The Harmonic Oscillator on the Heisenberg Group

David Rottensteiner; Michael Ruzhansky

doi:10.5802/crmath.78

Analyse sur les groupes de Lie non commutatifs

The Harmonic Oscillator on the Heisenberg Group
[L’oscillateur harmonique sur le groupe de Heisenberg]

David Rottensteiner ¹ ; Michael Ruzhansky ^1,²

¹ Department of Mathematics: Analysis, Logic and Discrete Mathematics, Ghent University, Krijgslaan 281, S8, 9000 Gent, Belgium
² School of Mathematical Sciences, Queen Mary University of London, Mile End Road, London E1 4NS, United Kingdom

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 358 (2020) no. 5, pp. 609-614.

Résumé
Abstract

Dans cette note, nous présentons une notion d’oscillateur harmonique sur le groupe de Heisenberg $H_{n}$ qui forme l’analogue naturel de l’oscillateur harmonique sur $ℝ^{n}$ sous quelques hypothèses raisonnables : l’oscillateur harmonique sur $H_{n}$ devraît être une somme négative de carrés d’opérateurs liée au sous-laplacien sur $H_{n}$ , être essentiellement auto-adjoint avec un spectre purement discret, et les vecteurs propres doivent former une base orthonormée de $L^{2} (H_{n})$ . Cette approche conduit à un opérateur différentiel sur $H_{n}$ qui est déterminé par l’algèbre de Dynin–Folland de Lie (stratifiée). Nous fournissons une expression explicite pour l’opérateur ainsi qu’une estimation asymptotique pour ses valeurs propres.

In this note we present a notion of harmonic oscillator on the Heisenberg group $H_{n}$ which forms the natural analogue of the harmonic oscillator on $ℝ^{n}$ under a few reasonable assumptions: the harmonic oscillator on $H_{n}$ should be a negative sum of squares of operators related to the sub-Laplacian on $H_{n}$ , essentially self-adjoint with purely discrete spectrum, and its eigenvectors should be smooth functions and form an orthonormal basis of $L^{2} (H_{n})$ . This approach leads to a differential operator on $H_{n}$ which is determined by the (stratified) Dynin–Folland Lie algebra. We provide an explicit expression for the operator as well as an asymptotic estimate for its eigenvalues.

Reçu le : 2020-02-21
Révisé le : 2020-05-25
Accepté le : 2020-05-25
Publié le : 2020-09-14

DOI : 10.5802/crmath.78

Classification : 35R03, 35P20

Affiliations des auteurs :

David Rottensteiner ¹ ; Michael Ruzhansky ^{1, 2}

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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David Rottensteiner; Michael Ruzhansky. The Harmonic Oscillator on the Heisenberg Group. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 358 (2020) no. 5, pp. 609-614. doi : 10.5802/crmath.78. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.78/

Bibliographie
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