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\dateposted{2025-01-07}
\begin{document}

\begin{noXML}

\CDRsetmeta{articletype}{history-of-sciences}

\title{Une incursion en sociologie}

\alttitle{An incursion into sociologie}

\author{\firstname{Julien} \lastname{Bok}}
\address{Professeur \'em\'erite, Universit\'e PSL, Paris, France}
\email{julien.bok@orange.fr}

\keywords{\kwd{Structures hi\'{e}rarchiques}
\kwd{Difficult\'{e}}
\kwd{Puissance d'une organisation hi\'{e}rarchis\'{e}e}}

\altkeywords{\kwd{Hierarchical structures}
\kwd{Difficulty}
\kwd{Power of a hierarchical organization}}

\begin{abstract}
A partir d'une remarque de John von Neumann sur la difficult\'{e}
d'administrer N personnes qui sugg\`{e}re qu'elle provient
essentiellement des interactions 2 \`{a} 2, nous d\'{e}finissons une
fonction \og difficult\'{e} \fg{} d'une organisation. L'optimisation de
cette organisation est obtenue en minimisant cette fonction. On obtient
ainsi diff\'{e}rentes structures hi\'{e}rarchiques selon la discipline
qui y r\`{e}gne. Nous pr\'{e}sentons \'{e}galement une \'{e}tude de la
\og puissance \fg{} d'une organisation hi\'{e}rarchis\'{e}e. Nous comparons
enfin ces r\'{e}sultats \`{a} des \'{e}tudes sociologiques
d'entreprises existantes. Certaines analogies avec des th\'{e}ories
physiques sont soulign\'{e}es.
\end{abstract}

\begin{altabstract}
Based on a remark by John von Neumann about the difficulty of managing
N people, which suggests that it arises essentially from 2-to-2
interactions, we define a ``difficulty'' function of an organization.
The optimization of this organization is obtained by minimizing this
function. This leads to different hierarchical structures depending on
the discipline maintained. We also present a study of the ``power'' of
a hierarchical organization. Finally, we compare these results with
sociological studies of existing companies. Some analogies to physical
theories are highlighted.
\end{altabstract}


\maketitle

\end{noXML}

\xsection{}

{\vspace*{1pc}}

G\'{e}rard Toulouse a toujours \'{e}t\'{e} int\'{e}ress\'{e} par
l'organisation des laboratoires et \'{e}quipes de recherche et par le
r\^{o}le, souvent trop important, des
\guillemotleft{}~patrons~{}\guillemotright. Nous avions de longues
discussions \`{a} ce sujet. Il est venu me dire, un jour, avoir lu les
m\'{e}moires de Stanislas Ulam, responsable de l'\'{e}quipe
math\'{e}matique du projet
\guillemotleft{}~Manhattan~{}\guillemotright\ et intitul\'{e}
\textit{Adventures of a mathematician} et me l'a fortement
conseill\'{e}. J'ai lu cet ouvrage et un passage m'a
particuli\`{e}rement impressionn\'{e}. Il cite John Von
Neumann~\cite{1} qui dit~: \guillemotleft{}~When I became chairman of
the mathematics department at the University of Colorado, I noticed
that the difficulties of administering $N$ people were not really
proportional to $N$ but to $N^2$. This became my first administrative
theorem.~{}\guillemotright

Le th\'{e}or\`{e}me de Von Neumann remarquant que la difficult\'{e}
d'administrer $N$ personnes varie comme  $N^2$ sugg\`{e}re que cette
difficult\'{e} provient des interactions des personnes 2 \`{a} 2. En
toute rigueur, le nombre de contacts binaires est $(1/2)N(N-1)$, pour
les grands nombres la variation sera en $N^2$. Cette difficult\'{e}
limite \`{a} notre avis la taille des groupes sociaux, provoque des
divisions en cellules plus petites et la constitution de structures
hi\'{e}rarchiques. Les biologistes ont remarqu\'{e} que la forte
densit\'{e} d'individus de la m\^{e}me esp\`{e}ce dans un milieu
donn\'{e} cr\'{e}e une grande intensit\'{e} des relations et
d\'{e}termine une excitation des activit\'{e}s et une taille maximum
des colonies ind\'{e}pendamment des ressources alimentaires
disponibles. De m\^{e}me, la corr\'{e}lation entre la densit\'{e} de la
population et les formes de la propri\'{e}t\'{e} a \'{e}t\'{e}
not\'{e}e par les sociologues. H. Janne dans son ouvrage \textit{Le
syst\`{e}me social}~\cite{2} cite de nombreux exemples. En particulier,
celui de l'occupation de l'ouest am\'{e}ricain par les colons.

