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\title{Mathématiques et défis d'ingénierie :
l'exemple de \emph{Solar Impulse}}

\alttitle{\selectlanguage{english}Mathematics and engineering
challenges: the example of Solar Impulse}

\author{\firstname{Christophe} \lastname{Béesau}\CDRorcid{0009-0008-9196-4732}}
\address{Président d'Inworks, France}
\email{christophe.beesau@in-works.com}

\begin{abstract}
Les projets d'innovation nous mettent face à des défis complexes.
Mais est-il possible de mieux comprendre la nature profonde de la
complexité d'un problème ? Et peut-on alors utiliser cette
compréhension pour accélérer l'élaboration de solutions et
repousser ainsi les limites scientifiques et techniques ? L'analyse de
ce qu'est un paradigme scientifique, en tant que structure facilitant
les échanges entre scientifiques mais également en tant que cadre
normatif \og imposé \fg, permet d'imaginer
d'autres façons d'interpréter les informations existantes dès lors
que l'on accepte de sortir de ce cadre. Les descripteurs de
complexité qui en découlent se révèlent alors précieux pour
mieux analyser les problèmes difficiles et dévoiler des analogies
de structures surprenantes, y compris entre domaines scientifiques
hétérogènes. Le projet \emph{Solar Impulse}, riche en défis
scientifiques et techniques, a permis d'illustrer une application
concrète de cette approche et de la façon dont elle peut aider à
penser les projets complexes.
\end{abstract}

\begin{altabstract}
Innovation projects present us with complex challenges. But is it
possible to better understand the profound nature of a problem's
complexity? And can we then use this understanding to accelerate the
development of solutions, thereby pushing back scientific and technical
boundaries? The analysis of what a scientific paradigm is, as a
structure that facilitates exchanges between scientists but also as an
``imposed'' normative framework, allows us to imagine other ways of
interpreting existing information once we agree to step outside this
framework. The resulting complexity descriptors are invaluable for
analyzing difficult problems and revealing surprising structural
analogies, even between heterogeneous scientific fields. The Solar
Impulse project, rich in scientific and technical challenges,
illustrated a concrete application of this approach and the way it can
help us think about complex problems.
\end{altabstract}

\keywords{\kwd{Mathématiques}
\kwd{Ingénierie}
\kwd{Problèmes complexes}
\kwd{Solar Impulse}
\kwd{Innovation}
\kwd{Météorologie}
\kwd{Défis technologiques}}

\altkeywords{\kwd{Mathematics}
\kwd{Engineering}
\kwd{Complex problems}
\kwd{Solar Impulse}
\kwd{Innovation}
\kwd{Meteorology}
\kwd{Technological challenges}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\maketitle

%\end{noXML}

\section{Innover, une activité à risque~?}

Une étude du CNRS, publiée en 2018, révèle un chiffre
étonnant : 7 projets d'innovation sur 10 échoueraient. Les
projets d'innovation sont-ils aujourd'hui trop ambitieux~? Ou bien ne
sont-ils pas assez bien maîtrisés~? à une époque où
le calcul permet de (presque) tout évaluer par simulation
numérique, y compris le fonctionnement et la performance des
systèmes avant même toute réalisation physique, une telle
proportion d'échecs ne peut que surprendre~: quelle en est la
cause~?

Mon métier de mathématicien et d'ingénieur en
modélisation m'a amené à travailler sur de nombreux sujets
ouverts et projets incertains. Passionné par la question de la
complexité, j'ai entrepris dès 1991 mes premières
recherches et analyses sur la complexité des phénomènes
que, en tant que mathématicien, \emph{et non en tant qu'expert de
la discipline en question}, il me fallait mettre en équations et
expliquer.

Si la lecture des fondamentaux sur ce sujet (H. Simon, R. May, J.-L. Le
Moigne, E. Morin\,{\ldots}) a été source d'inspiration (et
parfois, également, de frustration), c'est surtout \emph{La
structure des révolutions scientifiques} de Thomas
Kuhn~\cite{1} qui m'a conforté dans
l'intuition que certaines informations déjà existantes
pouvaient être \emph{réexploitées} pour tenter de
remonter de la complexité intrinsèque de chaque
phénomène (ou système) aux causes de cette complexité,
et ceci en dépit du fait que ces informations sont déjà
connues et n'apportent donc, \emph{a priori}, rien de nouveau.

