[An unpublished note by Lagrange “on the geometry of indivisibles” and Cavalieri’s “treasure”]
La Bibliothèque de l’Institut de France conserve quatre pages manuscrites de Lagrange au sujet de la « géométrie des indivisibles ». Elles témoignent de sa quête pour comprendre, plus d’un siècle après Cavalieri, comment celui-ci a obtenu et tenté de démontrer l’égalité que nous écririons de nos jours $\int _0^ax^m\,\mathrm{d}x=\frac{a^{m+1}}{m+1}$. Suivant l’approche originale du jésuate de Bologne, Lagrange parvient à trouver la voie à suivre pour obtenir une preuve complète. Dans cet article, nous présentons la démarche de Cavalieri et reconstruisons le contexte historique utile pour la compréhension de la note de Lagrange avant de présenter sa démonstration. Nous terminons par quelques applications du résultat données jadis par Cavalieri.
The Library of the Institut de France preserves four handwritten pages by Lagrange on the subject of “the geometry of indivisibles”. They bear witness to his quest to understand, more than a century after Cavalieri, how he obtained and attempted to demonstrate the equality that we would write today as $\int _0^ax^m\,\mathrm{d}x=\frac{a^{m+1}}{m+1}$. Following the original approach of the Jesuate from Bologna, Lagrange manages to find the way to obtain a complete proof. In this article, we present Cavalieri’s approach and reconstruct the historical context useful for understanding Lagrange’s note before presenting its demonstration. We conclude with some applications of the result previously given by Cavalieri.
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Philippe Henry 1
CC-BY 4.0
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TY - JOUR AU - Philippe Henry TI - Une note inédite de Lagrange « sur la géométrie des indivisibles » et le « trésor » de Cavalieri JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2025 SP - 1407 EP - 1427 VL - 363 PB - Académie des sciences, Paris DO - 10.5802/crmath.779 LA - fr ID - CRMATH_2025__363_G13_1407_0 ER -
Philippe Henry. Une note inédite de Lagrange « sur la géométrie des indivisibles » et le « trésor » de Cavalieri. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 363 (2025), pp. 1407-1427. doi: 10.5802/crmath.779
[1] Cavalieri’s method of indivisibles, Arch. Hist. Exact Sci., Volume 31 (1985) no. 4, pp. 291-367 | DOI | Zbl | MR
[2] Un chapitre de l’œuvre de Cavalieri (Les Propositions XVI-XXVII de l’Exercitatio quarta, Mathesis, Volume 36 (1922), p. 365-373, 446-456
[3] Cavalieri, limits and discarded infinitesimals, Scr. Math., Volume 8 (1941–1942), pp. 79-91 | MR
[4] Les étapes de la philosophie mathématique, Bibliothèque de philosophie contemporaine, Presses Universitaires de France, Paris, 1947 | Zbl | MR
[5] Geometria indivisibilibus continuorum, nova quadam ratione promota, Clementis Ferronij, Bologne, 1635
[6] Centuria di varii problemi per dimostrare l’uso, e la facilità de’ logaritmi nella gnomonica, astronomia, geograffia, altimetria, pianimetria, stereometria, & aritmetica prattica, Giacomo Monti e Carlo Zenero, Bologne, 1639
[7] Exercitationes geometricæ sex, Iacobi Montij, Bologne, 1647 | Zbl
[8] Geometria indivisibilibus continuorum. Nova quadam ratione promota, Ex Typographia de Ducijs, Bologne, 1653
[9] La méthode critique du « mathématicien-philosophe », L’École normale de l’an III. Leçons de mathématiques. Laplace–Lagrange–Monge (Jean Dhombres, ed.), Dunod, Paris, 1992, pp. 171-192
[10] Œuvres de Fermat (Paul Tannery; Charles Henry, eds.), Gauthier-Villars, Paris, 1891–1922 | Zbl
[11] Cavalieri’s indivisibles and Euclid’s canons, The Catholic University of America Press, Washington (1991), pp. 157-182
[12] Bonaventura Cavalieri and the theory of indivisibles, Edizioni Cremonese, Bologne, 1980 | Zbl
[13] Un mémoire inédit de Lagrange sur le développement successif des courbes, Enseign. Math. (2), Volume 67 (2021) no. 1-2, pp. 95-122 | DOI | Zbl
[14] Nova stereometria doliorum vinariorum, Joannes Plancus, Linz, 1615
[15] Elementary mathematics from an advanced standpoint : geometry (E. R. Hendrik; Charles Albert Noble, eds.), Dover Publications, New York, 2004 | Zbl | MR
[16] Bonaventura Cavalieri et la géométrie des continus, Gallimard (1985), pp. 334-361
[17] Sur la géométrie des indivisibles (Manuscrits de la Bibliothèque de l’Institut de France, Ms 909 fol. 63–66.)
[18] The quadrature of parabolic segments 1635–1658 : A response to Herbert Breger, The growth of mathematical knowledge (Emily Grosholz; Herbert Breger, eds.) (Synthese Library), Kluwer Academic Publishers, 2000 no. 289, pp. 231-256 | DOI | Zbl | MR
[19] Superposition : on Cavalieri’s practice of mathematics, Arch. Hist. Exact Sci., Volume 63 (2009), pp. 471-495 | DOI | Zbl | MR
[20] Lagrange (1736–1813) : a life in mathematics, Lettera Matematica, Volume 2 (2014), pp. 3-8 | DOI | Zbl | MR
[21] A source book in mathematics, 1200–1800, Harvard University Press, Cambridge (MA), 1969 | Zbl
[22] Opere di Evangelista Torricelli, N. Zanichelli, Bologne, 1919
[23] Sur les quadratures avant le calcul intégral et en particulier sur celles de Fermat, Oversigt over det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Forhandlinger, Volume 2 (1895), pp. 37-80
[24] Geschichte der Mathematik im XVI. und XVII. Jahrhundert, Teubner, Leipzig, 1903 | Zbl
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