La \guillemotleft{}~difficult\'{e}~{}\guillemotright\ d\'{e}finie comme
proportionnelle au nombre d'interactions possibles diminuera
\'{e}videmment si on scinde la population en groupes, les individus
n'interagissant qu'\`{a} l'int\'{e}rieur des groupes et les groupes
entre eux comme entit\'{e}s globales. On peut ainsi d\'{e}finir une
fonction difficult\'{e} $D$ pour une structure hi\'{e}rarchique
quelconque. Nous posons alors en principe que l'\'{e}tat
d'\'{e}quilibre est obtenu en minimisant la difficult\'{e} $D$. Cette
d\'{e}marche est inspir\'{e}e des th\'{e}ories physiques et plus
particuli\`{e}rement de la thermodynamique qui repose sur des principes
variationnels. L'\'{e}tat d'\'{e}quilibre d'un syst\`{e}me d'atomes ou
de mol\'{e}cules est obtenu en cherchant les minima ou les maxima de
certaines fonctions thermodynamiques comme l'\'{e}nergie libre,
l'entropie, etc. Nous avons nomm\'{e} cette d\'{e}marche:
\guillemotleft{}~Principe de moindre difficult\'{e}~{}\guillemotright.

Ce mod\`{e}le conduit naturellement \`{a} pr\'{e}dire des effets non
r\'{e}versibles (hyst\'{e}r\'{e}sis), li\'{e}s au caract\`{e}re discret
du nombre d'\'{e}chelons hi\'{e}rarchique $p$, lorsque le nombre total
d'individus $N$ varie~: la structure d'une organisation d\'{e}pend de
son histoire.

Pour illustrer ce principe, consid\'{e}rons d'abord un ensemble de $N$
sujets. Quand le nombre $N$ augmente, il se divise en $N_1$ groupes
contenant chacun $N_0$ individus $(N=N_0 N_1)$. La difficult\'{e}
totale sera alors la somme de deux termes, provenant d'une part des
heurts intragroupes et d'autre part des heurts intergroupes. En
supposant, pour simplifier, que ces deux types de heurts cr\'{e}ent la
m\^{e}me difficult\'{e}, on obtient (en appliquant la loi approch\'{e}e
en $N^2$)~:
{\begin{eqnarray*}
D=N_0^2 \times N_1+ N_1^2 = N_0^2 \frac{N}{N_0}+\left(\frac{N}{N_0}\right)^2
\end{eqnarray*}}\unskip

En minimisant, par rapport \`{a} la taille des groupes $N_0$~:
{\begin{eqnarray*}
\frac{\partial D}{\partial N_0}=N-2 \frac{N^2}{N_0^3}=0
\end{eqnarray*}}\unskip
on obtient comme valeur \`{a} l'\'{e}quilibre~:
{\begin{eqnarray*}
N_0=(2N)^{1/3}=1,26 N^{1/3} \quad \mbox{et}\quad D=1,9 N^{4/3}
\end{eqnarray*}}\unskip

On voit que l'introduction d'un \'{e}chelon hi\'{e}rarchique fournit la
possibilit\'{e} de r\'{e}duire la difficult\'{e} totale $D$ qui varie
en $N^{4/3}$ au lieu de $N^2$. Si nous consid\'{e}rons, par exemple, un
laboratoire de 45 chercheurs, on constate qu'il se divise en
\'{e}quipes plus petites. Les formules pr\'{e}c\'{e}dentes donnent
l'\'{e}tat d'\'{e}quilibre correspondant \`{a} la difficult\'{e}
minimum~: une dizaine d'\'{e}quipes comprenant en moyenne 4,5
individus. De telles structures existent. De nombreux laboratoires de
recherche se divisent en \'{e}quipes de 4 ou 5 chercheurs.

