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\dateposted{2025-05-15}
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\title{Questions ouvertes pour les gaz de fermions en interaction forte
et de port\'ee nulle}

\alttitle{Open questions for strongly interacting Fermi gases with
zero-range interactions}

\author{\firstname{Yvan} \lastname{Castin}}
\address{Laboratoire Kastler Brossel, ENS-Universit\'e PSL, CNRS,
Universit\'e Sorbonne et Coll\`ege de France, 24 rue Lhomond, 75231
Paris, France}
\email{yvan.castin@lkb.ens.fr}

\keywords{\kwd{Gaz de fermions}\kwd{Hydrodynamique
quantique}\kwd{Effet Efimov}\kwd{Limite unitaire}\kwd{Interactions de
contact}\kwd{D\'eveloppement en amas ou du viriel}\kwd{Mode de Higgs}}

\altkeywords{\kwd{Fermi gases}\kwd{Quantum
hydrodynamics}\kwd{Efimov effect}\kwd{Unitary limit}\kwd{Contact
interactions}\kwd{Cluster or virial expansion}\kwd{Higgs mode}}

\begin{abstract}
Nous passons en revue quelques questions th\'eoriques non r\'esolues
dans les gaz tridimensionnels de fermions \`a deux composantes, en
nous inspirant des exp\'eriences r\'ealis\'ees r\'ecemment sur les
atomes froids dans des pi\`eges immat\'eriels pr\`es d'une r\'esonance
de Feshbach magn\'etique. Nous distinguons successivement (i) les
questions ouvertes apparaissant dans le probl\`eme \`a petit nombre de
corps avec interactions de contact dites de Wigner--Bethe--Peierls ---
essentiellement la stabilit\'e du gaz vis-\`a-vis de l'effet Efimov et
le calcul des coefficients d'amas (ou du viriel), (ii) celles relevant
de la th\'eorie effective de basse \'energie dite hydrodynamique
quantique de Landau et Khalatnikov --- essentiellement l'amortissement
des modes de phonons et le temps de coh\'erence du condensat de paires
li\'ees, et enfin (iii) les questions n\'ecessitant une r\'esolution
compl\`ete, microscopique, du probl\`eme \`a \tralicstex{\textit{N}}{$N$} corps, comme les
propri\'et\'es pr\'ecises de la branche d'excitation sonore (de
Goldstone) du condensat de paires, ou de sa branche d'excitation
collective (de Higgs) dans le continuum de paire bris\'ee.
\end{abstract}

\begin{altabstract}
We review some unresolved theoretical issues in three-dimensional
two-component Fermi gases, drawing on recent experiments on cold atoms
in immaterial traps close to a magnetic Feshbach resonance. We
distinguish successively (i) the open questions arising in the few-body
problem with Wigner--Bethe--Peierls contact interactions---essentially
the stability of the gas with respect to the Efimov effect and the
calculation of the cluster (or virial) coefficients, (ii) those arising
in the effective low-energy theory of Landau and Khalatnikov quantum
hydrodynamics---essentially the damping of phonon modes and the
coherence time of the condensate of pairs, and finally (iii) questions
requiring a complete, microscopic solution of the many-body problem,
such as the specific properties of the acoustic excitation branch
(Goldstone) of the condensate of pairs, or its collective excitation
branch (Higgs) in the broken-pair continuum.
\end{altabstract}

\maketitle


\newpage 

\def\contentsname{Sommaire}
\tableofcontents

\end{noXML}

\let\rmmu\upmu

{\vspace*{-12pt}}

\section*{Version fran\c{c}aise (English version starts on p \pageref{debe})}

{\vspace*{-3pt}}

\section{Introduction et pr\'esentation g\'en\'erale}
\label{sec1}

{\vspace*{-3pt}}


Ce\label{debf} texte est essentiellement la retranscription de notre expos\'e de 90
minutes au colloque de prospective \g{Questions ouvertes dans le
probl\`eme quantique \`a $N$ corps} qui s'est tenu \`a l'Institut
Henri Poincar\'e \`a Paris, du 8 au 12 juillet 2024, d'o\`u son style
et son niveau de pr\'ecision diff\'erents de ceux d'un article de
recherche habituel. Il est plus complet que l'expos\'e sur la
section~\ref{sec4} (trait\'ee rapidement \`a l'oral) et sur la
section~\ref{sec5} (omise \`a l'oral par manque de temps). Les notes
en bas de page peuvent \^etre ignor\'ees en premi\`ere lecture.
L'expos\'e a \'et\'e enregistr\'e et est disponible en ligne sur la
cha\^ine Carmin de l'IHP (cliquer
\href{https://www.carmin.tv/fr/collections/symposium-open-questions-in-the-quantum-many-body-problem}{ici}).

Le syst\`eme consid\'er\'e est inspir\'e des exp\'eriences sur les
atomes froids: il s'agit d'un gaz tridimensionnel de fermions \`a deux
composantes (comprendre deux \'etats internes $\uparrow$ et
$\downarrow$) dans un pi\`ege immat\'eriel --- fait de lumi\`ere, \`a des
temp\'eratures tr\`es basses de l'ordre du microkelvin.  C'est le digne
descendant des gaz d'atomes refroidis par laser (dans les fameuses
\g{m\'elasses optiques}, voir le prix Nobel de physique 1997
d\'ecern\'e \`a Steven Chu, William Phillips et Claude Cohen-Tannoudji)
puis des condensats de Bose--Einstein atomiques gazeux refroidis par
\'evaporation (voir le prix Nobel de physique 2001 d\'ecern\'e \`a Eric
Cornell, Carl Wieman et Wolfgang Ketterle). 

Par rapport \`a leurs illustres pr\'ed\'ecesseurs, les gaz d'atomes
froids fermioniques ont l'avantage (i) d'\^etre compos\'es de fermions,
ce qui permet de couvrir les deux statistiques possibles (on peut
toujours \g{bosoniser} le gaz en formant des paires fortement li\'ees
$\uparrow\downarrow$) et de faire un lien direct avec les syst\`emes
d'\'electrons (des fermions!) de la physique du solide, (ii) de rester
collisionnellement stables (peu de pertes \`a trois corps par
recombinaison vers des \'etats mol\'eculaires profonds) m\^eme dans le
r\'egime d'interaction forte comme dans la fameuse \g{limite unitaire}
d\'ecrite plus bas (au contraire pour l'instant des gaz d'atomes froids
bosoniques), et (iii) de constituer dans ledit r\'egime des syst\`emes
mod\`eles, beaux, simples et universels, gr\^ace \`a la port\'ee
n\'egligeable des interactions de van der Waals entre $\uparrow$ et
$\downarrow$ (plus pr\'ecis\'ement, la longueur de van der Waals
associ\'ee est n\'egligeable); comme nous le verrons, ceci autorise \`a
remplacer l'interaction par des conditions de contact sur la fonction
d'onde \`a $N$ corps d\'ependant de la seule longueur de diffusion $a$
dans l'onde $s$, longueur que les exp\'erimentateurs ajustent \`a
volont\'e au moyen d'une r\'esonance de Feshbach, par simple
application d'un champ magn\'etique uniforme bien choisi.

Notre syst\`eme n'est pas sans rapport avec ceux d'autres expos\'es du
colloque. Le lien est \'evident avec la contribution de Tilman Enss sur
la viscosit\'e des gaz de fermions en interaction forte~\cite{Enss},
compl\'ementaire de la n\^otre. Mais si l'on place nos fermions dans
un r\'eseau optique, \`a raison d'environ une particule par site
(pr\`es du demi-remplissage), on retombe sur les probl\`emes de
fermions fortement corr\'el\'es et de supraconductivit\'e \`a haute
temp\'erature critique discut\'es par Antoine Georges. Dans un r\'egime
qui plus est d'interaction sur site $U_{\uparrow\downarrow}$ forte
devant le couplage tunnel $t$ entre sites voisins,
$U_{\uparrow\downarrow}\gg t$, le syst\`eme est d\'ecrit par un
hamiltonien mod\`ele de spins de type Heisenberg, avec un couplage
magn\'etique $J\propto t^2/U_{\uparrow\downarrow}$, ce qui fait le lien
avec l'expos\'e de Sylvain Capponi~\cite{Cappo}. En revenant \`a un
syst\`eme uniforme (sans r\'eseau) mais en appliquant un champ de jauge
artificiel (un champ magn\'etique fictif) \`a nos atomes froids
fermioniques pourtant neutres, ce que les exp\'erimentateurs savent
faire, voir l'expos\'e de Sylvain Nascimb\`ene~\cite{Nascim}, on tombe
sur des probl\'ematiques proches des expos\'es de Thierry 
Jolic\oe ur~\cite{Jolic} (sur l'effet Hall quantique fractionnaire \`a
2D) et de Carlos S\'a de Melo~\cite{SadeM} (couplage spin--orbite \`a
une dimension d'espace). Tous ces ponts vers la physique du solide ne
sont cependant pas si faciles que cela \`a emprunter, \`a cause
d'effets parasites non conservatifs, de la taille finie des
\'echantillons et d'une difficult\'e \`a descendre \`a suffisamment
basse temp\'erature (en unit\'es de la temp\'erature de Fermi $T_{\rm
F}$ ou de couplage magn\'etique $J/k_{\rm B}$), voir les expos\'es de
Wolfgang Ketterle, de Sylvain Nascimb\`ene et d'Antoine Georges. 

Terminons par le plan de notre contribution.  Dans la
section~\ref{sec2}, nous partons du r\'eel en esquissant le cheminement
des exp\'eriences sur les atomes froids depuis les ann\'ees 1980 et la
situation atteinte dans le cas des fermions.  Dans la
section~\ref{sec3}, nous adoptons un point de vue microscopique,
d'interactions remplac\'ees par des conditions de contact, et passons
en revue quelques questions ouvertes dans le probl\`eme \`a petit
nombre de fermions. Dans la section~\ref{sec4}, nous adoptons au
contraire un point de vue macroscopique, celui d'une th\'eorie
effective de basse \'energie (l'hydrodynamique quantique), et passons
en revue quelques questions ouvertes li\'ees \`a l'interaction entre
les phonons (les quanta des ondes sonores) dans la phase superfluide. 
Enfin, dans la courte section~\ref{sec5}, nous croisons les points de
vue, en listant quelques questions ouvertes requ\'erant un traitement
th\'eorique microscopique du probl\`eme \`a $N$ corps complet. 

\section{Un syst\`eme physique assez r\'ecent}
\label{sec2}

Commen\c{c}ons par une mise en contexte de nos gaz de fermions, au moyen
d'un bref historique des atomes froids.  


L'aventure commence au d\'ebut des ann\'ees 1980 par le refroidissement
laser des alcalins.  Les basses temp\'eratures atteintes sont
spectaculaires lorsqu'on les exprime en kelvins, $T\approx 1~\rmmu{\rm
K}$, mais les densit\'es spatiales sont malheureusement tr\`es faibles,
$\rho\lesssim 10^{10}~{\rm at/cm}^3$,  si bien que les gaz ont une
tr\`es faible d\'eg\'en\'erescence quantique, c'est-\`a-dire une
tr\`es faible densit\'e dans l'espace des phases, $\rho\lambda^3\ll 1$,
o\`u $\lambda$ est la longueur d'onde thermique de de Broglie des
atomes de masse~$m$:
{\begin{equation}
\lambda=\left(\frac{2\rmpi\hbar^2}{m k_{\rm B} T}\right)^{1/2}
\end{equation}}\unskip
Les effets de statistique quantique (bosoniques ou fermioniques) sont
imperceptibles.  

Tout change en 1995, lorsqu'Eric Cornell et Carl Wieman au
JILA~\cite{CBEJila},  suivis de peu par Wolfgang Ketterle au
MIT~\cite{CBEMit},  atteignent la condensation de Bose--Einstein (CBE),
\'evidemment sur des isotopes bosoniques,  gr\^ace au refroidissement
par \'evaporation dans des potentiels de pi\'egeage non dissipatifs \`a
fond harmonique\footnote{La r\'ef\'erence~\cite{Schreck} a r\'eussi
plus tard, au moyen d'astuces bien trouv\'ees, \`a obtenir un condensat
de Bose--Einstein sans \'evaporation, par le seul refroidissement laser
(voir aussi la r\'ef\'erence~\cite{Vuletic}) ;  pour cela, il a fallu
en particulier (i) utiliser une raie atomique \'etroite \`a faible
saturation pour rendre aussi basse que possible la temp\'erature limite
du refroidissement laser~\cite{josa} et (ii) r\'eussir \`a \'eviter que
les photons d'\'emission spontan\'ee, qui emportent une partie de
l'\'energie du mouvement des atomes, ne la red\'eposent par
r\'eabsorption dans le gaz.}.  Les temp\'eratures de transition restent
dans la gamme du refroidissement laser, $T_{\rm c}^{\rm CBE}\simeq
\mbox{0,1}$  \`a $1~\rmmu{\rm K}$, mais les densit\'es spatiales sont
consid\'erablement plus \'elev\'ees, $\rho=10^{12}$ \`a
$10^{15}~\mbox{at/cm}^3$, ce qui permet l'atteinte de la
d\'eg\'en\'erescence quantique $\rho\lambda^3\gtrsim 1$. 

Enfin, en 2004, le refroidissement par \'evaporation est \'etendu avec
succ\`es aux isotopes fermioniques jusqu'\`a la temp\'erature de
transition~\cite{Jin,Zwier}; les gaz \`a deux \'etats internes
$\uparrow$ et $\downarrow$  ne forment plus des condensats de
Bose--Einstein mais condensent par paires $\uparrow\downarrow$ par le
m\'ecanisme BCS~\cite{revuefer}: les interactions de van der Waals
attractives entre $\uparrow$ et $\downarrow$ conduisent, en pr\'esence
d'une mer de Fermi dans chaque \'etat interne, \`a la formation de
paires li\'ees, les fameuses paires de Cooper, des \g{bosons
composites}, qui peuvent former un condensat \`a suffisamment basse
temp\'erature, $T&lt;T_{\rm c}^{\rm BCS}$. Les temp\'eratures les plus
basses accessibles exp\'erimentalement sont de l'ordre de $0,\!1 T_{\rm
F}$, o\`u la temp\'erature de Fermi $T_{\rm F}$ reste de l'ordre du
microkelvin; ceci suffit n\'eanmoins \`a franchir $T_{\rm c}^{\rm BCS}$
car les interactions entre $\uparrow$ et $\downarrow$ sont rendues
tr\`es fortes au moyen d'une r\'esonance de diffusion \`a deux corps
(r\'esonance de Feshbach magn\'etique): la temp\'erature de transition
$T_{\rm c}^{\rm BCS}$ est alors une fraction de $T_{\rm F}$ et l'on
\'evite la situation extr\^eme des supraconducteurs BCS, pour lesquels
$T_{\rm c}^{\rm BCS}\lll T_{\rm F}$ par plusieurs ordres de grandeur. 


D\'ecrivons maintenant notre syst\`eme d'atomes froids fermioniques
dans ses grandes lignes, dans un d\'ebut d'id\'ealisation de la
r\'ealit\'e exp\'erimentale. (i) Les fermions sont \`a deux \'etats
internes $\uparrow$ et $\downarrow$; comme nous n'envisageons pas ici
de couplage de Rabi interconvertissant $\uparrow$~et~$\downarrow$, nos
consid\'erations s'appliquent aussi au cas d'un m\'elange de deux
esp\`eces chimiques de fermions formellement sans spin; pour cette
raison, nous ne supposons pas que les masses $m_\sigma$ des particules
sont \'egales dans les deux \'etats internes\footnote{Dans le cas o\`u
$\uparrow$ et $\downarrow$  sont deux \'etats de spin d'une m\^eme
esp\`ece chimique, on a naturellement $m_\uparrow=m_\downarrow$ dans
l'exp\'erience.  On pourrait cependant, par application d'un r\'eseau
optique se couplant diff\'eremment aux deux \'etats internes (dans une
limite de faible taux de remplissage), produire des masses effectives
$m_\sigma$ diff\'erentes.  Ceci reste \`a faire.} et nous consid\'erons
le rapport $m_{\uparrow}/m_{\downarrow}$ comme un param\`etre libre.
(ii) Les fermions sont pi\'eg\'es, soit dans des potentiels harmoniques
isotropes de m\^eme pulsation de pi\'egeage $\omega$ pour les deux
composantes $\sigma$,
{\begin{equation}
\label{eq1X5}
U_\sigma(\rr)=\textstyle\frac{1}{2} m_\sigma\omega^2 r^2
\end{equation}}\unskip
o\`u $\rr$ est le vecteur position \`a 3D, soit dans la bo\^ite de
quantification cubique $[0,L]^3$ commune aux deux composantes, avec les
habituelles conditions aux limites
p\'eriodiques\footnote{Exp\'erimentalement, on sait r\'ealiser des
bo\^ites de potentiel \`a fond plat au moyen de faisceaux de
Laguerre--Gauss ou de Bessel--Gauss et de nappes de lumi\`ere laser,
apr\`es compensation de la pesanteur (mise en l\'evitation des atomes)
par un gradient de champ magn\'etique~\cite{Zoran,buxida,revbox}.}.
(iii) L'interaction de van der Waals entre les deux \'etats internes
$\uparrow$ et $\downarrow$, repr\'esent\'ee sch\'ematiquement sur la
figure~\ref{fig1}a, est rendue de mani\`ere effective tr\`es forte
(r\'esonnante) dans l'onde $s$ (moment cin\'etique orbital relatif
$l=0$) par application d'un champ magn\'etique
idoine\footnote{Sans entrer dans les d\'etails,
signalons que, pour comprendre cette r\'esonance, il faut tenir compte
de la structure interne des atomes et d\'ecrire leur interaction
binaire a minima par un mod\`ele \`a deux voies, une voie ouverte de
potentiel d'interaction $V_{\rm o}(r_{12})$ et une voie ferm\'ee de
potentiel d'interaction $V_{\rm f}(r_{12})$ --- on pourra penser aux
potentiels d'interaction singulet et triplet de deux fermions de spin
1/2.  Lors d'une collision,  les atomes $\uparrow$ et $\downarrow$
entrent par la voie ouverte et, par conservation de l'\'energie,
sortent aussi par la voie ouverte car leur \'energie cin\'etique
relative incidente est inf\'erieure \`a la diff\'erence des limites de
dissociation $V_{\rm f}(+\infty)-V_{\rm o}(+\infty)&gt;0$.  Comme il
existe un couplage entre les deux voies, les atomes peuplent cependant
virtuellement la voie ferm\'ee pendant la collision.  Le champ
magn\'etique $B$ appliqu\'e induit un d\'eplacement Zeeman diff\'erent
dans les deux voies.  Il suffit alors de choisir $ B$ astucieusement
pour que l'\'energie d'un \'etat li\'e dans $V_{\rm f}(r_{12})$ --- pas
l'\'energie nue mais l'\'energie d\'eplac\'ee par le couplage ---
co\"incide presque avec la limite de dissociation $V_{\rm o}(+\infty)$,
ce qui induit une r\'esonance de diffusion (ou de collision) \`a deux
corps dans la voie ouverte et fait diverger la longueur de diffusion
$a$.} si bien que la longueur de diffusion $a$ entre deux atomes
$\uparrow$ et $\downarrow$ (d\'efinie math\'ematiquement dans la
section~\ref{sec3.1}) est suffisamment grande en valeur absolue (elle
peut \^etre positive ou n\'egative) pour que
{\begin{equation}
\label{eq1X6}
\rho^{1/3}|a|\gtrsim 1
\end{equation}}\unskip
On rappelle que la th\'eorie des gaz de bosons en interaction faible
fait usage du petit param\`etre $(\rho a^3)^{1/2}\ll 1$, voir la
contribution de Jan Solovej~\cite{Solov} aux actes du colloque; la condition
(\ref{eq1X6}) est donc au contraire la marque d'un gaz en interaction
forte.
La longueur du diffusion $a$ est \'egalement beaucoup plus grande en 
valeur absolue que la port\'ee $b$ de l'interaction, d\'efinie sur la
figure~\ref{fig1}a,
{\begin{equation}
|a|\gg b
\end{equation}}\unskip
ce qui est bien la marque d'une r\'esonance de diffusion \`a deux
corps.  Comme $b$ est de l'ordre de quelques nanom\`etres dans les
exp\'eriences, on a aussi
{\begin{equation}
b\ll \rho^{-1/3},\lambda
\end{equation}}\unskip
ce qui donne l'id\'ee de construction d'un syst\`eme mod\`ele, par
passage \`a la limite $b\to 0$ \`a $a$ fix\'e d'une interaction de
port\'ee nulle, caract\'eris\'ee seulement par la longueur alg\'ebrique
$a$.  Cette id\'ee sera mise en \oe uvre dans la section~\ref{sec3.1}. 
(iv) En revanche, l'interaction n'est pas r\'esonnante dans l'onde $p$
(moment cin\'etique orbital relatif $l=1$) donc les interactions
$\uparrow\uparrow$ et $\downarrow\downarrow$, qui se produisent de
fa\c{c}on pr\'edominante dans cette onde \`a basse \'energie
(antisym\'etrie fermionique oblige), sont n\'egligeables. 


\begin{figure}
\includegraphics{fig01}
\caption{\label{fig1}(a) Repr\'esentation sch\'ematique de l'interaction de van der
Waals (plus pr\'ecis\'ement de Lennard-Jones) r\'esonnante ($|a|\gg b$)
entre les fermions $\uparrow$ et $\downarrow$ 
en fonction de leur distance relative.  Le potentiel admet au
moins un \'etat fortement li\'e d'extension de l'ordre de la longueur
de van der Waals $b\simeq (m C_6/\hbar^2)^{1/4}$ donc d'\'energie de
liaison $\approx \hbar^2/mb^2$ et, dans le cas d'une longueur de
diffusion $a&gt;0$ comme sur la figure, un dernier niveau d'\'energie
d'extension $a$ (d'\'energie de liaison $\hbar^2/ma^2$) sur \g{le point
de dispara\^itre} (ici $m_\uparrow=m_\downarrow=m$ comme dans les
exp\'eriences); si $a$ \'etait grande mais n\'egative ($|a|\gg b,
a&lt;0$), cet \'etat faiblement li\'e serait sur \g{le point
d'appara\^itre}. (b) L'\'etat dim\`ere fortement li\'e peut \^etre
peupl\'e par des collisions \`a trois corps, ce qui est \`a l'origine
de pertes de particules dans le gaz de fermions, dites pertes \`a trois
corps (les produits de la collision emportent l'\'energie de liaison
$\approx \hbar^2/m b^2$ consid\'erable sous forme d'\'energie
cin\'etique et quittent le pi\`ege). Les fl\`eches repr\'esentent les
quantit\'es de mouvement avant et apr\`es la collision.}
\end{figure}


Comme nous le verrons dans la section~\ref{sec3}, l'existence d'un
mod\`ele bien d\'efini (d'\'energie born\'ee inf\'erieurement lorsque
$b\to 0$) constitue un probl\`eme math\'ematiquement non trivial.  
On~peut d\'ej\`a en proposer une condition n\'ecessaire, inspir\'ee de la
r\'ealit\'e exp\'erimentale.  On l'aura en effet bien compris sur la
figure~\ref{fig1}a: puisque l'interaction de van der Waals admet (au
moins) un \'etat li\'e \`a deux corps de taille $\approx b$, la phase
gazeuse consid\'er\'ee jusqu'\`a pr\'esent et vue dans les
exp\'eriences n'est qu'une phase m\'etastable, \'echappant
temporairement \`a la solidification pr\'edite par les lois de la
physique \`a l'\'equilibre, solidification dont les pertes \`a trois
corps sont les pr\'ecurseurs (voir la figure~\ref{fig1}b).  Ces pertes
se produisent avec un taux estim\'e comme suit dans la
r\'ef\'erence~\cite{Shlyap} pour des masses \'egales:
{\begin{equation}
\Gamma_{\rm pertes}^{3\text{ corps}}\propto \frac{\hbar}{mb^2}  \mbox{ Proba}(\mbox{3 fermions }\uparrow\uparrow\downarrow\mbox{ ou }\downarrow\downarrow\uparrow\mbox{ dans une m\^eme boule de rayon }b)
\label{eq1X7}
\end{equation}}\unskip
Le premier facteur repr\'esente l'\'echelle d'\'energie pertinente de
ce processus de recombinaison: c'est l'\'energie de liaison du dim\`ere
fortement li\'e form\'e, et l'\'echelle de longueur $|a|\gg b$ ne peut
intervenir.  Le second facteur tient compte du fait que le processus
\`a trois fermions ne peut pas se produire si l'un des fermions est
s\'epar\'e des deux autres par une distance $\gg b$, par
quasi-localit\'e dans l'espace des positions: en effet, la port\'ee des
interactions et la taille du dim\`ere fortement li\'e sont toutes deux
de l'ordre de $b$.  Le coefficient de proportionnalit\'e dans
l'\'equation~(\ref{eq1X7}) d\'epend des d\'etails de la physique
microscopique.  Nous aboutissons ainsi \`a une condition de stabilit\'e
exp\'erimentale du gaz de fermions dans la limite $b\to 0$ d'une
interaction de contact:
{\begin{equation}
\Gamma_{\rm pertes}^{3\text{ corps}}\underset{b\to 0}{\to} 0
\end{equation}}\unskip
L'\'etude de ce syst\`eme, pourtant gazeux, est rendue non triviale par
la force des interactions.  Par exemple,  puisque $k_{\rm F}|a|\approx
1$, o\`u $k_{\rm F}=(3\rmpi^2\rho)^{1/3}$ est le nombre d'onde de Fermi,
la temp\'erature de transition superfluide est a priori de l'ordre de
la temp\'erature de Fermi $T_{\rm F}=E_{\rm F}/k_{\rm B}$ (il n'y a pas
d'autre \'echelle  disponible que l'\'energie de Fermi $E_{\rm
F}=\hbar^2k_{\rm F}^2/2m$) et sera difficile \`a calculer avec
pr\'ecision: la th\'eorie BCS sera au mieux qualitative, et les
m\'ethodes de Monte-Carlo quantique sont difficiles \`a appliquer aux
fermions; le d\'efi a cependant \'et\'e relev\'e par la
r\'ef\'erence~\cite{SvisunovTc}, il est vrai dans le cas sym\'etrique
de masses et de potentiels chimiques \'egaux dans les deux composantes,
o\`u existent des m\'ethodes de Monte-Carlo exemptes du fameux
\g{probl\`eme de signe}.

\section{Questions ouvertes dans un point de vue microscopique}
\label{sec3}

Dans cette section, les interactions entre fermions sont remplac\'ees
dans une limite de port\'ee nulle par des conditions de contact sur la
fonction d'onde \`a $N$ corps, l'op\'erateur  hamiltonien se
r\'eduisant alors \`a celui du gaz parfait (mod\`ele de
Wigner--Bethe--Peierls~\cite{Wigner,BethePeierls}). 

\subsection{D\'efinition du mod\`ele de Wigner--Bethe--Peierls}
\label{sec3.1}

Pour construire le mod\`ele, partons de la perception simple que nous
en donnerait une photographie du gaz, c'est-\`a-dire une mesure des
positions des $N$ fermions comme les microscopes \`a gaz quantique
permettent de le faire depuis peu dans le cas homog\`ene~\cite{Tarik}. 
Dans la limite o\`u la port\'ee $b$ de l'interaction tend vers z\'ero,
la photo typique ressemble \`a la figure~\ref{fig2}a: les fermions sont
s\'epar\'es deux \`a deux par une distance $\gg b$ et le potentiel
d'interaction $V(\rr_i-\rr_j)$ est n\'egligeable.  La fonction d'onde
\`a $N$ corps  ob\'eit dans ce cas \`a l'\'equation de  Schr\"odinger
stationnaire
{\begin{equation}
\label{eq1X9}
E\psi = H_{\text{gaz parfait}}\psi
\end{equation}}\unskip
avec l'op\'erateur hamiltonien du gaz parfait, somme des termes
d'\'energie cin\'etique $\pp^2/2m_\sigma$ et de pi\'egeage
$U_\sigma(\rr)$ dans chaque \'etat interne $\sigma$:
{\begin{equation}
\label{eq2X9}
H_{\text{gaz parfait}}=\sum_{i=1}^{N_\uparrow}\left(\frac{\pp_i^2}{2m_\uparrow} + U_\uparrow(\rr_i)\right) + \sum_{j=N_\uparrow+1}^{N} \left(\frac{\pp_j^2}{2m_\downarrow} + U_\downarrow(\rr_j)\right)
\end{equation}}\unskip
On convient ici de num\'eroter les particules  de fa\c{c}on que les
$N_\uparrow$ premi\`eres soient dans l'\'etat interne $\uparrow$ et les
$N_\downarrow$ derni\`eres soient dans l'\'etat interne $\downarrow$;
la fonction d'onde $\psi(\rr_1,\ldots,\rr_N)$ est alors une fonction
antisym\'etrique des $N_\uparrow$ premi\`eres positions et une fonction
antisym\'etrique des $N_\downarrow$ derni\`eres positions. 

\begin{figure}
\includegraphics{fig02}
\caption{\label{fig2}Photographie du gaz montrant les positions (\'etoiles) des $N$
fermions, comme le ferait un microscope \`a gaz quantique, dans la
limite d'une interaction de port\'ee $b\to 0$ (\`a titre indicatif,
nous avons entour\'e chaque \'etoile d'un cercle de diam\`etre $b$).
(a)  Cas typique: les particules sont s\'epar\'ees deux \`a deux par
une distance $\gg b$ et n'interagissent pas.  Ceci fixe l'op\'erateur
hamiltonien (\ref{eq2X9}) du mod\`ele de Wigner--Bethe--Peierls.  (b) Cas
o\`u deux particules $\uparrow$ et $\downarrow$, bien s\'epar\'ees des
autres, subissent une collision binaire.  Ceci fixe les conditions de
contact (\ref{eq1X12}) du mod\`ele.  (c) Cas d'une collision ternaire
isol\'ee.  Ceci interroge sur la n\'ecessit\'e de conditions de contact
\`a trois corps.}
\end{figure}

Certaines photos ressembleront cependant \`a la figure~\ref{fig2}b:
deux fermions $i$ et $j$, d'\'etats internes diff\'erents, 
respectivement $\uparrow$ et $\downarrow$,  sont s\'epar\'es des autres
par une distance $\gg b$ mais sont s\'epar\'es entre eux d'une distance
$\approx b$ donc subissent l'effet du potentiel d'interaction
$V(\rr_i-\rr_j)$. La bonne fa\c{c}on de voir est de dire que $i$ et $j$
sont en train de subir dans le gaz une diffusion \`a deux corps
isol\'ee, ce qui a deux cons\'equences, l'une qualitative, l'autre
quantitative. 

Qualitativement, on comprend qu'il vaut mieux,  dans notre gaz tr\`es
peu dense (au sens o\`u $\rho b^3\ll 1$), caract\'eriser l'interaction
entre $\uparrow$ et $\downarrow$ par son amplitude de  diffusion \`a
deux corps,  plus g\'en\'eralement par un op\'erateur de transmission
dit matrice $T$, que par la fonction $V(\rr)$ elle-m\^eme;  comme
l'interaction se produit dans l'onde $s$, l'amplitude de diffusion $f$
est isotrope et ne d\'epend que du nombre d'onde relatif $k_{\rm rel}$
des deux particules; dans la limite $b\to 0$ \`a longueur de diffusion
$a$ fix\'ee, on dispose alors du d\'eveloppement de basse
\'energie\footnote{Si $V(\rr)$ d\'ecro\^it plus vite que $1/r^7$ \`a
l'infini, on peut mettre un $O(k_{\rm rel}^4b^3)$ au d\'enominateur.}
{\begin{equation}
\label{eqfk}
f_{k_{\rm rel}} = \frac{-1}{a^{-1}+\ii k_{\rm rel}-(1/2) k_{\rm rel}^2 r_{\rm e} + O(k_{\rm rel}^3b^2)}
\end{equation}}\unskip
Nous supposons dans la suite que la port\'ee effective de l'interaction
$r_{\rm e}$ est un $O(b)$ donc devient n\'egligeable lorsque $b\to
0$~\footnote{Exp\'erimentalement, il existe cependant
des r\'esonances de Feshbach magn\'etiques dites \'etroites, pour
lesquelles $r_{\rm e}$, n\'egatif, est gigantesque \`a l'\'echelle
atomique et peut \^etre de l'ordre de $1/k_{\rm F}$, \`a cause d'un
couplage anormalement faible entre les voies ouverte et ferm\'ee de
notre note~4, voir la r\'ef\'erence~\cite{Gur}. Ces
r\'esonances sont difficiles \`a utiliser car elles n\'ecessitent un
tr\`es bon contr\^ole du champ magn\'etique. L'existence d'une port\'ee
effective de limite non nulle lorsque $b\to 0$ a cependant l'avantage
de stabiliser le gaz dans le r\'egime instable de la
section~\ref{sec3.2} (le spectre reste born\'e inf\'erieurement et le
taux de pertes \`a trois corps (\ref{eq1X7}) tend vers z\'ero), et
devrait permettre la pr\'eparation et l'observation d'\'etats li\'es
efimoviens de longue dur\'ee de vie, pour peu que le rapport de masse
$m_\uparrow/m_\downarrow$ soit assez grand. L'exp\'erience reste \`a
faire.}. Aussi l'amplitude de diffusion se r\'eduit-elle \`a la forme
universelle pour une interaction de contact
{\begin{equation}
\label{eq2X10}
f_{k_{\rm rel}}^{\rm contact}=\frac{-1}{a^{-1}+\ii k_{\rm rel}}
\end{equation}}\unskip

Quantitativement, on s'attend \`a ce que les deux fermions $\uparrow$
et $\downarrow$ proches se d\'ecouplent des $N-2$ autres dans la
fonction d'onde \`a $N$ corps, au sens o\`u
{\begin{equation}
\label{eq3X10}
\psi(\rr_1,\ldots,\rr_N) \underset{r_{ij}=O(b)}{\simeq} \phi(\rr_i-\rr_j) A_{ij}(\RR_{ij}; (\rr_k)_{k\neq i,j})
\end{equation}}\unskip
o\`u $\RR_{ij}=(m_\uparrow\rr_i+m_\downarrow
\rr_j)/(m_\uparrow+m_\downarrow)$ est la position du centre de masse
des particules $i$ et $j$, $\rr_{ij}=\rr_i-\rr_j$ est leur position
relative, $(\rr_k)_{k\neq i,j}$ est le $(N-2)$-uplet  des positions des
autres particules, la fonction $A_{ij}$ n'est en g\'en\'eral pas connue
mais $\phi(\rr)$ est un \'etat de diffusion \`a deux corps, solution de
l'\'equation de Schr\"odinger
{\begin{equation}
\label{eq1X11}
\veps\phi(\rr)= -\frac{\hbar^2}{2 m_{\rm rel}} \Delta \phi(\rr) + V(\rr)\phi(\rr)
\end{equation}}\unskip
pour le mouvement relatif de masse $m_{\rm rel}=m_\uparrow
m_\downarrow/(m_\uparrow+m_\downarrow)$ \`a une \'energie $\veps$ dont
l'expression formelle est donn\'ee dans la r\'ef\'erence~\cite{Gen}
(voir son \'equation (85)) mais dont nous retiendrons seulement qu'elle
est $\approx \hbar^2 k_{\rm typ}^2/2 m_{\rm rel}$, o\`u le nombre
d'onde typique $k_{\rm typ}$ dans le gaz est de l'ordre de $k_{\rm F}$
pour $T=O(T_{\rm F})$. Dans la limite $b\to 0$, il suffit en fait
d'analyser l'\'equation~(\ref{eq1X11}) dans l'intervalle
{\begin{equation}
\label{eq2X11}
b\ll r \ll k_{\rm typ}^{-1}
\end{equation}}\unskip
le cas $r\leq b$ n'apportant que des d\'etails non universels sur
l'interaction et le cas $r&gt;k_{\rm typ}^{-1}$ invalidant la
factorisation (\ref{eq3X10}) (la paire $ij$ n'est plus bien isol\'ee
comme sur la photo de la figure~\ref{fig2}b).  La premi\`ere
in\'egalit\'e dans l'\'equation~(\ref{eq2X11}) permet de mettre
$V(\rr)$ \`a z\'ero au second membre, la seconde permet d'assimiler
l'\'energie $\veps$ \`a z\'ero au premier membre de l'\'equation
(\ref{eq1X11}), d'o\`u l'\'equation de Schr\"odinger simplifi\'ee
{\begin{equation}
0=-\frac{\hbar^2}{2 m_{\rm rel}} \Delta \phi(\rr)
\end{equation}}\unskip
Sa solution g\'en\'erale dans l'onde $s$ (invariante par rotation) est
combinaison lin\'eaire de la solution constante $1$ (l'onde incidente
d'\'energie nulle) et de la solution de Coulomb (l'onde  diffus\'ee)
avec une amplitude relative fix\'ee par $V(\rr)$ aux courtes distances:
{\begin{equation}
\label{eq4X11}
\phi(\rr)=\mathcal{N}\left(1-\frac{a}{r}\right) = \frac{1}{a}-\frac{1}{r}
\end{equation}}\unskip
Par d\'efinition, voir la contribution de Jan Solovej~\cite{Solov}, la
quantit\'e $a$ est la longueur de diffusion du potentiel.  Au
troisi\`eme membre, nous avons choisi la normalisation commode (facteur
$\mathcal{N}$ pris \'egal \`a $1/a$ au second membre) pour avoir un
r\'esultat fini \`a la r\'esonance de diffusion $a^{-1}=0$. 

