Comptes Rendus
no. 3
Théorie des nombres/Géométrie algébrique
Dualité pour les groupes de type multiplicatif sur certains corps de fonctions
[Duality theorem for groups of multiplicative type over some function fields]

Presented by: le comité de rédaction

Diego Izquierdo1
1 École normale supérieure, 45, rue d'Ulm, 75005 Paris, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 355 (2017) no. 3, pp. 268-271.

Let K be the function field of a smooth projective curve X over a higher-dimensional local field k. We define Tate–Shafarevich groups of a commutative group scheme via cohomology classes locally trivial at each completion of K coming from a closed point of X. In this note, we state and sketch the proof of an arithmetic duality theorem for Tate–Shafarevich groups of groups of multiplicative type over K (and more generally of some two-term complexes of tori over K).

Soit K le corps des fonctions d'une courbe projective lisse X sur un corps local supérieur k. On définit les groupes de Tate–Shafarevich d'un schéma en groupes commutatif en considérant les classes de cohomologie qui deviennent triviales sur chaque complété de K provenant d'un point fermé de X. Dans cette note, on énonce et on esquisse la preuve d'un théorème de dualité arithmétique pour les groupes de Tate–Shafarevich des groupes de type multiplicatif sur K (ou encore de certains complexes à deux termes de tores sur K).

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DOI: 10.1016/j.crma.2017.01.014

Diego Izquierdo 1

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Diego Izquierdo. Dualité pour les groupes de type multiplicatif sur certains corps de fonctions. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 355 (2017) no. 3, pp. 268-271. doi : 10.1016/j.crma.2017.01.014. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2017.01.014/

[1] J.-L. Colliot-Thélène; D. Harari Dualité et principe local-global pour les tores sur une courbe au-dessus de C((t)), Proc. Lond. Math. Soc. (3), Volume 110 (2015) no. 6, pp. 1475-1516

[2] D. Harari; T. Szamuely Local–global principles for tori over p-adic function fields, J. Algebraic Geom., Volume 25 (2016), pp. 571-605

[3] D. Izquierdo Principe local–global pour les corps de fonctions sur des corps locaux supérieurs II, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 145 (2017) no. 2 (A paraître dans)

[4] D. Izquierdo Variétés abéliennes sur les corps de fonctions de courbes sur des corps locaux, 2015 http://www.math.ens.fr/~izquierd/ (Prépublication sur)

[5] D. Izquierdo Théorèmes de dualité pour les corps de fonctions sur des corps locaux supérieurs, Math. Z., Volume 284 (2016) no. 1–2, pp. 615-642

[6] D. Izquierdo Dualité et principe local–global sur des corps locaux de dimension 2, 2016 http://www.math.ens.fr/~izquierd/ (Prépublication sur)

[7] D. Izquierdo Dualité et principe local–global sur les corps de fonctions, 2016 http://www.math.ens.fr/~izquierd/ (thèse)

[8] J.S. Milne Arithmetic Duality Theorems, BookSurge, LLC, Charleston, SC, USA, 2006

Cited by Sources:

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