On the modular Jones polynomial

Guillaume Pagel

doi:10.5802/crmath.106

Théorie des nœuds

On the modular Jones polynomial
[Sur le polynôme de Jones modulaire]

Guillaume Pagel ¹

¹ Univ. Littoral Côte d’Opale, UR 2597, LMPA, Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph Liouville, F-62100 Calais, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 358 (2020) no. 8, pp. 901-908.

Résumé
Abstract

Un problème majeur en théorie des nœuds est de décider si le polynôme de Jones détecte le nœud trivial. Dans cet article nous étudions une question similaire plus faible, c’est-à-dire si le polynôme de Jones réduit modulo un entier $m$ détecte le nœud trivial. On sait que la réponse est négative pour $m = 2^{r}$ et $m = 3$ . On montre ici que si cette affirmation est fausse pour un entier $m$ , alors elle l’est aussi pour $m^{r}$ avec $r \geq 1$ . En particulier, on construit des nœuds non-triviaux avec un polynôme de Jones trivial modulo $3^{r}$ .

A major problem in knot theory is to decide whether the Jones polynomial detects the unknot. In this paper we study a weaker related problem, namely whether the Jones polynomial reduced modulo an integer $m$ detects the unknot. The answer is known to be negative for $m = 2^{r}$ with $r \geq 1$ and $m = 3$ . Here we show that if the answer is negative for some $m$ , then it is negative for $m^{r}$ with any $r \geq 1$ . In particular, for any $r \geq 1$ , we construct nontrivial knots whose Jones polynomial is trivial modulo $3^{r}$ .

Reçu le : 2020-07-31
Révisé le : 2020-08-18
Accepté le : 2020-08-20
Publié le : 2020-12-03

DOI : 10.5802/crmath.106

Classification : 00X99
Keywords: Knot, Jones polynomial, Kauffman bracket, $m$-trivial knot, connected sum, Legendre formula, modular arithmetic
Mot clés : Nœud, Polynôme de Jones, crochet de Kauffman, nœud $m$-trivial, somme connexe, formule de Legendre, Arithmétique modulaire

Affiliations des auteurs :

Guillaume Pagel ¹

¹ Univ. Littoral Côte d’Opale, UR 2597, LMPA, Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées Joseph Liouville, F-62100 Calais, France

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Guillaume Pagel. On the modular Jones polynomial. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 358 (2020) no. 8, pp. 901-908. doi : 10.5802/crmath.106. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.106/

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