Nous arrivons ainsi naturellement \`a la d\'efinition du mod\`ele de
Wigner--Bethe--Peierls pour notre syst\`eme tridimensionnel de
$(N_\uparrow,N_\downarrow)$ fermions \`a deux composantes en
interaction de port\'ee nulle et de longueur de diffusion $a\neq 0$ 
dans l'onde $s$:
\begin{enumerate}[(1)]
\item  l'op\'erateur hamiltonien est le m\^eme que celui du gaz
parfait, comme dans les \'equations (\ref{eq1X9}), (\ref{eq2X9})
\item il y a antisym\'etrie fermionique du vecteur d'\'etat $\psi$ pour
les $N_\uparrow$ premi\`eres et pour les $N_\downarrow$ derni\`eres
positions
\item  l'interaction est d\'ecrite non pas par un potentiel $V$ mais
par les conditions de contact suivantes sur $\psi$: pour tout indice
$i\in\{1,\ldots,N_\uparrow\}$ et tout indice
$j\in\{N_\uparrow+1,\ldots,N=N_\uparrow+N_\downarrow\}$, il existe une
fonction $A_{ij}$ telle que\footnote{Les fonctions
$A_{ij}$ ne sont pas ind\'ependantes. L'antisym\'etrie fermionique
impose que $A_{ij}(\RR_{ij},(\rr_k)_{k\neq i,j})=(-1)^{i-1}
(-1)^{j-(N_\uparrow+1)} A_{1,N_\uparrow+1}(\RR_{ij},(\rr_k)_{k\neq
i,j})$ (pour les amener en premi\`ere position dans leur \'etat interne
respectif et faire ainsi appara\^itre la fonction $A_{1,N_\uparrow+1}$,
on a d\^u faire passer $\rr_i$ \`a travers $i-1$ vecteurs positions de
fermions $\uparrow$ et $\rr_j$ \`a travers $j-(N_\uparrow+1)$ vecteurs
positions de fermions $\downarrow$, d'o\`u les signes).}
{\begin{equation}
\label{eq1X12}
\psi(\rr_1,\ldots,\rr_N)\underset{r_{ij}\to 0}{=}A_{ij}(\RR_{ij},(\rr_k)_{k\neq i,j})\left(\frac{1}{r_{ij}}-\frac{1}{a}\right)+O(r_{ij})
\end{equation}}\unskip
o\`u l'on fait tendre vers z\'ero la distance $r_{ij}$ entre les
particules $i$ et $j$ \`a positions fix\'ees de leur centre de masse
$\RR_{ij}$ et des autres particules $\rr_k$, en imposant
$\RR_{ij}\neq\rr_k \forall k\neq i,j$ et les $\rr_k$ deux \`a deux
distincts (comme sur la figure~\ref{fig2}b). 
\end{enumerate}
Math\'ematiquement, le point 3 signifie que le domaine de l'op\'erateur
hamiltonien n'est pas le m\^eme que celui du gaz parfait: en l'absence
d'interaction ($a=0$), on \'elimine \`a juste titre les solutions qui
divergent en $1/r_{ij}$, comme il est dit dans tout bon ouvrage de
m\'ecanique quantique.  C'est la seule diff\'erence mais elle est de
taille\footnote{Un point cl\'e est que l'\'etat de diffusion
$\phi(\rr)=1/r-1/a$ est bien de carr\'e sommable sur un voisinage de
l'origine, $\int_{r&lt; r_{\rm max}}\dd^3r\, |\phi(\rr)|^2&lt;\infty$: il n'y
a donc pas de coupure \`a mettre \`a courte distance et $a$ est la
seule longueur associ\'ee \`a l'interaction. C'est diff\'erent dans les
ondes de moment cin\'etique $l&gt;0$:
$\phi(\rr)=Y_l^{m_l}(\theta,\varphi)(r^l+a_{\rm
gen}^{2l+1}/r^{l+1})$ (o\`u le param\`etre $a_{\rm gen}\neq 0$
g\'en\'eralisant $a$ est une longueur et $Y_l^{m_l}$ est une harmonique
sph\'erique) n'est alors plus de carr\'e sommable, et il faut
introduire une coupure donc une seconde longueur pour caract\'eriser
l'interaction~\cite{Ludoondel}.}!

La figure~\ref{fig2}c, qui montre un trio d'atomes proches, bien
s\'epar\'es des autres et en train de subir une diffusion \`a trois
corps, fait na\^itre une interrogation l\'egitime: faut-il compl\'eter
le mod\`ele par des conditions de contact \`a trois  corps? \`a quatre
corps? etc.  R\'eponse dans la section suivante. 


\subsection{Questions d'existence}
\label{sec3.2}

Il n'est pas \'evident que le mod\`ele de Wigner--Bethe--Peierls, tel que
nous l'avons d\'efini en page \pageref{eq1X12}, conduise \`a un
hamiltonien auto-adjoint (sans conditions de contact suppl\'ementaires)
et, surtout, \`a un spectre d'\'energie born\'e inf\'erieurement.  En
effet, nous avons quand m\^eme fait tendre une \'echelle d'\'energie
vers ${-}\infty$, celle ${-}\hbar^2/m_{\rm rel} b^2$ associ\'ee \`a la
port\'ee de l'interaction, en prenant la limite $b\to 0$ \`a longueur
de diffusion $a$ fix\'ee donc sans faire tendre la force des
interactions vers z\'ero, ce qui pourrait provoquer un effondrement du
syst\`eme sur lui-m\^eme, comme dans l'effet Thomas bien connu en
physique nucl\'eaire~\cite{Thom}! 

 La discussion s'\'eclaire dans le cas particulier $a^{-1}=0$, dit de
la limite unitaire (l'amplitude de diffusion (\ref{eq2X10}) du mod\`ele
atteint en module la valeur maximale $k_{\rm rel}^{-1}$ autoris\'ee
dans l'onde $s$ par l'unitarit\'e de la matrice de collision $S$), car
les conditions de contact (\ref{eq1X12}) deviennent invariantes
d'\'echelle (c'est aussi le r\'egime le plus int\'eressant et le plus
ouvert car d'interaction maximale en phase gazeuse).  Pour simplifier
encore, limitons-nous aux \'etats propres d'\'energie $E=0$ dans
l'espace libre, avec un centre de masse des $N$ fermions  au repos. 
Comme  il n'y a alors ni \'energie ni potentiel ext\'erieur  pour
introduire une \'echelle de longueur, on s'attend \`a ce que l'\'etat
propre $\psi$ lui-m\^eme soit invariant d'\'echelle, c'est-\`a-dire une
fonction homog\`ene des coordonn\'ees (invariante \`a un facteur pr\`es
par l'homoth\'etie $\rr_i\to \lambda \rr_i$  de rapport $\lambda$ sur
les $N$ positions), de la forme~\cite{FWsep,livre}
{\begin{equation}
\label{eq1X14}
\psi(\rr_1,\ldots,\rr_N)=R^{s-\frac{3N-5}{2}}\Phi(\Omega)
\end{equation}}\unskip
o\`u (i) $R$ est  l'hyperrayon interne, \'ecart quadratique moyen des
positions des $N$ particules \`a leur centre de masse $\CC$
pond\'er\'ees par les masses,
{\begin{equation}
\label{eq2X14}
MR^2 = \sum_{i=1}^{N} m_i (\rr_i-\CC)^2
\end{equation}}\unskip
avec $M=\sum_{i=1}^{N} m_i$ la masse totale et $M\CC=\sum_{i=1}^{N} m_i
\rr_i$; (ii) l'exposant d'\'echelle (le degr\'e d'homog\'en\'eit\'e)
est commod\'ement rep\'er\'e par la quantit\'e $s$ apr\`es translation
de $(3N-5)/2$ --- pour r\'ev\'eler une sym\'etrie $s\leftrightarrow -s$;
(iii) $\Phi$ est une fonction inconnue des $3N-4$ hyperangles
compl\'etant $R$ dans le param\'etrage des $\rr_i-\CC$ en coordonn\'ees
hypersph\'eriques.  Le report de l'ansatz (\ref{eq1X14})  dans
l'\'equation de Schr\"odinger (\ref{eq1X9}) (avec $E=0$ et
$U_\sigma\equiv 0$ comme il a \'et\'e dit) donne une \'equation aux
valeurs propres sur $\Phi$:
{\begin{equation}
\label{eq3X14}
\left[-\Delta_\Omega +\left(\frac{3N-5}{2}\right)^2\right]\Phi(\Omega) = s^2 \Phi(\Omega)
\end{equation}}\unskip
dont les valeurs propres ne sont autres que $s^2$! Comme le laplacien
$\Delta_\Omega$ est pris sur un compact, l'hypersph\`ere unit\'e
$S_{3N-4}$,  les valeurs possibles de $s^2$ forment un ensemble
discret, dans $\mathbb{R}$ \`a supposer que l'hamiltonien soit
hermitien; on ne sait en g\'en\'eral pas les calculer, \`a cause des
difficiles conditions de contact (\ref{eq1X12}) sur
$\Phi(\Omega)$~\footnote{Les conditions de contact
(\ref{eq1X12}) ne contraignent en revanche pas la d\'ependance de
$\psi$ en l'hyperrayon.  C'est que, si $\psi$ ob\'eit aux conditions de
contact, $f(R)\psi$  y ob\'eit aussi, pourvu que le facteur $f(R)$ soit
une fonction r\'eguli\`ere de $R$. En effet, dans la limite $r_{ij}\to
0$ \`a $\RR_{ij}$ et $(\rr_k)_{k\neq i,j}$ fix\'es, on a
$MR^2=m_i(\rr_i-\CC)^2+m_j(\rr_j-\CC)^2+\mathrm{cte}=m_i\rr_i^2+m_j\rr_j^2+
\mathrm{cte}=(m_i+m_j)\RR_{ij}^2+m_{\rm rel} r_{ij}^2+\mathrm{cte}=O(r_{ij}^2)+
\mathrm{cte}$. Or, $(1/r_{ij}-1/a)O(r_{ij}^2)$ est un $O(r_{ij})$  n\'egligeable.}.


 Nous nous contenterons dans la suite d'\'ecrire formellement que $s$
est la racine d'une fonction transcendante paire, dite fonction
d'Efimov,
{\begin{equation}
\label{eq1X15}
\Lambda_{N_\uparrow,N_\downarrow}(s)=0
\end{equation}}\unskip
sans sp\'ecifier cette fonction (le plus direct pour l'obtenir est
d'imposer les conditions de contact (\ref{eq1X12}) sur un ansatz de
Faddeev \'ecrit dans l'espace r\'eciproque\footnote{Rappelons
bri\`evement la construction de l'ansatz. On \'ecrit d'abord
l'\'equation de Schr\"odinger \`a \'energie nulle au sens des
distributions, $H_{\text{gaz parfait}}\psi= \sum_{i=1}^{N_\uparrow}
\sum_{j=N_\uparrow+1}^{N} (2\rmpi\hbar^2/m_{\rm rel})\delta(\rr_{ij})
A_{ij}(\RR_{ij},(\rr_k)_{k\neq i,j})$ o\`u les distributions de Dirac
proviennent de l'action des op\'erateurs d'\'energie cin\'etique sur
les singularit\'es en $1/r_{ij}$, en vertu de l'\'equation de Poisson
$\Delta_{\rr}(1/r)=-4\rmpi\delta(\rr)$, et $m_{\rm rel}$ est la masse
r\'eduite de deux fermions de spins oppos\'es comme nous l'avons dit.
On en prend ensuite la transform\'ee de Fourier ($\psi\to\tilde{\psi}$,
$\Delta_{\rr}\to -k^2$). En tirant parti de l'antisym\'etrie fermionique
comme dans la note 7 et de l'invariance par translation
spatiale (le centre de masse est au repos), on se r\'eduit \`a
$\tilde{\psi}(\kk_1,\ldots,\kk_N)=\sofrac{\delta(\kk_1+\cdots+\kk_N)}
{\sum_{n=1}^{N} \hbar^2 k_n^2/2m_n} \sum_{i=1}^{N_\uparrow} 
\sum_{j=N_\uparrow+1}^{N} (-1)^{i+j} D((\kk_n)_{n\neq i,j})$ o\`u $D$
est la seule fonction inconnue (chaque $A_{ij}$ est une fonction des
$(\rr_k-\RR_{ij})_{k\neq i,j}$ dont $D((\kk_n)_{n\neq i,j})$ est la
transform\'ee de Fourier \`a un facteur pr\`es).},
ce qui m\`ene \`a une \'equation int\'egrale dite de
Skorniakov--Ter-Martirosian --- ici \`a la limite unitaire et \`a
\'energie nulle, dans laquelle on reporte l'\'equivalent de Fourier de
l'ansatz (\ref{eq1X14}); l'\'equation transcendante (\ref{eq1X15}) qui
en r\'esulte admet une \'ecriture explicite pour $N=3$~\cite{Tignone},
et s'\'ecrit comme le d\'eterminant d'un op\'erateur pour $N&gt;3$, cet
op\'erateur \'etant donn\'e explicitement pour $N=4$ dans le secteur
$(3,1)$ par la r\'ef\'erence~\cite{MoraCastinPricoupenko} et dans le
secteur $(2,2)$ par la r\'ef\'erence~\cite{Endopas4}).  Il faut
maintenant distinguer deux cas. 


\paragraph*{Premier cas: $s^2&gt;0$} 
Il y a alors deux valeurs possibles correspondantes de l'exposant
d'\'echelle, une valeur $&gt;0$ que nous convenons d'appeler $s$, et  la
valeur oppos\'ee $-s&lt;0$.  Par un ph\'enom\`ene similaire \`a celui de
l'\'equation~(\ref{eq4X11}), $\psi$  est en g\'en\'eral une combinaison
lin\'eaire de deux solutions, l'une contenant un facteur $R^s$, l'autre
contenant un facteur $R^{-s}$, les amplitudes relatives \'etant
fix\'ees de mani\`ere univoque par une longueur $\ell$ (l'\'equivalent
de $a$ dans l'\'equation~(\ref{eq4X11})) d\'etermin\'ee par les
d\'etails microscopiques de l'interaction \`a courte distance
$O(b)$~\footnote{L'\'etat de diffusion (\ref{eq4X11})
correspond au cas $N=2$; alors $s=1/2$ et $(3N-5)/2=1/2$, et $\psi$
dans l'\'equation~(\ref{eq2X15}) est bien combinaison lin\'eaire de
$R^0$ et $R^{-1}$; dans ce cas, $R\propto r_{12}$ et
$\Phi(\Omega)=\mathrm{cte}$ dans l'onde $s$. Le calcul explicite de
l'expression (\ref{eq2X15}) pour $N=2$ donne en effet $\psi\propto
(r_{12}/\bar{\ell})^{s-1/2}-(r_{12}/\bar{\ell})^{-s-1/2}$ avec
$\bar{\ell}=(m_1+m_2)\ell/(m_1m_2)^{1/2}$, ce qui doit \^etre
proportionnel \`a (\ref{eq4X11}), d'o\`u la valeur annonc\'ee de
l'exposant $s=1/2$; le param\`etre \`a deux corps $\bar{\ell}$ n'est
autre que la longueur de diffusion $a$.}$^,$\footnote{On a mis un signe
moins entre les deux termes entre crochets dans l'\'equation
(\ref{eq2X15}); un signe plus serait aussi possible, suivant le
mod\`ele microscopique.}:
{\begin{equation}
\label{eq2X15}
\psi=\left[(R/\ell)^{s}-(R/\ell)^{-s}\right]R^{-\frac{3N-5}{2}}\Psi(\Omega)
\end{equation}}\unskip
Cependant, en l'absence de r\'esonance de diffusion \`a $N$ corps, on
s'attend \`a ce que $\ell=O(b)$, si bien que $\ell\to 0$ lorsque $b\to
0$: la solution en $R^{-s}$ devient n\'egligeable, la longueur $\ell$
dispara\^it du probl\`eme et l'on garde la condition de contact \`a $N$
corps invariante d'\'echelle suivante dans la voie d'exposant
d'\'echelle $s$~\cite{theseFelix}:
{\begin{equation}
\label{eq3X15}
\psi\underset{R\to 0}{\approx} R^{s-\frac{3N-5}{2}}
\end{equation}}\unskip
La fonction d'onde $\psi$, consid\'er\'ee comme une fonction de $R$,
est sans n\oe ud donc l'\'energie $E=0$ correspond \`a l'\'etat
fondamental: il n'y a pas d'\'etat li\'e, d'\'energie $E&lt;0$ pouvant
tendre vers $-\infty$ lorsque $b\to 0$~\footnote{Le cas
sp\'ecial d'une r\'esonance de diffusion \`a
$(N_\uparrow,N_\downarrow)$ corps, o\`u $\ell$ reste non
infinit\'esimal dans la limite $b\to 0$, est trait\'e en d\'etail dans
la r\'ef\'erence~\cite{LudovicN}, qui explique quelle condition de
contact \`a $N$ corps utiliser pour d\'ecrire correctement l'\'etat
faiblement li\'e qui en r\'esulte. En effet, la condition
(\ref{eq2X15}) d\'ej\`a propos\'ee dans~\cite{FWsep} n'est
satisfaisante que pour $s$ assez petit (pour $s&gt;1$, on voit bien que
l'\'etat (\ref{eq2X15}) n'est plus de carr\'e int\'egrable en $R=0$ et
qu'une deuxi\`eme longueur --- une coupure --- doit \^etre 
introduite).}$^,$\footnote{Sur une r\'esonance de Feshbach \'etroite,
voir la note 6, la port\'ee effective $r_{\rm e}$ est ---
pour $1/a=0$ --- la seule \'echelle de longueur pertinente lorsque la
port\'ee vraie $b$ tend vers z\'ero, si bien que la longueur $\ell$ est
de l'ordre de $|r_{\rm e}|\gg b$. La fonction d'onde $\psi$ dans
l'\'equation~(\ref{eq2X15}) admet alors un n\oe ud tr\`es \g{en dehors}
du potentiel d'interaction: la solution \`a $E=0$ ne serait pas
d'\'energie minimale, et le syst\`eme admettrait un \'etat li\'e \`a
$(N_\uparrow,N_\downarrow)$ fermions (avec $N&gt;2$)! Cependant, une
\'etude sp\'ecifique du cas $(N_\uparrow=2,N_\downarrow=1)$ montre
qu'il n'en est rien (tant que le rapport de masse
$m_\uparrow/m_\downarrow$ reste assez faible pour que $s^2\geq 0$ bien
entendu)~\cite{Tignone,epls}. Fallait-il s'en \'etonner ? Raisonnons
par l'absurde. S'il y avait vraiment un \'etat li\'e, il conduirait \`a
un nombre d'onde relatif $k_{\rm rel}\approx 1/|r_{\rm e}|$ entre les
fermions, le terme de port\'ee effective ne serait pas n\'egligeable au
d\'enominateur de l'amplitude de diffusion (\ref{eqfk}) et l'on
perdrait l'invariance d'\'echelle donc la s\'eparabilit\'e en
coordonn\'ees hypersph\'eriques. L'\'equation~(\ref{eq2X15}) serait
inapplicable et la pr\'ediction d'un \'etat li\'e caduque. Plus
g\'en\'eralement, pour pouvoir croire \`a (\ref{eq2X15}) --- c'est une
condition n\'ecessaire, il faut que l'hyperrayon $R$ soit beaucoup plus
grand que toute \'echelle de longueur apparaissant dans tout
sous-syst\`eme $(n_\uparrow,n_\downarrow)$ [avec $n_\uparrow\leq
N_\uparrow$, $n_\downarrow\leq N_\downarrow$ et
$n_\uparrow+n_\downarrow&lt;N_\uparrow+N_\downarrow=N$], en particulier
$R\gg b$ et $R\gg |r_{\rm e}|$ pour $(n_\uparrow=1,n_\downarrow=1)$.
Faut-il le pr\'eciser, la r\'esonance \`a $(N_\uparrow,N_\downarrow)$
corps de la note 13 ne remet pas (\ref{eq2X15}) et
l'existence d'un n\oe ud \`a l'hyperdistance $\ell$ en question puisque
la longueur $\ell\gg b$ anormalement grande qui appara\^it ne
pr\'eexiste dans aucun sous-syst\`eme.}.

\paragraph*{Deuxi\`eme cas: $s^2&lt;0$} 
Il y a l\`a aussi deux valeurs possibles de l'exposant d'\'echelle,
l'une $s=\ii|s|$ dans $\ii\mathbb{R}^+$ que nous convenons d'appeler
$s$, et l'autre, son complexe conjugu\'e $-\ii |s|$, ou encore son
oppos\'e $-s$, dans $\ii\mathbb{R}^-$.  Comme dans le premier cas, on
conclut qu'il existe une longueur $\ell$, fonction des d\'etails
microscopiques de l'interaction, r\'eglant l'amplitude relative des
deux solutions:
{\begin{equation}
\label{eq1X16}
\psi=[(R/\ell)^{\ii|s|}-(R/\ell)^{-\ii|s|}]R^{-\frac{3N-5}{2}}\Psi(\Omega)=2\ii\sin[|s|\ln(R/\ell)]R^{-\frac{3N-5}{2}}\Psi(\Omega)
\end{equation}}\unskip
Cette fois, les deux solutions sont de m\^eme module donc il faut les
garder  toutes les deux (aucune ne l'emporte sur l'autre dans la limite
$b\to 0$)! La longueur $\ell$ ne dispara\^it pas du probl\`eme mais
d\'efinit dans la limite $b\to 0$ une condition de contact \`a $N$
corps (\ref{eq1X16}) qui brise explicitement l'invariance d'\'echelle
continue de la limite unitaire. Comme $\psi$ comporte un nombre infini
de n\oe uds \`a une hyperdistance $R$ arbitrairement grande ---
arbitrairement plus grande que la port\'ee $b$ de l'interaction --- (voir
l'\'ecriture du troisi\`eme membre de l'\'equation~(\ref{eq1X16})), il
existe un nombre infini d'\'etats li\'es \`a $N$ corps sous la solution
d'\'energie $E=0$; comme la condition aux limites (\ref{eq1X16}) est
invariante par changement de $\ell$ en $\exp(\pm\rmpi/|s|)\ell$, on passe
d'un \'etat $N$-m\`ere \`a l'autre par une homoth\'etie de rapport
$\exp(\rmpi/|s|)$, le spectre correspondant  formant une suite
g\'eom\'etrique de limite nulle mais non born\'ee  inf\'erieurement
dans la limite de port\'ee nulle\footnote{L'expression pr\'ecise de
$E_{\rm glob}$ en fonction de $s$ et $\ell$, et de l'ordre de
$\hbar^2/Mb^2$ pour $\ell\approx b$, figure par exemple dans la
r\'ef\'erence~\cite{virtrans}. Dans l'\'equation~(\ref{eq2X16}) nous
prenons $n\geq 1$ (\'etant admis que $\exp(-2\rmpi/|s|)\ll 1$ --- sinon le
spectre ne serait pas enti\`erement g\'eom\'etrique~\cite{Tignone}) car
le mod\`ele de Wigner--Bethe--Peierls  ne peut s'appliquer qu'\`a un
\'etat li\'e de taille $\gg b$. On peut toutefois avoir $\ell\approx
|r_{\rm e}|\gg b$ et $E_{\rm glob}\approx \hbar^2/M r_{\rm e}^2\ll
\hbar^2/M b^2$ sur une r\'esonance de Feshbach \'etroite, voir notre
note 6; m\^eme si ce n'est pas \'evident, l'exclusion de
$n=0$ dans (\ref{eq2X16}) reste correcte dans ce
cas~\cite{Tignone,epls}. Cette exclusion de $n=0$ est coh\'erente avec
l'absence d'\'etat li\'e lorsque $s^2\geq 0$, voir notre note
14: du c\^ot\'e efimovien, l'ensemble du spectre discret
doit tendre vers z\'ero lorsque $|s|\to 0$ sachant que $E_{\rm glob}$ a
une limite finie et non nulle.}:
{\begin{equation}
\label{eq2X16}
E_n=-E_{\rm glob} \eee^{-2\rmpi n/|s|} ,\quad n\in\mathbb{N}^*, \quad \mbox{avec~} E_{\rm glob}\approx\hbar^2/Mb^2
\end{equation}}\unskip
Ces \'etats li\'es \`a $N$ corps, historiquement pr\'edits par Efimov
dans le cas $N=3$, sont dits efimoviens. Il serait tr\`es int\'eressant
de les stabiliser dans une exp\'erience d'atomes froids (on v\'erifie
malheureusement que, si $s\in\ii\mathbb{R}^{+*}$ dans le probl\`eme \`a
$(2,1)$ fermions, ce qui se produit pour
$m_\uparrow/m_\downarrow&gt;\mbox{13,6069}\ldots$ comme nous le verrons, le
taux de pertes \`a trois corps  de l'\'equation~(\ref{eq1X7}) ne tend
pas vers z\'ero lorsque $b\to 0$, mais plut\^ot vers une quantit\'e
proportionnelle \`a $\hbar k_{\rm F}^2/m$ dans le gaz homog\`ene \`a
$T=0$, ce qui est consid\'erable), par exemple en utilisant la note~6. 

Mais revenons \`a notre probl\`eme math\'ematique: nous concluons que
le gaz de $(N_\uparrow,N_\downarrow)$ fermions est stable pour une
interaction $\uparrow\downarrow$ de port\'ee nulle, et que
l'hamiltonien du mod\`ele de Wigner--Bethe--Peierls est auto-adjoint et
born\'e inf\'erieurement, si et seulement si les exposants d'\'echelle
sont tous r\'eels:
{\begin{equation}
\label{eq1X17}
s\in\mathbb{R}^* \quad \forall s\ \mbox{solution de}\ \Lambda_{N_\uparrow,N_\downarrow}(s)=0
\end{equation}}\unskip
Bien entendu, aucun sous-syst\`eme $(n_\uparrow,n_\downarrow)$ du gaz
ne doit non plus pr\'esenter d'effet Efimov, sinon (i) il faudrait
introduire un param\`etre \`a $n_\uparrow+n_\downarrow &lt;
N_\uparrow+N_\downarrow$ corps sur le mod\`ele de l'\'equation
(\ref{eq1X16}) et l'invariance d'\'echelle \`a l'origine de la
s\'eparabilit\'e (\ref{eq1X14}), donc du r\'esultat (\ref{eq1X17}),
serait bris\'ee --- on perdrait la s\'eparabilit\'e \`a toutes les
distances, et (ii) le sous-syst\`eme pourrait s'effondrer sur
lui-m\^eme dans la limite $b\to 0$ d'une interaction de port\'ee nulle
et l'\'energie ne serait pas born\'ee inf\'erieurement. Sans le dire,
nous avons effectu\'e un raisonnement par r\'ecurrence et
l'\'equivalent de la condition de stabilit\'e (\ref{eq1X17}) doit
\^etre satisfait pour tout nombre $n_\uparrow\leq N_\uparrow$ et tout
nombre $n_\downarrow\leq N_\downarrow$.



\begin{remark}
\upshape
On pourrait ajouter $s=0$ en troisi\`eme cas: c'est en fait
pr\'ecis\'ement le seuil d'un effet Efimov.  En d\'eveloppant
l'\'equation~(\ref{eq1X16}) au premier ordre en $|s|$, on trouve que
{\begin{equation}
\label{eq2X17}
\psi\propto \ln(R/\ell) R^{-\frac{3N-5}{2}} \Phi(\Omega)
\end{equation}}\unskip
c'est-\`a-dire que la longueur $\ell$ r\`egle l'amplitude relative des 
solutions $R^{-(3N-5)/2}$ et $(\ln R)R^{-(3N-5)/2}$. Ceci ressemble
furieusement \`a la d\'efinition de la longueur de diffusion de deux
particules en dimension deux, voir par exemple la
r\'ef\'erence~\cite{mon_cours} et la contribution de Jan
Solovej~\cite{Solov}. Cependant, dans le cas $\ell=O(b)$ o\`u nous
sommes, la longueur $\ell$ tend vers z\'ero lorsque $b\to 0$, la
premi\`ere solution --- de coefficient $\ln(1/\ell)\to +\infty$ ---
l'emporte sur la deuxi\`eme et l'on garde la condition de contact \`a
$N$ corps dans la continuit\'e de (\ref{eq3X15}):
{\begin{equation}
\psi\underset{R\to 0}{\approx} R^{-(3N-5)/2}
\end{equation}}\unskip
Dans le mod\`ele de port\'ee nulle, il n'y a donc pas de brisure
d'invariance d'\'echelle ni d'\'etat li\'e au seuil
efimovien\footnote{Les consid\'erations de la note 14
s'appliquent au seuil. En particulier, il ne faut pas croire \`a
l'\'etat li\'e d'\'energie $\propto -\hbar^2/M\ell^2$ que l'\'equation
(\ref{eq2X17}) nous inciterait \`a pr\'edire: il serait d'extension
spatiale $\ell$ et ne pourrait \^etre d\'ecrit par notre mod\`ele de
port\'ee nulle lorsque $\ell\approx b$; il n'existerait pas non plus
pour $(N_\uparrow=2,N_\downarrow=1)$ dans le cas --- pourtant apparemment
favorable --- d'une r\'esonance de Feshbach \'etroite o\`u $\ell\approx
|r_{\rm e}|\gg b$, voir la note 14 et les
r\'ef\'erences~\cite{Tignone,epls}.}$^,$\footnote{Le fait que
$\ln(1/\ell)$ tende lentement vers l'infini lorsque $b\to 0$ n'est pas
sans cons\'equence pratique: si l'on veut comparer aux exp\'eriences,
il vaut mieux garder la contribution en $\ln R$ dans (\ref{eq2X17}) [et
le terme $(R/\ell)^{-s}$ dans (\ref{eq2X15}) pour $s&gt;0$ assez proche de
z\'ero] pour former la condition de contact \`a $N$ corps. Ainsi, on
trouve que le troisi\`eme coefficient d'amas $b_{2,1}$ d\'efini dans la
section~\ref{sec3.4} est en r\'ealit\'e une fonction r\'eguli\`ere du
rapport de masse $m_\uparrow/m_\downarrow$ donc de $s^2$, alors qu'il
est de d\'eriv\'ee infinie en $s^2=0$ dans le mod\`ele de port\'ee
nulle~\cite{daily,virtrans} donc dans l'\'equation~(\ref{eq1X20}).}.
\end{remark}

\begin{remark}
\upshape
Nous avons pris ici $a=\infty$ pour simplifier mais si le syst\`eme est
instable pour $a=\infty$, il le restera pour $a$ fini (toutes choses
\'egales par ailleurs), car les $N$-m\`eres efimoviens du gaz unitaire
de taille $\ll |a|$ (il y en a autant qu'on veut pour $b\to 0$) ne font
pas de diff\'erence entre une longueur de diffusion infinie et une
longueur de diffusion finie $a$. 
\end{remark}


\paragraph*{Compl\'ement}
\`A la limite unitaire, la pr\'esente analyse
se g\'en\'eralise \`a \'energie $E$ non nulle (toujours avec le centre
de masse du syst\`eme au repos).  L'\'equation~(\ref{eq1X14}) devient
{\begin{equation}
\label{eq1X17p}
\psi=F(R) R^{-\frac{3N-5}{2}} \Phi(\Omega)
\end{equation}}\unskip
(elle satisfait aux conditions de contact de Wigner--Bethe--Peierls en
vertu de la note 9) avec
{\begin{equation}
\label{eq2X17p}
E F(R) = -\frac{\hbar^2}{2M}\Delta_{\rm 2D} F(R) + \frac{\hbar^2 s^2}{2MR^2} F(R)
\end{equation}}\unskip
et $\Delta_{\rm 2D}$, le laplacien \`a 2D pour la variable $R$,  se
r\'eduit ici (en l'absence de d\'ependance angulaire) \`a $\dd^2/\dd
R^2+R^{-1}\dd/\dd R$. Le cas efimovien $s^2&lt;0$ correspond donc
simplement au probl\`eme connu de \g{chute sur le centre} dans un
potentiel attractif en $1/R^2$~\cite{Landaumec}. La s\'eparabilit\'e en
coordonn\'ees hypersph\'eriques (\ref{eq1X17p}) s'\'etend m\^eme au cas
pi\'eg\'e~\cite{FWsep,livre}, il suffit d'ajouter le terme de
pi\'egeage $(1/2)M\omega^2R^2F(R)$ au second membre de
l'\'equation~(\ref{eq2X17p}),  et de  faire la substitution $E\to
E-E_{\rm cdm}$,  la valeur propre de l'\'equation sur $F(R)$  \'etant
l'\'energie interne par opposition \`a celle $E_{\rm cdm}$ du centre de
masse.  Pour $s^2&gt;0$, ceci conduit au spectre
{\begin{equation}
\label{eq3X17p}
E-E_{\rm cdm}=(s+1+2q)\hbar\omega ,\quad q\in\mathbb{N}
\end{equation}}\unskip

\subsection{Ce qui est connu sur le domaine de stabilit\'e}
\label{sec3.3}

Le probl\`eme de savoir si la condition de stabilit\'e (\ref{eq1X17})
est satisfaite peut \^etre attaqu\'e par deux extr\'emit\'es
oppos\'ees.

