Approximation diophantienne sur les courbes elliptiques à multiplication complexe

Mohammed Ably; Éric Gaudron

doi:10.1016/j.crma.2003.09.018

Théorie des nombres

Approximation diophantienne sur les courbes elliptiques à multiplication complexe
[Diophantine approximation on elliptic curves with complex multiplication]

Presented by: Jean-Pierre Serre

Mohammed Ably ¹; Éric Gaudron ²

¹ Université des sciences et technologies de Lille, UFR de mathématiques, URA CNRS 751, cité scientifique, 59655 Villeneuve d'Ascq cedex, France
² Institut Fourier, UMR 5582 du CNRS, BP 74, 38402 Saint-Martin-d'Hères cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 337 (2003) no. 10, pp. 629-634.

Abstract
Résumé

Let $ℰ$ be an elliptic curve with complex multiplication, defined over $\bar{Q}$ . We consider linear forms on $Lie (ℰ^{n})$ with coefficients in the CM field of $ℰ$ . Within this framework, we present a new measure of linear independence for elliptic logarithms in (logb)(loga)ⁿ. Like recent advances in this domain (works by Ably, David, Hirata-Kohno), our result is best possible in terms of the height of the linear forms (logb) while providing a better estimate in the height of algebraic points considered (loga), removing a term in logloga.

Soit $ℰ$ une courbe elliptique C. M., définie sur $\bar{Q}$ . Considérons une famille de formes linéaires sur l'algèbre de Lie de $ℰ^{n}$ , à coefficients dans le corps de multiplication complexe de $ℰ$ . Dans ce cadre, nous présentons une mesure d'indépendance linéaire de logarithmes, analogue aux estimations connues actuellement pour les tores (commutatifs) de type (logb)(loga)ⁿ. Ainsi, à l'instar des récentes avancées dans ce domaine (travaux d'Ably, David, Hirata-Kohno), cette mesure est optimale en la hauteur des formes linéaires considérées (logb) et, en outre, elle est plus précise en la hauteur des points de la courbe elliptique (loga) avec la suppression d'un terme en logloga.

Received: 2003-06-26
Accepted: 2003-09-23
Published online: 2003-11-05

DOI: 10.1016/j.crma.2003.09.018

Author's affiliations:

Mohammed Ably ¹; Éric Gaudron ²

¹ Université des sciences et technologies de Lille, UFR de mathématiques, URA CNRS 751, cité scientifique, 59655 Villeneuve d'Ascq cedex, France
² Institut Fourier, UMR 5582 du CNRS, BP 74, 38402 Saint-Martin-d'Hères cedex, France

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Mohammed Ably; Éric Gaudron. Approximation diophantienne sur les courbes elliptiques à multiplication complexe. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 337 (2003) no. 10, pp. 629-634. doi : 10.1016/j.crma.2003.09.018. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2003.09.018/

References
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Cited by Sources:

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