\section{Données et paradigmes}

Pour Thomas Kuhn, l'une des forces du paradigme en sciences (au sens de
\guillemotleft{}~modèle à suivre car faisant consensus~\guillemotright{}) est bien de
définir un cadre normatif dans lequel les scientifiques peuvent
échanger de l'information sans ambigu\"{i}té. De ce fait, tout
changement de paradigme conduit à ce qu'il appelle \guillemotleft{}~une
véritable révolution~\guillemotright{} dans la manière de percevoir et de
comprendre la réalité.

En particulier, souligne-t-il, un tel changement n'implique ni
l'utilisation de nouvelles données pour décrire cette
réalité, ni une simple réinterprétation des données
existantes~: \guillemotleft{}~bien que le monde ne change pas après un changement
de paradigme, l'homme de science travaille désormais dans un monde
différent~\cite{2}~\guillemotright{}. Et dans ce nouveau monde,
les systèmes et les phénomènes sont perçus et compris
différemment.

En 1998, Steven Weinberg nuance la vision de Kuhn en introduisant une
idée particulièrement intéressante pour les
mathématiciens. Selon lui, les théories scientifiques se
composent d'un socle \emph{dur}, constitué des équations
régissant les phénomènes, et d'une partie \emph{douce},
constituée de l'interprétation de ces équations et du
pourquoi elles fonctionnent pour expliquer l'observable. C'est cette
partie \emph{douce} qui change, mais la partie \emph{dure}, elle,
ne change pas, ou sinon très lentement, par exemple à la faveur
d'une généralisation intégrant de nouveaux domaines de
validité. Ainsi la théorie de la Relativité comprend-elle
celle de la mécanique de Newton, cette dernière restant valable
dans la majorité des cas pratiques rencontrés en
ingénierie, y compris pour envoyer les \emph{rovers} les plus
sophistiqués sillonner la surface de la planète Mars.

Dans ce contexte, il n'était pas \emph{inenvisageable} de tenter
de mieux comprendre la complexité d'un problème à travers
la mathématisation de nouveaux descripteurs définissant, par
eux-mêmes, un changement de paradigme, et ceci avec bien sûr
l'idée seconde de pouvoir ensuite remonter aux causes de cette
complexité. Après tout, les paléontologues eux-mêmes ne
renoncent pas à utiliser un squelette partiel, voire parfois un
seul os, pour reconstituer l'animal dans sa totalité, son mode de
vie, voire ses habitudes alimentaires~!

\section{Les défis du projet \emph{Solar Impulse}}

Le projet \emph{Solar Impulse} avait pour objectif la réussite d'un tour
du monde à bord d'un avion entièrement m\^{u} par énergie
solaire (figure~\ref{fig1}).

\begin{figure}
\includegraphics{fig01}
\caption{L'avion \emph{Solar Impulse} (HB-SIA) lors de son tout
premier test, le 3 décembre 2009.
Crédit photo : \emph{Solar Impulse}.}
\label{fig1}
\end{figure}

Initié en 2003 par Bertrand Piccard, bientôt rejoint par
André Borschberg, ce projet s'est déroulé sur une durée
totale de 13 années au cours desquelles d'innombrables défis
techniques mais aussi humains ont été surmontés.

Mais au-delà des aspects techniques, et comme Bertrand Piccard
lui-même l'a expliqué, l'objectif ultime de ce projet
précurseur était de promouvoir les énergies renouvelables
et l'efficacité énergétique que permettent les nouvelles
technologies. Et comment mieux mettre en lumière ces valeurs
qu'à travers un projet porteur de symboles et l'accomplissement
d'un exploit jugé impossible~?