Par la premi\`ere,  on r\'esout le probl\`eme \`a
$(N_\uparrow,N_\downarrow)$  fermions \`a $E=0$ dans le mod\`ele de
Wigner--Bethe--Peierls et on calcule les exposants d'\'echelle $s$ (on
proc\`ede analytiquement le plus loin possible mais il y a une
derni\`ere \'etape num\'erique, en tout cas pour $N&gt;3$). \`A notre
connaissance, ce programme a \'et\'e rempli dans le probl\`eme
fermionique $(N_\uparrow&gt;1,N_\downarrow=1)$  jusqu'\`a $N_\uparrow=4$,
voir la figure~\ref{fig3}: on trouve \`a chaque fois qu'un effet Efimov
appara\^it au-del\`a d'un rapport de masse critique
$m_\uparrow/m_\downarrow$ (l'impuret\'e $\downarrow$ doit \^etre
suffisamment l\'eg\`ere), lui-m\^eme \'evidemment fonction
d\'ecroissante de $N_\uparrow$~\footnote{Une fois qu'on a un effet 
Efimov dans le probl\`eme \`a $(N_\uparrow,N_\downarrow)$ fermions,
comme nous l'avons dit apr\`es l'\'equation~(\ref{eq1X17}), on perd
l'invariance d'\'echelle et on ne peut plus mettre en \oe uvre le
raisonnement sous-tendu par les \'equations (\ref{eq1X14}), (\ref{eq3X14})
pour passer au probl\`eme \`a $(N_\uparrow+1,N_\downarrow)$ ou
$(N_\uparrow,N_\downarrow+1)$ fermions; dans ce dernier, il n'y a plus
de s\'eparabilit\'e en coordonn\'ees $(R,\Omega)$ comme dans
l'\'equation~(\ref{eq1X16}), plus de spectre g\'eom\'etrique
(\ref{eq2X16}) donc au sens strict, plus de possibilit\'e d'effet
Efimov!}. On remarque que les rapports de masse critiques successifs
sont de plus en plus rapproch\'es; math\'ematiquement, on ne sait pas
cependant si cette s\'equence continue (existe-t-il un effet Efimov \`a
(5,1) corps ? \`a (6,1) corps? etc.).  Le cas
$(N_\uparrow&gt;1,N_\downarrow=2)$ a \'et\'e \'etudi\'e pour
$N_\uparrow=2$ par la r\'ef\'erence~\cite{Endopas4} qui conclut \`a la
stabilit\'e, tant que les sous-syst\`emes (2,1) et (1,2) le sont.

\begin{figure}
\includegraphics{fig03}
\caption{\label{fig3}R\'esultats connus sur la stabilit\'e du syst\`eme
$(N_\uparrow,1)$ de $N_\uparrow$ fermions de spin $\uparrow$ et un
fermion de spin $\downarrow$, pour une interaction de port\'ee nulle,
en fonction du rapport de masse $m_\uparrow/m_\downarrow$ entre une
particule $\uparrow$ et la particule $\downarrow$. Fl\`eches
verticales: valeurs critiques de $m_\uparrow/m_\downarrow$ (seuils)
pour l'effet Efimov \`a $(N_\uparrow,1)$ corps obtenues par
r\'esolution du probl\`eme correspondant, voir les
r\'ef\'erences~\cite{Efimov} pour
$N_\uparrow=2$,~\cite{MoraCastinPricoupenko} pour
$N_\uparrow=3$,~\cite{BazakPetrov} pour $N_\uparrow=4$;  quand
$m_\uparrow/m_\downarrow$ exc\`ede ces valeurs,  l'\'energie du
syst\`eme n'est plus born\'ee inf\'erieurement.  Barre verticale avec
fl\`eche horizontale: rapport de masse critique $\alpha_{\rm c}$, dont
l'existence est \'etablie par le th\'eor\`eme de
Moser--Seiringer~\cite{MoserSeiringer}, en dessous duquel le syst\`eme
$(N_\uparrow,1)$ est stable $\forall N_\uparrow$; le th\'eor\`eme ne
donne pas la valeur exacte de $\alpha_{\rm c}$ mais une minoration,
$\alpha_{\rm c}&gt;2,\!77$, plus contraignante que celle,
$m_\uparrow/m_\downarrow=1$, des exp\'eriences sur les atomes froids
(une sup\'eriorit\'e cependant de ces derni\`eres est que le gaz
unitaire de fermions semble y \^etre stable, sans effondrement ni
pertes \`a trois corps significatives, pour toutes les valeurs de
$N_\uparrow$ et $N_\downarrow$).}
\end{figure}

Par la seconde extr\'emit\'e, on cherche \`a contraindre (plut\^ot
qu'\`a calculer) les rapports de masse critiques, par une minoration du
spectre de l'hamiltonien.  C'est ce qu'a fait la
r\'ef\'erence~\cite{MoserSeiringer} pour le probl\`eme \`a
$(N_\uparrow,N_\downarrow=1)$ fermions: elle d\'emontre le magnifique

\begin{proof}[Th\'eor\`eme]
\itshape
Il existe un rapport de masse critique
$m_\uparrow/m_\downarrow=\alpha_{\rm c}$ en dessous duquel le syst\`eme
fermionique $(N_\uparrow,N_\downarrow=1)$ est stable $\forall
N_\uparrow$ pour une interaction de contact, et $\alpha_{\rm
c}&gt;1/0,\!36=2,\!77$.\let\qed\relax
\end{proof}


\subsection{D\'eveloppement en amas ou du viriel}
\label{sec3.4}

Certains diront que c'est le probl\`eme macroscopique \`a $N$ corps qui
doit \^etre en d\'efinitive l'objet de notre attention, plus que le
probl\`eme \`a petit nombre de corps.  Ce \`a quoi nous r\'epondrons 
que le second peut dire quelque chose sur le premier au moyen du
d\'eveloppement en amas, un d\'eveloppement de la pression  $P$ du gaz
homog\`ene \`a l'\'equilibre thermique grand-canonique en puissances
des fugacit\'es des composantes $\sigma$ (la temp\'erature $T=1/k_{\rm
B}\beta$ est fix\'ee mais les potentiels chimiques $\mu_\sigma$ tendent
vers $-\infty$, ce qui correspond \`a une limite quantiquement non
d\'eg\'en\'er\'ee):
{\begin{equation}
\label{eq1X19}
\frac{P\bar{\lambda}^3}{k_{\rm B}T}=\sum_{(n_\uparrow,n_\downarrow)\in\mathbb{N}^{2*}} b_{n_\uparrow,n_\downarrow} \eee^{\beta \mu_\uparrow n_\uparrow} \eee^{\beta\mu_\downarrow n_\downarrow}
\end{equation}}\unskip
o\`u la longueur d'onde thermique de de Broglie est prise \`a la masse
de r\'ef\'erence arbitraire $\bar{m}$,
$\bar{\lambda}=(2\rmpi\hbar^2/\bar{m}k_{\rm B}T)^{1/2}$~\footnote{La
r\'ef\'erence~\cite{EndoCastin2022} utilise le choix
$\bar{m}^{3/2}=(m_\uparrow^{3/2}+m_\downarrow^{3/2})/2$, naturel au
sens o\`u il conduit \`a un premier coefficient d'amas total
$b_1=(b_{1,0}+b_{0,1})/2$ \'egal \`a un.}.  Le d\'eveloppement
(\ref{eq1X19}), dans la litt\'erature r\'ecente, est souvent confondu
avec celui du viriel, qui d\'eveloppe en fait en puissances des
densit\'es $\rho_\sigma\lambda_\sigma^3$ dans l'espace des phases
($\lambda_\sigma=(2\rmpi\hbar^2/m_\sigma k_{\rm B}T)^{1/2}$).

Comment calculer les coefficients d'amas $b_{n_\uparrow,n_\downarrow}$?
\`A la limite unitaire $a^{-1}=0$, le plus simple est d'utiliser la
m\'ethode du r\'egulateur harmonique de la
r\'ef\'erence~\cite{ComtetOuvry}, qui place d'abord le syst\`eme dans
les pi\`eges harmoniques $U_\sigma(\rr)$ de l'\'equation~(\ref{eq1X5})
puis, tous calculs faits, les ouvre pour retrouver le cas homog\`ene
par approximation d'homog\'en\'eit\'e locale (exacte dans la limite
consid\'er\'ee $\omega\to 0^+$).  En effet, le probl\`eme pi\'eg\'e est
alors s\'eparable en coordonn\'ees hypersph\'eriques  comme dans la
section~\ref{sec3.2} et, si l'on conna\^it les exposants d'\'echelle
$s$ dans l'espace libre \`a \'energie nulle pour tous les
$n_\uparrow\leq n_\uparrow^{\rm cible}, n_\downarrow\leq
n_\downarrow^{\rm cible}$, on conna\^it aussi les niveaux d'\'energie
du syst\`eme pi\'eg\'e comme dans l'\'equation~(\ref{eq3X17p}), donc
toutes les fonctions de partition canoniques
$Z_{n_\uparrow,n_\downarrow}$  et en d\'efinitive le coefficient
$b_{n_\uparrow^{\rm cible},n_\downarrow^{\rm cible}}$.  Du coup, les
coefficients  d'amas doivent \^etre des fonctionnelles des
$\Lambda_{n_\uparrow,n_\downarrow}$  de l'\'equation~(\ref{eq1X15}).
C'est bien ce que pr\'edit la conjecture de la
r\'ef\'erence~\cite{EndoCastin}, selon laquelle, \`a la limite
unitaire,
{\begin{equation}
\label{eq1X20}
b_{n_\uparrow,n_\downarrow}=\frac{(n_\uparrow m_\uparrow+n_\downarrow m_\downarrow)^{3/2}}{\bar{m}^{3/2}} \left[\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\dd S}{4\rmpi} \, S \frac{\dd}{\dd S} (\ln\Lambda_{n_\uparrow,n_\downarrow}(\ii S)) + \mbox{CorrStat}_{n_\uparrow,n_\downarrow}\right]
\end{equation}}\unskip
pour tout
$(n_\uparrow,n_\downarrow)\in\mathbb{N}^{*2}\setminus\{1,
1\}$~\footnote{Le cas $(n_\uparrow=1,n_\downarrow=1)$ est diff\'erent
et doit \^etre exclu; il correspond, au contraire de ce que nous avons
suppos\'e, \`a une r\'esonance de diffusion \`a $N$ corps avec $N=2$
dans l'onde $s$: \`a la limite unitaire, il faut garder uniquement la
solution en $R^{-s}, s=1/2$, dans l'\'equation~(\ref{eq2X15}), comme si
la bonne racine de $\Lambda$ \`a garder \'etait $-s$; en effet, la
solution en $R^s$ correspond \`a la partie r\'eguli\`ere $\propto 1/a$
de l'\'etat de diffusion \`a \'energie nulle (voir la note 11
pour plus de pr\'ecisions).}. Ici, le pr\'efacteur r\'esulte du passage
du cas pi\'eg\'e au cas homog\`ene et la premi\`ere contribution  entre
crochets est calqu\'ee sur le r\'esultat de la
r\'ef\'erence~\cite{revuecanad} obtenu pour $N=3$;  la seconde
contribution entre crochets est une \'eventuelle correction de 
statistique quantique de type gaz parfait provenant des sous-amas non
monoatomiques indiscernables en lesquels se d\'ecouplent les \'etats
propres  internes du syst\`eme pi\'eg\'e $(n_\uparrow,n_\downarrow)$
\`a haute \'energie (le centre de masse du syst\`eme reste dans son
\'etat fondamental).  

Expliquons mieux cette histoire de d\'ecouplage en sous-amas sur des
exemples. Si $(n_\uparrow,n_\downarrow)=(1,1)$, les \'etats propres
prennent asymptotiquement --- pour des valeurs arbitrairement grandes de
l'\'energie --- la forme de deux fermions $\uparrow$ et $\downarrow$ non
corr\'el\'es dans des niveaux oscillatoires de grandes
amplitudes\footnote{Si le nombre d'onde relatif $k_{\rm
rel}\to+\infty$,  l'amplitude de diffusion $f_{k_{\rm rel}}\to 0$  dans
l'\'equation~(\ref{eq2X10}) donc m\^eme \`a la limite unitaire, les
interactions deviennent n\'egligeables.};  les sous-amas \'etant
monoatomiques, on a $\mbox{CorrStat}=0$. Si
$(n_\uparrow,n_\downarrow)=(2,1)$, un nouveau d\'ecouplage est
possible, \`a c\^ot\'e de celui en trois fermions d\'ecorr\'el\'es: les
particules peuvent se s\'eparer en un atome $\uparrow$ et un pairon
$\uparrow\downarrow$ de fermions fortement corr\'el\'es (le mouvement
relatif au sein du pairon restant de faible amplitude), avec des
niveaux oscillatoires tr\`es excit\'es pour l'atome $\uparrow$ et pour
le centre de masse du pairon $\uparrow\downarrow$; le pairon \'etant
seul dans sa cat\'egorie,  on a l\`a encore $\mbox{CorrStat}=0$. La
conclusion reste la m\^eme pour $(n_\uparrow,n_\downarrow)=(3,1)$, si
ce n'est qu'appara\^it le triplon $\uparrow\uparrow\downarrow$ comme
nouveau sous-amas d\'ecoupl\'e.  En revanche, pour
$(n_\uparrow,n_\downarrow)=(2,2)$, il y a d\'ecouplage possible en deux
pairons $\uparrow\downarrow$ de tr\`es grande \'energie relative, voir
la figure~\ref{fig3bis}; ils n'interagissent plus mais ils sont
indiscernables et conduisent, comme les bosons identiques d'un gaz
parfait, \`a une correction de statistique quantique ignor\'ee par
l'int\'egrale sur $S$ dans l'\'equation~(\ref{eq1X20}); le calcul donne
$\mbox{CorrStat}=1/32$~\cite{EndoCastin}.

\begin{figure}
\includegraphics{fig04}
\caption{\label{fig3bis}Un comportement asymptotique possible du
probl\`eme unitaire \`a quatre fermions $(N_\uparrow=2,N_\downarrow=2)$
dans les potentiels harmoniques $U_\sigma(\rr)$:  deux pairons
oscillent furieusement (avec des mouvements de grande amplitude); les
fermions $\uparrow$ et $\downarrow$ dans chaque pairon ont une
\'energie relative $O(1)$ (en unit\'es de $\hbar\omega$ si l'on veut
respecter la dimension) et restent fortement corr\'el\'es; les deux
pairons ont une \'energie relative $\to +\infty$ et sont d\'ecoupl\'es,
ce qui autorise \`a les voir comme deux bosons identiques, dot\'es
d'une structure interne (celle du mouvement relatif
$\uparrow\downarrow$ au sein d'un pairon) mais n'interagissant pas
entre eux. La correction de statistique quantique
$\mbox{CorrStat}_{2,2}$ est alors non nulle  dans
l'\'equation~(\ref{eq1X20}).}
\end{figure}

La conjecture (\ref{eq1X20}) est bien \'etablie pour $N=3$, par
application inverse du th\'eor\`eme des r\'esidus, qui convertit la
somme sur les spectres (\ref{eq3X17p}) donc sur les racines $s$ de
$\Lambda_{n_\uparrow,n_\downarrow}$ en une
int\'egrale~\cite{revuecanad}.  Pour $N=4$, les propri\'et\'es
analytiques de la fonction $\Lambda_{n_\uparrow,n_\downarrow}$ dans le
plan complexe ne sont pas suffisamment connues  pour qu'on puisse
appliquer le th\'eor\`eme de Cauchy\footnote{Il faut pouvoir rabattre
sur l'axe imaginaire pur le chemin d'int\'egration entourant les
racines et les p\^oles de $\Lambda_{n_\uparrow,n_\downarrow}$ sur l'axe
r\'eel sans croiser de singularit\'e --- p\^ole ou ligne de coupure ---
dans les demi-plans sup\'erieur et inf\'erieur.}; dans le cas
particulier $m_\uparrow/m_\downarrow=1$, la conjecture a cependant
\'et\'e confirm\'ee par un calcul tr\`es pr\'ecis de Monte-Carlo
quantique \`a petit nombre de corps~\cite{HouDrut} (en revanche, les
valeurs exp\'erimentales~\cite{ens,mit} ne sont pas confirm\'ees, le
probl\`eme semblant venir de l'impossibilit\'e d'obtenir le bon
polyn\^ome de degr\'e 4 en $z=\exp(\beta\mu)$ par ajustement de la
pression $P$ ou de la densit\'e $\rho$ mesur\'ees sur l'intervalle de
fugacit\'e accessible exp\'erimentalement~\cite{halaug})\footnote{Les
r\'ef\'erences~\cite{ens,mit} ont acc\`es seulement au quatri\`eme
coefficient d'amas total
$b_4=(b_{4,0}+b_{3,1}+b_{2,2}+b_{1,3}+b_{0,4})/2$, ce qui interdit une
comparaison avec la conjecture (\ref{eq1X20}) secteur par secteur.}. 

La d\'emonstration de  l'expression (\ref{eq1X20}) dans le cas
g\'en\'eral reste donc ouverte.  Une autre question int\'eressante
porte sur le comportement des coefficients d'amas
$b_{n_\uparrow,n_\downarrow}$ aux grands ordres $n_\sigma\to +\infty$,
dont la connaissance est requise si l'on veut effectuer une sommation
efficace de la s\'erie (\ref{eq1X19}) apr\`es calcul de ses premiers
termes, pour \'etendre son applicabilit\'e au r\'egime d\'eg\'en\'er\'e
$T\lesssim T_{\rm F}$ (par exemple, si le rayon de convergence est nul,
on pourrait mettre en \oe uvre une resommation de type Borel conforme
comme dans les r\'ef\'erences~\cite{felixborel,zinnborel}).

\section{Questions ouvertes dans un point de vue macroscopique}
\label{sec4}

Dans cette section, le gaz de fermions en interaction, consid\'er\'e
dans la limite thermodynamique et \`a temp\'erature non nulle mais
arbitrairement basse, est d\'ecrit par une th\'eorie hamiltonienne
effective de basse \'energie, l'hydrodynamique quantique de Landau et
Khalatnikov~\cite{LK}\footnote{L'appellation
\g{hydrodynamique quantique}, en physique non lin\'eaire, est comprise
par opposition \`a l'hydrodynamique des fluides classiques et fait
r\'ef\'erence \`a une \'equation d'Euler portant sur un champ de
vitesse $\vv(\rr)$ \`a valeurs r\'eelles plut\^ot qu'op\'eratorielles,
mais contenant un terme de pression quantique $\propto\hbar^2$, ce qui
lui permet de d\'ecrire le mouvement de tourbillons quantiques --- \`a
circulation quantifi\'ee --- dans le superfluide (comme l'\'equation de
Gross--Pitayevski sur la fonction d'onde d'un condensat de bosons
r\'e\'ecrite en termes de la densit\'e et du gradient de la phase). 
Ici, l'appellation est \`a prendre au sens de la seconde
quantification, le champ de vitesse \'etant d\'esormais \`a valeur
op\'erateur $\hat{\vv}(\rr)$.}.

\subsection{Vue d'ensemble du r\'egime superfluide consid\'er\'e}
\label{sec4.1}

Le syst\`eme tridimensionnel de fermions est ici spatialement
homog\`ene (dans un volume de quantification $[0,L]^3$ proche de la
limite thermodynamique, cette limite \'etant prise \`a la fin des
calculs), avec des particules de masses \'egales
$m_\uparrow=m_\downarrow=m$ dans les deux \'etats internes, non
polaris\'e en spin (il y a le m\^eme nombre de particules dans les deux
composantes, $N_\uparrow=N_\downarrow$, afin de permettre un
appariement complet) et \`a l'\'equilibre thermique canonique dans une
limite de basse temp\'erature ($T\neq 0$ mais $T\to 0$).  

Dans ces conditions, (i) les fermions s'assemblent en paires li\'ees
$\uparrow\downarrow$ dans l'onde $s$;  en pr\'esence des mers de Fermi
dans les deux \'etats internes, c'est ce \`a quoi conduit l'interaction
attractive entre $\uparrow$ et $\downarrow$ de la section~\ref{sec3},
au travers du c\'el\`ebre m\'ecanisme de Cooper;  ceci vaut donc m\^eme
pour une longueur de diffusion $a$ n\'egative, o\`u il n'y a pas
d'\'etat li\'e $\uparrow\downarrow$ dans l'espace libre, la taille
d'une paire tendant toutefois vers $+\infty$ lorsque $a\to 0^-$ (dans
le cas $a&gt;0$, il existe bien un \'etat  dim\`ere et, sans surprise,
c'est \`a lui que se r\'eduit l'\'etat de paire li\'ee dans la limite
de basse densit\'e $\rho\to 0$)\footnote{Il n'est pas compl\`etement
\'evident de voir que l'interaction de contact de Wigner--Bethe--Peierls
est attractive.  Une fa\c{c}on de faire est de l'obtenir comme la
limite continue $b\to 0$ d'un mod\`ele sur un r\'eseau cubique
$b\mathbb{Z}^3$ avec un couplage $\propto \hbar^2/mb^2$ entre sites
voisins (pour repr\'esenter l'\'energie cin\'etique)  et une
interaction sur site $g_0/b^3$; \`a longueur de diffusion $a\neq 0$
fix\'ee, on trouve alors que $g_0\approx -\hbar^2b/m&lt;0$ lorsque $b\to
0$ (la constante de couplage nue $g_0$ est donc, dans le r\'egime
$b\ll|a|$ de la diffusion r\'esonnante, fort diff\'erente de la
constante de couplage effective $g=4\rmpi\hbar^2a/m$)~\cite{varenna}.};
(ii) ces paires li\'ees, \'etant des sortes de bosons composites,
forment un condensat dans le mode de vecteur d'onde $\KK_{\rm
paire}=\zero$ de leur centre de masse (de longueur de coh\'erence
limit\'ee par la taille de la bo\^ite, infinie \`a la limite
thermodynamique) et un superfluide. 

Du coup, on s'attend \`a ce que le syst\`eme admette, dans son \'etat
fondamental, une branche d'excitation acoustique (par ondes sonores) de
d\'epart lin\'eaire en le nombre d'onde $q$ avec une correction
cubique, 
{\begin{equation}
\label{eq1X24}
\omega_{\qq}\underset{q\to 0}{=} cq\left[1+\frac{\gamma}{8}\left(\frac{\hbar q}{mc}\right)^2+O(q^4\ln q)\right]
\end{equation}}\unskip
et que cette branche soit limit\'ee sup\'erieurement en \'energie par
le continuum de paire bris\'ee, de bord inf\'erieur l'\'energie de
liaison d'une paire $E_{\rm paire}$, comme sur la figure~\ref{fig4}a. 
Ici $\omega_{\qq}$ est la pulsation propre au vecteur d'onde $\qq$, $c$
est la vitesse du son \`a temp\'erature nulle et le param\`etre de
courbure $\gamma$ est adimensionn\'e de fa\c{c}on qu'il vaille un dans
la limite $k_{\rm F}a\to 0^+$ d'un gaz condens\'e de dim\`eres en
interaction faible  (en accord avec la th\'eorie de 
Bogolioubov)\footnote{Notre convention de signe sur $\gamma$ diff\`ere
de celle utilis\'ee dans l'h\'elium 4 liquide, voir la
r\'ef\'erence~\cite{Maris}.}. La branche en question est souvent dite de
Goldstone~\cite{Goldstone}, parce qu'on l'associe \`a la brisure de
sym\'etrie $U(1)$ dans la condensation de paires; son pendant de Higgs
est discut\'e dans la section~\ref{sec5}.

\begin{figure}
{\vspace*{4pt}}
\includegraphics{fig05}
{\vspace*{4pt}}
\caption{\label{fig4}\'Energie de diff\'erents types d'excitations d'un gaz
homog\`ene non polaris\'e de fermions \`a deux composantes \`a
temp\'erature nulle, en fonction de leur nombre d'onde $q$ ou $k$. (a)
Branche d'excitation acoustique $\hbar\omega_{\qq}$ de d\'epart
lin\'eaire $\hbar c q$ ($c$ est la vitesse du son), limit\'ee
sup\'erieurement par le continuum de paire bris\'ee (zone hachur\'ee)
dont elle vient ici tangenter le bord inf\'erieur en le point terminal
de nombre d'onde $q_{\rm max}$. (b) Relation de dispersion $\veps_{\kk}$
d'une quasi-particule fermionique $\chi$ (voir texte). Sous l'effet
d'une excitation percussionnelle de vecteur d'onde $\qq$, une paire
li\'ee $\uparrow\downarrow$ du condensat de paires, initialement au
repos, se dissocie en deux quasi-particules fermionique $\chi$ de spins
oppos\'es, de vecteurs d'onde $\kk$ et $\kk'=\qq-\kk$ et d'\'energies
$\veps_{\kk}$ et $\veps_{\kk'}$; comme le vecteur $\kk$ n'est pas
contraint (pas de conservation de l'\'energie pour une excitation
percussionnelle), il appara\^it un continuum d'\'energies finales
$\{\veps_{\kk}+\veps_{\qq-\kk},\kk\in\mathbb{R}^3\}$. Pour la force des
interactions choisie sur la figure ($|\Delta|/\mu=0,\!84$ soit
$1/k_{\rm F}a\simeq -0,\!16$ d'apr\`es la th\'eorie BCS, avec $\mu$ le
potentiel chimique du gaz et $\Delta$ le param\`etre d'ordre complexe
du condensat de paires), la branche acoustique est de d\'epart concave
($\gamma&lt;0$ dans l'\'equation~(\ref{eq1X24})) et la relation de
dispersion $\veps_{\kk}$ pr\'esente un minimum $E_{\rm paire}/2$ en
$k=k_0&gt;0$; le bord inf\'erieur du continuum vaut donc exactement
$E_{\rm paire}$, du moins tant qu'on peut avoir $k=k'=k_0$ donc tant
que $q=|\kk+\kk'|\leq 2 k_0$. Les relations de dispersion
repr\'esent\'ees, approch\'ees, sont celles de la th\'eorie BCS pour
$\veps_{\kk}$ et de la RPA d'Anderson pour $\hbar\omega_{\qq}$. Selon la
force des interactions, le domaine d'existence en $q$ de la branche
acoustique peut \'egalement \^etre non compact, connexe
$q\in\ ]0,+\infty[$ ou pas $q\in\ ]0,q_{\rm max}[\bigcup]q_{\rm
min},+\infty[$ ($q_{\rm min}&gt; q_{\rm max}$)~\cite{CKS}; la concavit\'e
de la branche est elle aussi variable~\cite{PRAconcav}; enfin, $k_0=0$
et $E_{\rm paire}=2(\mu^2+|\Delta|^2)^{1/2}$ si $\mu&lt;0$,
$k_0=(2m\mu)^{1/2}/\hbar$ et $E_{\rm paire}=2|\Delta|$
sinon.}
{\vspace*{4pt}}
\end{figure}

Notre r\'egime de basse temp\'erature satisfait dans la suite aux deux
conditions
{\begin{equation}
\label{eq2X24}
0&lt; k_{\rm B}T\ll mc^2 \quad \mbox{et}\quad 0&lt;k_{\rm B}T\ll E_{\rm paire}
\end{equation}}\unskip
la premi\`ere assurant que soit peupl\'ee thermiquement seulement la
partie lin\'eaire de la branche acoustique, la seconde qu'il y ait une
densit\'e n\'egligeable de paires bris\'ees (d'apr\`es la loi de
Boltzmann, cette densit\'e comporte un facteur d'activation
$\exp(-E_{\rm paire}/2 k_{\rm B}T)$, les fragments issus de la
dissociation d'une paire li\'ee --- les quasi-particules fermioniques
$\chi$ de la figure~\ref{fig4}b --- ayant individuellement une \'energie
minimale $E_{\rm paire}/2$).  Notre syst\`eme se r\'eduit alors \`a un
gaz thermique de phonons, si l'on convient d'appeler comme tels les
quanta de la branche acoustique (eu \'egard \`a son d\'epart
lin\'eaire)\footnote{L'\'equation~(\ref{eq1X24}) ne vaut que pour une
interaction $V(\rr_{ij})$ \`a courte port\'ee, d\'ecroissant assez vite
lorsque $r_{ij}\to +\infty$. Dans le cas d'une interaction dipolaire,
comme dans les gaz d'atomes froids magn\'etiques, la vitesse du son est
anisotrope~\cite{Axel}, voir aussi la contribution de Wilhelm Zwerger
\`a ce dossier th\'ematique~\cite{Zwergerdt} et le cours 2023-2024 de
Jean Dalibard au Coll\`ege de France~\cite{jd}.  Dans le cas d'une
interaction coulombienne, comme dans les gaz d'\'electrons
supraconducteurs, la branche acoustique fait place \`a une branche de
plasmons \`a bande interdite (la pulsation propre $\omega_{\qq}$ a une
limite $&gt;0$ en $q=0$)~\cite{Anderson}.  Ici, nos atomes sont neutres et
de moment dipolaire n\'egligeable.}.

On peut alors se poser trois types de questions, partiellement
ouvertes:
\begin{enumerate}[(1)]
\item nous allons le voir, les phonons (abr\'eg\'es en $\phi$)
interagissent entre eux, le superfluide de fermions sous-jacent
constituant un milieu non lin\'eaire pour le son.  Quels sont les
effets de ces interactions sur les phonons de vecteur d'onde $\qq$? On
s'attend en particulier \`a ce qu'ils s'amortissent  avec un taux
$\Gamma_{\qq}(T)$ et qu'ils subissent un d\'eplacement de pulsation
thermique $\Delta_{\qq}(T)$ (on ne compte pas le d\'eplacement \`a
temp\'erature nulle, qui donne naissance par d\'efinition au spectre
(\ref{eq1X24}) --- le terme n\'eglig\'e en $q^5\ln q$ provient
pr\'ecis\'ement de l'effet crois\'e des interactions et des
fluctuations quantiques du champ de
phonons~\cite{espagnols,insuffisance})\footnote{Dans le cas convexe
$\gamma&gt;0$,  il s'accompagne --- toujours \`a $T=0$ --- d'une partie
imaginaire non nulle $\approx q^5$, correspondant au m\'ecanisme
d'amortissement de Belyaev $\qq\to\kk,\kk'$,  voir plus loin.}.

\item quelles sont les cons\'equences de la dynamique collisionnelle
des phonons sur l'\'evolution d'une variable macroscopique  du gaz
particuli\`erement int\'eressante, l'op\'erateur phase
$\hat{\phi}_0(t)$ du condensat de paires?
\item on enrichit le probl\`eme en consid\'erant le cas partiellement
polaris\'e $N_\uparrow\neq N_\downarrow$.  Dans le cas faiblement
polaris\'e, par exemple $N_\uparrow-N_\downarrow=O(1)$, les fermions
non appari\'es (car surnum\'eraires) de la composante de spin
majoritaire forment, dans le gaz en interaction, des quasi-particules
fermioniques (abr\'eg\'ees en $\chi$) d'une relation de dispersion
$\veps_{\kk}$ diff\'erente de celles des fermions libres: elle pr\'esente
notamment un minimum non nul, donc une bande d'\'energie interdite,
donn\'e par la demi-\'energie de liaison d'une paire
$\uparrow\downarrow$, au voisinage duquel elle varie quadratiquement en
nombre d'onde $k$ (voir la figure~\ref{fig4}b).  Se pose alors la
question de leurs interactions $\phi-\chi$ avec les phonons et
$\chi-\chi$ entre elles; en particulier, un d\'esaccord persiste sur
l'expression de l'amplitude de diffusion $\phi-\chi$ \`a basse
\'energie (les r\'ef\'erences~\cite{cras} et~\cite{italiens}
diff\`erent)\footnote{Ce probl\`eme int\'eresse \'egalement l'h\'elium
4 superfluide, dont la branche d'excitation admet elle aussi un minimum
quadratique, le minimum de roton; notre probl\`eme de diffusion
$\phi-\chi$ est donc formellement \'equivalent \`a la diffusion
roton--phonon \'etudi\'ee d\'ej\`a dans la r\'ef\'erence~\cite{LK}, \`a
la diff\'erence pr\`es que les rotons sont des bosons. Les
pr\'edictions de~\cite{LK} sont cependant incompl\`etes et en
d\'esaccord avec~\cite{cras,italiens}.}. Dans le cas fortement
polaris\'e, o\`u $N_\uparrow-N_\downarrow$ est extensif comme $N$,  on
s'attend \`a ce que la condensation des paires li\'ees \`a $T=0$ puisse
se faire dans une superposition d'ondes planes de leur centre de masse
(plut\^ot que dans $\KK_{\rm paire}=\zero$ comme suppos\'e ici), voir
les r\'ef\'erences~\cite{ff,lo}, ce qui donne naissance \`a un
superfluide modul\'e spatialement (un supersolide suivant la
terminologie \`a la mode), sans que son domaine d'existence dans
l'espace des param\`etres $((N_\uparrow-N_\downarrow)/N,1/k_{\rm
F}a,T/T_{\rm F})$ soit parfaitement bien connu th\'eoriquement, le
probl\`eme \'etant complexifi\'e par sa grande sensibilit\'e aux
fluctuations thermiques~\cite{Leo} (il n'y a pas encore de r\'esultats
exp\'erimentaux dans les gaz d'atomes froids
tridimensionnels~\cite{Hulet}). 
\end{enumerate}

Le cas le plus int\'eressant pour les points 1 et 2 est celui d'une
branche acoustique de d\'epart concave, $\gamma&lt;0$ dans l'\'equation
(\ref{eq1X24}), tr\`es diff\'erent du gaz de bosons en interaction
faible assez bien connu (o\`u $\gamma\simeq 1&gt;0$ comme nous l'avons
dit)\footnote{Qualitativement, ce cas $\gamma&lt;0$ s'obtient lorsque
l'\'energie de liaison $E_{\rm paire}$ est assez faible: si l'on
r\'eduit $E_{\rm paire}$, le continuum de paire bris\'ee sur la
figure~\ref{fig4}a s'abaisse, pousse sur la branche acoustique et finit
par la faire se courber vers le bas.  C'est certainement le cas dans la
limite BCS $k_{\rm F}a\to 0^-$ o\`u $E_{\rm
paire}/mc^2=O(\exp(-\rmpi/2k_{\rm F}|a|))$ tend rapidement vers z\'ero;
ce n'est plus le cas dans la limite CBE $k_{\rm F}a\to 0^+$ o\`u
$E_{\rm paire}\sim E_{\rm dim}=\hbar^2/ma^2\gg mc^2$. On ne sait pas
avec certitude de quel c\^ot\'e de la limite unitaire $1/k_{\rm F}a=0$
(c'est-\`a-dire pour quel signe de la longueur de diffusion $a$) se
produit le changement de signe du param\`etre de courbure $\gamma$,
voir la section~\ref{sec5}. Vu la forme du bord inf\'erieur du
continuum sur la figure~\ref{fig4}a --- et ceci ind\'ependamment du signe
de $\gamma$, l'effet de r\'epulsion sur la branche acoustique est le
plus fort \`a grand $q$ mais le plus faible \`a petit $q$ (l\`a o\`u la
diff\'erence d'\'energie entre le bord et la branche est le plus
grand). On s'attend donc \`a avoir un intervalle de valeurs de
$1/k_{\rm F}a$ sur lequel la branche, convexe \`a faible $q$, est
concave \`a grand $q$~\cite{PRAconcav}.}. En particulier,
l'amortissement des phonons pour $\gamma&lt;0$ peut se produire seulement
\`a $T\neq 0$, puisque la d\'esint\'egration d'un phonon en un nombre
quelconque $n&gt;1$ de phonons est interdite par la conservation de
l'\'energie-impulsion pour une branche acoustique concave; \`a l'ordre
dominant en temp\'erature, il r\'esulte pour la m\^eme raison, non pas
comme pour $\gamma&gt;0$ de processus \`a trois phonons de type Belyaev
$\phi\to\phi\phi$ ou Landau $\phi\phi\to\phi$~\cite{Belyaev,Martin},
mais des processus \`a quatre phonons $\phi\phi\to\phi\phi$ de Landau
et Khalatnikov~\cite{LK}. \`A notre connaissance, cet amortissement \`a
quatre phonons n'a encore \'et\'e observ\'e exp\'erimentalement dans
aucun syst\`eme.  Il pourrait l'\^etre dans un gaz d'atomes froids
fermioniques dans une bo\^ite de potentiel~\cite{epl}.  Il pourrait
l'\^etre aussi dans l'h\'elium 4 superfluide (un liquide de bosons) si
l'on augmente suffisamment la pression pour rendre $\gamma&lt;0$ (le
minimum de roton s'abaisse ce qui finit par rendre concave le d\'epart
de la branche acoustique) et si l'on abaisse suffisamment la
temp\'erature pour r\'eduire la densit\'e de rotons (au travers du
facteur d'activation $\exp(-E_{\rm roton}/k_{\rm B}T)$) et rendre
n\'egligeable l'amortissement parasite des phonons par les
rotons~\cite{prlrevi}\footnote{Dans l'h\'elium 4 liquide, les
processus de diffusion \`a quatre phonons entre des faisceaux de
phonons produits intentionnellement (non thermiques) ont d\'ej\`a fait
l'objet d'\'etudes th\'eoriques et exp\'erimentales~\cite{Adamenko}.}.

\subsection{Quelle th\'eorie macroscopique utiliser?}
\label{sec4.2}

Une th\'eorie effective de basse \'energie renonce \`a d\'ecrire le
syst\`eme en dessous d'une certaine \'echelle de longueur $\ell$; on
s'attend en revanche \`a ce que la th\'eorie soit exacte aux grandes
longueurs d'onde, ici \`a l'ordre dominant en temp\'erature. 

 Dans ces conditions, il est l\'egitime de d\'ecouper le gaz en
portions de taille $\ell$, par exemple en bo\^ites cubiques de c\^ot\'e
$\ell$ centr\'ees sur le r\'eseau cubique $\ell\mathbb{Z}^3$, voir la
figure~\ref{fig5}.  \'Enon\c{c}ons quelques contraintes sur le choix de
$\ell$:
\begin{enumerate}[(1)]
\item  on doit avoir $\ell\gg\xi$ (ici $\xi=\hbar/mc$ est la longueur
dite de relaxation ou de corr\'elation du superfluide) et
$\rho\ell^3\gg 1$ (il y a un grand nombre de fermions par site)  de
fa\c{c}on que (i) chaque portion cubique puisse \^etre consid\'er\'ee
comme m\'esoscopique et relever de la notion d'\'equation d'\'etat
liant de mani\`ere univoque la pression ou le potentiel chimique \`a la
densit\'e (comme c'est le cas \`a la limite thermodynamique), et (ii)
le pas $\ell$ du r\'eseau fournisse une coupure en nombre d'onde
$\rmpi/\ell\ll mc/\hbar$ aux excitations phononiques du gaz, les
restreignant ainsi \`a la partie quasi lin\'eaire de la branche
(\ref{eq1X24}), partie universelle car d\'ecrite par deux param\`etres,
$c$ et $\gamma$.