Nous avons montr\'{e} dans un article publi\'{e} dans la \textit{Revue
fran\c{c}aise de sociologie}~\cite{3} que nous pouvons calculer la
difficult\'{e} $D$ pour une population $N$ et un nombre d'\'{e}chelons
hi\'{e}rarchiques $p$ quelconque (Figure~\ref{fig1}). En minimisant
$D$, nous trouvons une tr\`{e}s grande richesse de structures
hi\'{e}rarchiques. Ce mod\`{e}le math\'{e}matique repose \'{e}videmment
sur des hypoth\`{e}ses tr\`{e}s simples mais tr\`{e}s
g\'{e}n\'{e}rales~; son application \`{a} des syst\`{e}mes sociaux
r\'{e}els pose donc quelques probl\`{e}mes. Il s'agit d'un mod\`{e}le
th\'{e}orique, et seuls les chercheurs en sciences sociales, si ils s'y
int\'{e}ressent, peuvent v\'{e}rifier si il s'applique \`{a} des
r\'{e}alit\'{e}s. Les calculs d\'{e}taill\'{e}s sont donn\'{e}s dans
l'article cit\'{e} ci-dessus pour les lecteurs int\'{e}ress\'{e}s.


\begin{figure}
\includegraphics{fig01}
\caption{Sch\'ema destin\'e \`a illustrer la d\'efinition des nombres $N_r$,
$0\leq r \leq p$, dans une hi\'erarchie \`a p \'echelons.\label{fig1}}
\end{figure}


\section*{Puissance d'une organisation}

La plupart des organisations ou syst\`{e}mes sociaux grossissent, car
ils pensent ainsi accro\^{i}tre leur~puissance. Si $a$ est
l'activit\'{e} d'un individu, l'activit\'{e} de l'ensemble devrait
\^{e}tre $Na$. Malheureusement la difficult\'{e} due aux heurts
cro\^{i}t \'{e}galement avec $N$. La puissance effective de
\mbox{l'organisation} peut alors s'\'{e}valuer par la formule:  $P=Na - D/d$,
o\`{u} $d$ est un facteur traduisant l'influence des heurts sur le
travail des individus. $d$ peut \^{e}tre appel\'{e}
\guillemotleft{}~discipline~{}\guillemotright\ de la structure. On voit
l'influence primordiale de la discipline. Elle permet de diminuer
l'effet de la difficult\'{e}. Le calcul d\'{e}taill\'{e} de la
puissance est donn\'{e} dans notre article~\cite{3}.


Les principaux r\'{e}sultats obtenus sont les suivants~:
\begin{itemize}
\item Si une organisation cro\^{i}t en conservant sa structure
hi\'{e}rarchique, sa puissance, apr\`{e}s \^{e}tre pass\'{e}e par un
maximum, d\'{e}cro\^{i}t rapidement. Pour une taille critique $N_c$,
les querelles internes r\'{e}duisent l'organisation \`{a} l'impuissance
totale (Figure~\ref{fig2}).

\item Pour une organisation b\'{e}n\'{e}ficiant d'une structure id\'{e}ale,
chaque \'{e}chelon suppl\'{e}mentaire dans la hi\'{e}rarchie divise par
2 l'activit\'{e} par individu.

\item pour $d$ grand, une structure pyramidale avec de nombreux
\'{e}chelons augmente rapidement la puissance $P$. Notre formule
math\'{e}matique illustre le vieil adage \guillemotleft{}~la discipline
fait la force principale des arm\'{e}es~{}\guillemotright.

\item Ce mod\`{e}le conduit naturellement \`{a} pr\'{e}dire des effets non
r\'{e}versibles (hyst\'{e}r\'{e}sis), li\'{e}s au caract\`{e}re discret
du nombre d'\'{e}chelons hi\'{e}rarchiques $p$, lorsque le
nombre total d'individus $N$ varie: la structure d'une
organisation d\'{e}pend de son histoire. 
\end{itemize}


\begin{figure}
\includegraphics{fig02}
\caption{Diagramme $\sfrac{P}{a}(N,p)$ en fonction de 
$N$ pour les valeurs $p=0$, $p=1$ et $p=2$.\label{fig2}}
\end{figure}


On peut d\'{e}finir une difficult\'{e} minimum par individu~:
{\begin{eqnarray*}
\mu=\frac{\partial D}{\partial N}
\end{eqnarray*}}\unskip
pour une puissance optimum. On obtient $\mu=ad$.