\section{Repousser les limites de la faisabilité}

La pré-étude réalisée par une prestigieuse école
d'ingénieurs en Suisse laissait en effet peu de doutes sur les
difficultés de réalisation d'un avion capable de voler jour et
nuit à l'énergie solaire, exploit jugé infaisable avec les
technologies sur étagère en 2003.

Il s'est donc immédiatement posé la question d'identifier les
meilleures voies à explorer pour repousser les limites de la
faisabilité d'un tel appareil. Quelles technologies retenir pour
optimiser l'efficacité énergétique globale du vol~? Comment
tirer parti des avantages de chaque solution technique et limiter la
propagation des contraintes lorsque ces solutions sont combinées
les unes avec les autres au sein d'un système devant assurer un vol
jour et nuit~? En d'autres termes, comment être sûr de ne pas
pénaliser un critère global de performance en essayant
d'optimiser un sous-système de l'avion~? Par exemple, dans quelle
mesure pouvait-on conserver le bénéfice d'une augmentation de
la masse de batterie embarquée, facteur favorisant le stockage de
l'énergie et donc le vol de nuit, alors qu'un avion plus lourd a
une finesse réduite, toutes choses étant égales par
ailleurs~? Même une question aussi simple et directe que celle-ci
devenait, dans le contexte d'optimisation extrême du projet, d'une
grande complexité.

Propulsion électrique, collecte et stockage d'énergie solaire,
électronique de puissance, irradiation solaire, aérodynamique,
météorologie tout autour du globe\,{\ldots}\ {}Aucune de ces
thématiques n'était radicalement nouvelle par elle-même,
mais de leur combinaison, de leur intrication au sein d'un système
aussi fortement contraint, naissait un défi sans précédent.

Car toutes ces thématiques (et bien d'autres) devaient être
intégrées dans le modèle multiphysique simulé qui
déterminerait la solution optimale pour le futur avion. Avec, à
la clef, des milliers d'équations et d'inéquations
implicitement couplées les unes avec les autres, et des milliers de
paramètres susceptibles d'entrer dans le processus d'optimisation.
Or, le temps nécessaire au développement du modèle
simulé avait été initialement estimé à 5
années, alors que les contraintes du projet ne nous laissaient que
18 mois pour le réaliser.

\section{Quand les cheveux s'en mêlent}

En travaillant dès le départ sur les descripteurs de
complexité détaillant les caractéristiques du modèle
simulé à construire, l'analyse de la mathématique du
problème et en particulier de la nature des équations à
résoudre avait révélé très tôt d'étonnantes
similarités avec un autre problème très fortement
paramétré auquel moi-même et mon équipe
avions\footnote{{Chez Altran.}} apporté
une réponse particulièrement efficace, quelques mois plus
tôt : il s'agissait de la modélisation de la croissance d'un
follicule pileux, véritable racine intradermique du cheveu
(figure~\ref{fig2}).

\begin{figure}
\includegraphics{fig02}
\caption{Simulation de la croissance d'un follicule pileux. Auteur : Christophe Béesau/Altran.}
\label{fig2}
\end{figure}

Mais comment deux problèmes aussi éloignés l'un de l'autre
en apparence peuvent-ils avoir des similarités aussi fortes~? Tout
l'intérêt du choix \emph{pertinent} des descripteurs de
complexité est bien de définir un espace multidimensionnel dans
lequel les \guillemotleft{}~distances~\guillemotright{} entre les problèmes peuvent être
mesurées, révélant ainsi des proximités parfois
surprenantes mais riches d'intérêt.

Dès lors, il nous était possible d'accélérer
drastiquement la construction de la simulation multiphysique en
déterminant directement, et avec un niveau de confiance
élevé, la façon d'organiser le calcul de chaque
sous-système et d'optimiser l'ensemble des couplages
nécessaires au sein du modèle global. Et tous les
ingénieurs en modélisation savent combien cette question du
couplage est délicate tout autant que cruciale~!