\item on doit avoir $k_{\rm B}T\ll \hbar c \rmpi/\ell$ (c'est l'\'energie
du mode de phonons fondamental dans une portion) de fa\c{c}on qu'on
puisse consid\'erer que (i)  chaque portion est \`a temp\'erature
nulle, et (ii) chaque portion est spatialement homog\`ene \`a
l'\'echelle de la longueur d'onde typique $q_{\rm th}^{-1}=\hbar
c/k_{\rm B}T$ des ondes sonores thermiques.


\item il faut aussi que $\ell\ll\ell_{\rm coh}$ o\`u $\ell_{\rm coh}$
est la longueur de coh\'erence des paires de fermions, de fa\c{c}on que
la notion de phase globale $\hat{\phi}$ ait un sens dans chaque portion
(comme pour un condensat).  Cette contrainte est inop\'erante ici
puisque $\ell_{\rm coh}\approx L$ (les paires li\'ees sont condens\'ees
\`a 3D). 
\end{enumerate}

\begin{figure}
\includegraphics{fig06}
\caption{\label{fig5}D\'ecoupage du gaz en portions cubiques m\'esoscopiques de
c\^ot\'e $\ell$, dans l'hydrodynamique quantique de Landau et
Khalatnikov (cette th\'eorie effective ne d\'ecrit pas les \'echelles
de longueur $&lt;\ell$).  Voir texte pour le choix de $\ell$.}
\end{figure}

On admet alors qu'on peut repr\'esenter le syst\`eme par deux
op\'erateurs de champ, le champ de densit\'e $\hat{\rho}(\rr)$ et le
champ de phase $\hat{\phi}(\rr')$, avec $\rr,\rr'\in\ell\mathbb{Z}^3$;
ces variables sont canoniquement conjugu\'ees au sens o\`u
{\begin{equation}
\label{eq1X28}
[\hat{\rho}(\rr)\ell^3,\hat{\phi}(\rr')]=\ii\,\delta_{\rr,\rr'}
\end{equation}}\unskip
comme si $\hat{\phi}$ \'etait un op\'erateur impulsion et
$\hat{\rho}\ell^3$ un op\'erateur position en m\'ecanique quantique
ordinaire~\cite{LK,tome9landau}\footnote{Ces r\'ef\'erences
historiques se placent pour simplifier dans un espace continu.  La
n\'ecessit\'e de discr\'etiser l'espace pour \'eviter les infinis et
rendre la th\'eorie renormalisable est soulign\'e dans la
publication~\cite{brouilfer}.  Ici, nous mettons ces difficult\'es sous
le tapis; par exemple, nous ne distinguons pas dans (\ref{eq1X29})
entre la notion d'\'equation d'\'etat nue $e_{0,0}(\rho)$ --- celle qui
entre dans l'hamiltonien ---  et l'\'equation d'\'etat vraie ou effective
$e_0(\rho)$ ---  celle qu'on observe dans une exp\'erience.}.  Le champ
de phase donne acc\`es au champ de vitesse par simple diff\'erentiation
(il s'agit ici d'un gradient discret)\footnote{Le
fait que l'op\'erateur champ de vitesse soit un vecteur gradient ne
signifie nullement que l'\'ecoulement soit enti\`erement superfluide
(ceci serait d'ailleurs physiquement faux m\^eme \`a l'\'equilibre
thermique, \`a temp\'erature non nulle). Expliquons-le en deux
remarques. (i) On ne confondra pas l'op\'erateur $\hat{\vv}(\rr)$ de
l'hydrodynamique quantique (qui contient toutes les fluctuations
quantiques et thermiques possibles) avec le champ de vitesse moyen
$\vv(\rr)$ de l'hydrodynamique ordinaire; en particulier, le
caract\`ere superfluide ou pas de l'\'ecoulement d\'epend du
caract\`ere irrotationnel ou pas de $\vv(\rr)$ (sans chapeau). (ii) En
g\'en\'eral, on a $\vv(\rr)\neq\langle\hat{\vv}(\rr)\rangle$ o\`u la
moyenne est prise dans l'\'etat quantique du syst\`eme, car $\vv(\rr)$
est d\'efini en termes de la densit\'e moyenne de courant de mati\`ere,
$\vv(\rr)=\langle\hat{\mathbf{j}}(\rr)\rangle/\langle
\hat{\rho}(\rr)\rangle$ avec ici $\mathbf{\hat{j}}(\rr)=
[\hat{\rho}(\rr)\hat{\vv}(\rr)+\hat{\vv}(\rr)\hat{\rho}(\rr)]/2$ (par
d\'efinition, l'\'equation d'\'evolution de $\hat{\rho}$ en point de
vue de Heisenberg s'\'ecrit
$\partial_t\hat{\rho}+\mathrm{div}\,\hat{\mathbf{j}}=0$ et celle de la
densit\'e moyenne $\rho(\rr)=\langle\hat{\rho}(\rr)\rangle$ s'\'ecrit
$\partial_t\rho+\mathrm{div}\,(\rho \vv)=0$); il serait donc faux de
croire que
$\vv(\rr)=(\hbar/m)\mathbf{grad}\langle[\hat{\phi}(\rr)-
\hat{\phi}(\rr_0)]\rangle$ (o\`u $\rr_0$ est une position de
r\'ef\'erence arbitraire) et d'en d\'eduire que $\vv(\rr)$ est
forc\'ement un vecteur gradient.}:
{\begin{equation}\label{eq2X28}
\hat{\vv}(\rr)=\frac{\hbar}{m}\mathbf{grad}\,\hat{\phi}(\rr)
\end{equation}}\unskip
L' hamiltonien s'obtient en sommant l'\'energie interne et l'\'energie
cin\'etique associ\'ee \`a la vitesse locale d'\'ecoulement du fluide
dans chaque portion:
{\begin{equation}
\label{eq1X29}
H=\sum_{\rr} \frac{1}{2} m\hat{\vv}(\rr)\cdot \hat{\rho}(\rr)\ell^3 \hat{\vv}(\rr)+\ell^3 e_0(\hat{\rho}(\rr))
\end{equation}}\unskip
En effet, $e_0(\rho)$ est ici l'\'energie volumique \`a temp\'erature
nulle du gaz homog\`ene de fermions de densit\'e $\rho$, et
$m\hat{\rho}(\rr)\ell^3$  est la quantit\'e de mati\`ere (la masse)
dans la portion centr\'ee en $\rr$.  Les \'equations du mouvement sur
$\hat{\rho}$ et $\hat{\vv}$ en point de vue de Heisenberg d\'erivant de
l'hamiltonien $H$ prennent la forme d'une \'equation de continuit\'e et
d'une \'equation d'Euler (sans terme de viscosit\'e) \`a valeur
op\'erateur\footnote{Voir la note 33 pour
l'\'equation sur $\hat{\rho}(\rr)$. L'\'equation sur $\hat{\vv}(\rr)$
s'obtient en prenant le gradient de celle sur $\hat{\phi}(\rr)$,
$\hbar\partial_t\hat{\phi}=-\mu_0(\hat{\rho})-m\hat{\vv}^2/2$ o\`u
$\mu_0(\rho)$ est la fonction potentiel chimique \`a temp\'erature
nulle comme dans l'\'equation~(\ref{eq2X30}).}, d'o\`u le nom
d'hydrodynamique quantique donn\'e \`a la th\'eorie (avec le risque de
confusion signal\'e dans la note 24). 

On l'aura compris, la grande force de cette th\'eorie effective est
qu'elle ne d\'epend pas de la nature des particules bosoniques ou
fermioniques constituant le superfluide sous-jacent, ni de leurs
interactions  (fortes ou faibles, en phase liquide ou gazeuse) pourvu
qu'elles restent \`a courte port\'ee, si ce n'est au travers de
l'\'equation d'\'etat $e_0(\rho)$ et du param\`etre de courbure
$\gamma$ \`a temp\'erature nulle. Elle s'applique donc \'egalement bien
aux gaz de bosons en interaction faible, aux gaz de fermions en
interaction forte et \`a l'h\'elium 4 liquide (syst\`eme pourtant
extr\^emement dense, d\'efiant toute th\'eorie microscopique). 


Il ne faut cependant croire au formalisme que dans une limite de basse
temp\'erature, $T\to 0$, o\`u les fluctuations spatiales de densit\'e
sont faibles et les gradients de phase aussi; on doit donc d\'evelopper
l'\'equation~(\ref{eq1X29}) jusqu'\`a l'ordre pertinent (ici l'ordre
quatre) en puissances de
{\begin{equation}
\label{eq2X29}
\delta\hat{\rho}(\rr)\equiv\hat{\rho}(\rr)-\hat{\rho}_0 \quad \mbox{et}\quad \delta\hat{\phi}(\rr)\equiv\hat{\phi}(\rr)-\hat{\phi}_0
\end{equation}}\unskip
o\`u $\hat{\rho}_0$ et $\hat{\phi}_0$ sont les composantes de Fourier
des champs $\hat{\rho}(\rr)$ et $\hat{\phi}(\rr)$ de vecteur d'onde nul
(physiquement, $\hat{\rho}_0=\hat{N}/L^3$ o\`u $\hat{N}$ est
l'op\'erateur nombre total de fermions, $L^3$ est le volume de la
bo\^ite de quantification $[0,L]^3$ et $\hat{\phi}_0$  est
l'op\'erateur phase du condensat de paires li\'ees~\cite{brouilfer}).
L'hamiltonien d\'evelopp\'e s'\'ecrit formellement
{\begin{equation}
\label{eq3X29}
H=H_0+H_2+H_3+H_4+\cdots
\end{equation}}\unskip
o\`u $H_n$ est la contribution de degr\'e total $n$ en
$\delta\hat{\rho}$ et $\delta\hat{\phi}$.

La contribution d'ordre 0 $H_0$ est une constante sans grand
int\'er\^et;  celle d'ordre 1 est exactement nulle (car
$\sum_{\rr}\ell^3\delta\hat{\rho}(\rr)=0$ par construction) et a \'et\'e
directement omise dans l'\'equation~(\ref{eq3X29}).  La contribution
quadratique $H_2$ se diagonalise par transformation de
Bogolioubov\footnote{Ladite transformation correspond
aux d\'eveloppements modaux
$\delta\hat{\rho}(\rr)=L^{-3/2}\sum_{\kk\neq\zero} \rho_{\kk}
(\hat{b}_{\kk}+\hat{b}_{-\kk}^\dagger) \exp(\ii\kk\cdot\rr)$ et
$\delta\hat{\phi}(\rr)=L^{-3/2}\sum_{\kk\neq\zero}\phi_{\kk}
(\hat{b}_{\kk}-\hat{b}_{-\kk}^\dagger)\exp(\ii\kk\cdot\rr)$ o\`u
$\rho_{\kk}=(\hbar\rho k/2 m c)^{1/2}$ et
$\phi_{\kk}=(-\ii)(mc/2\hbar\rho k)^{1/2}$ sont les amplitudes des
fluctuations quantiques de densit\'e et de phase dans le mode de
phonons de vecteur d'onde $\kk$. On notera la relation
$-\ii\omega_{\kk}\delta\rho_{\kk}-\rho(\hbar/m)k^2\phi_{\kk}=0$ impos\'ee par
l'\'equation de continuit\'e lin\'earis\'ee.}:
{\begin{equation}
\label{eq4X29}
H_2=\mathrm{cte}+\sum_{\kk\neq\zero} \hbar\omega_{\kk} \hat{b}_{\kk}^\dagger\hat{b}_{\kk}
\end{equation}}\unskip
o\`u les op\'erateurs de cr\'eation $\hat{b}_{\kk}^\dagger$ et
d'annihilation $\hat{b}_{\kk}$ d'une excitation \'el\'ementaire (un
phonon) de vecteur d'onde $\kk$  ob\'eissent aux habituelles relations
de commutation bosoniques
{\begin{equation}
\label{eq1X30}
[\hat{b}_{\kk},\hat{b}_{\kk'}]=0 \quad \mbox{et}\quad 
[\hat{b}_{\kk},\hat{b}_{\kk'}^\dagger]=\delta_{\kk,\kk'}
\end{equation}}\unskip
Le spectre obtenu est ici exactement lin\'eaire, $\omega_{\kk}=c k$, avec
la vitesse du son donn\'ee par
{\begin{equation}
\label{eq2X30}
mc^2=\rho\frac{\dd^2}{\dd\rho^2} e_0(\rho) = \rho \frac{\dd}{\dd\rho}\mu_0(\rho)
\end{equation}}\unskip
o\`u $\mu_0(\rho)$ est le potentiel chimique \`a temp\'erature nulle du
gaz de fermions de densit\'e $\rho$.  La relation (\ref{eq2X30}) est
exacte (c'est celle bien connue de l'hydrodynamique des
superfluides~\cite{tome9landau}) mais l'absence  syst\'ematique de
courbure dans le spectre n'est pas r\'ealiste physiquement: cette
pathologie vient du fait que nous avons omis dans l'hamiltonien $H$ des
corrections dites de gradient~\cite{SonWingate}; pour simplifier, comme
l'ont fait d'illustres pr\'ed\'ecesseurs~\cite{LK}, nous rempla\c{c}ons
ici $\omega_{\kk}$ dans $H_2$  \`a la main par son approximation cubique
(\ref{eq1X24}), ce que justifie d'ailleurs la
r\'ef\'erence~\cite{Annalen}. 

L'approximation $H_2$ correspond \`a un gaz parfait de phonons, et ne
peut d\'ecrire l'att\'enuation du son.  L'interaction entre phonons \`a
l'origine de leur amortissement provient des contributions cubique
$H_3$ et quartique $H_4$.  Pour all\'eger, nous donnons ici seulement
l'expression de la partie la plus utile de $H_3$, et encore en la
simplifiant, pour bien faire comprendre la physique:
{\begin{equation}
\label{eq3X30}
H_3|_{\rm simpl} = \frac{\mathcal{A}}{2L^{3/2}}\sum_{\kk,\kk',\qq} (k k' q)^{1/2} \hat{b}_{\kk}^\dagger\hat{b}_{\kk'}^\dagger\hat{b}_{\qq} \delta_{\kk+\kk',\qq} + (k' k q)^{1/2} \hat{b}_{\kk'}^\dagger\hat{b}_{\kk} \hat{b}_{\qq} \delta_{\kk',\kk
+\qq}+\cdots
\end{equation}}\unskip
avec l'amplitude constante (ind\'ependante des nombres d'onde) mise en
facteur,
{\begin{equation}
\label{eq4X30}
\mathcal{A}=(\xi/2)^{3/2}\rho^{-1/2}\left[3 mc^2+\rho^2 \frac{\dd^3}{\dd\rho^3}e_0(\rho)\right]
\end{equation}}\unskip
et $\xi=\hbar/mc$  comme pr\'ec\'edemment\footnote{La v\'eritable
amplitude de couplage d\'epend des angles entre les trois vecteurs
d'onde $\kk_i$ mis en jeu;  comme l'amortissement est en r\'ealit\'e
domin\'e \`a basse temp\'erature par des processus aux petits angles
entre  les vecteurs d'onde, \`a cause de l'effet petit d\'enominateur
d\'ecrit plus bas, nous l'avons \'ecrite directement \`a angles nuls
$\kk_i\cdot\kk_j/k_ik_j=1$.}. L'ellipse dans l'\'equation~(\ref{eq3X30})
contient des termes en $\hat{b}^\dagger\hat{b}^\dagger\hat{b}^\dagger$
et $\hat{b}\hat{b}\hat{b}$ sans grande importance car ils ne conservent
pas l'\'energie $H_2$.  Les contributions en
$\hat{b}^\dagger\hat{b}^\dagger\hat{b}$ et en
$\hat{b}^\dagger\hat{b}\hat{b}$ sont en revanche centrales dans
l'amortissement: elles correspondent respectivement  aux processus de
Belyaev (le phonon $\qq$ se d\'esint\`egre en deux phonons $\kk$ et
$\kk'$) et de Landau (le phonon $\qq$ fusionne avec un phonon $\kk$ en
un seul phonon $\kk'$), dont on peut donner la repr\'esentation
diagrammatique suivante en faisant jouer un r\^ole privil\'egi\'e au
phonon dont on  \'etudie l'amortissement:
\fxlabel{eq1X31}
{\begin{fxequation}
%{\begin{equation}
\label{eq1X31}
\begin{array}{c}
{\inlinefig{fx01}}
\end{array}
%\end{equation}}\unskip
\end{fxequation}}\unskip
Comme $H_3$ est cubique, chaque sommet du diagramme repr\'esentant son
action est le point de rencontre de trois lignes de phonons. On
pourrait proc\'eder de m\^eme avec $H_4$ (les sommets seraient alors
\`a quatre lignes) mais nous ne le ferons pas car les processus
quartiques jouent en g\'en\'eral un r\^ole sous-dominant dans
l'amortissement par rapport aux processus cubiques (par exemple, dans
l'amortissement \`a quatre phonons $\phi\phi\to\phi\phi$ pour
$\gamma&lt;0$, l'amplitude du processus direct $\kk,\qq\to\kk',\kk''$
induit par $H_4$ au premier ordre de la th\'eorie des perturbations est
en pratique n\'egligeable devant celle du processus indirect de m\^eme
\'etat initial et final $\kk,\qq\to\kk+\qq\to\kk',\kk''$ induit par
$H_3$ trait\'e au second ordre, \`a cause de l'apparition dans cette
derni\`ere d'un d\'enominateur d'\'energie tr\`es petit aux petits
angles entre $\kk$ et $\qq$)\footnote{Le d\'enominateur d'\'energie en
question $\hbar\omega_{\qq}+\hbar\omega_{\kk}-\hbar\omega_{\kk+\qq}$ serait
m\^eme exactement nul \`a angle nul sans les termes de courbure dans la
relation de dispersion (\ref{eq1X24}), ce qui montre d'ailleurs toute
la singularit\'e d'une th\'eorie \`a $\gamma=0$ (ce sur quoi nous
reviendrons dans la section~\ref{sec4.3}).}.

\subsection{Comment calculer l'amortissement des phonons?}
\label{sec4.3}

{\vspace*{3pt}}

Imaginons qu'on applique sur le gaz, initialement \`a l'\'equilibre
thermique, une br\`eve excitation de type Bragg induisant un petit
d\'eplacement coh\'erent de Glauber d'amplitude $\alpha\in\mathbb{C}^*$
dans le mode de phonons de vecteur d'onde $\qq$ sans toucher aux autres
modes, ce qui correspond donc \`a l'op\'erateur d'\'evolution unitaire
$U_{\rm
exc}=\exp(\alpha\hat{b}_{\qq}^\dagger-\alpha^*
\hat{b}_{\qq})$~\footnote{Dans une exp\'erience d'atomes froids,
l'excitation de Bragg est induite par la superposition de deux
faisceaux laser loin de r\'esonance de vecteurs d'onde $\kk_1$ et
$\kk_2$ avec $\kk_1-\kk_2=\qq$; m\^eme si les modes acoustiques $\pm
\qq$ sont initialement vides ($\hbar\omega_{\qq}\gg k_{\rm B} T$)  et
peuvent seulement recevoir des phonons, les processus Raman (\`a deux
photons) absorption d'un photon dans un faisceau laser-\'emission
stimul\'ee dans l'autre induisent les changements d'impulsion 
$\pm\hbar(\kk_1-\kk_2)=\pm\hbar\qq$ dans le gaz de fermions et excitent
en g\'en\'eral les deux modes en question; on peut cependant jouer sur
la dur\'ee de l'excitation de Bragg pour que le mode $-\qq$
sorte intact de la proc\'edure d'excitation~\cite{Cartago}.}. On a
alors, juste apr\`es l'excitation, une moyenne non nulle pour
l'op\'erateur d'annihilation correspondant:
{\vspace*{3pt}}
{\begin{equation}
\label{eq1X32}
\langle\hat{b}_{\qq}(0^+)\rangle=\alpha\neq 0
\end{equation}}\unskip
Ceci conduit \`a une modulation observable de la densit\'e moyenne du
gaz aux vecteurs d'onde $\pm\qq$ puisque
$\langle\delta\hat{\rho}(\rr,0^+)\rangle$, combinaison lin\'eaire des
$\langle\hat{b}_{\kk}(0^+)\rangle$ et des
$\langle\hat{b}_{\kk}^\dagger(0^+)\rangle$ comme dans la note
35, est alors $\neq 0$. 


Dans la limite $\alpha\to 0$, c'est-\`a-dire dans le r\'egime de
r\'eponse lin\'eaire, le formalisme des fonctions de Green \`a $N$
corps appliqu\'e \`a la th\'eorie effective de basse \'energie, donc
\`a l'hamiltonien de phonons (\ref{eq3X29}) [plut\^ot qu'\`a une
description microscopique du gaz de fermions avec potentiel
d'interaction $V(\rr_{ij})$ comme le font les
r\'ef\'erences~\cite{tome9landau,FetterW} par exemple], conduit \`a
l'expression\break exacte
{\vspace*{3pt}}
{\begin{equation}
\label{eq2X32}
\langle\hat{b}_{\qq}(t)\rangle \stackrel{t&gt;0}{=} \alpha \eee^{-\ii\omega_{\qq} t} \int_{C_+} \frac{\dd\zeta}{2\ii\rmpi} \frac{\eee^{-\ii\zeta t/\hbar}}{\zeta-\Sigma_{\qq}(\zeta)}
\end{equation}}\unskip
Dans cette expression, $C_+$ est le chemin d'int\'egration parall\`ele
\`a l'axe r\'eel dans le demi-plan complexe sup\'erieur, d\'ecrit de
droite \`a gauche (de $\re\zeta=+\infty$ \`a $\re\zeta=-\infty$), voir
la figure~\ref{fig6}, et  $\Sigma_{\qq}(\zeta)$ est la fonction \'energie
propre au vecteur d'onde $\qq$ et \`a l'\'energie complexe
$\zeta$~\footnote{Par rapport \`a la variable
\'energie $z$ habituelle (de la r\'ef\'erence~\cite{FetterW} par
exemple), la variable \'energie utilis\'ee ici est translat\'ee de
l'\'energie non perturb\'ee du mode $\qq$, $\zeta=z-\hbar\omega_{\qq}$. 
Ceci explique pourquoi  on a pu sortir le facteur de phase de
l'\'evolution non perturb\'ee dans (\ref{eq2X32}) et pourquoi
$\Sigma_{\qq}(\zeta)$ est prise en $\zeta=\ii 0^+$  dans l'approximation
(\ref{eq1X34}) \`a venir (cela correspond effectivement \`a $z
=\hbar\omega_{\qq}+\ii 0^+$).}, dont on ne conna\^it pas l'expression
explicite mais qu'on d\'efinit par son d\'eveloppement perturbatif \`a
tous les ordres en l'interaction phonon--phonon.  Ici, nous nous
limitons \`a l'interaction cubique $H_3$ (voir la section~\ref{sec4.2})
et le d\'eveloppement prend la forme diagrammatique suivante
\fxlabel{eq1X33}
{\begin{fxequation}\label{eq1X33}
%{\begin{equation}\label{eq1X33}
\begin{array}{c}
{\inlinefig{fx02}}
\end{array}
%\end{equation}}\unskip
\end{fxequation}}\unskip
o\`u l'entier $n$ donne l'ordre en $H_3$~\cite{insuffisance}.  Nous
n'indiquons que la topologie, il reste \`a sommer sur toutes les
orientations possibles mais non redondantes des lignes internes, voir
l'exemple de la portion de diagramme (\ref{eq1X31})\footnote{Dans le
premier diagramme de (\ref{eq1X33}) (\`a une boucle), (i) orienter la
ligne du haut vers la droite et la ligne du bas vers la gauche et (ii)
orienter la ligne du haut vers la gauche et la ligne du bas vers la
droite correspondent \`a la m\^eme contribution, par invariance du
diagramme par rotation d'angle $\rmpi$ autour de son axe horizontal. Il
en va de m\^eme pour la boucle interne du deuxi\`eme diagramme de
(\ref{eq1X33}), par invariance par rotation locale de cette derni\`ere.
Pour la m\^eme raison d'invariance par rotation (cette fois globale)
des diagrammes d'ordre $n=4$, on d\'ecide, pour \'eviter un double
comptage, de mettre la boucle interne dans la branche du haut et, dans
le troisi\`eme diagramme de (\ref{eq1X33}), d'orienter le pont vers le
bas.};  une valeur pr\'ecise  peut alors \^etre attribu\'ee \`a chaque
diagramme, mettant en jeu une somme sur les vecteurs d'onde et les
fr\'equences de Matsubara des lignes internes~\cite{FetterW}.

\begin{figure}
\includegraphics{fig07}
\caption{\label{fig6}Chemin d'int\'egration dans le plan complexe suivi par
l'\'equation~(\ref{eq2X32}).}
\end{figure}

{\advance\baselineskip by -.2pt Afin d'obtenir des r\'esultats explicites sur l'amortissement, on
effectue traditionnellement les deux approximations
suivantes\footnote{Notre th\'eorie effective \'etant
exacte \`a l'ordre dominant en temp\'erature, il vaut mieux ne
l'utiliser que dans la limite $T\to 0$, qui plus est en fixant le
rapport $\bar{q}=\hbar c q/k_{\rm B}T$  afin que le mode $\qq$ soit lui
aussi d\'ecrit exactement.  On a alors $\omega_{\qq}/\Gamma_{\rm th}\to
+\infty$ o\`u $\Gamma_{\rm th}=\Gamma_{q=k_{\rm B} T/\hbar c}$ est le
taux de thermalisation du gaz de phonons et $\Gamma_q$ est la fonction
(\ref{eq3X34}), puisque l'exposant $\nu$ introduit dans la
figure~\ref{fig7} page \pageref{fig7} est toujours $&gt;1$, voir le
tableau \ref{table1} page \pageref{table1}: le taux de thermalisation
$\Gamma_{\rm th}$ tend vers z\'ero plus vite que la pulsation propre
$\omega_{\qq}$ et le mode entre par d\'efinition dans le r\'egime
faiblement collisionnel.  Dans le r\'egime oppos\'e
$\omega_{\qq}\ll\Gamma_{\rm th}$ dit hydrodynamique, le gaz de phonons a
le temps d'atteindre un \'equilibre thermique local en chaque point
d'oscillation de l'onde sonore $\qq$ et l'amortissement se d\'ecrit au
moyen de coefficients de type viscosit\'e dans les \'equations
hydrodynamiques classiques d'un mod\`ele \`a deux
fluides~\cite{Khalatlivre}.}:

\begin{enumerate}[(1)]
\item l'approximation de Markov (le gaz de phonons vu par le mode $\qq$
constitue un r\'eservoir sans m\'emoire c'est-\`a-dire avec un temps de
corr\'elation n\'egligeable): on ignore la d\'ependance en \'energie de
la fonction \'energie propre comme suit (voir la note 39),
{\begin{equation}
\label{eq1X34}
\Sigma_{\qq}(\zeta)\simeq \Sigma_{\qq}(\ii 0^+)
\end{equation}}\unskip
L'int\'egrale dans l'\'equation~(\ref{eq2X32}) se calcule alors par le
th\'eor\`eme des r\'esidus (en refermant le contour par un demi-cercle
infini dans le demi-plan  complexe inf\'erieur),
{\begin{equation}
\label{eq2X34}
\langle\hat{b}_{\qq}(t)\rangle|_{\rm Markov} \stackrel{t\geq 0}{=} \alpha \eee^{-\ii\omega_{\qq} t} \eee^{-\ii \Sigma_{\qq}(\ii 0^+)t/\hbar}
\end{equation}}\unskip
La d\'ecroissance du signal est dans ce cas exponentielle, avec un taux
correspondant \`a la partie imaginaire de $\Sigma_{\qq}(\ii 0^+)$ (la
partie r\'eelle donne le changement de pulsation propre du mode).

\item  l'approximation de Born: on calcule $\im\Sigma_{\qq}(\ii 0^+)$
perturbativement au premier ordre non nul $n$ en $H_3$.  Le taux
d'amortissement des phonons $\qq$ vaut alors\footnote{Pour donner un
autre \'eclairage \`a l'approximation (\ref{eq3X34}), signalons pour
$n=2$ qu'on la retrouve exactement par la m\'ethode de l'\'equation
pilote bien connue en optique quantique (on obtient une \'equation
d'\'evolution ferm\'ee sur l'op\'erateur densit\'e $\hat{\rho}_S(t)$
d'un petit syst\`eme $S$ ---  ici le mode de phonons $\qq$ ---  coupl\'e
\`a un gros r\'eservoir $R$ --- ici les autres modes de phonons
$\kk\neq\qq$, en recourant justement \`a l'approximation de
Born--Markov)~\cite{CCTbordeaux,mon_cours} ou, plus simplement, au moyen
de la r\`egle d'or de Fermi (on calcule
$\dd\langle\hat{n}_{\qq}\rangle/\dd t$ o\`u
$\langle\hat{n}_{\qq}\rangle=\langle\hat{b}_{\qq}^\dagger\hat{b}_{\qq}\rangle$ 
est le nombre moyen de phonons dans le mode  $\qq$ hors d'\'equilibre,
en sommant les flux entrants ---  processus de population $\kk,\kk'\to
\qq$ et $\kk'\to \kk,\qq$ ---  et sortants ---  processus inverses de
d\'epopulation $\qq\to\kk,\kk'$ et $\qq,\kk\to\kk'$ ---  puis en 
lin\'earisant en l'\'ecart \`a l'\'equilibre thermique $\delta
n_{\qq}(t)\equiv \langle n_{\qq}\rangle(t)-\bar{n}_{\qq}$ juste apr\`es
l'excitation de Bragg, sous la forme $(\dd/\dd t)\delta
n_{\qq}(t=0^+)=-\Gamma_{\qq} \delta n_{\qq}(t=0^+)$).  Pour $n=4$, on
retrouve le m\^eme r\'esultat (\ref{eq3X34}) en \'etendant la r\`egle
d'or de Fermi aux ordres 
sup\'erieurs~\cite{Landaumec}.}$^,$\footnote{Il y a ici une petite subtilit\'e
math\'ematique: si le premier ordre non nul $n$ est $\geq 4$,
l'approximation de Markov ne doit plus se contenter de remplacer
$\Sigma_{\qq}(\zeta)$ par $\Sigma_{\qq}(\ii 0^+)$ mais doit l'approximer
par un d\'eveloppement limit\'e autour de $\zeta=\ii 0^+$. Par exemple,
pour $n=4$, on prend $\Sigma_{\qq}(\zeta)\simeq \Sigma_{\qq}(\ii
0^+)+\zeta\sofrac{\dd}{\dd\zeta}\Sigma_{\qq}(\ii 0^+)$ si bien qu'\`a
l'ordre 4 en $H_3$,
$\zeta-\Sigma_{\qq}(\zeta)\simeq[1-\sofrac{\dd}{\dd\zeta}\Sigma_{\qq}(\ii
0^+)][\zeta-\Sigma_{\qq}^{(2)}(\ii 0^+)-\Sigma_{\qq}^{(4){\rm eff}}(\ii
0^+)]$ avec $\Sigma_{\qq}^{(4){\rm eff}}(\ii 0^+)=\Sigma_{\qq}^{(4)}(\ii
0^+)+\Sigma_{\qq}^{(2)}(\ii 0^+)\sofrac{\dd}{\dd\zeta}\Sigma_{\qq}^{(2)}(\ii
0^+)$. Il faut alors remplacer $\Sigma_{\qq}^{(4)}(\ii 0^+)$ par
$\Sigma_{\qq}^{(4){\rm eff}}(\ii 0^+)$ dans l'expression (\ref{eq3X34})
du taux d'amortissement. Dans le cas tridimensionnel concave, ceci ne
change rien \`a $\Gamma_{\qq}|_{\mathrm{Born}\ndash\mathrm{Markov}}$ car
$\sofrac{\dd}{\dd\zeta}\Sigma_{\qq}^{(2)}(\ii 0^+)$ est une quantit\'e
r\'eelle, tout comme $\Sigma_{\qq}^{(2)}(\ii 0^+)$; dans le cas
bidimensionnel concave, la conclusion est moins \'evidente mais reste
la m\^eme, voir la note 48. En revanche, ce remplacement
doit \^etre effectu\'e dans le calcul du d\'eplacement de pulsation
thermique $\Delta_{\qq}$ du mode, $\hbar\Delta_{\qq}|
_{\mathrm{Born}\ndash\mathrm{Markov}}=\re[\Sigma_{\qq}^{(2)}(\ii 0^+)+\Sigma_{\qq}^{(4){\rm
eff}}(\ii 0^+)]-\mbox{idem}$ \`a $T=0$.}
{\begin{equation}
\label{eq3X34}
\Gamma_{\qq}|_{\mathrm{Born}\ndash\mathrm{Markov}} = -\frac{2}{\hbar} \im\Sigma_{\qq}^{(n)}(\ii 0^+)
\end{equation}}\unskip
o\`u l'exposant donne l'ordre en $H_3$.  Dans le cas d'une branche
acoustique convexe ($\gamma&gt;0$) \`a 3D, il suffit d'aller \`a l'ordre
$n=2$: c'est l'amortissement \`a trois phonons de Belyaev--Landau,
tr\`es \'etudi\'e th\'eoriquement et observ\'e dans l'h\'elium 4
liquide~\cite{Roach,hel4} et, dans une moindre mesure, dans les gaz
d'atomes froids bosoniques, seul l'amortissement de Belyaev y ayant
\'et\'e vu~\cite{NirDav}.  Dans le cas concave ($\gamma&lt;0$), il faut
aller \`a l'ordre $n=4$ (la premi\`ere contribution dans l'\'equation
(\ref{eq1X33}) est purement r\'eelle pour $\zeta=\ii 0^+$ car ses
d\'enominateurs d'\'energie, de la forme
$\hbar\omega_{\qq}+\hbar\omega_{\kk}-\hbar\omega_{\kk+\qq}$ et
$\hbar\omega_{\qq}-(\hbar\omega_{\kk}+\hbar\omega_{\qq-\kk})$, ne peuvent
s'annuler, mais les deux suivantes ne le sont pas dans les processus
$\phi\phi\to\phi\phi$); ce cas a \'et\'e peu \'etudi\'e th\'eoriquement
(la r\'ef\'erence~\cite{Annalen} a d'ailleurs relev\'e et corrig\'e une
erreur dans le calcul originel~\cite{LK}, et la
r\'ef\'erence~\cite{diffpferm} a obtenu une expression beaucoup plus
explicite du r\'esultat, le g\'en\'eralisant m\^eme \`a un potentiel
chimique de phonons $\mu_\phi$ non nul\footnote{Si l'on se limite \`a
l'ordre dominant en temp\'erature aux processus collisionnels
$\phi\phi\rightarrow\phi\phi$, le nombre de phonons devient une
quantit\'e conserv\'ee, ce qui autorise \`a prendre $\mu_\phi&lt;0$.}) et
n'a, \`a notre connaissance, jamais \'et\'e observ\'e
exp\'erimentalement (aucune mesure pr\'ecise de $\Gamma_{\qq}^{\gamma
&lt;0}$ n'a \'et\'e faite dans aucun syst\`eme). 
\end{enumerate}

