In 2022, S. D. Cohen and the two authors introduced and studied the concept of $(r, n)$-freeness on finite cyclic groups $G$ for suitable integers $r$, $n$, which is an arithmetic way of capturing elements of special forms that lie in the subgroups of $G$. Combining this machinery with some character sum techniques, they explored the existence of points $(x_0, y_0)$ on affine curves $y^n=f(x)$ defined over a finite field $\mathbb{F}$ whose coordinates are generators of the multiplicative cyclic group $\mathbb{F}^*$. In this paper we develop the natural additive counterpart of this work for finite fields. Namely, any finite extension $\mathbb{E}$ of a finite field $\mathbb{F}$ with $Q$ elements is a cyclic $\mathbb{F}[x]$-module induced by the Frobenius automorphism $\alpha \mapsto \alpha ^{Q}$, and any generator of this module is said to be a normal element over $\mathbb{F}$. We introduce and study the concept of $(f, g)$-freeness on this module structure for suitable polynomials $f, g\in \mathbb{F}[x]$. As a main application of the machinery developed in this paper, we study the existence of $\mathbb{F}_{p^n}$-rational points in the Artin–Schreier curve $\mathfrak{A}_f : y^p-y=f(x)$ whose coordinates are normal over the prime field $\mathbb{F}_p$ and establish concrete results.
En 2022, S. D. Cohen et les deux auteurs ont introduit et étudié le concept de $(r, n)$-liberté dans les groupes cycliques finis $G$ pour des entiers convenables $r$ et $n$. Ce concept constitue une approche arithmétique permettant de capturer des éléments de formes spéciales qui appartiennent aux sous-groupes de $G$. En combinant cet outil avec certaines techniques de sommes de caractères, ils ont exploré l’existence de points $(x_0, y_0)$ sur des courbes affines de la forme $y^p-y=f(x)$, définies sur un corps fini $\mathbb{F}$, dont les coordonnées sont des générateurs du groupe cyclique multiplicatif $\mathbb{F}^*$. Dans cet article, nous développons le pendant additif naturel de ce travail pour les corps finis. Plus précisément, toute extension finie $\mathbb{E}$ d’un corps fini $\mathbb{F}$ à $Q$ éléments est un module cyclique sur $\mathbb{F}[x]$, induit par l’automorphisme de Frobenius $\alpha \mapsto \alpha ^{Q}$, et tout générateur de ce module est appelé un élément normal sur $\mathbb{F}$. Nous introduisons et étudions le concept de $(f, g)$-liberté dans cette structure de module pour des polynômes convenables $f$ et $g$ dans $\mathbb{F}[x]$. Comme principale application de la théorie développée dans cet article, nous examinons l’existence de points rationnels sur $\mathbb{F}_{p^n}$ dans la courbe d’Artin–Schreier $\mathfrak{A}_f : y^p-y=f(x)$, dont les coordonnées sont normales sur le corps premier $\mathbb{F}_p$, et nous établissons des résultats concrets.
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Keywords: Finite fields, character sums, normal elements, free elements, Artin–Schreier curves
Mots-clés : Corps finis, sommes de caractères, éléments normaux, éléments libres, courbes d’Artin–Schreier
Giorgos Kapetanakis 1; Lucas Reis 2
CC-BY 4.0
@article{CRMATH_2025__363_G6_541_0,
author = {Giorgos Kapetanakis and Lucas Reis},
title = {Normal points on {Artin{\textendash}Schreier} curves over finite fields},
journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
pages = {541--554},
publisher = {Acad\'emie des sciences, Paris},
volume = {363},
year = {2025},
doi = {10.5802/crmath.740},
language = {en},
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Giorgos Kapetanakis; Lucas Reis. Normal points on Artin–Schreier curves over finite fields. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 363 (2025), pp. 541-554. doi : 10.5802/crmath.740. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.740/
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Cited by Sources:
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