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Comptes Rendus. Mathématique

Théorie des nœuds
On the modular Jones polynomial
[Sur le polynôme de Jones modulaire]
Comptes Rendus. Mathématique, Tome 358 (2020) no. 8, pp. 901-908.

Un problème majeur en théorie des nœuds est de décider si le polynôme de Jones détecte le nœud trivial. Dans cet article nous étudions une question similaire plus faible, c’est-à-dire si le polynôme de Jones réduit modulo un entier m détecte le nœud trivial. On sait que la réponse est négative pour m=2 r et m=3. On montre ici que si cette affirmation est fausse pour un entier m, alors elle l’est aussi pour m r avec r1. En particulier, on construit des nœuds non-triviaux avec un polynôme de Jones trivial modulo 3 r .

A major problem in knot theory is to decide whether the Jones polynomial detects the unknot. In this paper we study a weaker related problem, namely whether the Jones polynomial reduced modulo an integer m detects the unknot. The answer is known to be negative for m=2 r with r1 and m=3. Here we show that if the answer is negative for some m, then it is negative for m r with any r1. In particular, for any r1, we construct nontrivial knots whose Jones polynomial is trivial modulo 3 r .

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DOI : https://doi.org/10.5802/crmath.106
Classification : 00X99
Mots clés : Nœud, Polynôme de Jones, crochet de Kauffman, nœud m-trivial, somme connexe, formule de Legendre, Arithmétique modulaire
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     author = {Guillaume Pagel},
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     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
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     publisher = {Acad\'emie des sciences, Paris},
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Guillaume Pagel. On the modular Jones polynomial. Comptes Rendus. Mathématique, Tome 358 (2020) no. 8, pp. 901-908. doi : 10.5802/crmath.106. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.106/

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