 D\'eterminons la validit\'e de l'approximation de Born au moyen de
l'estimation de l'ordre $n \in 2\mathbb{N}^*$ donn\'ee dans la
r\'ef\'erence~\cite{insuffisance}:
{\begin{equation}
\label{eq1X35}
\Sigma_{\qq}^{(n)}(\ii 0^+)\approx \int\left(\prod_{i=1}^{n/2}\dd^dk_i\right) 
\frac{\langle |L^{d/2}H_3| \rangle^n}{(\Delta E)^{n-1}}\approx |\gamma|T^3 \left(\epsilon_{d{\rm D}}=\frac{T^{2d-4}}{|\gamma|^{(5-d)/2}}\right)^{n/2}
\end{equation}}\unskip
o\`u $d\geq 2$ est la dimension de l'espace.  L'\'ecriture au second
membre repr\'esente symboliquement le produit de $n$ \'el\'ements de
matrice de l'interaction cubique entre phonons au num\'erateur et le
produit de $n-1$ d\'enominateurs d'\'energie (associ\'es \`a $n-1$
\'etats interm\'ediaires) au d\'enominateur, et l'int\'egrale est prise
sur les vecteurs d'onde de phonons ind\'ependants $\kk_i$.  L'ordre de
grandeur au troisi\`eme membre est obtenu comme dans la
r\'ef\'erence~\cite{insuffisance} en se limitant aux petits angles
entre $\kk_i$ et $\qq$, en $O(|\gamma|^{1/2}T)$,  ce qui est l\'egitime
lorsque $T\to 0$~\cite{LK}; nous omettons ici la d\'ependance en la
densit\'e $\rho$, en $\xi=\hbar/mc$ et  en la constante de couplage
$\mathcal{A}$ de l'\'equation~(\ref{eq4X30}), au contraire de la
r\'ef\'erence~\cite{insuffisance}, mais nous gardons celle en le
param\`etre de courbure $\gamma$, car nous lierons bient\^ot $\gamma$
et $T$. En r\'esum\'e, le d\'eveloppement de Born est l\'egitime en
dimension $d = 3$ si son petit param\`etre tend vers z\'ero \`a basse
temp\'erature:
{\begin{equation}
\label{eq2X35}
\epsilon_{{\rm 3D}}=\frac{T^2}{|\gamma|}\underset{T\to 0}{\to} 0
\end{equation}}\unskip
Pour discuter la validit\'e de l'approximation de Markov, admettons que
le comportement de la fonction \'energie propre au voisinage de
$\zeta=\ii 0^+$ soit caract\'eris\'e par deux exposants, $\nu$ et
$\sigma$, celui donnant les valeurs typiques $\propto T^\nu$ de sa
partie imaginaire et celui donnant son \'echelle de variation typique
$\propto T^\sigma$, comme sur la figure~\ref{fig7}~\footnote{Les
exposants introduits ici diff\`erent d'une unit\'e de ceux de la
r\'ef\'erence~\cite{insuffisance} par un choix de convention
diff\'erent.}$^,$\footnote{Pour la clart\'e de l'exposition, nous avons
suppos\'e sur la figure~\ref{fig7} que la fonction repr\'esent\'ee
admet un maximum en l'origine. Ceci n'est pas n\'ecessairement vrai (le
cas bidimensionnel convexe de la r\'ef\'erence~\cite{insuffisance} en
fournit un contre-exemple, voir son \'equation (114)). La v\'eritable
d\'efinition des exposants $\nu$ et $\sigma$ est que la fonction mise
\`a l'\'echelle $\im \Sigma_{\qq}(\zeta=\bar{\zeta}mc^2(k_{\rm
B}T/mc^2)^\sigma)/[mc^2(k_{\rm B}T/mc^2)^\nu]$ admet
une limite finie et non nulle lorsque $T\to 0$ \`a \'energie complexe
r\'eduite $\bar{\zeta}$ fix\'ee ($\im\bar{\zeta}&gt;0$).}.
D'apr\`es l'\'equation~(\ref{eq3X34}), on a donc
{\begin{equation}
\label{eq3X35}
\Gamma_{\qq} \underset{T\to 0}{\approx} T^\nu
\end{equation}}\unskip
La fonction $\Sigma_{\qq}(\zeta)$ admet alors une variation en \'energie
lente (n\'egligeable) \`a l'\'echelle du taux d'amortissement (qui est
bien l'inverse du temps caract\'eristique dans l'\'equation
(\ref{eq2X32})) si elle est plus large que haute, ce qui impose
{\begin{equation}
\label{eq1X36}
\nu&gt;\sigma
\end{equation}}\unskip
L'exposant $\nu$ s'obtient par un calcul explicite du second membre de
l'\'equation~(\ref{eq3X34}) dans la limite $T\to 0$, comme il a \'et\'e
fait dans la r\'ef\'erence~\cite{Annalen} pour le cas
tridimensionnel\footnote{La r\'ef\'erence historique~\cite{LK} pour
$\gamma&lt;0$ fix\'e trouve elle aussi $\nu = 7$ mais la d\'ependance en
$q$ de $\Gamma_{\qq}$ est diff\'erente, par exemple $\Gamma_{\qq}\approx q
T^6$ dans~\cite{LK} au lieu de $q^3T^4$ dans~\cite{Annalen} lorsque
$q\to 0$.} et dans la r\'ef\'erence~\cite{insuffisance} pour le cas
convexe bidimensionnel; on peut aussi, plus simplement, utiliser
l'estimation (\ref{eq1X35}) avec $n=2$ si $\gamma&gt;0$ et $d\in\{2,3\}$,
$n=4$ si $\gamma&lt;0$ et $d=3$~\footnote{Pour
$\gamma&lt;0$ fix\'e et $d=2$, Alice Sinatra a obtenu en 2021, dans la
formulation des r\'ef\'erences~\cite{epl,Annalen}, le r\'esultat non
publi\'e que $\im\Sigma_{\qq}^{(n=4)}(\ii 0^+)=0$ \`a l'ordre $T^3$
(l'ordre dominant attendu en temp\'erature). Pour le voir, il est en
fait plus simple d'utiliser les expressions (84) et (85) de la
r\'ef\'erence~\cite{insuffisance}: (i) dans (84), on peut ignorer les
processus $\phi\leftrightarrow\phi\phi\phi$ et se limiter au processus
$\phi\phi\to\phi\phi$ (deuxi\`eme contribution), seul capable de
conserver l'\'energie-impulsion; (ii) dans l'int\'egrande de (85), on a
le droit de remplacer $\zeta$ par $0$ au num\'erateur de la grande
fraction pour la raison similaire que les processus
$\phi\leftrightarrow\phi\phi$ ne conservent pas l'\'energie-impulsion -
ceci rend le num\'erateur r\'eel ; (iii) on v\'erifie alors que, si
l'\'ecart d'\'energie mis \`a l'\'echelle $\Delta E/[k_{\rm B}T
(k_{\rm B}T/mc^2)^2]$ \`a c\^ot\'e de $\ii 0^+$ s'annule au
d\'enominateur de la grande fraction, comme l'impose le Dirac
$\delta(\Delta E)$ de la r\`egle d'or de Fermi
g\'en\'eralis\'ee~\cite{Landaumec}, le num\'erateur s'annule aussi (on
le montre en rempla\c{c}ant formellement $\gamma$ au num\'erateur par
son expression annulant $\Delta E$, une fonction rationnelle des
modules et des angles des vecteurs d'onde de phonons).   En d'autres
termes, la limite en $\zeta=0$ (mais aussi en $\zeta=-\Delta E$) de
l'amplitude de transition au num\'erateur de la grande fraction,
consid\'er\'ee comme une fraction rationnelle des angles, peut
s'\'ecrire $\Delta E\times P/Q$, o\`u les polyn\^omes $\Delta E$, $P$
et $Q$ sont deux \`a deux premiers entre eux.\tpar{}
Ce raisonnement n\'eglige cependant de possibles effets de bord dans
l'int\'egrale sur les nombres d'onde de phonons, au sens de la
r\'ef\'erence~\cite{fermi1D}, o\`u l'un des nombres d'onde tend vers
z\'ero, ce qui fait tendre vers z\'ero l'un des d\'enominateurs
d'\'energie des processus $\phi\leftrightarrow\phi\phi$. En incluant
ces effets de bords, nous trouvons que les processus
$\phi\to\phi\phi\phi$, $\phi\phi\to\phi\phi$ et $\phi\phi\phi\to\phi$,
abr\'eg\'es en $1\to 3$, $2\to 2$ et $3\to 1$ dans la
r\'ef\'erence~\cite{insuffisance}, apportent chacun une contribution
non nulle \`a $\im\Sigma_{\qq}^{(n=4)}(\ii 0^+)$ \`a l'ordre $T^3$, mais
que la somme de ces contributions donne exactement z\'ero (la
contribution du bord $q_1'+q_2'=q$ dans $2\to 2$, \`a savoir
$C\int_0^{\bar{q}}\dd\bar{k}\,(\bar{n}_k^{\rm lin}+\bar{n}_{q-k}^{\rm
lin}+1)\bar{k}(\bar{q}-\bar{k})/\bar{q}$, est compens\'ee exactement
par $1\to 3$, et celle des bords $q_1'=0$ et $q_2'=0$ dans leur
ensemble, \`a savoir $2C\int_{\bar{q}}^{+\infty}\dd\bar{k}\,
(\bar{n}_{k-q}^{\rm lin}-\bar{n}_k^{\rm
lin})\bar{k}(\bar{k}-\bar{q})/\bar{q}$, est compens\'ee exactement par
$3\to 1$; ici, $\bar{k}=\hbar c k/k_{\rm B}T$, $\bar{n}_k^{\rm
lin}=1/(\exp\bar{k}-1)$,
$\Lambda=\rho^2(\sofrac{\dd^3}{\dd\rho^3}e_0(\rho))/(3 mc^2)$
et $C=k_{\rm B}T (k_{\rm
B}T/mc^2)^2[9(1+\Lambda)^2/8\rho\xi^2]^2/
[\rmpi(3\gamma)^2]$).\tpar{}
La conclusion n'est pas chang\'ee par la correction
$\Sigma_{\qq}^{(2)}(\ii 0^+)\sofrac{\dd}{\dd\zeta}\Sigma_{\qq}^{(2)}(\ii
0^+)$ de notre note 43 car on trouve que les facteurs
$\Sigma_{\qq}^{(2)}(\ii 0^+)$ et
$\sofrac{\dd}{\dd\zeta}\Sigma_{\qq}^{(2)}(\ii 0^+)$ sont tous les deux
r\'eels. C'\'etait \'evident pour le premier facteur (les effets de
bord qu'il pr\'esente \`a 1D~\cite{fermi1D} sont supprim\'es \`a 2D par
abaissement de la densit\'e d'\'etats des phonons \`a faible nombre
d'onde). \c{C}a ne l'\'etait pas pour le second facteur: \`a cause des
effets de bord dans l'int\'egration sur $\kk$ (voir l'\'equation (39)
de la r\'ef\'erence~\cite{insuffisance}), les processus de Belyaev et
de Landau donnent chacun une contribution non nulle \`a
$\im\sofrac{\dd}{\dd\zeta}\Sigma_{\qq}^{(2)}(\ii 0^+)$ (elle vaut
$2[9(1+\Lambda)^2/8\rho\xi^2]/[\bar{q}(3|\gamma|)^{3/2}]$ pour Landau
\`a l'ordre dominant en temp\'erature) mais ces contributions sont
exactement oppos\'ees, en particulier parce que les d\'enominateurs
d'\'energie $\veps_{\qq}-(\veps_{\kk}+\veps_{\qq-\kk})$ et
$\veps_{\qq}+\veps_{\kk}-\veps_{\qq+\kk}$ sont oppos\'es $\sim\mp\hbar c
k[1-(v_q/c)\cos\theta]$ \`a l'ordre dominant en $k$
($v_q=\dd\veps_{\qq}/\hbar\dd q$ est la vitesse de groupe et $\theta$ est
l'angle entre $\kk$ et $\qq$) et entrent dans la d\'eriv\'ee de la
distribution de Dirac $\delta'(\veps)$, qui est une fonction impaire de
son argument.\tpar{}
Le cas bidimensionnel concave est donc sp\'ecial: la quantit\'e
$\im\Sigma_{\qq}^{(4){\rm eff}}(\ii 0^+)$ de la note 43 ---
consid\'er\'ee \`a tous les ordres en temp\'erature --- ne donne pas la
bonne loi d'\'echelle en temp\'erature $\propto T^3$ de la fonction
\'energie propre d'ordre 4 en $H_3$ sur un voisinage en $O(T^3)$ de
$\zeta=\ii 0^+$; elle ne donne pas non plus, d'ailleurs, le taux
d'amortissement $\Gamma_{\qq}$ puisqu'il y a \'echec des approximations
de Born et de Markov comme dans le cas bidimensionnel convexe, voir la
derni\`ere ligne de notre tableau~\ref{table1}.  Notons cependant,
toujours pour $\gamma&lt;0$, que le cas limite $\rho\xi^2\to +\infty$
d'une interaction tr\`es faible dans le superfluide sous-jacent doit
\^etre mis \`a part car on y dispose du petit param\`etre
suppl\'ementaire $1/\rho\xi^2$ aidant \`a la validit\'e de Markov
(comme dans la section 3.2 de la r\'ef\'erence~\cite{insuffisance}) et
de Born (comme dans l'\'equation (17) de cette m\^eme r\'ef\'erence);
ce cas limite est inaccessible dans un gaz de fermions de spin $1/2$ en
interaction de contact --- on y a $\rho\xi^2=O(1)$ lorsque
$\gamma&lt;0$~\cite{csdm} --- mais il l'est dans un gaz de bosons avec une
interaction de port\'ee $\gtrsim\xi$ comme l'envisage la
r\'ef\'erence~\cite{Annalen}.}. L'exposant $\sigma$ s'obtient en
g\'en\'eralisant ladite estimation au cas $\zeta\neq 0$, c'est-\`a-dire
en ajoutant $\zeta$ \`a $\Delta E$ dans (\ref{eq1X35}); or, dans un
d\'eveloppement aux petits angles entre $\kk_i$ et $\qq$, la partie de
$\Delta E$ lin\'eaire en les nombres d'onde s'annule et il ne reste que
les contributions cubiques $\approx\gamma T^3$ si bien que,
ind\'ependamment de la dimensionnalit\'e $d$,
{\begin{equation}
\label{eq2X36}
\frac{1}{\zeta+\Delta E} \approx \frac{1}{\zeta+\gamma T^3} \quad\mbox{et donc}\quad T^\sigma\approx|\gamma|T^3
\end{equation}}\unskip
en tenant compte de la d\'ependance en le param\`etre $\gamma$, ce
dernier --- nous l'avons dit --- pouvant varier en temp\'erature. La
condition de validit\'e $T^\nu=o(\gamma T^3)$ qui en r\'esulte dans
(\ref{eq1X36}) admet une interpr\'etation simple: dans la limite $T\to
0$ prise avec la loi d'\'echelle $q\approx T$, il faut que le taux
d'amortissement $\Gamma_{\qq}$ tende vers z\'ero plus vite que le terme
cubique en $q$ dans $\omega_{\qq}$, 
{\begin{equation}
\Gamma_q\stackrel{\hbar c q/k_{\rm B}T\,\mbox{\scriptsize fix\'e}}{\underset{T\to 0}{=}}o(\omega_{\qq}^{(3)})\quad\mbox{avec}\quad \omega_{\qq}^{(3)}=\gamma mc^2(q\xi)^3/8\hbar
\end{equation}}\unskip
ce qui est donc la vraie marque de la nature markovienne de
l'amortissement (plut\^ot que la condition perturbative irr\'efl\'echie
$\Gamma_{\qq}=o(\omega_{\qq})$).

\begin{figure}
{\vspace*{3pt}}
\includegraphics{fig08}
{\vspace*{3pt}}
\caption{\label{fig7}Dans la limite $T\to 0$, on admet que l'ordre de grandeur et
la largeur typique de la fonction $\im\Sigma_{\qq}(\zeta)$ pr\`es de
$\zeta=\ii 0^+$ sont caract\'eris\'es par deux lois de puissance en
temp\'erature, d'exposants $\nu$ et $\sigma$ (en tenant compte d'une
possible d\'ependance en temp\'erature du param\`etre de courbure
$\gamma$).}
{\vspace*{3pt}}
\end{figure}


La situation est r\'esum\'ee sur le tableau~\ref{table1}
ci-dessus\footnote{Dans la troisi\`eme ligne du tableau, on omet de
possibles facteurs logarithmiques $\ln(1/T)$ pour simplifier. Ces
facteurs proviennent du fait que, pour les lois d'\'echelle
$\gamma\propto T^2$ et $q\propto T$, les termes en $q^3$ et en $q^5\ln
q$ sont du m\^eme ordre de grandeur dans la relation de dispersion
(\ref{eq1X24}): dans ce r\'egime de faible courbure, la contribution
logarithmico-quintique \`a $\omega_{\qq}$ n'est donc plus une petite
correction et doit \^etre gard\'ee.}. L'approximation de Born--Markov est
donc utilisable en dimension 3, sauf sur un \'etroit intervalle de
valeurs de $\gamma$, de largeur $\approx (k_{\rm B}T/mc^2)^2$ autour de
$\gamma = 0$; en $\gamma = 0$, la relation de dispersion des phonons
(\ref{eq1X24}) a d'ailleurs un premier \'ecart quintique \`a la loi
lin\'eaire $cq$, ce qui, on le sent bien, est un cas sp\'ecial.  


\begin{table}
\caption{\label{table1}Dans l'\'etude de l'amortissement des phonons
d'un superfluide, validit\'e de l'approximation de Born--Markov dans la
limite de basse temp\'erature $T\to 0$ selon la dimension de l'espace
$d$ et le param\`etre de courbure $\gamma$ de la branche acoustique
(plus pr\'ecis\'ement son signe et sa variation en temp\'erature, la
troisi\`eme ligne valant quel que soit le signe de $\gamma$).}
\begin{tabular}{cccccc}
\thead
&amp; $\nu$ &amp; $\sigma$ &amp; Markov &amp; $\epsilon_{d{\rm D}}$ &amp;  Born \\
\endthead
$d=3,\gamma&gt;0$ \mbox{fix\'e}&amp; 5 &amp; 3 &amp; oui &amp; $\approx T^2\to 0$ &amp; oui \\
$d=3,\gamma&lt;0$ \mbox{fix\'e}&amp; 7 &amp; 3 &amp; oui &amp; $\approx T^2\to 0$ &amp; oui \\
$d=3,\gamma=O(T^2)$ &amp; 5 &amp; 5 &amp; non &amp; $\approx T^0\not\to 0$ &amp; non \\
$d=2,\gamma&gt;0$ \mbox{fix\'e}&amp; 3 &amp; 3 &amp; non &amp; $\approx T^0\not\to 0$ &amp; non
\botline
\end{tabular}
\tabnote{Les
exposants $\nu$ et $\sigma$ entrant dans la d\'efinition (\ref{eq1X36})
du r\'egime markovien sont ceux de la figure~\ref{fig7}, et le petit
param\`etre du d\'eveloppement de Born $\epsilon_{d{\rm D}}$ est
donn\'e dans l'\'equation~(\ref{eq1X35}).}
\end{table}


Le calcul pr\'ecis du taux d'amortissement $\Gamma_{\qq}$ (ou ce qui en
tient lieu pour une d\'ecroissance non exponentielle, comme l'inverse
de la largeur de $|\langle\hat{b}_{\qq}(t)\rangle|^2$ \`a la hauteur
relative $1/\eee$) pour ces faibles valeurs de la courbure constitue,
\`a notre connaissance, une question ouverte; elle est d'une grande
pertinence exp\'erimentale, la force des interactions annulant $\gamma$
\'etant semble-t-il proche de la limite unitaire (voir la
r\'ef\'erence~\cite{PRAconcav} et notre section~\ref{sec5.1}), point de
pr\'edilection des exp\'eriences sur les atomes froids car dans un
r\'egime de valeurs assez \'elev\'ees de $T_{\rm c}/T_{\rm F}$ et de 
propri\'et\'es collisionnelles propices au refroidissement par
\'evaporation~\cite{Shlyap}. 


Pour faire bonne mesure, nous avons aussi consid\'er\'e le cas
bidimensionnel convexe dans le tableau~\ref{table1}: l'approximation de
Born--Markov y \'echoue, et la r\'ef\'erence~\cite{insuffisance} a d\^u
faire appel \`a une approximation heuristique non perturbative sur la
fonction \'energie propre $\Sigma_{\qq}(\zeta)$ pour arriver \`a un bon
accord avec des simulations de champ classique (op\'erateurs
$\hat{b}_{\qq},\hat{b}_{\qq}^\dagger$ de l'hydrodynamique quantique
remplac\'es par des nombres complexes $b_{\qq},b_{\qq}^*$), ceci dans le
r\'egime d'interaction faible $\rho\xi^2\gg 1$ du superfluide bosonique
sous-jacent, o\`u l'on pensait pourtant disposer d'un petit param\`etre
assurant le succ\`es de la r\`egle d'or de Fermi m\^eme dans la limite
$k_{\rm B}T/mc^2\to 0$ (cette attente raisonnable, confirm\'ee dans la
section 3.2 de la r\'ef\'erence~\cite{insuffisance} \`a l'ordre deux en
$H_3$, est infirm\'ee dans la section 4.3 de cette m\^eme r\'ef\'erence
par un calcul \`a l'ordre quatre)\footnote{Nous n'avons pas parl\'e
ici du cas tr\`es particulier de la dimension $d=1$, o\`u deux vecteurs
d'onde font un angle tr\`es petit (nul!) d\`es qu'ils sont de m\^eme
sens. Disons simplement que le petit param\`etre de Born reste donn\'e
par l'\'equation~(\ref{eq1X35}), obtenue pourtant sous l'hypoth\`ese
$d\geq 2$. En r\'etablissant la d\'ependance en densit\'e comme
dans~\cite{insuffisance}, nous trouvons plus pr\'ecis\'ement
$\epsilon_{1\rm D}=1/[\gamma^2\rho\xi(k_{\rm B}T/mc^2)^2]$, le
pr\'efacteur dans (\ref{eq1X35}) s'\'ecrivant $\gamma (k_{\rm
B}T)^3/(mc^2)^2$. Dans la limite de basse temp\'erature $k_{\rm
B}T/mc^2\to 0$ \`a $\rho\xi$ fix\'e consid\'er\'ee ici, $\epsilon_{1\rm
D}\to +\infty$ et il faut imm\'ediatement faire appel \`a des
approximations non perturbatives sur $\Sigma_{\qq}(\zeta)$ et
$\Gamma_{\qq}$, comme le calcul autocoh\'erent des
r\'ef\'erences~\cite{auto1,auto2}. Dans la limite oppos\'ee
d'interaction faible $\rho\xi\to+\infty$ \`a $k_{\rm B}T/mc^2$ fix\'e,
$\epsilon_{1\rm D}\to 0$ et l'on peut utiliser la r\`egle d'or de Fermi
comme dans la r\'ef\'erence~\cite{fermi1D}; plus pr\'ecis\'ement, on
s'attend \`a ce que la condition de validit\'e de la r\`egle d'or
s'\'ecrive $\rho\xi(k_{\rm B}T/mc^2)^2\gg \phi_{1\rm D}(\bar{q})$ o\`u
$\phi_{1\rm D}$ est une certaine fonction de $\bar{q}=\hbar c q/k_{\rm
B}T$, en oubliant la d\'ependance en $\gamma$ pour simplifier (\`a
$\bar{q}$ fix\'e, l'approximation de Born impose cette condition, mais
l'approximation de Markov est alors satisfaite aussi car on a
$\hbar\Gamma_{\qq}|^{\text{r\`egle}}_{\text{d'or}}
\approx\gamma[(k_{\rm B}T)^3/(mc^2)^2]\epsilon_{1\rm D}\approx k_{\rm
B}T/(\gamma\rho\xi)\ll\Delta E\approx\gamma(k_{\rm B}T)^3/(mc^2)^2$
o\`u $\Delta E$, d\'enominateur d'\'energie de Belyaev--Landau typique,
donne la largeur en $\zeta$ de la fonction \'energie propre comme dans
l'\'equation~(\ref{eq2X36})). \`A 2D, comme le montre la
r\'ef\'erence~\cite{insuffisance}, le d\'eveloppement perturbatif en
$H_3$ de la fonction \'energie propre est soumis \`a une condition de
validit\'e similaire, $\rho\xi^2(k_{\rm B}T/mc^2)^2\gg \phi_{2\rm
D}(\bar{q})$, voir son \'equation (96), mais qui, contrairement au cas
1D, ne s'obtient pas par simple comptage de puissances.}.


\subsection{Diffusion de phase du condensat de paires}
\label{sec4.4}

Une question d'ordre \`a la fois pratique et fondamental porte sur le
temps de coh\'erence du condensat de paires \`a l'\'equilibre thermique
dans un gaz de fermions parfaitement isol\'e de son environnement.

Pour un syst\`eme de fermions $\uparrow$ et $\downarrow$ infini non
polaris\'e, le temps de coh\'erence est infini, comme l'affirme le
ph\'enom\`ene de brisure de sym\'etrie $U(1)$: dans l'ensemble grand
canonique (terme $-\mu\hat{N}$ ajout\'e \`a l'hamiltonien du gaz de
fermions o\`u $\mu$ est le potentiel chimique et $\hat{N}$
l'op\'erateur nombre total de particules), le param\`etre d'ordre
complexe $\Delta(\rr,t)$ est uniforme et constant; dans l'ensemble
canonique, il \'evolue donc avec le facteur de phase non amorti
$\exp(-2\ii \mu t/\hbar)$~\footnote{Il y a un facteur 2 sous
l'exponentielle car $\Delta$ est un param\`etre d'ordre de paires alors
que $\mu$ est le potentiel chimique des fermions. Il n'y a pas de
facteur 2 dans l'\'equation~(\ref{eq1X37}) car l'op\'erateur phase
$\hat{\phi}_0$ est conjugu\'e \`a la densit\'e de fermions.},
avan\c{c}ant \`a la pulsation immuable $2\mu/\hbar$; en tout cas, le
temps de coh\'erence est infini. 


Qu'en est-il dans un syst\`eme de taille finie (bo\^ite de
quantification $[0,L]^3$, nombre total fix\'e $N$ de fermions)? Pour le
savoir, suivons la r\'ef\'erence~\cite{brouilfer} et \'ecrivons
l'\'equation d'\'evolution de l'op\'erateur phase du condensat, que
nous notons $\hat{\phi}_0$ comme dans l'\'equation~(\ref{eq2X29}), dans
le r\'egime de l'hydrodynamique quantique\footnote{Pour obtenir cette
\'equation, il a fallu \'eliminer par lissage temporel des termes en
$\hat{b}_{\qq}\hat{b}_{-\qq}$ et
$\hat{b}^\dagger_{\qq}\hat{b}^\dagger_{-\qq}$; c'est sans cons\'equence
car ils oscillent avec une p\'eriode $\approx\hbar/k_{\rm B}T$ bien
plus courte que les \'echelles de temps collisionnelles qui nous
int\'eressent ici (voir plus loin) et se moyennent donc automatiquement
\`a z\'ero.}:
{\begin{equation}
\label{eq1X37}
-\hbar\frac{\dd}{\dd t}\hat{\phi}_0 = \mu_0(\rho) + \sum_{\qq\neq\zero} \hat{b}_{\qq}^\dagger\hat{b}_{\qq} \frac{\dd}{\dd N}(\hbar\omega_{\qq}) \equiv \hat{\mu}
\end{equation}}\unskip
Au second membre, $\mu_0(\rho)=\dd E_0/\dd N$ est le potentiel chimique
des $N$ fermions dans l'\'etat fondamental d'\'energie $E_0$ \`a la
densit\'e $\rho$ et la somme sur $\qq$ peut \^etre interpr\'et\'ee
comme la d\'eriv\'ee adiabatique (comprendre aux op\'erateurs nombres
d'occupation $\hat{b}_{\qq}^\dagger\hat{b}_{\qq}$ des modes de phonons
fix\'es) par rapport \`a $N$ de la somme correspondante dans
l'hamiltonien de phonons $H_2$ (\ref{eq4X29}). Le second membre dans
son ensemble est donc la d\'eriv\'ee isentropique de l'hamiltonien par
rapport au nombre total de particules. En ce sens, il constitue un
op\'erateur potentiel chimique des fermions, d'o\`u la notation
$\hat{\mu}$ au troisi\`eme membre, et l'\'equation~(\ref{eq1X37}) n'est
autre qu'une version quantique de la fameuse seconde relation de
Josephson,  reliant la d\'eriv\'ee temporelle de la phase (classique) du
param\`etre d'ordre au potentiel chimique \`a l'\'equilibre $\mu$. 


Dans une r\'ealisation donn\'ee de l'exp\'erience, que nous supposons
correspondre \`a un \'etat propre \`a $N$ corps $|\psi_\lambda\rangle$
d'\'energie $E_\lambda$ \'echantillonnant l'ensemble canonique, les
nombres d'occupation $\hat{b}_{\qq}^\dagger\hat{b}_{\qq}$ fluctuent et se
d\'ecorr\`elent sous l'effet des collisions incessantes entre phonons
dues en particulier \`a $H_3$,  voir l'\'equation~(\ref{eq3X30}). Aux
temps assez longs pour qu'un grand nombre de collisions aient eu lieu,
on s'attend donc \`a un \'etalement diffusif de la phase du condensat,
avec un d\'ephasage al\'eatoire de variance croissant lin\'eairement en
temps:
{\begin{equation}
\label{eq1X38}
\mathrm{Var}_\lambda[\hat{\phi}_0(t)-\hat{\phi}_0(0)] \underset{\Gamma_{\rm coll}^{\phi}t\gg 1}{\sim} 2 D_\lambda t
\end{equation}}\unskip
et un coefficient de diffusion $D_\lambda$ sous-intensif,
c'est-\`a-dire $\approx 1/N$ \`a la limite thermodynamique. Ici
$\Gamma_{\rm coll}^{\phi}=\Gamma_{q=k_{\rm B}T/\hbar c}$ est le taux de
collision typique entre phonons thermiques (la fonction $\Gamma_q$
\'etant celle de l'\'equation~(\ref{eq3X34})). L'\'etalement
(\ref{eq1X38}) induit une perte de coh\'erence temporelle exponentielle
de taux $D_\lambda$, en vertu de la relation de Wick (on s'attend \`a
ce que la statistique du d\'ephasage dans $|\psi_\lambda\rangle$ soit
approximativement gaussienne~\cite{vraiediff}),
{\begin{eqnarray}
&amp;&amp;\left\langle\exp\{-\ii[\hat{\phi}_0(t)-
\hat{\phi}_0(0)]\}\right\rangle_\lambda \simeq
\exp[-\ii\langle\hat{\phi}_0(t)-\hat{\phi}_0(0)
\rangle_\lambda] \exp\{-\textstyle\frac{1}{2}
\mathrm{Var}_\lambda[\hat{\phi}_0(t)-\hat{\phi}_0(0)]\} \nonumber\\
&amp;&amp;\qquad \underset{\Gamma_{\rm coll}^{\phi}t\gg 1}{\simeq}
\exp[-\ii\langle\hat{\mu}\rangle_\lambda t/\hbar] 
\exp(-D_\lambda t)\label{eq2X38}
\end{eqnarray}}\unskip
ce que confirme d'ailleurs l'analyse par r\'esolvante de la
r\'ef\'erence~\cite{brouilfer}\footnote{Si l'on admet
que le gaz de phonons en interaction est un syst\`eme quantique
ergodique~\cite{eth1,eth2}, la moyenne
$\langle\hat{\mu}\rangle_\lambda$ dans l'\'etat stationnaire
$|\psi_\lambda\rangle$ ne d\'epend que des deux quantit\'es
conserv\'ees, l'\'energie $E$ et le nombre de particules $N$,  et
co\"incide pour un grand syst\`eme avec le potentiel chimique
microcanonique $\mu_{\rm mc}(E=E_\lambda,N)$. Si l'\'energie $E$
fluctue d'une r\'ealisation \`a l'autre de l'exp\'erience autour de la
moyenne $\bar{E}$, comme dans l'ensemble canonique, le facteur de phase
au troisi\`eme membre de l'\'equation~(\ref{eq2X38}) fluctue et conduit
\`a un brouillage gaussien en temps: la lin\'earisation de $\mu_{\rm
mc}(E,N)$ autour de $\bar{E}$ donne
$\mathrm{Var}\,[\hat{\phi}_0(t)-\hat{\phi}_0(0)]\sim[\partial_E \mu_{\rm
mc}(\bar{E},N)]^2(\mathrm{Var}\, E)t^2/\hbar^2$, effet parasite $\approx
t^2/N$ masquant rapidement la diffusion de phase (\ref{eq1X38})
$\approx t/N$~\cite{superdiff}.}.

Dans le cas $\gamma&gt;0$ d'une branche acoustique convexe, la situation
ressemble \`a celle des condensats de bosons en interaction faible bien
\'etudi\'ee dans la r\'ef\'erence~\cite{praphase}: les collisions
dominantes sont celles \`a trois phonons $\phi\leftrightarrow\phi\phi$
de Belyaev et de Landau, et $D_\lambda$ a \'et\'e calcul\'e pour le
condensat de paires de fermions \`a basse temp\'erature dans la
r\'ef\'erence~\cite{diffpferm}; nous en donnons ici l'expression
simplifi\'ee suivante, ne gardant que les lois d'\'echelle en $N$, $T$
et $\gamma$ (sous l'hypoth\`ese $\gamma=O(1)$):
{\begin{equation}
\label{eq3X38}
D_\lambda^{\gamma&gt;0} \approx N^{-1} T^4 \gamma^0
\end{equation}}\unskip
Il n'y a eu encore aucune v\'erification exp\'erimentale dans les gaz
d'atomes froids (seuls fluides quantiques suffisamment bien isol\'es
pour que la perte de coh\'erence du condensat soit intrins\`eque),
m\^eme pour les bosons. 

En revanche, dans le cas concave $\gamma&lt;0$, la question reste
largement ouverte.  La tentative de calcul de $D_\lambda$ de la
r\'ef\'erence~\cite{diffpferm}, tenant compte seulement des processus
de collision Landau--Khalatnikov \`a quatre phonons
$\phi\phi\to\phi\phi$ aux petits angles, de taux typique $\Gamma_{\rm
coll}^{\phi}\propto (k_{\rm B}T/mc^2)^7mc^2/\hbar|\gamma|\approx T^7$,
a conduit \`a un coefficient de diffusion infini,
{\begin{equation}
\label{eq1X39}
D_\lambda^{\gamma&lt;0} = +\infty
\end{equation}}\unskip
plus pr\'ecis\'ement \`a une loi d'\'etalement superdiffusive
(simplifi\'ee comme dans (\ref{eq3X38}))\footnote{Dans tous les cas,
voir les \'equations (\ref{eq3X38}) et (\ref{eq2X39}), on trouve bien
qu'il n'y a pas d'\'etalement de phase \`a la limite thermodynamique
$N\to +\infty$: dans un gaz isol\'e, le temps de coh\'erence limit\'e
du condensat est un effet de taille finie.}
{\begin{equation}
\label{eq2X39}
\mathrm{Var}_\lambda^{\gamma&lt;0} [\hat{\phi}_0(t)-\hat{\phi}_0(0)] \approx N^{-1} T^{20/3} |\gamma|^{1/3} t^{5/3}
\end{equation}}\unskip
en particulier parce que les collisions $\phi\phi\to\phi\phi$
conservent le nombre total de phonons $N_\phi$ (au contraire de
$\phi\leftrightarrow\phi\phi$)\footnote{$N_\phi$ doit alors \^etre
ajout\'e \`a la liste des constantes du mouvement, \`a c\^ot\'e de $E$
et $N$, dans la note 53.}$^,$\footnote{Le fait que, pour
$\gamma&lt;0$, le taux d'amortissement des phonons $\Gamma_{\qq}$ tende vers
z\'ero comme $q^3$ (au lieu de $q$ pour $\gamma&gt;0$) joue aussi un
r\^ole; cependant, sans la conservation de $N_\phi$, il conduirait \`a
une loi d'\'etalement en $t\,\ln t$ marginalement superdiffusive (voir
l'\'equation (C.20) de la r\'ef\'erence~\cite{diffpferm} et la
moralit\'e \'enonc\'ee apr\`es son \'equation (72)).}. Aller au-del\`a
et obtenir la vraie valeur (a priori finie) de $D_\lambda$ reste une
question ouverte: il faudrait tenir compte des processus sous-dominants
\`a cinq phonons $\phi\phi\leftrightarrow\phi\phi\phi$ qui changent
$N_\phi$ et se produisent \`a un taux $\approx T^9$~\cite{Khalat}, de
m\^eme ordre de grandeur que celui des processus $\phi\phi\to\phi\phi$
aux grands angles~\cite{LK,Annalen}, ce qui n'est pas 
ais\'e\footnote{La publication~\cite{diffpferm}, comprenant mal la
r\'ef\'erence~\cite{Khalat}, y avait vu un taux d'amortissement \`a
cinq phonons en $T^{11}$.  Erreur corrig\'ee ici.  En effet, la
r\'ef\'erence~\cite{Khalat}, consid\'erant un quasi-\'equilibre
thermique avec un petit potentiel chimique de phonons non nul
$\mu_\phi\to 0^-$, obtient l'\'equation d'\'evolution $L^{-3}\dd
N_\phi/\dd t=-\Gamma_\phi\mu_\phi$ sur le nombre moyen de phonons, o\`u
$\Gamma_\phi\approx T^{11}$ n'est pas le taux cherch\'e malgr\'e les
apparences;  comme $L^{-3}\dd N_\phi/\dd t\approx T^2\dd\mu_\phi/\dd t$
pour la loi de Bose $\bar{n}_{\qq}=1/\{\exp[(\hbar c q -\mu_\phi)/k_{\rm
B}T]-1\}$, on a en fait $-\dd\mu_\phi/\dd t\propto
(\Gamma_\phi/T^2)\mu_\phi$, de taux $\approx T^9$.}.}


\section{Questions ouvertes requ\'erant une th\'eorie microscopique du probl\`eme \`a $N$ corps}
\label{sec5}

L'hydrodynamique quantique de la section~\ref{sec4} n'est qu'une
th\'eorie effective de basse \'energie.  Elle pr\'esente donc des
limitations de deux types, que nous passons ici bri\`evement en revue,
et qui emp\^echent de faire l'\'economie d'un calcul microscopique \`a
$N$ corps. 