Aucun solveur ne pouvant traiter un problème aussi fortement
paramétré, déterminer les solutions menant aux meilleures
performances de l'avion nécessitait une approche différente.
Or, en utilisant les descripteurs précédemment construits, il
devenait possible d'estimer l'influence probable de la plupart des
facteurs sur les performances de l'avion. Ainsi le problème
d'optimisation pouvait-il être réduit de façon très
significative et guidé par une démarche structurée, sans
nécessiter une exploration ``en aveugle'', aussi risquée en
termes de performances atteintes que coûteuse en temps.

Les tout premiers vols de l'avion furent source d'un certain stress,
après les dix-huit mois d'études d'optimisation et les cinq ans
d'ingénierie et de fabrication de l'avion. L'heure de
vérité était venue~: quel était le rendement
énergétique obtenu~? Le verdict tomba avec les mesures
réalisées lors du premier vol d'essai du 7 avril 2010 : l'avion
surperformait la simulation de 1,5~\%, c'est-à-dire que nos calculs
étaient très légèrement pessimistes, ce qui était
exactement l'objectif recherché.

\section{Franchir les océans~?}

Le premier avion solaire, HB-SIA, avait permis la réalisation de
bien des records. Dix ans plus tard, son successeur spécialement
conçu pour les vols de longue durée, HB-SI2, réussissait
ses premiers essais. Ce délai avait bien s\^{u}r été mis
à profit pour continuer l'exploration des descripteurs de
complexité sur un grand nombre d'autres projets.

Rodée et disposant de tous les outils nécessaires validés
sur de nombreux vols, l'équipe du \emph{Mission Control Center}
était quant à elle fin prête à accompagner les pilotes
dans le défi du tour du monde aérien. Il restait cependant une
question ouverte, aussi intéressante que difficile techniquement :
comment estimer la stabilité des prévisions
météorologiques le long de la route suivie par l'avion, en
particulier lorsqu'il s'aventure à franchir les océans~?

La dynamique des systèmes météo est d'une grande
complexité (figure~\ref{fig3}), et il ne s'agissait bien sûr ni
de recommencer le calcul des prévisions fournies par la
NOAA\footnote{{\emph{National Oceanic and
Atmospheric Administration}}.}, ni de remettre en cause les
interprétations réalisées par l'équipe météo,
mais plutôt de quantifier rationnellement cette stabilité du
décollage à l'atterrissage de l'avion.

\begin{figure}
\vspace*{-5pt}
\includegraphics{fig03}
\vspace*{-5pt}
\caption{Systèmes de hautes et basses pressions sur
l'Atlantique Nord. Les couleurs indiquent l'intensité des vents
associés, de la plus faible (vert clair) à la plus intense
(rouge). Crédit photo nullschool.net.}
\label{fig3}
\vspace*{-5pt}
\end{figure}

Les données de la NOAA sont en effet actualisées par cycles de
6 heures et, en fonction de la dynamique propre des systèmes de
basses et hautes pressions qui composent l'atmosphère,
l'évolution de la prévision d'un cycle à l'autre pour un
point donné est plus ou moins marquée. Or, plus la
prévision concerne une période lointaine, moins elle est
fiable, ce qui signifie aussi que sa stabilité probable diminue.
Cette conséquence était donc à la fois gênante pour les
vols longs (jusqu'à 120 heures, soit 5 jours pour l'étape de
Nagoya à Hawa\"{i}) et complexe à quantifier sur une
trajectoire couvrant plusieurs milliers de kilomètres.

\section{Déplier l'origami spatio-temporel}

Cette interrogation sur la stabilité des prévisions
météo allait nous servir de cas d'école pour essayer de
répondre à une autre question : est-il possible d'analyser la
complexité d'un système, non pas uniquement en raisonnant à
partir d'équations déjà connues et décrivant ses
sous-systèmes, mais en prenant également en compte un ensemble
de données caractérisant le comportement~de ce système~?

