{2}.
\]
et integrant on aura
\[
x+\frac{m(m-1)}{2\cdot3}x^3+\frac{m(m-1)(m-2)(m-3)}{2\cdot3\cdot4\cdot5}x^5+\text{\&c}=\frac{(1+x)^{m+1}-(1-x)^{m+1}}{2(m+1)}.
\]
Faisant $x=1$ on a
\[
1+\frac{m(m-1)}{2\cdot3}+\frac{m(m-1)(m-2)(m-3)}{2\cdot3\cdot4\cdot5}+\text{\&c}=\frac{2^{m}}{m+1}.
\]
Donc $\int\overline{RT}^m=\frac{\overline{AC}^m\times AE}{m+1}$.

\noindent On peut trouver aussi la somme de la serie sans integration car la serie
\[
\begin{aligned}
	& 1 +\frac{m(m-1)}{2\cdot3}+\frac{m(m-1)(m-2)(m-3)}{2\cdot3\cdot4\cdot5}+\text{\&c}
\\	& = \frac{m+1+\frac{(m+1)m(m-1)}{2\cdot3}+\frac{(m+1)m(m-1)(m-2)(m-3)}{2\cdot3\cdot4\cdot5}+\text{\&c}}{m+1}=\frac{(1+x)^{m+1}-(1-x)^{m+1}}{2(m+1)}
\end{aligned}
\]
en faisant $x=1$ et par consequent $=\displaystyle\frac{2^m}{m+1}$ comme plus haut.

\printbibliography

\end{document}