\subsection{D\'eterminer les ingr\'edients de l'hydrodynamique quantique}
\label{sec5.1}

L'hydrodynamique quantique fait intervenir deux quantit\'es qui lui
sont ext\'erieures, l'\'equation d'\'etat du gaz de fermions non
polaris\'e \`a temp\'erature nulle (au travers de l'\'energie volumique
$e_0(\rho)$ ou du potentiel chimique $\mu_0(\rho)$ --- sa d\'eriv\'ee ---
\`a la densit\'e $\rho$) et le param\`etre de courbure $\gamma$ de la
branche acoustique (\ref{eq1X24}). 

Dans le pr\'esent cas de masses \'egales $m_\uparrow=m_\downarrow=m$,
l'\'equation d'\'etat a \'et\'e mesur\'ee
exp\'erimentalement~\cite{Salomon,mit} et diff\'erentes m\'ethodes de
calcul approch\'ees donnent des r\'esultats satisfaisants, comme le
Monte-Carlo quantique diffusif \`a surface nodale
fix\'ee~\cite{Giorgini,Gezerlis} ou l'approximation des fluctuations
gaussiennes dans une formulation de champ par int\'egrale de
chemin~\cite{Randeria,Drummond}. 

La situation est beaucoup plus ouverte pour le param\`etre de courbure
$\gamma$.  L'approximation de la phase al\'eatoire d'Anderson
(RPA)~\cite{Anderson}, \'equivalente pour ce probl\`eme au calcul des
pulsations propres des \'equations BCS d\'ependant du temps
lin\'earis\'ees ou m\^eme \`a l'approximation des fluctuations
gaussiennes pourtant plus
performante~\cite{Strinati,Randeria}\footnote{Ces diff\'erentes
approches conduisent exactement \`a la m\^eme \'equation implicite
liant la pulsation propre $\omega_{\qq}$, le potentiel chimique $\mu$ et
le param\`etre d'ordre $\Delta$, et exactement \`a la m\^eme \'equation
liant $\mu, \Delta$ et la longueur de diffusion $a$  dans l'onde
$s$~\cite{PRAconcav}; elles diff\`erent seulement par l'\'equation
d'\'etat $\mu=\mu_0(\rho)$ reliant $\mu$ \`a $\rho$ dans l'\'etat
fondamental, celle des fluctuations gaussiennes \'etant la plus
pr\'ecise.  Par exemple, \`a la limite unitaire $a^{-1}=0$, les
approches donnent toutes $mc^2/\mu=2/3$ (c'est exact par invariance
d'\'echelle, $\mu_0(\rho)\propto \rho^{2/3}$  dans l'\'equation
(\ref{eq2X30})), $|\Delta|/\mu\simeq \mbox{1,16}$ (proche de la valeur
exp\'erimentale $\mbox{0,44} E_{\rm F}/\mbox{0,376} E_{\rm F}\simeq 
\mbox{1,17}$
sachant que $|\Delta|=E_{\rm paire}/2$ dans ces th\'eories et que
$E_{\rm paire}/2E_{\rm F}\simeq \mbox{0,44}$ dans
l'exp\'erience~\cite{Ketterle}) mais le rapport $\mu/E_{\rm F}\simeq
\mbox{0,376}$ dans l'exp\'erience~\cite{mit}, tr\`es mal reproduit $\simeq
\mbox{0,59}$ par la RPA et BCS, est bien meilleur $\simeq \mbox{0,40}$ dans les
fluctuations gaussiennes.},  conduit \`a une expression analytique assez
simple de $\gamma$  en termes de $\mu/|\Delta|$ et
$(\partial\mu/\partial|\Delta|)_a$, exacte $\gamma\to 1$ dans la limite
$k_{\rm F}a\to 0^+$ d'un condensat de dim\`eres, raisonnable dans la
limite BCS $k_{\rm F}a\to 0^-$ ($\gamma\to -\infty$ exponentiellement
en $1/k_{\rm F}|a|$ sous l'effet de l'\'ecrasement de la branche
acoustique par le continuum de paire bris\'ee) et pr\'esentant une
annulation avec changement de signe pour $|\Delta|/\mu\simeq \mbox{0,87}$,
soit $1/k_{\rm F}a\simeq -\mbox{0,14}$ pour l'\'equation d'\'etat assez
approximative de la th\'eorie BCS, un changement de signe proche de la
limite unitaire en tout cas~\cite{PRAconcav}.

En particulier, $\gamma$ a m\^eme valeur positive \`a la limite
unitaire dans ces trois approches (branche acoustique de d\'epart
convexe):
{\begin{equation}
\label{eq1X41}
\gamma_{a^{-1}=0}^{\rm RPA}\simeq 0{,}084
\end{equation}}\unskip
L'erreur commise est cependant non contr\^ol\'ee, et l'on n'est m\^eme
pas s\^ur du signe. 

Une m\'ethode compl\`etement diff\'erente proc\`ede par extension du
probl\`eme \`a une dimension spatiale $d$ quelconque puis
d\'eveloppement autour de la dimension quatre, en puissances donc du
petit param\`etre $\epsilon=4-d$.  \`A la limite unitaire, elle conduit
elle aussi \`a un d\'epart convexe~\cite{Rupak}\footnote{Nous avons
obtenu l'expression (\ref{eq2X41}) en reportant directement
l'\'equation (50) de la r\'ef\'erence~\cite{Rupak} dans la relation de
dispersion (48) de cette m\^eme r\'ef\'erence et en utilisant la
propri\'et\'e $mc^2=2\mu/3$ exacte par invariance d'\'echelle. En
proc\'edant diff\'eremment, c'est-\`a-dire en passant par son
\'equation (52) et son r\'esultat $c_2/c_1=O(\epsilon^2)\simeq 0$ avec
$d=3$ dans son \'equation (48), on trouve la valeur assez proche
$\gamma_{a^{-1}=0}^{\rm dimension}=8/45\simeq \mbox{0,18}$.}:
{\begin{equation}
\label{eq2X41}
\gamma_{a^{-1}=0}^{\rm dimension} = \frac{1}{3}\left[1-\frac{1}{4}\epsilon+O(\epsilon^2)\right]\underset{d=3}{\stackrel{\epsilon=1}{\simeq}}\frac{1}{4}&gt;0
\end{equation}}\unskip



Exp\'erimentalement, une mesure r\'ecente de la branche acoustique par
excitation de Bragg dans un gaz d'atomes froids  fermioniques conduit
au contraire \`a un d\'epart concave \`a la limite
unitaire~\cite{Moritz}:
{\vspace*{3pt}}
{\begin{equation}
\label{eq1X42}
\gamma_{a^{-1}=0}^{\rm exp}=\frac{8\mu}{3E_{\rm F}}\zeta\simeq \zeta\quad\mbox{avec }\zeta=-0,\!085(8)&lt;0
\end{equation}}\unskip
sachant que le rapport $\mu/E_{\rm F}$ vaut $\simeq 3/8$ pour le gaz
unitaire dans l'\'etat fondamental~\cite{mit} et que $\zeta$ est le
param\`etre de courbure de la branche acoustique pour
l'adimensionnement de $q$ par $k_{\rm F}$, $\omega_{\qq}=cq(1+\zeta
q^2/k_{\rm F}^2+\cdots)$.  Mais le r\'esultat (\ref{eq1X42}) souffre de
deux  limitations~\cite{comment}: (i) un ajustement cubique de la
branche sur un intervalle de valeurs de $q$ assez \'elev\'ees,
$q/k_{\rm F}\in[\mbox{0,29}\,;\mbox{1,63}]$, plut\^ot que sur un \'etroit
voisinage de $q=0$ (pour la relation de dispersion de la RPA, par
exemple, qui pr\'esente un point d'inflexion en $q\simeq \mbox{0,5} k_{\rm
F}$, un tel ajustement, m\'elangeant aveugl\'ement des parties convexe
et concave, ne donnerait pas le bon signe de $\gamma_{a^{-1}=0}^{\rm
RPA}$), et (ii) une temp\'erature relativement \'elev\'ee,
$T=\mbox{0,128}(8)T_{\rm F}\simeq \mbox{0,8}\!T_{\rm c}$: m\^eme si l'on part de
la branche de la RPA de param\`etre $\gamma&gt;0$ dans l'\'etat
fondamental, l'hydrodynamique quantique pr\'edit un changement
thermique $\delta\gamma_{\rm th}$ de la courbure (par interaction du
mode $\qq$ avec les phonons thermiques) assez n\'egatif pour en changer
le signe:
{\vspace*{3pt}}
{\begin{equation}
\label{eq2X42}
\delta\gamma_{\rm th}\sim -\frac{8\rmpi^2}{9(3\mu/E_{\rm F})^{1/2}}\left(\frac{T}{T_{\rm F}}\right)^2\simeq -0,\!14&lt;-\gamma_{a^{-1}=0}^{\rm RPA}
\end{equation}}\unskip

La question du signe de $\gamma$ \`a la limite unitaire, qui
d\'etermine crucialement la nature \`a trois phonons ($\gamma&gt;0$) ou
\`a quatre phonons ($\gamma&lt;0$) des m\'ecanismes d'amortissement du son
dans le r\'egime faiblement collisionnel \`a basse temp\'erature, reste
donc largement ouverte\footnote{L'amortissement \'etudi\'e
exp\'erimentalement dans la r\'ef\'erence~\cite{Zwierlein_visco} est
dans le r\'egime hydrodynamique, au sens de la note 41.
Cette r\'ef\'erence ne permet donc pas de trancher.}.\looseness=1


\subsection{D\'ecrire les modes de haute fr\'equence}
\label{sec5.2}

L'hydrodynamique quantique, avec sa branche acoustique presque
lin\'eaire en le nombre d'onde $q$, ne peut d\'ecrire de mani\`ere
fiable les ondes sonores de pulsation $\omega_{\qq}&gt;mc^2/\hbar$ du
superfluide de fermions.  Ignorante de la nature composite des paires
li\'ees $\uparrow\downarrow$, elle est totalement inapplicable aux
pulsations $\omega\approx E_{\rm paire}/\hbar$, o\`u $E_{\rm paire}$
est l'\'energie de liaison d'une paire: \`a ces pulsations, les paires
peuvent se briser en deux excitations fermioniques $\chi$ (la
conservation de l'\'energie ne l'interdit plus), voir la
figure~\ref{fig4}a. 


Il faut alors avoir recours \`a une description microscopique du gaz de
fermions.  \`A temp\'erature nulle, la principale m\'ethode disponible
est celle de la th\'eorie variationnelle BCS d\'ependant du
temps~\cite{BlaizotRipka}.  Sa sp\'ecialisation au r\'egime de
r\'eponse lin\'eaire donne l'\'equation aux valeurs propres suivante
sur l'\'energie $z$ des modes de vecteur d'onde $\qq$:
{\vspace*{3pt}}
{\begin{equation}
\label{eq1X43}
\mathrm{det}\, M(\qq,z)=0\quad\mbox{avec } M(\qq,z)=
\begin{pmatrix} M_{|\Delta||\Delta|}(\qq,z) &amp; M_{|\Delta|\theta}(\qq,z)\\[5pt] 
M_{\theta|\Delta|}(\qq,z) &amp; M_{\theta\theta}(\qq,z)\end{pmatrix}
\end{equation}}\unskip
o\`u les coefficients de la matrice $2\times 2$ correspondent \`a une
r\'eponse en le module $|\Delta|$ ou en la phase $\theta$ du
param\`etre d'ordre complexe $\Delta(\rr,t)$.  Dans la limite BCS
d'interaction faible $k_{\rm F}a\to 0^-$, les \'el\'ements non
diagonaux sont habituellement n\'eglig\'es (\`a juste titre) et la
dynamique se d\'ecouple en mode de module et mode de phase; dans le cas
g\'en\'eral, cette distinction ne vaut\break plus. 
{\pagebreak}


L'exploration des solutions de l'\'equation~(\ref{eq1X43}) a
commenc\'e. \`A nombre d'onde $q$ fix\'e, on trouve sous le bord
$\veps_{\qq}^{\rm bord}$ du continuum de paire bris\'ee  au plus une
racine,  celle $\hbar\omega_{\qq}$ de la branche acoustique.  Sur
l'intervalle $z\in\mathop{]}\veps_{\qq}^{\rm bord},+\infty\mathop{[}$, la fonction
$\mathrm{det}\, M(\qq,z)$ admet une ligne de coupure\footnote{Les
\'el\'ements de matrice de $M(\qq,z)$ comportent une int\'egrale sur le
vecteur d'onde $\kk$ d'un des fragments de dissociation d'une paire
li\'ee du condensat, avec dans l'int\'egrande le d\'enominateur
d'\'energie correspondant $z-(\veps_{\kk}+\veps_{\qq-\kk})$; par
d\'efinition, le d\'enominateur peut donc s'annuler quand $z$
appartient au continuum de paire bris\'ee, voir la l\'egende de la
figure~\ref{fig4}.}, il faut mettre un d\'ecalage infinit\'esimal $\ii
0^+$ dans $z$ pour lui donner un sens; elle acquiert alors une partie
imaginaire, qu'on n'arrive pas \`a annuler simultan\'ement avec la
partie r\'eelle, et l'\'equation~(\ref{eq1X43}) n'admet pas de
solution.  En revanche, on peut en trouver une, complexe $z_{\qq}$ de
partie imaginaire non infinit\'esimale $&lt;0$, en prolongeant
analytiquement la fonction $z\mapsto\mathrm{det}\, M(\qq,z)$ du
demi-plan complexe sup\'erieur au demi-plan inf\'erieur \`a travers sa
ligne de coupure (ce qu'indique la fl\`eche $\downarrow$ en indice):
{\begin{equation}
\label{eq1X44}
\mathrm{det}M_{\downarrow}(\qq,z_{\qq})=0\quad\mbox{avec }  \im z_{\qq}&lt;0
\end{equation}}\unskip
Il existe donc un mode collectif dans le continuum, qui s'amortit
exponentiellement en temps par \'emission de paires bris\'ees.  Le
calcul a \'et\'e fait d'abord dans la limite BCS $k_{\rm F}a\to 0^-$,
aussi bien pour des fermions neutres que pour les \'electrons d'un
supraconducteur, dans la r\'ef\'erence~\cite{AndrianovPopov}.  Il a
\'et\'e ensuite g\'en\'eralis\'e aux gaz d'atomes froids fermioniques
pour une valeur quelconque de $k_{\rm F}a$, sans qu'on puisse plus
n\'egliger les \'el\'ements non diagonaux $M_{|\Delta|\theta}$ et
$M_{\theta|\Delta|}$~\cite{prlhiggs,crashiggs}. La branche
d'Andrianov--Popov subsiste jusqu'\`a $1/k_{\rm F}a=\mbox{0,55}$ (point
d'annulation $\mu=0$ du potentiel chimique dans la th\'eorie BCS) et
pr\'esente toujours un d\'epart \`a $2|\Delta|$ quadratique en $q$ avec
un coefficient complexe:
{\begin{equation}
\label{eq1X45}
z_{\qq}\stackrel{\mu&gt;0}{\underset{q\to 0}{=}}2|\Delta|+
\zeta\frac{\hbar^2q^2}{4 m_*}+O(q^3) \quad (\im\,\zeta&lt;0)
\end{equation}}\unskip
o\`u $m_*$ est la masse effective d'une quasi-particule fermionique
$\chi$ \`a l'endroit $k=k_0$ de son minimum d'\'energie\footnote{On
l'aura compris, la masse effective est telle que $\veps_{\kk}-E_{\rm
paire}/2\sim\hbar^2(k-k_0)^2/2m_*$ quand $k\to k_0$. La mise \`a
l'\'echelle par $m_*$ dans l'\'equation~(\ref{eq1X45}) assure que
$\zeta$ a une limite finie et non nulle lorsque $k_{\rm F}a\to
0^-$~\cite{AndrianovPopov}. Dans ce m\^eme r\'egime, la r\'ef\'erence
pourtant connue~\cite{LV} pr\'edit un comportement fantaisiste de
$z_{\qq}$ \`a faible $q$,  avec une partie imaginaire tendant vers z\'ero
lin\'eairement en $q$, voir son \'equation (2.38). La quantit\'e
$\zeta$ n'a ici rien \`a voir avec celle de l'\'equation
(\ref{eq1X42}), il y a une co\"incidence malheureuse de notations.}.
Nous avons \'ecrit ici $2|\Delta|$ plut\^ot que $E_{\rm paire}$, o\`u
$\Delta$ est le param\`etre d'ordre \`a l'\'equilibre, m\^eme si la
th\'eorie BCS est incapable de distinguer (on a exactement $E_{\rm
paire}=2|\Delta|$ pour tout $\mu&gt;0$ dans cette th\'eorie), afin
d'\'evoquer le m\'ecanisme de Higgs~\cite{Higgs} dont on pense que le
mode collectif du continuum rel\`eve~\cite{Varma}\footnote{Comme ce
m\'ecanisme r\'esulte de la brisure de sym\'etrie $U(1)$, ici par
condensation des paires li\'ees, il doit \^etre caract\'eris\'e par
l'\'echelle d'\'energie associ\'ee au param\`etre d'ordre,
c'est-\`a-dire $|\Delta|$ \`a un facteur pr\`es; c'est bien ce que
trouve la r\'ef\'erence~\cite{Higgs}, voir son \'equation (2b). En
revanche, l'\'echelle d'\'energie $E_{\rm paire}$ est reli\'ee \`a la
brisure de paires, pas \`a leur condensation, donc n'a a priori aucun
rapport avec la branche de Higgs. Le fait d'avoir $E_{\rm
paire}=2|\Delta|$ est source de confusion et emp\^eche de d\'ecoupler
les deux ph\'enom\`enes. Il serait par ailleurs int\'eressant de voir
si la propri\'et\'e $E_{\rm paire}=2|\Delta|$ reste rigoureusement
vraie \`a temp\'erature nulle dans une th\'eorie plus \'elabor\'ee que
BCS ou dans les exp\'eriences.}; d'ailleurs, dans la limite oppos\'ee
$k_{\rm F}a\to 0^+$ d'un condensat de dim\`eres bosoniques, o\`u
$2|\Delta|\ll E_{\rm paire}\sim 2|\mu|\sim\hbar^2/ma^2$ (on a cette
fois $\mu&lt;0$), on trouve bien une branche d'excitation collective
commen\c{c}ant quadratiquement \`a $2|\Delta|$ et non pas \`a $E_{\rm
paire}$~\cite{crashiggs}. L'extension de l'\'equation~(\ref{eq1X43})
\`a temp\'erature non nulle (au-del\`a d'une simple g\'en\'eralisation
de type BCS en champ moyen, peut-\^etre insuffisante\footnote{Cette
g\'en\'eralisation n'est pas une panac\'ee, comme on le voit sur la
partie imaginaire de la branche acoustique. Pour $\gamma&gt;0$ (mais pas
pour $\gamma&lt;0$), ce reproche peut \^etre fait \`a la RPA d\'ej\`a \`a
temp\'erature nulle, puisqu'elle pr\'edit \`a tort une pulsation propre
$\omega_{\qq}$ purement r\'eelle. Cependant, \c{c}a ne semble pas \^etre
tr\`es grave car la partie imaginaire $(-1/2)\Gamma_{\qq}(T=0)\approx
q^5$ obtenue par l'hydrodynamique quantique (amortissement de Belyaev)
vient se perdre dans les termes sous-sous-dominants n\'eglig\'es dans
l'\'equation~(\ref{eq1X24}). Ce probl\`eme est plus visible \`a faible
$q$ \`a temp\'erature non nulle, o\`u $\Gamma_{\qq}(T&gt;0)$ commence
lin\'eairement en $q$ avec un coefficient en $T^4$ (l'exposant $\nu$
vaut 5 dans le tableau~\ref{table1} pour la loi d'\'echelle $q\propto
T$ de la note 41), ce dont la th\'eorie de type BCS en
champ moyen ne peut rendre compte (elle pr\'edit un coefficient en
$O[-\exp(E_{\rm paire}/2k_{\rm B}T)]$~\cite{Kulik,Tempere} puisque les
seuls nombres d'occupation thermiques qu'elle fait appara\^itre sont
ceux $\bar{n}_{\kk}=1/[\exp(\veps_{\kk}/k_{\rm B}T)+1]$ des
quasi-particules fermioniques $\chi$). En d'autres termes, la
lin\'earisation des \'equations BCS d\'ependant du temps ou, ce qui
revient au m\^eme, l'approximation des fluctuations gaussiennes prend
en consid\'eration le couplage $\phi-\chi$ mais pas le couplage
$\phi-\phi$.}) reste \`a notre connaissance une question ouverte.  

D'un point de vue exp\'erimental, dans les atomes froids ou les
supraconducteurs, l'excitation \`a des pulsations $\omega&gt;E_{\rm
paire}/\hbar$ a \'et\'e effectu\'ee seulement \`a nombre d'onde nul,
o\`u il n'y a d'apr\`es les th\'eories \`a temp\'erature nulle pas de
mode collectif du continuum, le poids spectral du mode tendant vers 0
lorsque $q\to 0$~\cite{prlhiggs}; on observe simplement aux temps longs
des oscillations du param\`etre d'ordre \`a la pulsation $E_{\rm
paire}/\hbar$ (c'est l'effet du bord non nul du continuum) qui
s'amortissent en loi de puissance $t^{-\alpha}$~\cite{Shimano,ValePRL}
par le m\^eme m\'ecanisme que l'\'etalement du paquet d'ondes gaussien
d'une particule libre en m\'ecanique quantique ordinaire (l'excitation
percussionnelle cr\'ee un \g{paquet d'ondes} de paires bris\'ees
$(\kk,-\kk)$ dans le continuum, dont l'\'evolution gouvern\'ee par la
relation de dispersion $2\veps_{\kk}$ est de mani\`ere effective
unidimensionnelle pour $k_0&gt;0$ ($\mu&gt;0$), auquel cas
$\alpha=1/2$~\cite{Volkov}, et tridimensionnelle pour $k_0=0$
($\mu&lt;0$), auquel cas $\alpha=3/2$~\cite{Gurarie})\footnote{Les
observations de la r\'ef\'erence~\cite{ValePRL} dans un gaz unitaire de
fermions \`a $T\neq 0$ soul\`event cependant plusieurs questions : (i)
l'exposant $\alpha\simeq 1\pm \mbox{0,15}$ mesur\'e est fort diff\'erent de
la valeur pr\'edite th\'eoriquement ($\alpha=1/2$ \`a la limite
unitaire), (ii) il ne peut \^etre exclu que la d\'ecroissance de
l'amplitude des oscillations soit en r\'ealit\'e exponentielle, (iii)
au contraire de l'amplitude, la pulsation des oscillations ne
pr\'esente aucune r\'eduction observable lorsque $T$ se rapproche de la
temp\'erature de transition $T_{\rm c}$ (o\`u il n'y a plus de brisure
de sym\'etrie $U(1)$ et $|\Delta|$ tend vers z\'ero) ce qui semble
incompatible avec la qualification d'oscillations de Higgs utilis\'ee
dans cette r\'ef\'erence (la pulsation mesur\'ee n'est pas
proportionnelle \`a $|\Delta|/\hbar$), mais sugg\`ere aussi une
constance de $E_{\rm paire}$ en temp\'erature assez troublante (la
pulsation mesur\'ee devrait \^etre donn\'ee par $E_{\rm paire}/\hbar$
puisque l'excitation est faite \`a $q=0$). Rappelons par ailleurs que
la temp\'erature n'est jamais tr\`es faible dans l'exp\'erience,
$T\gtrsim \mbox{0,1}T_{\rm F}$, voir notre section~\ref{sec2}, ce qui rend
la th\'eorie \`a $T=0$ stricto sensu inapplicable.}. L'observation du
mode du continuum (\`a $q&gt;0$) et la mesure pr\'ecise de sa relation de
dispersion $z_{\qq}$ restent donc \`a faire (des pistes sont donn\'ees
dans les r\'ef\'erences~\cite{prlhiggs,Bragg}). 

\section*{D\'eclaration d'int\'er\^{e}ts}
Les auteurs ne travaillent pas, ne conseillent pas, ne poss\`edent pas
de parts, ne re\k{c}oivent pas de fonds d'une organisation qui pourrait
tirer profit de cet article, et n'ont d\'eclar\'e aucune autre
affiliation que leurs organismes de recherche.


{{

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terms. The result was improved with \texttrademark DeepL Write.}

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\section{Introduction and general presentation}
\label{sece1}

This text is essentially the transcript of our 90-minute talk at the
prospective symposium ``Open questions in the quantum many-body
problem'' held at the Institut Henri Poincar\'e in Paris, from July 8
to 12, 2024, hence its style and level of precision differ from that of
a usual research article. It is more complete than the presentation on
Section~\ref{sece4} (treated briefly at the oral presentation) and on
Section~\ref{sece5} (omitted at the oral presentation due to lack of
time). Footnotes can be ignored on first reading. The presentation was
recorded and is available online on the IHP Carmin channel (click
\href{https://www.carmin.tv/fr/collections/symposium-open-questions-in-the-quantum-many-body-problem}{here}).


The system considered is inspired by experiments on cold atoms: it is a
three-dimensional two-component Fermi gas (meaning two internal states
$\uparrow$ and $\downarrow$) in an immaterial trap---made of light, at
very low temperatures in the microkelvin range. This is the worthy
descendant of laser-cooled atomic gases (in the famous ``optical
molasses'', see the 1997 Nobel Prize in Physics awarded to Steven Chu,
William Phillips and Claude Cohen-Tannoudji) and then of
evaporation-cooled gaseous atomic Bose--Einstein condensates (see the
2001 Nobel Prize in Physics awarded to Eric Cornell, Carl Wieman and
Wolfgang Ketterle). 

Compared to their illustrious predecessors, cold fermionic atomic gases
have the advantage (i) of being composed of fermions, thus covering
both possible statistics (the gas can always be ``bosonized'' by
forming strongly bound pairs $\uparrow\downarrow$) and making a direct
link with the electron systems (fermions!) of solid-state physics, (ii)
of remaining collisionally stable (weak three-body losses by
recombination to deep molecular states) even in the strongly
interacting regime as in the famous ``unitary limit'' described below
(unlike, for the moment, bosonic cold-atom gases), and (iii) of
constituting beautiful, simple and universal model systems in this
regime, thanks to the negligible range of van der Waals interactions
between $\uparrow$ and $\downarrow$ (more precisely, the associated van
der Waals length is negligible); as we shall see, this allows the
interaction to be replaced by contact conditions on the $N$-body wave
function, depending solely on the $s$-wave scattering length $a$, which
experimentalists can adjust at will by means of a Feshbach resonance,
simply by applying a well-chosen uniform magnetic field.

Our system is not unrelated to those of other presentations at the
symposium. The link is obvious with Tilman Enss's contribution on the
viscosity of strongly interacting Fermi gases~\cite{Enss}, which
complements our own. If we place our fermions in an optical lattice,
with about one particle per site (close to half-filling), we recover
the problems of strongly correlated fermions and superconductivity at
high critical temperature discussed by Antoine Georges. In a regime of
strong on-site interaction $U_{\uparrow\downarrow}$ compared to tunnel
coupling $t$ between neighboring sites, $U_{\uparrow\downarrow}\gg t$,
the system is described by a Heisenberg-type spin model Hamiltonian,
with magnetic coupling $J\propto t^2/U_{\uparrow\downarrow}$, which
links up with Sylvain Capponi's talk~\cite{Cappo}. If we return to a
uniform system (without lattice), but apply an artificial gauge field
(a fictitious magnetic field) to our fermionic yet neutral cold 
atoms---which is what experimentalists know how to do, see Sylvain
Nascimb\`ene's talk~\cite{Nascim}---we come across problems related to
the talks by Thierry Jolic\oe ur~\cite{Jolic} (on the 2D fractional
quantum Hall effect) and Carlos S\'a de Melo~\cite{SadeM} (spin--orbit
coupling in one spatial dimension). All these bridges to solid-state
physics are not so easy to build, however, because of non-conservative
parasitic effects, finite sample sizes and difficulty in getting down
to sufficiently low temperatures (in units of the Fermi temperature
$T_{\rm F}$ or the magnetic coupling temperature $J/k_{\rm B}$), see
the presentations by Wolfgang Ketterle, Sylvain Nascimb\`ene and
Antoine Georges. \looseness=-1

Let's finish with the outline of our contribution. In 
Section~\ref{sece2}, we start from reality, outlining the progress of
experiments on cold atoms since the 1980s and the situation reached in
the case of fermions. In Section~\ref{sece3}, we adopt a microscopic
point of view, of interactions replaced by contact conditions, and
review some open questions in the few-fermion problem. In 
Section~\ref{sece4}, on the other hand, we adopt a macroscopic point of view,
that of a low-energy effective theory (quantum hydrodynamics), and
review some open questions related to the interaction between phonons
(the quanta of sound waves) in the superfluid phase. Finally, in the
short Section~\ref{sece5}, we cross points of view and list some open
questions that require a microscopic theoretical treatment of the full
many-body problem.

\section{A fairly recent physical system}
\label{sece2}

Let's start by putting our Fermi gases into context, with a brief
history of cold atoms. 

The adventure began in the early 1980s with the laser cooling of
alkalis. The low temperatures reached are spectacular when expressed in
kelvins, $T\approx 1~\rmmu{\rm K}$, but the spatial densities are
unfortunately very low, $\rho\lesssim 10^{10}~{\rm at/cm}^3$, so that
the gases have very low quantum degeneracy, i.e.\ very low density in
phase space, $\rho\lambda^3\ll 1$, where $\lambda$ is the thermal de
Broglie wavelength of atoms with mass $m$: 
{\begin{equation}
\lambda=\left(\frac{2\rmpi\hbar^2}{m k_{\rm B} T}\right)^{1/2}
\end{equation}}\unskip
The effects of quantum statistics (bosonic or fermionic) are
imperceptible. 


This all changed in 1995, when Eric Cornell and Carl Wieman at
JILA~\cite{CBEJila}, shortly followed by Wolfgang Ketterle at
MIT~\cite{CBEMit}, achieved Bose--Einstein condensation (BEC), obviously
on bosonic isotopes, thanks to evaporative cooling in non-dissipative
trapping potentials with harmonic
bottoms\footnote[1]{Reference~\cite{Schreck} later succeeded, using
clever tricks, in obtaining a Bose--Einstein condensate without
evaporation, by laser cooling alone (see also
reference~\cite{Vuletic}); in particular, this involved (i) using a
narrow atomic line with low saturation to keep the temperature limit of
laser cooling~\cite{josa} as low as possible, and (ii) preventing
spontaneously emitted photons, which carry away part of the energy of
atomic motion, from depositing it back into the gas by reabsorption.}.
Transition temperatures remain in the range of laser cooling, $T_{\rm
c}^{\rm BEC}\simeq 0.1\ \mbox{to}\ 1~\rmmu{\rm K}$, but spatial densities
are considerably higher, $\rho=10^{12}\ \mbox{to}\
10^{15}~\mbox{at/cm}^3$, enabling quantum degeneracy
$\rho\lambda^3\gtrsim 1$ to be achieved. 


Finally, in 2004, evaporative cooling was successfully extended to
fermionic isotopes down to the transition temperature~\cite{Jin,Zwier};
gases with two internal states $\uparrow$ and $\downarrow$ no longer
form Bose--Einstein condensates, but condense in $\uparrow\downarrow$
pairs by the BCS mechanism~\cite{revuefer}: the attractive van der
Waals interactions between $\uparrow$ and $\downarrow$, in the presence
of a Fermi sea in each internal state, lead to the formation of bound
pairs, the famous Cooper pairs, ``composite bosons'', which can form
a condensate at sufficiently low temperatures, $T&lt;T_{\rm c}^{\rm BCS}$.
The lowest experimentally accessible temperatures are of the order of
$0.1 T_{\rm F}$, where the Fermi temperature $T_{\rm F}$ remains of the
order of a microkelvin; this is nevertheless sufficient to go below
$T_{\rm c}^{\rm BCS}$ because the interactions between $\uparrow$ and
$\downarrow$ are made very strong by means of a two-body scattering
resonance (magnetic Feshbach resonance): the transition temperature
$T_{\rm c}^{\rm BCS}$ is then a fraction of $T_{\rm F}$ and we avoid
the extreme situation of BCS superconductors, for which $T_{\rm c}^{\rm
BCS}\lll T_{\rm F}$ by several orders of magnitude. 

