Coercive Hamilton–Jacobi equations in domains: the twin blow-ups method

Nicolas Forcadel; Cyril Imbert; Régis Monneau

doi:10.5802/crmath.591

Research article - Partial differential equations

Coercive Hamilton–Jacobi equations in domains: the twin blow-ups method

Nicolas Forcadel ¹; Cyril Imbert ² ; Régis Monneau ^3,⁴

¹ LMI - Laboratoire de Mathématiques de l’INSA de Rouen Normandie, 685 Avenue de l’Université 76800 Saint-Etienne-du-Rouvray - France
² Département de mathématiques et applications, ENS-PSL & CNRS, 45 rue d’Ulm, 75005 Paris, France.
³ CEREMADE - CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision, Place du Maréchal de Lattre de Tassigny 75775 - Paris Cedex 16 - France
⁴ CERMICS - Centre d’Enseignement et de Recherche en Mathématiques et Calcul Scientifique, 6 et 8 avenue Blaise Pascal Cité Descartes - Champs sur Marne 77455 Marne la Vallée Cedex 2 - France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 829-839.

Abstract
Résumé

In this note, we consider an evolution coercive Hamilton–Jacobi equation posed in a domain and supplemented with a boundary condition. We are interested in proving a comparison principle in the case where the time and the (normal) gradient variables are strongly coupled at the boundary. We elaborate on a method introduced by P.-L. Lions and P. Souganidis (Atti Accad. Naz. Lincei, 2017) to extend their comparison principle to more general boundary conditions and to Hamiltonians that are not globally Lipschitz continuous in the time variable. Their argument relies on a single blow-up procedure after rescaling the semi-solutions to be compared. In this work, two blow-ups are performed simultaneously, one for each variable of the doubling variable method. We show a key one-sided Lipschitz estimate satisfied by a combination of the two blow-up limits. Both blow-up limits are a priori allowed to be infinite separately. For expository reasons, the result is presented here in the framework of space dimension one and the general case is treated in a companion paper.

Dans cette note, on considère une équation de Hamilton–Jacobi coercive d’évolution posée sur un domaine et soumise à une condition de bord. On souhaite établir un théorème de comparaison dans le cas où les variables de temps et de gradient (normal) sont fortement couplées au bord. Nous partons d’une méthode introduite par P.-L. Lions et P. Souganidis (Atti Accad. Naz. Lincei, 2017) et étendons leur principe de comparaison à des conditions de bord plus générales et à des Hamiltoniens qui ne sont pas globalement Lipschitz en la variable temporelle. Leur raisonnement repose sur une procédure d’éclatement après remise à l’échelle des semi-solutions que l’on souhaite comparer. Dans ce nouveau travail, nous considérons deux éclatements simultanés, l’un pour chacune des variables de la méthode de dédoublement. On établit une estimée Lipschitz unilatérale satisfaite par une combinaison des deux limites post-éclatement. Ce deux limites peuvent a priori prendre des valeurs infinies si prises séparément. Pour des raisons de présentation, le résultat est présenté dans un cadre mono-dimensionnel et le cas général est traité dans un papier compagnon.

Received: 2023-10-21
Revised: 2023-11-20
Accepted: 2023-11-20
Published online: 2024-10-07

DOI: 10.5802/crmath.591

Classification: 49L12, 35B51, 35F30

Author's affiliations:

Nicolas Forcadel ¹; Cyril Imbert ²; Régis Monneau ^{3, 4}

¹ LMI - Laboratoire de Mathématiques de l’INSA de Rouen Normandie, 685 Avenue de l’Université 76800 Saint-Etienne-du-Rouvray - France
² Département de mathématiques et applications, ENS-PSL & CNRS, 45 rue d’Ulm, 75005 Paris, France.
³ CEREMADE - CEntre de REcherches en MAthématiques de la DEcision, Place du Maréchal de Lattre de Tassigny 75775 - Paris Cedex 16 - France
⁴ CERMICS - Centre d’Enseignement et de Recherche en Mathématiques et Calcul Scientifique, 6 et 8 avenue Blaise Pascal Cité Descartes - Champs sur Marne 77455 Marne la Vallée Cedex 2 - France

License:

CC-BY 4.0

Copyrights: The authors retain unrestricted copyrights and publishing rights

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Nicolas Forcadel; Cyril Imbert; Régis Monneau. Coercive Hamilton–Jacobi equations in domains: the twin blow-ups method. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 829-839. doi : 10.5802/crmath.591. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.591/

References
Cited by

[1] G. Barles Solutions de viscosité des équations de Hamilton–Jacobi, Mathématiques & Applications (Berlin), 17, Springer, 1994 | Zbl

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[7] P.-L. Lions Neumann type boundary conditions for Hamilton–Jacobi equations, Duke Math. J., Volume 52 (1985), pp. 793-820 | DOI | Zbl

[8] P.-L. Lions; P. E. Souganidis Well-posedness for multi-dimensional junction problems with Kirchoff-type conditions, Atti Accad. Naz. Lincei, Cl. Sci. Fis. Mat. Nat., IX. Ser., Rend. Lincei, Mat. Appl., Volume 28 (2017) no. 4, pp. 807-816 | DOI | Zbl

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