Car si d'innombrables travaux ont bien sûr été menés
sur la question de la stabilité des grands systèmes depuis le
célèbre article de R.~May~\cite{3}, il se trouvait que la configuration
particulière de notre problème (les équations
différentielles impliquées n'ayant généralement pas de
solution analytique) contraignait à utiliser une approche
non-conventionnelle. Ainsi, il fallait combiner l'élaboration de
familles-types de relations de la physique et de la thermodynamique
avec l'utilisation de données permettant de reconstituer des
heuristiques de couplages spatiaux mais aussi temporels, significatifs
de l'évolution des scénarios météorologiques.

De telles investigations supposaient la capacité de travailler
simultanément sur des dizaines de prévisions\footnote{Il
s'agit des \emph{ensembles}, c'est-à-dire de toutes les
prévisions réalisées pour la même date et
représentant en quelque sorte les multiples scénarios possibles
d'évolution de la météo.} composées chacune de 20
cycles successifs couvrant les 120 heures requises, le long d'une
trajectoire parcourant des milliers de kilomètres. Par ailleurs,
l'une des étapes de calcul consistait en une découpe pertinente
de l'espace et du temps, livrés au regard tel un origami
déplié. Cependant, la méthode récursive utilisée,
très efficace, s'avérait gourmande en ressources
matérielles. Enfin, il était évidemment indispensable
d'effectuer ces calculs bien avant la disponibilité des données
du cycle suivant, c'est-à-dire dans un délai maximum de 6~heures, sans quoi les résultats obtenus auraient utilisé de
fait des données déjà obsolètes. Les exigences en
termes de puissance de traitement nécessaire étaient donc
réelles.

Disponible dès fin 2015, c'est un calculateur
parallèle\footnote{Calculateur Ulysse CDR-2 (Inworks).} qui allait
assurer la totalité de ces traitements en moins d'une heure.

C'est ainsi que la stabilité des prévisions
météorologiques de chacun des vols réalisant la seconde
moitié (2016) du tour du monde aérien de l'avion \emph{Solar Impulse}
a pu être évaluée avec ce système expérimental. Les
analyses de validation effectuées au long des prévisions
successives ont également montré que les critères
quantitatifs élaborés par cette méthode de travail
permettaient d'anticiper efficacement la dynamique d'évolution des
conditions météorologiques en un point donné de la
trajectoire, c'est-à-dire \emph{la stabilité de la
prévision} en ce point. L'extension des critères de
stabilité à une trajectoire complète était maintenant
une question de choix~: extremum obtenu parmi l'ensemble des points de
la trajectoire, raisonnement différencié en fonction de
l'altitude de l'avion, combinaison ou non de critères selon les
phénomènes physiques impliqués~: turbulences, humidité
relative, etc.

\section{L'énigme des bouloches textiles}

Restait enfin à déterminer de quelle manière ce \emph{cas
d'école} éclairait la possibilité de caractériser la
complexité d'un système par l'utilisation conjointe
d'équations connues et de données caractéristiques
(grandeurs physiques estimées par les prévisions successives).
En effet, et bien qu'élaborés empiriquement, les critères
de stabilité avaient été démontrés pertinents~;
dans ce cas, pouvait-on s'attendre à ce que les équations
associées à ces critères apportent une information nouvelle
permettant de mieux déterminer les descripteurs de complexité
du problème~?

L'analyse réalisée à cet effet a montré un résultat
surprenant à première vue~: parmi tous les problèmes
décrits dans la base de données de complexité, le plus
proche \guillemotleft{}~voisin~\guillemotright{} du problème de stabilité des prévisions
météorologiques est un problème de croissance et
d'évolution des bouloches textiles à la surface d'un velours~!

Une analyse plus poussée de ce résultat explique cette
énigme~: même si les deux problèmes n'ont pas de
ressemblance d'un point de vue physique, le calcul des descripteurs de
complexité trouve, dans ce cas précis, des similarités
significatives dans les équations de couplage des facteurs
descriptifs de la tribologie des textiles d'une part, et de la
dynamique des systèmes de basses et hautes pressions composant
l'atmosphère, d'autre part\,{\ldots}\ Une forme de \guillemotleft{}~ressemblance~\guillemotright{}
conceptuellement passionnante, et qu'il aurait été probablement
difficile de soupçonner \emph{a priori}.