Let's now describe our system of fermionic cold atoms in broad outline,
in an attempt to idealize experimental reality. (i) The fermions have
two internal states $\uparrow$ and $\downarrow$; as we are not
considering here a Rabi coupling between $\uparrow$ and $\downarrow$,
our considerations also apply to the case of a mixture of two formally
spinless fermionic chemical species; for this reason, we do not assume
that the masses $m_\sigma$ of the particles are equal in the two
internal states\footnote[2]{In the case where $\uparrow$ and $\downarrow$
are two spin states of the same chemical species, we naturally have
$m_\uparrow=m_\downarrow$ in the experiment. However, by applying an
optical lattice that couples differently to the two internal states
(within a low filling factor limit), we could produce different 
effective masses $m_\sigma$. This remains to be done.} and we consider
the ratio $m_{\uparrow}/m_{\downarrow}$ as a free parameter. (ii) The
fermions are trapped either in isotropic harmonic potentials of the
same trapping angular frequency $\omega$ for the two components
$\sigma$, 
{\begin{equation}\label{eqe1X5}
U_\sigma(\rr)=\textstyle\frac{1}{2} m_\sigma\omega^2 r^2
\end{equation}}\unskip
where $\rr$ is the 3D position vector, or in the cubic quantization box
$[0,L]^3$ common to both components, with the usual periodic boundary
conditions\footnote[3]{Experimentally, flat-bottom
potentials can be produced using Laguerre--Gauss or Bessel--Gauss beams
and laser light sheets, after gravity compensation (levitation of
atoms) by a magnetic field gradient~\cite{Zoran,buxida,revbox}.}. (iii)
The van der Waals interaction between the two internal states
$\uparrow$ and $\downarrow$, shown schematically in 
Figure~\ref{fige1}a, is effectively made very strong (resonant) in $s$ wave
(relative orbital angular momentum $l=0$) by application of a suitable
magnetic field\footnote[4]{Without going into too much
detail, it should be pointed out that, to understand this resonance, it
is necessary to take into account the internal structure of the atoms
and describe their binary interaction a minima by a two-channel model,
with an open channel $V_{\rm o}(r_{12})$ interaction potential and a
closed channel $V_{\rm f}(r_{12})$ interaction potential---think of the
singlet and triplet interaction potentials of two spin-1/2 fermions. In
a collision, atoms $\uparrow$ and $\downarrow$ enter through the open
channel and, by conservation of energy, also exit through the open
channel, as their relative incoming kinetic energy is less than the
difference of dissociation limits $V_{\rm f}(+\infty)-V_{\rm
o}(+\infty)&gt;0$. As there is a coupling between the two channels,
however, the atoms virtually populate the closed channel during the
collision. The applied magnetic field $B$ induces a different Zeeman
shift in the two channels. A clever choice of $ B$ is then all that's
needed to ensure that the energy of a bound state in $V_{\rm
f}(r_{12})$---not the bare energy, but the energy shifted by the
coupling---almost coincides with the dissociation limit $V_{\rm
o}(+\infty)$, inducing a two-body scattering (or collision) resonance
in the open channel and making the scattering length $a$ diverge.} so
that the scattering length $a$ between two atoms $\uparrow$ and
$\downarrow$ (defined mathematically in Section~\ref{sece3.1}) is
sufficiently large in absolute value (it can be positive or negative)
so that 
{\begin{equation}\label{eqe1X6}
\rho^{1/3}|a|\gtrsim 1
\end{equation}}\unskip
We recall that the theory of weakly interacting Bose gases relies on
the small parameter $(\rho a^3)^{1/2}\ll 1$, see Jan Solovej's
contribution~\cite{Solov} to the symposium proceedings; condition (\ref{eqe1X6}) is
therefore, on the contrary, the mark of a strongly interacting gas. 
The scattering length $a$ is also much greater in absolute value than
the interaction range $b$, defined in Figure~\ref{fige1}a, 
{\begin{equation}
|a|\gg b
\end{equation}}\unskip
which is indeed the hallmark of a two-body scattering resonance. As $b$
is of the order of a few nanometers in the experiments, we also have 
{\begin{equation}
b\ll \rho^{-1/3},\lambda
\end{equation}}\unskip
which gives us the idea of constructing a model system, by taking the
limit of a zero-range interaction $b\to 0$ at fixed $a$, characterized
only by the algebraic length $a$. This idea will be implemented in
Section~\ref{sece3.1}. (iv) On the other hand, the interaction is not
resonant in $p$ wave (relative orbital angular momentum $l=1$), so the
$\uparrow\uparrow$ and $\downarrow\downarrow$ interactions, which occur
predominantly in this wave at low energy (due to fermionic
antisymmetry), are negligible.


\begin{figure}
\includegraphics{fig09}
\caption{\label{fige1}(a) Schematic representation of the resonant van
der Waals (more precisely, Lennard-Jones) interaction ($|a|\gg b$)
between $\uparrow$ and $\downarrow$ fermions as a function of their
relative  distance.  The potential supports at least one strongly bound
state of extension of the order of the van der Waals length $b\simeq (m
C_6/\hbar^2)^{1/4}$ and therefore of binding energy $\approx
\hbar^2/mb^2$ and, in the case of a scattering length $a&gt;0$ as in the
figure, a last energy level of extension $a$ (of binding energy
$\hbar^2/ma^2$) on ``the verge of disappearing'' (here
$m_\uparrow=m_\downarrow=m$ as in the experiments); if $a$ were large
but negative ($|a|\gg b, a&lt;0$), this weakly bound state would be on
``the verge of appearing''. (b)~The strongly bound dimer state can be
populated by three-body collisions, which causes particle losses in the
Fermi gas, known as three-body losses (the collision products carry
away the considerable binding energy $\approx \hbar^2/m b^2$ in the
form of kinetic energy and leave the trap). The arrows represent the
linear momenta before and after the collision.} 
\end{figure}



As we shall see in Section \ref{sece3}, the existence of a well-defined
model (of energy bounded from below when $b\to 0$) is a mathematically
non-trivial problem. We can already propose a necessary condition,
inspired by experimental reality. Since the van der Waals interaction
supports (at least) a two-body bound state of size $\approx b$, as
shown in Figure~\ref{fige1}a, the gas phase considered so far and seen
in experiments is only a metastable phase, temporarily escaping the
solidification predicted by the laws of equilibrium physics, a
solidification of which three-body losses are the precursors (see
Figure~\ref{fige1}b). These losses occur at a rate estimated as follows
in reference~\cite{Shlyap} for equal masses: 
{\begin{equation}
\Gamma_{\rm losses}^{\scriptsize\mbox{3-body}}\propto 
\frac{\hbar}{mb^2} \ \mbox{Proba}(\mbox{3 fermions }
\uparrow\uparrow\downarrow\mbox{ or }\downarrow\downarrow\uparrow
\mbox{ in a same ball of radius }b)
\label{eqe1X7}
\end{equation}}\unskip
The first factor represents the relevant energy scale of this
recombination process: this is the binding energy of the strongly bound
dimer formed, and the length scale $|a|\gg b$ cannot come into play.
The second factor takes into account the fact that the three-fermion
process cannot occur if one of the fermions is separated from the other
two by a distance $\gg b$, by quasi-locality in position space: the
interaction range and the size of the strongly bound dimer are both of
the order of $b$. The proportionality factor in Equation~(\ref{eqe1X7})
depends on the details of the microscopic physics. This leads to an
experimental stability condition for the Fermi gas in the $b\to 0$
limit of a contact interaction: 
{\begin{equation}
\Gamma_{\rm losses}^{\scriptsize\mbox{3-body}}\underset{b\to 0}{\to} 0
\end{equation}}\unskip
The study of this system, though gaseous, is made non-trivial by the
interaction strength. For example, since $k_{\rm F}|a|\approx 1$, where
$k_{\rm F}=(3\rmpi^2\rho)^{1/3}$ is the Fermi wave number, the superfluid
transition temperature is a priori of the order of the Fermi
temperature $T_{\rm F}=E_{\rm F}/k_{\rm B}$ (there is no other scale
available than the Fermi energy $E_{\rm F}=\hbar^2k_{\rm F}^2/2m$) and
will be difficult to calculate accurately: BCS theory will be
qualitative at best, and quantum Monte Carlo methods are difficult to
apply to fermions; the challenge has, however, been met by
reference~\cite{SvisunovTc}, in the symmetric case of equal masses and
chemical potentials in the two components, where Monte Carlo methods
free of the famous ``sign problem'' exist.

\section{Open questions from a microscopic point of view}
\label{sece3}

In this section, fermion interactions are replaced in a zero-range
limit by contact conditions on the $N$-body wave function, the
Hamiltonian operator then reducing to that of the ideal gas
(Wigner--Bethe--Peierls model~\cite{Wigner,BethePeierls}). 

\subsection{Defining the Wigner--Bethe--Peierls model}
\label{sece3.1}

To build the model, let's start from the simple perception that a
photograph of the gas would give us, i.e.\ a measurement of the
positions of the $N$ fermions, as quantum gas microscopes have recently
been able to do in the homogeneous case~\cite{Tarik}. In the limit
where the interaction range $b$ tends to zero, the typical photograph
looks like Figure~\ref{fige2}a: the fermions are separated two by two
by a distance $\gg b$ and the interaction potential $V(\rr_i-\rr_j)$ is
negligible. The $N$-body wave function obeys in this case the
stationary Schr\"odinger equation 
{\begin{equation}\label{eqe1X9}
E\psi = H_{\text{ideal gas}}\psi
\end{equation}}\unskip
with the Hamiltonian operator of the ideal gas, the sum of the kinetic
energy $\pp^2/2m_\sigma$ and trapping $U_\sigma(\rr)$ terms in each
internal state $\sigma$:
{\begin{equation}\label{eqe2X9}
H_{\text{ideal gas}}=\sum_{i=1}^{N_\uparrow}\left(\frac{\pp_i^2}{2m_\uparrow} + U_\uparrow(\rr_i)\right) + \sum_{j=N_\uparrow+1}^{N}\left(\frac{\pp_j^2}{2m_\downarrow} + U_\downarrow(\rr_j)\right)
\end{equation}}\unskip
It is convenient here to number the particles so that the first
$N_\uparrow$ are in internal state $\uparrow$ and the last
$N_\downarrow$ are in internal state $\downarrow$; the wave function
$\psi(\rr_1,\ldots,\rr_N)$ is then an antisymmetric function of the
first $N_\uparrow$ positions and an antisymmetric function of the last
$N_\downarrow$ positions. 
Some pictures, however, will resemble Figure \ref{fige2}b: two fermions
$i$ and $j$, of different internal states, respectively $\uparrow$ and
$\downarrow$, are separated from the others by a distance $\gg b$ but
are separated from each other by a distance $\approx b$ and are
therefore affected by the interaction potential $V(\rr_i-\rr_j)$. The
correct way of looking at this is to say that $i$ and $j$ are
undergoing isolated two-body scattering in the gas, which has two
consequences, one qualitative, the other quantitative.

\begin{figure}
\includegraphics{fig10}
\caption{\label{fige2}Photograph of the Fermi gas showing the positions (stars) of
the $N$ fermions, as would be obtained with a quantum gas microscope,
in the limit of an interaction range $b\to 0$ (for illustrative
purposes, we have surrounded each star with a circle of diameter $b$).
(a) Typical case: the particles are separated by a distance $\gg b$ and
do not interact. This sets the Hamiltonian operator (\ref{eqe2X9}) of
the Wigner--Bethe--Peierls model. (b) Case where two particles $\uparrow$
and $\downarrow$, well separated from the others, undergo a binary
collision. This sets the contact conditions (\ref{eqe1X12}) of the
model. (c) Case of an isolated ternary collision. This raises the
question of the need for three-body contact conditions.}
\end{figure}

Qualitatively, we understand that in our very low density gas (in the
sense of $\rho b^3\ll 1$), it is better to characterize the interaction
between $\uparrow$ and $\downarrow$ by its two-body scattering
amplitude, more generally by a transmission operator known as the $T$
matrix, than by the function $V(\rr)$ itself; as the interaction occurs
in the $s$ wave, the scattering amplitude $f$ is isotropic and depends
only on the relative wave number $k_{\rm rel}$ of the two particles; in
the limit $b\to 0$ at a fixed scattering length $a$, we then have the
low-energy expansion\footnote[5]{If $V(\rr)$ decays faster than $1/r^7$ at
infinity, we can put an $O(k_{\rm rel}^4b^3)$ in the denominator.} 
{\begin{equation}
\label{eqefk}
f_{k_{\rm rel}} = \frac{-1}{a^{-1}+\ii k_{\rm rel}-(1/2) k_{\rm rel}^2 r_{\rm e} + O(k_{\rm rel}^3b^2)}
\end{equation}}\unskip
We assume in the following that the effective range $r_{\rm e}$ of the
interaction is $O(b)$ and therefore becomes negligible as $b\to
0$~\footnote[6]{Experimentally, however, there are
so-called narrow magnetic Feshbach resonances, for which negative
$r_{\rm e}$ is gigantic on the atomic scale and can be of the order of
$1/k_{\rm F}$, due to an unusually weak coupling between the open and
closed channels of our note 4, see reference~\cite{Gur}.
These resonances are difficult to use, as they require very good
control of the magnetic field. The existence of a non-zero effective
range as $b\to 0$, however, has the advantage of stabilizing the gas in
the unstable regime of Section~\ref{sece3.2} (the spectrum remains
bounded from below and the three-body loss rate (\ref{eqe1X7}) tends to
zero), and should enable the preparation and observation of long-lived
Efimovian bound states, provided the mass ratio
$m_\uparrow/m_\downarrow$ is large enough. The experiment remains to be
done.}. So the scattering amplitude reduces to the universal form for a
contact interaction 
{\begin{equation}\label{eqe2X10}
f_{k_{\rm rel}}^{\rm contact}=\frac{-1}{a^{-1}+\ii k_{\rm rel}}
\end{equation}}\unskip

Quantitatively, we expect the two nearby $\uparrow$ and $\downarrow$
fermions to decouple from the $N-2$ others in the $N$-body wave
function, in the sense that 
{\begin{equation}\label{eqe3X10}
\psi(\rr_1,\ldots,\rr_N) \underset{r_{ij}=O(b)}{\simeq} \phi(\rr_i-\rr_j) A_{ij}(\RR_{ij}; (\rr_k)_{k\neq i,j})
\end{equation}}\unskip
where $\RR_{ij}=(m_\uparrow\rr_i+m_\downarrow
\rr_j)/(m_\uparrow+m_\downarrow)$ is the center of mass position of the
particles $i$ and $j$, $\rr_{ij}=\rr_i-\rr_j$ is their relative
position, $(\rr_k)_{k\neq i,j}$ is the $(N-2)$-uplet of the positions
of the other particles, the function $A_{ij}$ is generally not known,
and $\phi(\rr)$ is a two-body scattering state, solution of
Schr\"odinger equation 
{\begin{equation}\label{eqe1X11}
\veps\phi(\rr)= -\frac{\hbar^2}{2 m_{\rm rel}} \Delta \phi(\rr) + V(\rr)\phi(\rr)
\end{equation}}\unskip
for the relative motion of mass $m_{\rm rel}=m_\uparrow
m_\downarrow/(m_\uparrow+m_\downarrow)$ at an energy $\veps$ given in
reference~\cite{Gen} (see its Equation~(85)) but which we will retain
only as $\approx \hbar^2 k_{\rm typ}^2/2 m_{\rm rel}$, where the
typical wave number $k_{\rm typ}$ in the gas is of the order of $k_{\rm
F}$ for $T=O(T_{\rm F})$. In the limit $b\to 0$, it is in fact
sufficient to analyze Equation~(\ref{eqe1X11}) in the interval
{\begin{equation}\label{eqe2X11}
b\ll r \ll k_{\rm typ}^{-1}
\end{equation}}\unskip
with the case $r\leq b$ providing only non-universal details of the
interaction and the case $r&gt;k_{\rm typ}^{-1}$ invalidating the
factorization (\ref{eqe3X10}) (the pair $ij$ is no longer well isolated
as in the photo in Figure~\ref{fige2}b). The first inequality in
Equation~(\ref{eqe2X11}) allows $V(\rr)$ to be set to zero in the
right-hand side, and the second allows energy $\veps$ to be set to zero
in the left-hand side of Equation~(\ref{eqe1X11}), hence the simplified
Schr\"odinger equation 
{\begin{equation}
0=-\frac{\hbar^2}{2 m_{\rm rel}} \Delta \phi(\rr)
\end{equation}}\unskip
Its general solution in the $s$ wave (rotationally symmetric) is a
linear combination of the constant solution $1$ (the incoming wave of
zero energy) and the Coulomb solution (the scattered wave) with a
relative amplitude fixed by $V(\rr)$ at short distances: 
{\begin{equation}\label{eqe4X11}
\phi(\rr)=\mathcal{N}\left(1-\frac{a}{r}\right) = \frac{1}{a}-\frac{1}{r}
\end{equation}}\unskip
By definition, see Jan Solovej's contribution~\cite{Solov}, the
quantity $a$ is the scattering length of the potential. In the third
expression, we have chosen the convenient normalization (factor
$\mathcal{N}$ taken equal to $1/a$ in the second expression) to have a
finite result at the $a^{-1}=0$ scattering resonance. 
 

We thus arrive naturally at the definition of the Wigner--Bethe--Peierls
model for our three-dimensional system of $(N_\uparrow,N_\downarrow)$
two-component fermions with zero-range interaction and $s$-wave
scattering length $a\neq 0$: 
\begin{enumerate}[(1)]
\item the Hamiltonian operator is the same as that of the ideal gas, as
in Equations (\ref{eqe1X9}), (\ref{eqe2X9}) \item there is fermionic
antisymmetry of the state vector $\psi$ for the first $N_\uparrow$ and
for the last $N_\downarrow$ positions
\item the interaction is described not by a potential $V$ but by the
following contact conditions on $\psi$: for any index
$i\in\{1,\ldots,N_\uparrow\}$ and any index
$j\in\{N_\uparrow+1,\ldots,N=N_\uparrow+N_\downarrow\}$, there exists a
function $A_{ij}$ such that\footnote[7]{The functions $A_{ij}$ are not
independent. Fermionic antisymmetry dictates that
$A_{ij}(\RR_{ij},(\rr_k)_{k\neq i,j})=(-1)^{i-1}(-1)^{j-(N_\uparrow+1)}
A_{1,N_\uparrow+1}(\RR_{ij}, (\rr_k)_{k\neq i,j})$ (to bring them to
the first position in their respective internal states and thus reveal
the function $A_{1, N_\uparrow+1}$, we had to pass $\rr_i$ through
$i-1$ position vectors of $\uparrow$ fermions and $\rr_j$ through
$j-(N_\uparrow+1)$ position vectors of $\downarrow$ fermions, hence the
signs).}
{\begin{equation}\label{eqe1X12}
\psi(\rr_1,\ldots,\rr_N)\underset{r_{ij}\to 0}{=}A_{ij}(\RR_{ij},(\rr_k)_{k\neq i,j})\left(\frac{1}{r_{ij}}-\frac{1}{a}\right)+O(r_{ij})
\end{equation}}\unskip
where the distance $r_{ij}$ between particles $i$ and $j$ tends to zero
at fixed positions of their center of mass $\RR_{ij}$ and other
particles $\rr_k$, with the constraints $\RR_{ij}\neq\rr_k \forall
k\neq i,j$ and the $\rr_k$ two-by-two distinct (as in 
Figure~\ref{fige2}b). 
\end{enumerate}
Mathematically, point 3 means that the domain of the Hamiltonian
operator is not the same as that of the ideal gas: in the absence of
interaction ($a=0$), we rightly eliminate solutions that diverge as
$1/r_{ij}$, as stated in any good book on quantum mechanics. That's the
only difference, but it's a big one\footnote[8]{A key point is that the
scattering state $\phi(\rr)=1/r-1/a$ is square-summable on a
neighborhood of the origin, $\int_{r&lt; r_{\rm max}}\dd^3r\,
|\phi(\rr)|^2&lt;\infty$: there is therefore no cutoff to be put at short
distance and $a$ is the only length associated with the interaction.
The situation is different in waves of angular momentum $l&gt;0$:
$\phi(\rr)=Y_l^{m_l}(\theta,\varphi)(r^l+a_{\rm
gen}^{2l+1}/r^{l+1})$ (where the parameter $a_{\rm gen}\neq 0$
generalizing $a$ is a length and $Y_l^{m_l}$ is a spherical harmonic)
is then no longer square-summable, and a cutoff and thus a second
length must be introduced to characterize the
interaction~\cite{Ludoondel}.}!

Figure~\ref{fige2}c, which shows a trio of atoms in close proximity,
well separated from the others and undergoing three-body scattering,
raises a legitimate question: should we complete the model with
three-body contact conditions? four-body? etc. Answer in the next
section. 

\subsection{Questions of existence}
\label{sece3.2}

It is not obvious that the Wigner--Bethe--Peierls model, as defined on
page \pageref{eqe1X12}, leads to a self-adjoint Hamiltonian (without
additional contact conditions) and, above all, to an energy spectrum
bounded from below. In fact, we have boldly stretched an energy scale
to $-\infty$, the $-\hbar^2/m_{\rm rel} b^2$ scale associated with the
interaction range, by taking the $b\to 0$ limit at a fixed scattering
length $a$, i.e.\ without letting the interaction strength tend to
zero, which could cause the system to collapse, as in the well-known
Thomas effect in nuclear physics~\cite{Thom}!

The discussion becomes clearer in the special case $a^{-1}=0$, known as
the unitary limit (the scattering amplitude (\ref{eqe2X10}) of the
model reaches the maximum modulus $k_{\rm rel}^{-1}$ allowed in the $s$
wave by the unitarity of the scattering matrix $S$), as the contact
conditions (\ref{eqe1X12}) become scale invariant (this is also the
most interesting and open regime, because it corresponds to a maximally
interacting gas phase). For simplicity's sake, let's restrict ourselves
to $E=0$ energy eigenstates in free space, with the center of mass of
the $N$ fermions at rest. As there is no external energy or potential
to introduce a length scale, we expect the eigenstate $\psi$ to be
scale invariant, i.e.\ a homogeneous function of the coordinates
(invariant up to a factor by the homothety $\rr_i\to \lambda \rr_i$ of
ratio $\lambda$ applied to the $N$ positions), of the
form~\cite{FWsep,livre}
{\begin{equation}\label{eqe1X14}
\psi(\rr_1,\ldots,\rr_N)=R^{s-\frac{3N-5}{2}}\Phi(\Omega)
\end{equation}}\unskip
where (i) $R$ is the internal hyperradius, the root-mean-square
deviation of the mass-weighted positions of the $N$ particles relative
to their center of mass $\CC$, 
{\begin{equation}\label{eqe2X14}
MR^2 = \sum_{i=1}^{N} m_i (\rr_i-\CC)^2
\end{equation}}\unskip
with $M=\sum_{i=1}^{N} m_i$ the total mass and $M\CC=\sum_{i=1}^{N} m_i
\rr_i$; (ii) the scaling exponent (the degree of homogeneity) is
conveniently defined by the quantity $s$ after translation of
$(3N-5)/2$---to reveal an $s\leftrightarrow -s$ symmetry; (iii) $\Phi$
is an unknown function of the $3N-4$ hyperangles completing $R$ in the
parameterization of $\rr_i-\CC$ in hyperspherical coordinates. Carrying
over the ansatz (\ref{eqe1X14}) into the Schr\"odinger equation
(\ref{eqe1X9}) (with $E=0$ and $U_\sigma\equiv 0$ as mentioned) gives
an eigenvalue equation for $\Phi$: 
{\begin{equation}\label{eqe3X14}
\left[-\Delta_\Omega +\left(\frac{3N-5}{2}\right)^2\right]\Phi(\Omega) = s^2 \Phi(\Omega)
\end{equation}}\unskip
whose eigenvalues are precisely $s^2$! Since the Laplacian
$\Delta_\Omega$ is taken on a compact, the unit hypersphere $S_{3N-4}$,
the possible values of $s^2$ form a discrete set, belonging to
$\mathbb{R}$ if one assumes that the Hamiltonian is Hermitian; we
generally don't know how to calculate them, because of the difficult
contact conditions (\ref{eqe1X12}) on
$\Phi(\Omega)$~\footnote[9]{On the other hand, contact
conditions (\ref{eqe1X12}) do not constrain the dependence of $\psi$ on
the hyperradius. This is because, if $\psi$ obeys the contact
conditions, $f(R)\psi$ also obeys them, provided that the factor $f(R)$
is a regular function of $R$. Indeed, in the limit $r_{ij}\to 0$ with
$\RR_{ij}$ and $(\rr_k)_{k\neq i,j}$ fixed, we have
$MR^2=m_i(\rr_i-\CC)^2+m_j(\rr_j-\CC)^2+\mathrm{const}=
m_i\rr_i^2+m_j\rr_j^2+\mathrm{const}=(m_i+m_j)\RR_{ij}^2+m_{\rm rel}
r_{ij}^2+\mbox{const}=O(r_{ij}^2)+\mbox{const}$. Then
$(1/r_{ij}-1/a)O(r_{ij}^2)$ is $O(r_{ij})$ and negligible.}.


In the following, we'll simply write formally that $s$ is the root of
an even transcendental function, the so-called Efimov function, 
{\begin{equation}\label{eqe1X15}
\Lambda_{N_\uparrow,N_\downarrow}(s)=0
\end{equation}}\unskip
without specifying this function (the most direct way to obtain it is
to impose the contact conditions (\ref{eqe1X12}) on a Faddeev ansatz
written in reciprocal space\footnote[10]{Let's briefly recall the
construction of the ansatz. First, we write the Schr\"odinger equation
for zero energy in the sense of distributions, 
$H_{\mathrm{ideal}\,\mathrm{gas}}\psi= 
\sum_{i=1}^{N_\uparrow} \sum_{j=N_\uparrow+1}^{N}
(2\rmpi\hbar^2/m_{\rm rel})\delta(\rr_{ij})
A_{ij}(\RR_{ij},(\rr_k)_{k\neq i,j})$ where Dirac distributions arise
from the action of kinetic energy operators on singularities
$1/r_{ij}$, by virtue of the Poisson equation
$\Delta_{\rr}(1/r)=-4\rmpi\delta(\rr)$, and $m_{\rm rel}$ is the reduced
mass of two opposite-spin fermions as we said. We then take its Fourier
transform ($\psi\to\tilde{\psi}$, $\Delta_{\rr}\to -k^2$). Taking
advantage of fermionic antisymmetry as in note 7 and of
translational invariance (the center of mass is at rest), we reduce to
$\tilde{\psi}(\kk_1,\ldots,\kk_N)=\sofrac{\delta(\kk_1+\cdots+
\kk_N)}{\sum_{n=1}^{N} \hbar^2 k_n^2/2m_n} \sum_{i=1}^{N_\uparrow}
\sum_{j=N_\uparrow+1}^{N} (-1)^{i+j} D((\kk_n)_{n\neq i,j})$ where $D$
is the only unknown function (each $A_{ij}$ is a function of the
$(\rr_k-\RR_{ij})_{k\neq i,j}$ of which $D((\kk_n)_{n\neq i,j})$ is the
Fourier transform up to a factor).}, which leads to a
Skorniakov--Ter-Martirosian integral equation---here in the unitary
limit at zero energy, in which we inject the Fourier equivalent of
ansatz (\ref{eqe1X14}); the resulting transcendental equation
(\ref{eqe1X15}) can be written explicitly for $N=3$~\cite{Tignone}, and
is written as the determinant of an operator for $N&gt;3$, this operator
being given explicitly for $N=4$ in sector $(3,1)$ by
reference~\cite{MoraCastinPricoupenko} and in sector $(2,2)$ by
reference~\cite{Endopas4}). We must now distinguish between two cases. 


\paragraph*{First case: $s^2&gt;0$}
There are two possible values for the scaling exponent, one value $&gt;0$
which we agree to call $s$, and the opposite value $-s&lt;0$. By a
phenomenon similar to that of Equation~(\ref{eqe4X11}), $\psi$ is in
general a linear combination of two solutions, one containing a factor
$R^s$, the other containing a factor $R^{-s}$, the relative amplitudes
being univocally fixed by a length $\ell$ (the equivalent of $a$ in
Equation~(\ref{eqe4X11})) determined by the microscopic details of the
interaction at short distance $O(b)$~\footnote[11]{Scattering 
state (\ref{eqe4X11}) corresponds to the case $N=2$; then
$s=1/2$ and $(3N-5)/2=1/2$, and $\psi$ in Equation~(\ref{eqe2X15}) is
indeed a linear combination of $R^0$ and $R^{-1}$; in this case,
$R\propto r_{12}$ and $\Phi(\Omega)=\mathrm{const}$ in $s$ wave. Explicit
calculation of expression (\ref{eqe2X15}) for $N=2$ gives $\psi\propto
(r_{12}/\bar{\ell})^{s-1/2}-(r_{12}/\bar{\ell})^{-s-1/2}$ with
$\bar{\ell}=(m_1+m_2)\ell/(m_1m_2)^{1/2}$, which must be proportional
to the scattering state (\ref{eqe4X11}), hence the announced exponent
value $s=1/2$; the two-body parameter $\bar{\ell}$ is none other than
the scattering length $a$.}$^,$\footnote[12]{A minus sign has been placed
between the two bracketed terms in Equation~(\ref{eqe2X15}); a plus
sign would also be possible, depending on the microscopic model.}: 
{\begin{equation}\label{eqe2X15}
\psi=\left[(R/\ell)^{s}-(R/\ell)^{-s}\right]R^{-\frac{3N-5}{2}}\Psi(\Omega)
\end{equation}}\unskip
However, in the absence of $N$-body scattering resonance, $\ell=O(b)$
is expected, so that $\ell\to 0$ when $b\to 0$: the solution $R^{-s}$
becomes negligible, length $\ell$ disappears from the problem and we
keep the following scale invariant $N$-body contact condition in the
channel of scaling exponent $s$~\cite{theseFelix}: 
{\begin{equation}\label{eqe3X15}
\psi\underset{R\to 0}{\approx} R^{s-\frac{3N-5}{2}}
\end{equation}}\unskip
The wave function $\psi$, considered as a function of $R$, is nodeless
so energy $E=0$ corresponds to the ground state: there is no bound
state (an eigenenergy $E&lt;0$ would tend to $-\infty$ when $b\to
0$)\footnote[13]{The special case of a
$(N_\uparrow,N_\downarrow)$-body scattering resonance, where $\ell$
remains finite in the $b\to 0$ limit, is treated in detail in
reference~\cite{LudovicN}, which explains which $N$-body contact
condition to use to correctly describe the resulting low-energy bound
state. Indeed, condition (\ref{eqe2X15}) already proposed
in~\cite{FWsep} is only satisfactory for $s$ small enough (for $s&gt;1$,
we can see that state (\ref{eqe2X15}) is no longer square integrable
near $R=0$ and that a second length---a cutoff---must be
introduced).}$^,$\footnote[14]{On a narrow Feshbach
resonance, see note 6, the effective range $r_{\rm e}$ 
is---for $1/a=0$---the only relevant length scale when the true range $b$
tends towards zero, so that the length $\ell$ is of the order of
$|r_{\rm e}|\gg b$. The wave function $\psi$ in Equation
(\ref{eqe2X15}) then admits a node far ``outside'' the interaction
potential: the solution at $E=0$ would not be of minimum energy, and
the system would admit a bound state of $(N_\uparrow,N_\downarrow)$
fermions (with $N&gt;2$)! However, a specific study of the case
$(N_\uparrow=2,N_\downarrow=1)$ shows that this is not true (as long as
the mass ratio $m_\uparrow/m_\downarrow$ remains low enough for
$s^2\geq 0$ of course)~\cite{Tignone,epls}. Should we be surprised?
Let's argue by contradiction. If there really were a bound state, it
would lead to a relative wave number $k_{\rm rel}\approx 1/|r_{\rm e}|$
between the fermions, the effective range term would not be negligible
in the denominator of the scattering amplitude (\ref{eqefk}) and we
would lose scale invariance and therefore separability in
hyperspherical coordinates. Equation (\ref{eqe2X15}) would be
inapplicable and the prediction of a bound state would be invalid. 
More generally, in order to believe in (\ref{eqe2X15})---this is a
necessary condition, the hyperradius $R$ must be much larger than any
length scale appearing in any subsystem $(n_\uparrow, n_\downarrow)$
[with $n_\uparrow\leq N_\uparrow$, $n_\downarrow\leq N_\downarrow$ and
$n_\uparrow+n_\downarrow&lt;N_\uparrow+N_\downarrow=N$], in particular
$R\gg b$ and $R\gg |r_{\rm e}|$ for $(n_\uparrow=1,n_\downarrow=1)$.
Needless to say, the $(N_\uparrow,N_\downarrow)$-body resonance of 
note~13 does not call into question (\ref{eqe2X15}) and the
existence of a node at hyperdistance $\ell$ since the abnormally large
$\ell\gg b$ length that appears does not pre-exist in any subsystem.}.


\paragraph*{Second case: $s^2&lt;0$}
Here too, there are two possible values for the scaling exponent, one
$s=\ii|s|$ in $\ii\mathbb{R}^+$, which we'll call $s$, and the other,
its conjugate complex $-\ii |s|$, or its opposite $-s$, in
$\ii\mathbb{R}^-$. As in the first case, we conclude that there is a
length $\ell$, a function of the microscopic details of the
interaction, setting the relative amplitude of the two solutions: 
{\begin{equation}\label{eqe1X16}
\psi=\left[(R/\ell)^{\ii|s|}-(R/\ell)^{-\ii|s|}\right]R^{-\frac{3N-5}{2}}\Psi(\Omega)=2\ii\sin[|s|\ln(R/\ell)]R^{-\frac{3N-5}{2}}\Psi(\Omega)
\end{equation}}\unskip
This time, the two solutions have the same modulus, so we must keep
them both (neither outweighs the other in the limit $b\to 0$)! The
length $\ell$ does not disappear from the problem, but defines in the
limit $b\to 0$ a $N$-body contact condition (\ref{eqe1X16}) which
explicitly breaks the continuous scale invariance of the unitary limit.
Since $\psi$ has an infinite number of nodes at an arbitrarily large
hyperdistance $R$---arbitrarily larger than the interaction range $b$---(see 
the third expression in Equation (\ref{eqe1X16})), there is an
infinite number of $N$-body bound states under the $E=0$ energy
solution; since the boundary condition (\ref{eqe1X16}) is invariant by
changing $\ell$ into $\exp(\pm\rmpi/|s|)\ell$, we pass from one $N$-body
bound state to the other by a homothety of ratio $\exp(\rmpi/|s|)$: the
corresponding spectrum forms a geometric sequence of zero limit but it
is not bounded below in the zero range limit\footnote[15]{The precise
expression of $E_{\rm glob}$ as a function of $s$ and $\ell$, and of
the order of $\hbar^2/Mb^2$ for $\ell\approx b$, is given, for example,
in reference~\cite{virtrans}. In Equation (\ref{eqe2X16}) we take
$n\geq 1$ (assuming $\exp(-2\rmpi/|s|)\ll 1$---otherwise the spectrum
would not be entirely geometric~\cite{Tignone}) because the
Wigner--Bethe--Peierls model can only be applied to a bound state of size
$\gg b$. We can however have $\ell\approx |r_{\rm e}|\gg b$ and $E_{\rm
glob}\approx \hbar^2/M r_{\rm e}^2\ll \hbar^2/M b^2$ on a narrow
Feshbach resonance, see our note 6; even if it is not
obvious, the exclusion of $n=0$ in (\ref{eqe2X16}) remains correct in
this case~\cite{Tignone,epls}. This exclusion of $n=0$ is consistent
with the absence of a bound state when $s^2\geq 0$, see our note
14: on the Efimovian side, the whole discrete spectrum
must tend to zero when $|s|\to 0$ knowing that $E_{\rm glob}$ has a
finite, non-zero limit.}, 
{\begin{equation}\label{eqe2X16}
E_n=-E_{\rm glob} \eee^{-2\rmpi n/|s|},\quad n\in\mathbb{N}^*, \quad \mbox{with }  E_{\rm glob}\approx\hbar^2/Mb^2
\end{equation}}\unskip
These $N$-body bound states, historically predicted by Efimov for
$N=3$, are said to be Efimovian. It would be very interesting to
stabilize them in a cold atom experiment (we unfortunately verify that,
if $s\in\ii\mathbb{R}^{+*}$ in the problem with $(2,1)$ fermions, which
occurs for $m_\uparrow/m_\downarrow&gt;13.6069\ldots$ as we shall see, the
three-body loss rate of Equation~(\ref{eqe1X7}) does not tend to zero
when $b\to 0$, but rather to a quantity proportional to $\hbar k_{\rm
F}^2/m$ in the homogeneous gas at $T=0$, which is considerable), for
example using note 6. 

But back to our mathematical problem: we conclude that the gas with
$(N_\uparrow,N_\downarrow)$ fermions is stable for a zero-range
$\uparrow\downarrow$ interaction, and that the Hamiltonian of the
Wigner--Bethe--Peierls model is self-adjoint and bounded from below, if
and only if the scaling exponents are all real: 
{\begin{equation}\label{eqe1X17}
s\in\mathbb{R}^* \quad \forall s\ \mbox{solution of}\ \Lambda_{N_\uparrow,N_\downarrow}(s)=0
\end{equation}}\unskip
Of course, no gas subsystem $(n_\uparrow,n_\downarrow)$ must exhibit an
Efimov effect either, otherwise (i) a $n_\uparrow+n_\downarrow &lt;
N_\uparrow+N_\downarrow$-body parameter would have to be introduced as
in Equation (\ref{eqe1X16}) and the scale invariance at the origin of
separability (\ref{eqe1X14}) and of result (\ref{eqe1X17}) would be
broken---we would lose separability at all distances, and (ii) the
subsystem could collapse in the $b\to 0$ limit of a zero range
interaction and the energy would not be bounded below. Without saying
so, we have done a proof by induction and the equivalent of the
stability condition (\ref{eqe1X17}) must be satisfied for any number
$n_\uparrow\leq N_\uparrow$ and any number $n_\downarrow\leq
N_\downarrow$.


\begin{remk}
\upshape
We could add $s=0$ in the third case: this is in fact precisely the
threshold for an Efimov effect.  Expanding Equation~(\ref{eqe1X16}) to
first order in $|s|$, we find that
{\begin{equation}\label{eqe2X17}
\psi\propto \ln(R/\ell) R^{-\frac{3N-5}{2}} \Phi(\Omega)
\end{equation}}\unskip
i.e.\ the length $\ell$ sets the relative amplitude of the solutions
$R^{-(3N-5)/2}$ and $(\ln R)R^{-(3N-5)/2}$. This bears a striking
resemblance to the definition of the scattering length of two particles
in dimension two, see for example reference~\cite{mon_cours} and Jan
Solovej's contribution~\cite{Solov}. However, in the $\ell=O(b)$ case
where we are, the length $\ell$ tends towards zero when $b\to 0$, the
first solution---with coefficient $\ln(1/\ell)\to +\infty$---wins out
over the second and we keep the $N$-body contact condition in
continuity with (\ref{eqe3X15}):
{\begin{equation}
\psi\underset{R\to 0}{\approx} R^{-(3N-5)/2}
\end{equation}}\unskip
In the zero-range model, therefore, there is no breaking of scale
invariance and no bound state at the Efimovian threshold\footnote[16]{The
considerations of note 14 apply at threshold. In
particular, we must not believe in the bound state of energy $\propto
-\hbar^2/M\ell^2$ that Equation (\ref{eqe2X17}) would lead us to
predict: it would be of spatial extension $\ell$ and could not be
described by our zero-range model when $\ell\approx b$; nor would it
exist for $(N_\uparrow=2,N_\downarrow=1)$ in the---apparently
favourable---case of a narrow Feshbach resonance where $\ell\approx
|r_{\rm e}|\gg b$, see note 14 and
references~\cite{Tignone,epls}.}$^,$\footnote[17]{The fact that $\ln(1/\ell)$
tends slowly towards infinity when $b\to 0$ is not without practical
consequences: if we want to compare with experiments, it is better to
keep the contribution $\ln R$ in (\ref{eqe2X17}) [and the term
$(R/\ell)^{-s}$ in~(\ref{eqe2X15}) for $s&gt;0$ close enough to zero] to
form the $N$-body contact condition. Thus, we find that the third
cluster coefficient $b_{2,1}$ defined in Section \ref{sece3.4} is
actually a regular function of the mass ratio $m_\uparrow/m_\downarrow$
and therefore of $s^2$, whereas it has an infinite derivative at
$s^2=0$ in the zero-range model~\cite{daily,virtrans}, hence in
Equation~(\ref{eqe1X20}).}.
\end{remk}


\begin{remk}
\upshape
We've taken $a=\infty$ here for simplicity, but if the system is
unstable for $a=\infty$, it will remain so for finite $a$ (all else
being equal): the Efimovian $N$-mers of the unitary gas of size $\ll
|a|$ (there are as many as you like for $b\to 0$) make no difference
between an infinite and a finite scattering length $a$.
\end{remk}

\paragraph*{Complement}
In the unitary limit, the present analysis generalizes to nonzero
energy $E$ (still with the center of mass of the system at rest).
Equation (\ref{eqe1X14}) becomes 
{\begin{equation}\label{eqe1X17p}
\psi=F(R) R^{-\frac{3N-5}{2}} \Phi(\Omega)
\end{equation}}\unskip
(satisfying the Wigner--Bethe--Peierls contact conditions under note
9) with 
{\begin{equation}\label{eqe2X17p}
E F(R) = -\frac{\hbar^2}{2M}\Delta_{\rm 2D} F(R) + \frac{\hbar^2 s^2}{2MR^2} F(R)
\end{equation}}\unskip
and $\Delta_{\rm 2D}$, the 2D Laplacian for variable $R$, reduces here
(in the absence of angular dependence) to $\dd^2/\dd R^2+R^{-1}\dd/\dd
R$. The  Efimovian case $s^2&lt;0$ therefore simply corresponds to the
known ``fall to the center'' problem in an attractive $1/R^2$
potential~\cite{Landaumec}. Separability in hyperspherical coordinates
(\ref{eqe1X17p}) even extends to the trapped case~\cite{FWsep,livre},
simply by adding the trapping term $(1/2)M\omega^2R^2F(R)$ to the
right-hand side of Equation~(\ref{eqe2X17p}), and making the
substitution $E\to E-E_{\rm com}$, the eigenvalue of the equation for
$F(R)$ being the internal energy as opposed to that $E_{\rm com}$ of
the center of mass. For $s^2&gt;0$, this leads to the spectrum 
{\begin{equation}\label{eqe3X17p}
E-E_{\rm com}=(s+1+2q)\hbar\omega ,\quad q\in\mathbb{N}
\end{equation}}\unskip
 
\subsection{What is known on the stability domain}
\label{sece3.3}

The problem of whether the stability condition (\ref{eqe1X17}) is
satisfied can be tackled from two opposite ends.

