Modal expansions are useful to understand wave propagation in an infinite closed electromagnetic waveguide. They can also be used to construct generalized Dirichlet-to-Neumann maps that provide artificial boundary conditions for truncating a computational domain when discretizing the field by finite elements. The modes of a waveguide arise as eigenfunctions of a non-symmetric eigenvalue problem, and the eigenvalues determine the propagation (or decay) of the modes along the waveguide. For the successful use of waveguide modes, it is necessary to know that the modes exist and form a dense set in a suitable function space containing the trace of the electric field in the waveguide. This paper is devoted to proving such a density result using the methods of Keldysh. We also show that the modes satisfy a useful orthogonality property, and show how the Dirichlet-to-Neumann map can be calculated. Our existence and density results are proved under realistic regularity assumptions on the cross section of the waveguide, and the electromagnetic properties of the materials in the waveguide, so generalizing existing results.
Les expansions modales sont utiles pour comprendre la propagation des ondes dans un guide d’ondes électromagnétiques fermé et infini. Elles peuvent également être utilisées pour construire des cartes de Dirichlet à Neumann généralisées qui peuvent être utilisées pour fournir des conditions limites artificielles afin de tronquer un domaine de calcul lors de la discrétisation du champ par des éléments finis. Les modes d’un guide d’ondes apparaissent comme des fonctions propres d’un problème de valeurs propres non symétrique, et les valeurs propres déterminent la propagation (ou la décroissance) des modes le long du guide d’ondes. Pour une utilisation réussie des modes de guide d’ondes, il est nécessaire de savoir que les modes existent et forment un ensemble dense dans un espace de fonctions approprié contenant la trace du champ électrique dans le guide d’ondes. Cet article est consacré à la démonstration d’un tel résultat de densité en utilisant les méthodes de Keldysh. Nous montrons également que les modes satisfont une propriété d’orthogonalité utile, et nous montrons comment la carte de Dirichlet à Neumann peut être calculée. Nos résultats d’existence et de densité sont prouvés sous des hypothèses de régularité réalistes sur la section transversale du guide d’ondes et les propriétés électromagnétiques des matériaux dans le guide d’ondes, généralisant ainsi les résultats existants.
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Martin Halla 1; Peter Monk 2
CC-BY 4.0
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Martin Halla; Peter Monk. On the analysis of modes in a closed electromagnetic waveguide. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 469-479. doi : 10.5802/crmath.516. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.516/
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