\section*{Discussion g\'{e}n\'{e}rale}

Du point de vue d'un physicien, il est int\'{e}ressant de souligner
certaines analogies. Poser en point de d\'{e}part de la th\'{e}orie un
principe variationnel rappelle une d\'{e}marche fr\'{e}quente en
physique, notamment en thermodynamique et physique statistique. La
difficult\'{e} totale $D$ et la difficult\'{e} marginale $\mu$ jouent
des r\^{o}les analogues \`{a} l'\'{e}nergie libre et au potentiel
chimique. L'analogie entre la quantit\'{e} puissance $P$ et le grand
potentiel de l'ensemble grand canonique est \'{e}galement claire. Par
ailleurs l'existence de points fixes et de lois de puissance avec
exposants rappelle la th\'{e}orie du groupe de renormalisation.

Notre mod\`{e}le est \'{e}videmment un peu abstrait et simpliste. Les
interactions entre individus sont tr\`{e}s vari\'{e}es et pas toutes 
n\'{e}gatives. On peut faire une comparaison avec la th\'{e}orie des
gaz parfaits en m\'{e}canique statistique. Dans cette th\'{e}orie, on
n\'{e}glige l'interaction entre les mol\'{e}cules du gaz. Cependant, si
l'on compare les pr\'{e}dictions de la th\'{e}orie aux r\'{e}sultats
exp\'{e}rimentaux, l'accord est convenable pour les relations entre des
grandeurs mesurables comme la temp\'{e}rature, la pression, la
densit\'{e}, etc. La th\'{e}orie a \'{e}t\'{e} ensuite
am\'{e}lior\'{e}e en tenant compte des interactions entre atomes et
mol\'{e}cules. Notre th\'{e}orie de la difficult\'{e} peut donc
\^{e}tre consid\'{e}r\'{e}e comme une premi\`{e}re approche susceptible
d'am\'{e}lioration.

Nous avons re\c{c}u un accueil favorable de la part de nos
coll\`{e}gues sociologues qui ont accept\'{e} de publier notre travail
dans la \textit{Revue fran\c{c}aise de sociologie}~\cite{3}. Cette
publication a eu un certain impact. Nous avons eu de nombreux retours
et des invitations \`{a} participer \`{a} plusieurs congr\`{e}s de
sociologie. Notre mod\`{e}le est en accord avec des travaux de
sociologues.

Notre analyse peut s'appliquer \`{a} l'optimisation de la structure
d'une entreprise en vue d'une production maximum, comme l'a not\'{e} 
Woodward~\cite{4}.  Pugh et ses collaborateurs ont not\'{e}
l'importance de la taille et du nombre d'employ\'{e}s sur la structure
d'une entreprise~\cite{5}. Encore une fois, notre th\'{e}orie n'est
qu'une premi\`{e}re approximation susceptible d'am\'{e}liorations.
\looseness=1

En conclusion, je voudrais dire combien il a \'{e}t\'{e} agr\'{e}able
pour moi de travailler avec G\'{e}rard. C'\'etait un scientifique de grand
talent et d'une culture tr\`{e}s vaste dans de nombreux domaines. Nos
nombreuses discussions ont \'{e}t\'{e} tr\`{e}s fructueuses pour moi.
Elles ont port\'{e} essentiellement sur des probl\`{e}mes de physique.
En particulier sur les syst\`{e}mes d\'{e}sordonn\'{e}s comme les
verres de spins. Les travaux de G\'{e}rard font autorit\'{e} dans ce
domaine et sont d\'{e}crits dans d'autres articles de cette revue.
Notre incursion en sociologie nous a beaucoup amus\'{e}. La disparition
de G\'{e}rard a \'{e}t\'{e} une grande perte, pour moi, d'un ami
tr\`{e}s cher et pour la science d'un grand\break savant.


\section*{D\'eclaration d'int\'er\^{e}ts}
L'auteur ne travaille pas, ne conseille pas, ne poss\`ede pas de parts,
ne re\c{c}oivt pas de fonds d'une organisation qui pourrait tirer
profit de cet article, et n'a d\'eclar\'e aucune autre affiliation que
leur organisme de recherche.

\back{}

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\end{document}