Ainsi, et bien que restant à approfondir, cette démarche
exploratoire ouvrait de fait la séduisante perspective de pouvoir
analyser la complexité de tout problème mal décrit (en
termes d'équations), voire d'une \guillemotleft{}~boîte noire~\guillemotright{}, si tant est
que des données comportementales pertinentes sont disponibles~!

\section{Analyse et extensions futures}

Toute démarche scientifique s'appuyant sur le principe de
répétabilité, il était important d'explorer le domaine
de validité de ces acquis et d'en affiner la maîtrise. Et si
les heuristiques en elles-mêmes ne sont pas de la science, la
science peut s'appuyer avec profit sur des heuristiques pour alimenter
ses propres processus de découverte, y compris dans le domaine des
mathématiques et de l'ingénierie.

Les descripteurs de complexité et les heuristiques associées
présentés ci-dessus ont donc été
généralisés et complétés, puis déployés sur
plus de 150 projets d'innovation, dans une vingtaine de secteurs aussi
variés que la science des matériaux, l'aéronautique, le
soudage laser, la biotechnologie, la fabrication des composants
optiques ou la physico-chimie des polymères.

Ce retour d'expérience (figure~\ref{fig4}) peut-il éclairer le surprenant taux
d'échec des projets d'innovation évalué par l'étude du
CNRS, par exemple en identifiant des causes techniques de paralysie~?

\begin{figure}
\vspace*{-5pt}
\includegraphics{fig04}
\vspace*{-5pt}
\caption{\label{fig4}Répartition des causes de blocages
extrêmes. Retour d'expérience sur 150 à 200 cas d'étude
{\textcopyright} 2023 Inworks.}
\end{figure}

L'analyse montre que 5 causes déterminent 94~\% des situations de
blocage extrême des projets~:
\begin{itemize}
\item Dans 27~\% des cas, c'est l'existence de phénomènes
inconnus (ou parfois non soupçonnés dans le contexte du projet)
qui cause le blocage.

\item Les interactions paradoxales, c'est-à-dire influençant le
phénomène ou le système d'une façon opposée à
ce qui est attendu, représentent 21~\% des cas, à
égalité de fréquence avec les informations non
utilisées car réputées (à tort) impossibles à
reconstituer~: effet de boîte noire, mesure irréalisable, etc.
\item Les problèmes de complexité combinatoire représentent
14~\% des cas et n'affectent pas seulement des questions de
performances, mais aussi de stabilité difficile des systèmes.
\item La présence de mesures ou données non-pertinentes
(mesures avec erreurs insoupçonnées, données non
fiables\,{\ldots}) représente 11~\% des cas.
\item Enfin, d'autres causes complètent cette répartition, dans
des proportions moindres, comme des erreurs humaines ou des effets
d'échelle qui ne sont pas maîtrisés.
\end{itemize}

Soulignons que sur de nombreux projets, les causes racines ont pu
être multiples, c'est-à-dire parfois coexistantes au sein du
même système (ou sous-système), ou bien réparties dans
différents sous-systèmes.

Tous ces résultats encouragent bien sûr à aller plus loin
et à étendre les raisonnements qui ont initié ces travaux.

Ainsi, l'étape suivante, déjà en cours, consiste-t-elle
à développer un processus de Machine Learning afin de traiter
la base de données de complexité existante et d'en déduire
plus rapidement les préconisations adaptées à l'analyse ou
à la modélisation de nouveaux phénomènes ou
systèmes complexes~!

\section*{Déclaration d'intérêts}

Christophe Béesau a travaillé pour la Solar Impulse Foundation (association à but non lucratif) de 2003 à 2016, en tant que Chief mathematician. Il joue aujourd'hui ce rôle pour la start-up Dirisolar.

%Les auteurs~ne travaillent pas, ne conseillent pas, ne possèdent
%pas de parts, ne reçoivent pas de fonds d'une organisation qui
%pourrait tirer profit de cet article, et n'ont déclaré aucune
%autre affiliation que leurs organismes de recherche.

\printbibliography
\end{document}