The first involves solving the problem with $(N_\uparrow,N_\downarrow)$
fermions at $E=0$ in the Wigner--Bethe--Peierls model and calculating the
scaling exponents $s$ (we proceed analytically as far as possible, but
there is a final numerical step, at least for $N&gt;3$). To the best of
our knowledge, this program has been completed in fermionic problem
$(N_\uparrow&gt;1,N_\downarrow=1)$ up to $N_\uparrow=4$, see 
Figure~\ref{fige3}: in each case, an Efimov effect is found to appear above a
critical mass ratio $m_\uparrow/m_\downarrow$ (impurity $\downarrow$
must be light enough), obviously a decreasing function of
$N_\uparrow$~\footnote[18]{Once we have an Efimov effect in the
$(N_\uparrow,N_\downarrow)$ fermionic problem, as we said below
Equation (\ref{eqe1X17}), we lose scale invariance and can no longer
apply the reasoning behind Equations (\ref{eqe1X14}), (\ref{eqe3X14}) to
the $(N_\uparrow+1,N_\downarrow)$ or $(N_\uparrow,N_\downarrow+1)$
fermionic problem; in the latter case, there is no separability in
$(R,\Omega)$ coordinates as in Equation~(\ref{eqe1X16}), no geometric
spectrum (\ref{eqe2X16}) and, strictly speaking, no possible Efimov
effect!}. We note that the successive critical mass ratios get closer
and closer together; mathematically, however, we don't know whether
this sequence continues (is there an Efimov effect for (5,1) bodies?
for (6,1) bodies? etc.). The $(N_\uparrow&gt;1,N_\downarrow=2)$ case has
been studied for $N_\uparrow=2$ by reference~\cite{Endopas4}, which
predicts stability as long as that the subsystems (2,1) and (1,2) are
stable.

\begin{figure}
\includegraphics{fig11}
\caption{\label{fige3}Known results on the stability of the $(N_\uparrow,1)$ system
of $N_\uparrow$ spin $\uparrow$ fermions and one spin $\downarrow$
fermion, for a zero-range interaction, as a function of the
$m_\uparrow/m_\downarrow$ mass ratio between a $\uparrow$ particle and
the $\downarrow$ particle. Vertical arrows: critical values of
$m_\uparrow/m_\downarrow$ (thresholds) for the $(N_\uparrow,1)$-body
Efimov effect obtained by solving the corresponding problem, see
references~\cite{Efimov} for
$N_\uparrow=2$,~\cite{MoraCastinPricoupenko} for
$N_\uparrow=3$,~\cite{BazakPetrov} for $N_\uparrow=4$; when
$m_\uparrow/m_\downarrow$ exceeds these values, the energy of the
system is no longer bounded below. Vertical bar with horizontal arrow:
critical mass ratio $\alpha_{\rm c}$, whose existence is established by
the Moser--Seiringer theorem~\cite{MoserSeiringer}, below which the
system $(N_\uparrow,1)$ is stable $\forall N_\uparrow$; the theorem
does not give the exact value of $\alpha_{\rm c}$ but a more
restrictive lower bound, $\alpha_{\rm c}&gt;2.77$, than that,
$m_\uparrow/m_\downarrow=1$, of the cold-atom experiments (a
superiority of the latter, however, is that the unitary Fermi gas
appears to be stable, without collapse or significant three-body
losses, for all values of $N_\uparrow$ and
$N_\downarrow$).}
\end{figure}
 
At the second extreme, the aim is to constrain (rather than calculate)
critical mass ratios, by lower bounding the Hamiltonian spectrum. This
is what reference~\cite{MoserSeiringer} has done for the
$(N_\uparrow,N_\downarrow=1)$ fermion problem: it demonstrates the
magnificent 

\begin{proof}[Theorem]
\itshape
There is a critical mass ratio
$m_\uparrow/m_\downarrow=\alpha_{\rm c}$ below which the fermionic
system $(N_\uparrow,N_\downarrow=1)$ is stable $\forall N_\uparrow$ for
a contact interaction, and $\alpha_{\rm c}&gt;1/0.36=2.77$.\let\qed\relax
\end{proof}

\subsection{Cluster or virial expansion}
\label{sece3.4}

Some would argue that it is the macroscopic many-body problem that
should ultimately be the focus of our attention, rather than the
few-body system. To which we reply that the latter can say something
about the former by means of cluster expansion, an expansion of the
pressure $P$ of the homogeneous gas at grand-canonical thermal
equilibrium in powers of the fugacities of the components $\sigma$ (the
temperature $T=1/k_{\rm B}\beta$ is fixed and the chemical potentials
$\mu_\sigma$ tend to $-\infty$, which corresponds to a quantum
non-degenerate limit): 
{\begin{equation}\label{eqe1X19}
\frac{P\bar{\lambda}^3}{k_{\rm B}T}=\sum_{(n_\uparrow,n_\downarrow)\in\mathbb{N}^{2*}} b_{n_\uparrow,n_\downarrow} \eee^{\beta \mu_\uparrow n_\uparrow} \eee^{\beta\mu_\downarrow n_\downarrow}
\end{equation}}\unskip
where the thermal de Broglie wavelength is taken at the arbitrary
reference mass $\bar{m}$, $\bar{\lambda}=(2\rmpi\hbar^2/\bar{m}k_{\rm
B}T)^{1/2}$~\footnote[19]{Reference~\cite{EndoCastin2022} uses the natural
choice $\bar{m}^{3/2}=(m_\uparrow^{3/2}+m_\downarrow^{3/2})/2$ leading
to a first total cluster coefficient $b_1=(b_{1,0}+b_{0,1})/2$ equal to
one.}. The expansion (\ref{eqe1X19}), in recent literature, is often
confused with the virial expansion, which expands in powers of the
phase space densities $\rho_\sigma\lambda_\sigma^3$
($\lambda_\sigma=(2\rmpi\hbar^2/m_\sigma k_{\rm B}T)^{1/2}$).

How to calculate the cluster coefficients
$b_{n_\uparrow,n_\downarrow}$? At the unitary limit $a^{-1}=0$, the
simplest way is to use the harmonic regulator method of
reference~\cite{ComtetOuvry}, which first places the system in the
harmonic traps $U_\sigma(\rr)$ of Equation (\ref{eqe1X5}) and then, all
calculations done, opens the traps to obtain the homogeneous case from
the local density approximation (exact in the limit $\omega\to 0^+$).
The trapped problem is then separable in hyperspherical coordinates as
in Section~\ref{sece3.2} and, if we know the zero-energy free space
scaling exponents $s$ for all $n_\uparrow\leq n_\uparrow^{\rm target},
n_\downarrow\leq n_\downarrow^{\rm target}$, we also know the energy
levels of the trapped system as in Equation (\ref{eqe3X17p}), hence all
the canonical partition functions $Z_{n_\uparrow,n_\downarrow}$ and
ultimately the coefficient $b_{n_\uparrow^{\rm
target},n_\downarrow^{\rm target}}$. As a result, the cluster
coefficients must be functionals of the
$\Lambda_{n_\uparrow,n_\downarrow}$ of Equation (\ref{eqe1X15}). This
is indeed what is predicted by the conjecture in
reference~\cite{EndoCastin}, claiming that, at the unitary limit, 
{\begin{equation}\label{eqe1X20}
b_{n_\uparrow,n_\downarrow}=\frac{(n_\uparrow m_\uparrow+n_\downarrow 
m_\downarrow)^{3/2}}{\bar{m}^{3/2}} \left[\int_{-\infty}^{+\infty} 
\frac{\dd S}{4\rmpi} \, S \frac{\dd}{\dd S} 
(\ln\Lambda_{n_\uparrow,n_\downarrow}(\ii S)) + \mbox{CorrStat}_{n_\uparrow,n_\downarrow}\right]
\end{equation}}\unskip
for any
$(n_\uparrow,n_\downarrow)\in\mathbb{N}^{*2}\setminus
\{1,1\}$~\footnote[20]{Case $(n_\uparrow=1,n_\downarrow=1)$ is different
and must be excluded; it corresponds, contrary to what we have assumed,
to a $N$-body scattering resonance with $N=2$ in $s$ wave: in the
unitary limit, we must keep only the solution $R^{-s}, s=1/2$, in
Equation (\ref{eqe2X15}), as if the right root of $\Lambda$ to keep was
$-s$; in fact, the solution $R^s$ corresponds to the regular part
$\propto 1/a$ of the zero-energy scattering state (see note
11 for further details).}. Here, the prefactor relates the
homogeneous case to the trapped case, and the first contribution in
square brackets is modelled on the $N=3$ result of
reference~\cite{revuecanad}; the second contribution in square brackets
is an ideal-gas quantum statistical correction originating from the
indistinguishable non-monoatomic subclusters into which the internal
eigenstates of the trapped system $(n_\uparrow,n_\downarrow)$ decouple
at high energy (the center of mass of the system remains in its ground
state). 

Let's explain this subcluster decoupling story a little better with
some examples. If $(n_\uparrow,n_\downarrow)=(1,1)$, the eigenstates
asymptotically (for arbitrarily large energy values) take the form of
two uncorrelated fermions $\uparrow$ and $\downarrow$ in
large-amplitude oscillatory levels\footnote[21]{If the relative wavenumber
$k_{\rm rel}\to+\infty$, the scattering amplitude $f_{k_{\rm rel}}\to
0$ in Equation (\ref{eqe2X10}) so even at the unitary limit,
interactions become negligible.}; the subclusters being monoatomic, we
have $\mbox{CorrStat}=0$. If $(n_\uparrow,n_\downarrow)=(2,1)$, a new
decoupling is possible, alongside that into three decorrelated
fermions: the particles can separate into an atom $\uparrow$ and a
``pairon'' $\uparrow\downarrow$ of strongly correlated fermions (the
relative motion within the pairon remaining of low amplitude), with
highly excited oscillatory levels for the atom $\uparrow$ and for the
center of mass of the pairon $\uparrow\downarrow$; the pairon is alone
in its category, and we again have $\mbox{CorrStat}=0$. The conclusion
remains the same for $(n_\uparrow,n_\downarrow)=(3,1)$, except that the
triplon $\uparrow\uparrow\downarrow$ appears as a new decoupled
subcluster. On the other hand, for $(n_\uparrow,n_\downarrow)=(2,2)$,
there is possible decoupling into two $\uparrow\downarrow$ pairons of
very high relative energy, see Figure \ref{fige3bis}; they no longer
interact but are indistinguishable and lead, like identical bosons in
an ideal gas, to a quantum statistical correction ignored by the
integral over $S$ in Equation (\ref{eqe1X20}); the calculation gives
$\mbox{CorrStat}=1/32$~\cite{EndoCastin}.

\begin{figure}
\includegraphics{fig12}
\caption{\label{fige3bis}A possible asymptotic behavior of the unitary four-fermion
problem $(N_\uparrow=2,N_\downarrow=2)$ in harmonic potentials
$U_\sigma(\rr)$: two pairons oscillate furiously (with large-amplitude
motions); fermions $\uparrow$ and $\downarrow$ in each pairon have
relative energy $O(1)$ (in $\hbar\omega$ units if dimension is to be
respected) and remain strongly correlated; the two pairons have
relative energy $\to +\infty$ and are decoupled, so they can be seen as
two identical bosons that have an internal structure (that of relative
motion $\uparrow\downarrow$ within a pairon) and do not interact. The
quantum statistical correction $\mbox{CorrStat}_{2,2}$ is then non-zero
in Equation~(\ref{eqe1X20}).}
\end{figure}


Conjecture (\ref{eqe1X20}) is well established for $N=3$, by inverse
application of the residue theorem, which converts the sum over the
spectra (\ref{eqe3X17p}), i.e.\ over the roots $s$ of
$\Lambda_{n_\uparrow,n_\downarrow}$, into an
integral~\cite{revuecanad}. For $N=4$, the analytical properties of
function $\Lambda_{n_\uparrow,n_\downarrow}$ in the complex plane are
not sufficiently known to apply Cauchy's theorem\footnote[22]{It must be
possible to unfold the integration path surrounding the roots and poles
of $\Lambda_{n_\uparrow,n_\downarrow}$ on the real axis onto the
imaginary axis without crossing any singularity---pole or branch 
cut---in the upper and lower half-planes.}; for the special case
$m_\uparrow/m_\downarrow=1$, however, the conjecture has been confirmed
by a very accurate few-body quantum Monte Carlo
calculation~\cite{HouDrut} (on the other hand, the experimental
values~\cite{ens,mit} are not confirmed, the problem arising from the
impossibility of obtaining the correct polynomial of degree 4 in
$z=\exp(\beta\mu)$ by fitting the pressure $P$ or density $\rho$
measured on the experimentally accessible fugacity
interval~\cite{halaug})\footnote[23]{References~\cite{ens,mit} have access
only to the fourth total cluster coefficient
$b_4=(b_{4,0}+b_{3,1}+b_{2,2}+b_{1,3}+b_{0,4})/2$, which prohibits a
comparison with the conjecture (\ref{eqe1X20}) sector by sector.}. 
The proof of expression (\ref{eqe1X20}) in the general case therefore
remains open. Another interesting question concerns the behavior of the
cluster coefficients $b_{n_\uparrow,n_\downarrow}$ at large orders
$n_\sigma\to +\infty$, which is required to perform an efficient
summation of the series (\ref{eqe1X19}) after calculation of its first
terms, in order to extend its applicability to the degenerate regime
$T\lesssim T_{\rm F}$ (for example, if the radius of convergence is
zero, one could implement a conformal Borel-type resummation as in
references~\cite{felixborel,zinnborel}).

\section{Open questions from a macroscopic point of view}
\label{sece4}

In this section, the interacting Fermi gas, considered in the
thermodynamic limit and at non-zero but arbitrarily low temperature, is
described by an effective low-energy Hamiltonian theory, Landau and
Khalatnikov quantum hydrodynamics~\cite{LK}\footnote[24]{The term 
``quantum hydrodynamics'', in non-linear physics, is
understood in contrast to classical fluid hydrodynamics and refers to
an Euler equation for a real-valued rather than operator-valued
velocity field $\vv(\rr)$ with a $\propto\hbar^2$ quantum pressure
term, which allows to describe the motion of quantum vortices---with
quantized circulation---in the superfluid (like the Gross--Pitaevskii
equation for the wave function of a Bose condensate written in terms of
density and phase gradient). Here, the name is to be taken in the sense
of the second quantization, the velocity field now being
operator-valued $\hat{\vv}(\rr)$.}.

% toto 
\subsection{Overview of the considered superfluid regime}
\label{sece4.1}

The three-dimensional system of fermions is here spatially homogeneous
(in a quantization volume $[0,L]^3$ close to the thermodynamic limit,
which is taken at the end of the calculations), with particles of equal
mass $m_\uparrow=m_\downarrow=m$ in both internal states,
spin-unpolarized (there are the same number of particles in both
components, $N_\uparrow=N_\downarrow$, to allow complete pairing) and
at canonical thermal equilibrium in a low-temperature limit ($T\neq 0$
but $T\to 0$). 

Under these conditions, (i) fermions assemble into bound pairs
$\uparrow\downarrow$ in the $s$ wave; in the presence of Fermi seas in
both internal states, this is what the attractive interaction between
$\uparrow$ and $\downarrow$ in Section \ref{sece3} leads to, via the
famous Cooper mechanism; this is true even for a negative scattering
length $a$, where there is no $\uparrow\downarrow$ bound state in free
space, although the size of a pair tends to $+\infty$ as $a\to 0^-$ (in
the $a&gt;0$ case, a dimer state does exist and, not surprisingly, this is
what the bound pair state reduces to in the low-density limit $\rho\to
0$)\footnote[25]{It is not entirely obvious that the Wigner--Bethe--Peierls
contact interaction is attractive. To see this, we obtain it as the
continuous limit $b\to 0$ of a model on a cubic lattice $b\mathbb{Z}^3$
with a coupling $\propto \hbar^2/mb^2$ between neighboring sites (to
represent the kinetic energy) and an on-site interaction $g_0/b^3$; at
a fixed scattering length $a\neq 0$, we find that $g_0\approx
-\hbar^2b/m&lt;0$ as $b\to 0$ (the bare coupling constant $g_0$ is
therefore, in the resonant scattering regime $b\ll|a|$, quite different
from the effective coupling constant
$g=4\rmpi\hbar^2a/m$)~\cite{varenna}.}; (ii) these bound pairs, being
composite bosons of sorts, form a condensate in the mode of wave vector
$\KK_{\rm pair}=\zero$ of their center of mass (of coherence length
limited by the size of the box, infinite at the thermodynamic limit)
and a superfluid. 

As a result, we expect the system to have, in its ground state, a
branch of acoustic excitation (by sound waves) that starts out linear
in wavenumber $q$ with a cubic correction, 
{\begin{equation}\label{eqe1X24}
\omega_{\qq}\underset{q\to 0}{=} cq\left[1+\frac{\gamma}{8}\left(\frac{\hbar q}{mc}\right)^2+O(q^4\ln q)\right]
\end{equation}}\unskip
and this branch to be energy-limited at the top by the broken-pair
continuum, with a lower edge of the continuum given by the pair binding
energy $E_{\rm pair}$, as in Figure \ref{fige4}a. Here $\omega_{\qq}$ is
the angular eigenfrequency at wave vector $\qq$, $c$ is the speed of
sound at zero temperature and the curvature parameter $\gamma$ is
scaled so that it tends to one in the limit $k_{\rm F}a\to 0^+$ of a
weakly interacting condensed gas of dimers (in agreement with
Bogolioubov theory)\footnote[26]{Our sign convention on $\gamma$ differs
from that used in liquid helium-4, see reference~\cite{Maris}.}. The
acoustic branch is often referred to as Goldstone~\cite{Goldstone},
because it is associated with $U(1)$ symmetry breaking in pair
condensation; its Higgs counterpart is discussed in Section~\ref{sece5}.

\begin{figure}
\includegraphics{fig13}
\caption{\label{fige4}Energy of different types of excitations of an unpolarized
homogeneous two-component Fermi gas at zero temperature, as a function
of their wave number $q$ or $k$. (a)~Acoustic excitation branch
$\hbar\omega_{\qq}$ of linear departure $\hbar c q$ ($c$ is the speed of
sound), bounded at the top by the broken-pair continuum (hatched area).
Here, the branch tangentially reaches the lower edge of the continuum
at the terminal point of wave number $q_{\rm max}$. (b)~Dispersion
relation $\veps_{\kk}$ of a fermionic quasiparticle $\chi$ (see text).
Under the effect of a percussive excitation of wave vector $\qq$, a
bound pair $\uparrow\downarrow$ of the pair condensate, initially at
rest, dissociates into two fermionic quasiparticles $\chi$ of opposite
spins, wave vectors $\kk$ and $\kk'=\qq-\kk$ and energies $\veps_{\kk}$
and $\veps_{\kk'}$; as vector $\kk$ is not constrained (no conservation
of energy for a percussive excitation), a continuum of final energies
$\{\veps_{\kk}+\veps_{\qq-\kk},\kk\in\mathbb{R}^3\}$ appears. For the
interaction strength chosen in the figure ($|\Delta|/\mu=0.84$ or
$1/k_{\rm F}a\simeq -0.16$ according to BCS theory, with $\mu$ the
chemical potential of the gas and $\Delta$ the complex order parameter
of the pair condensate), the acoustic branch is concave at low $q$
($\gamma&lt;0$ in Equation~(\ref{eqe1X24})) and the dispersion relation
$\veps_{\kk}$ has a minimum $E_{\rm pair}/2$ at $k=k_0&gt;0$; the lower
edge of the continuum is therefore exactly $E_{\rm pair}$, at least as
long as one can have $k=k'=k_0$, i.e.\ as long as $q=|\kk+\kk'|\leq 2
k_0$. The approximate dispersion relations shown are derived from BCS
theory for $\veps_{\kk}$ and Anderson's RPA for $\hbar\omega_{\qq}$.
Depending on the interaction strength, the domain of existence in $q$
of the acoustic branch may also be non-compact, connected
$q\in\mathop{]}0,+\infty\mathop{[}$ or not $q\in \mathop{]}0,q_{\rm max}[\bigcup]q_{\rm
min},+\infty\mathop{[}$ ($q_{\rm min}&gt; q_{\rm max}$)~\cite{CKS}; the concavity
of the branch is also variable~\cite{PRAconcav}; finally, $k_0=0$ and
$E_{\rm pair}=2(\mu^2+|\Delta|^2)^{1/2}$ if $\mu&lt;0$,
$k_0=(2m\mu)^{1/2}/\hbar$ and $E_{\rm pair}=2|\Delta|$
otherwise.}
\end{figure}

In the following, our low-temperature regime satisfies two conditions:
{\begin{equation}\label{eqe2X24}
0&lt; k_{\rm B}T\ll mc^2 \quad \mbox{and}\quad 0&lt;k_{\rm B}T\ll E_{\rm pair}
\end{equation}}\unskip
The first ensures that only the linear part of the acoustic branch is
thermally populated, the second that there is a negligible density of
broken pairs  (according to Boltzmann's law, this density has an
activation factor $\exp(-E_{\rm pair}/2 k_{\rm B}T)$, the fragments
resulting from the dissociation of a bound pair---the $\chi$ fermionic
quasiparticles in Figure~\ref{fig4}b---individually having a minimum
energy $E_{\rm pair}/2$). Our system then reduces to a thermal gas of
phonons, if we agree to call the quanta of the acoustic branch as such
(in view of its linear departure)\footnote[27]{Equation (\ref{eqe1X24})
holds only for a short-range interaction $V(\rr_{ij})$, decreasing fast
enough when $r_{ij}\to +\infty$. In the case of a dipolar interaction,
as in gases of cold magnetic atoms, the speed of sound is
anisotropic~\cite{Axel}, see also Wilhelm Zwerger's contribution to
this special issue~\cite{Zwergerdt} and Jean Dalibard's 2023-2024
lecture at the Coll\`ege de France~\cite{jd}. In the case of a Coulomb
interaction, as in superconducting electron gases, the acoustic branch
gives way to a gapped plasmon branch ($\omega_{\qq}$ has a positive limit
at $q=0$)~\cite{Anderson}. Here, our atoms are neutral and of
negligible dipole moment.}.

This raises three types of partially open questions: 
\begin{enumerate}[(1)]
\item as we shall see, phonons (abbreviated to $\phi$) interact, the
underlying Fermi superfluid constituting a nonlinear medium for sound.
What are the effects of these interactions on phonons of wave vector
$\qq$? In particular, they are expected to damp with a rate
$\Gamma_{\qq}(T)$ and to undergo a thermal angular frequency shift
$\Delta_{\qq}(T)$ (we don't count the shift at zero temperature, which by
definition gives rise to the spectrum (\ref{eqe1X24})---the neglected
term $q^5\ln q$ arises precisely from the cross-effect of interactions
and quantum fluctuations in the phonon
field~\cite{espagnols,insuffisance})\footnote[28]{In the convex case
$\gamma&gt;0$, it is accompanied---still at $T=0$---by a non-zero
imaginary part $\approx q^5$, corresponding to the Beliaev damping
mechanism $\qq\to\kk,\kk'$, see below.}. 

\item what are the consequences
of phonon collisional dynamics on the evolution of a particularly
interesting macroscopic gas variable, the phase operator
$\hat{\phi}_0(t)$ of the pair condensate?

\item we enrich the problem by considering the partially polarized case
$N_\uparrow\neq N_\downarrow$. In the weakly polarized case, e.g.\ 
$N_\uparrow-N_\downarrow=O(1)$, the unpaired supernumerary fermions of
the majority spin component form, in the interacting gas, fermionic
quasiparticles (abbreviated to $\chi$) with a dispersion relation
$\veps_{\kk}$ different from those of the free fermions: it has a
non-zero minimum, i.e.\ a gap, given by half the binding energy of a
pair $\uparrow\downarrow$, where it varies quadratically with the wave
number $k$ (see Figure \ref{fige4}b). The question then arises of the
$\phi-\chi$ and of the $\chi-\chi$ interactions; in particular,
disagreement persists over the expression of the low-energy $\phi-\chi$
scattering amplitude (references~\cite{cras} and~\cite{italiens}
differ)\footnote[29]{This problem is relevant for superfluid helium-4,
whose excitation branch also has a quadratic minimum, the roton
minimum; our $\phi-\chi$ scattering problem is therefore formally
equivalent to the roton--phonon scattering already studied in
reference~\cite{LK}, with the difference that rotons are bosons. The
predictions of~\cite{LK} are, however, incomplete and at odds
with~\cite{cras,italiens}.}. In the highly polarized case, where
$N_\uparrow-N_\downarrow$ is extensive like $N$, it is expected that
$T=0$ pair condensation may take place in a plane-wave superposition of
their center of mass (rather than in $\KK_{\rm pair}=\zero$ as assumed
here), see references~\cite{ff,lo}, giving rise to a spatially
modulated superfluid (a supersolid following the fashionable
terminology), with an imperfectly known domain of existence in
parameter space $((N_\uparrow-N_\downarrow)/N,1/k_{\rm F}a,T/T_{\rm
F})$, the problem being complicated by its high sensitivity to thermal
fluctuations~\cite{Leo} (there are as yet no experimental results in
three-dimensional cold atom gases~\cite{Hulet}). 
\end{enumerate}
The most interesting case for points 1 and 2 is that of a concave
acoustic branch, $\gamma&lt;0$ in Equation~(\ref{eqe1X24}), very different
from the fairly well-known weakly interacting Bose gas (where
$\gamma\simeq 1&gt;0$ as we said)\footnote[30]{Qualitatively, the case
$\gamma&lt;0$ is obtained when the binding energy $E_{\rm pair}$ is low
enough: if we reduce $E_{\rm pair}$, the broken pair continuum in
Figure \ref{fige4}a lowers, pushes on the acoustic branch and
eventually bends it downwards. This is what happens in the BCS limit
$k_{\rm F}a\to 0^-$ where $E_{\rm pair}/mc^2=O(\exp(-\rmpi/2k_{\rm
F}|a|))$ tends rapidly to zero; it no longer happens in the BEC limit
$k_{\rm F}a\to 0^+$ where $E_{\rm pair}\sim E_{\rm dim}=\hbar^2/ma^2\gg
mc^2$. It is not clear on which side of the unitary limit $1/k_{\rm
F}a=0$ (i.e.\ for which sign of the scattering length $a$) the
curvature parameter $\gamma$ changes sign, see Section \ref{sece5}.
Given the shape of the lower continuum edge in 
Figure~\ref{fige4}a---regardless of the sign of $\gamma$, the repulsion
effect on the
acoustic branch is strongest at large $q$ and weakest at small $q$
(where the energy difference between the continuum edge and the branch
is greatest). We therefore expect to have an interval of values of
$1/k_{\rm F}a$ over which the branch is convex at small $q$ and concave
at large $q$~\cite{PRAconcav}.}. In particular, phonon damping for
$\gamma&lt;0$ can only occur at $T\neq 0$, since the decay of a phonon
into any number $n&gt;1$ of phonons is forbidden by energy--momentum
conservation for a concave acoustic branch; at the leading order in
temperature, it results for the same reason from the
$\phi\phi\to\phi\phi$ four-phonon processes of Landau and
Khalatnikov~\cite{LK} (for $\gamma&gt;0$ it results from the Beliaev
$\phi\to\phi\phi$ or Landau $\phi\phi\to\phi$ three-phonon
processes~\cite{Belyaev,Martin}). To our knowledge, this four-phonon
damping has not yet been observed experimentally in any system. It
could be observed in a Fermi gas of cold atoms in a box
trap~\cite{epl}. It could also be observed in superfluid helium-4 (a
liquid of bosons) if the pressure is increased sufficiently to make
$\gamma&lt;0$ (the roton minimum is lowered, which ends up making the
acoustic branch concave at low $q$) and if the temperature is lowered
sufficiently to reduce the density of rotons (through the activation
factor $\exp(-E_{\rm roton}/k_{\rm B}T)$) and make the parasitic
damping of phonons by rotons\break negligible~\cite{prlrevi}\footnote[31]{In
liquid helium-4, four-phonon scattering processes between intentionally
produced (non-thermal) phonon beams have already been the subject of
theoretical and experimental studies~\cite{Adamenko}.}.

\subsection{Which macroscopic theory to use?}
\label{sece4.2}

An effective low-energy theory gives up describing the system below a
certain length scale $\ell$; on the other hand, the theory is expected
to be accurate at long wavelengths, in this case at leading order in
temperature.  
Under these conditions, it is legitimate to cut the gas into portions
of size $\ell$, for example into cubic boxes of side $\ell$ centered on
the cubic lattice $\ell\mathbb{Z}^3$, see Figure \ref{fige5}. Let's set
out some constraints on the choice of $\ell$: 
\begin{enumerate}[(1)]
\item we must have $\ell\gg\xi$ (here $\xi=\hbar/mc$ is the so-called
healing or correlation length of the superfluid) and $\rho\ell^3\gg 1$
(there are a large number of fermions per site) so that (i) each cubic
portion can be considered mesoscopic with a well-defined equation of
state linking pressure or chemical potential to density (as is the case
in the thermodynamic limit), and (ii) the lattice spacing $\ell$
provides a wave number cutoff $\rmpi/\ell\ll mc/\hbar$ to the phononic
excitations of the gas, restricting them to the quasi-linear part of
the branch (\ref{eqe1X24}), which is universal because it is described
by two parameters, $c$ and $\gamma$. 

\item we must have $k_{\rm B}T\ll
\hbar c \rmpi/\ell$ (this is the energy of the ground phonon mode in a
portion) so that we can consider that (i) each portion is at zero
temperature, and (ii) each portion is spatially homogeneous on the
scale of the typical wavelength $q_{\rm th}^{-1}=\hbar c/k_{\rm B}T$ of
thermal sound waves.

\item it is also necessary that $\ell\ll\ell_{\rm coh}$ where
$\ell_{\rm coh}$ is the coherence length of the fermion pairs, so that
the notion of global phase $\hat{\phi}$ makes sense in each portion (as
for a condensate). This constraint is inoperative here since $\ell_{\rm
coh}\approx L$ (bound pairs are condensed in 3D). 
\end{enumerate}
We can then represent the system by two field operators, the density
field $\hat{\rho}(\rr)$ and the phase field $\hat{\phi}(\rr')$, with
$\rr,\rr'\in\ell\mathbb{Z}^3$; these are canonically conjugate
variables,
{\begin{equation}\label{eqe1X28}
[\hat{\rho}(\rr)\ell^3,\hat{\phi}(\rr')]=\ii\,\delta_{\rr,\rr'}
\end{equation}}\unskip
as if $\hat{\phi}$ were a momentum operator and $\hat{\rho}\ell^3$ a
position operator in ordinary quantum
mechanics~\cite{LK,tome9landau}\footnote[32]{These historical references
use a continuous space description for simplicity. The need to
discretize the space to avoid infinities and make the theory
renormalizable is emphasized in publication~\cite{brouilfer}. Here, we
sweep these difficulties under the carpet; for example, we do not
distinguish in (\ref{eqe1X29}) between the notion of bare equation of
state $e_{0,0}(\rho)$---which enters the Hamiltonian---and true or
effective equation of state $e_0(\rho)$---which is observed in an
experiment.}. The phase field gives access to the velocity field by
simple differentiation (this is a discrete
gradient)\footnote[33]{The fact that the velocity
field operator is a gradient vector in no way implies that the flow is
entirely superfluid (this would be physically false even at thermal
equilibrium, at non-zero temperature). Let's explain this in two
points. (i) Don't confuse the $\hat{\vv}(\rr)$ operator of quantum
hydrodynamics (which contains all possible quantum and thermal
fluctuations) with the $\vv(\rr)$ mean velocity field of ordinary
hydrodynamics; in particular, whether or not the flow is superfluid
depends on whether or not $\vv(\rr)$ (without hat) is irrotational.
(ii) In general, we have $\vv(\rr)\neq\langle\hat{\vv}(\rr)\rangle$
where the expectation value is taken in the quantum state of the
system, since $\vv(\rr)$ is defined in terms of the mean matter current
density,
$\vv(\rr)=\langle\hat{\mathbf{j}}(\rr)\rangle/\langle
\hat{\rho}(\rr)\rangle$ with here
$\mathbf{\hat{j}}(\rr)=[\hat{\rho}(\rr)\hat{\vv}(\rr)+
\hat{\vv}(\rr)\hat{\rho}(\rr)]/2$ (by definition, the evolution
equation of $\hat{\rho}$ in the Heisenberg picture is written
$\partial_t\hat{\rho}+\mathrm{div}\,\hat{\mathbf{j}}=0$ and that for
the mean density $\rho(\rr)=\langle\hat{\rho}(\rr)\rangle$ is written
$\partial_t\rho+\mathrm{div}\,(\rho \vv)=0$); it would therefore be
wrong to believe that
$\vv(\rr)=(\hbar/m)\mathbf{grad}\langle[\hat{\phi}(\rr)-
\hat{\phi}(\rr_0)]\rangle$ (where $\rr_0$ is an arbitrary reference
position) and deduce that $\vv(\rr)$ is necessarily a gradient vector.}:
{\begin{equation}\label{eqe2X28}
\hat{\vv}(\rr)=\frac{\hbar}{m}\mathbf{grad}\,\hat{\phi}(\rr)
\end{equation}}\unskip
The Hamiltonian is obtained by summing the internal energy and the
kinetic energy associated with the local fluid velocity in each
portion: 
{\begin{equation}\label{eqe1X29}
H=\sum_{\rr} \frac{1}{2} m\hat{\vv}(\rr)\cdot \hat{\rho}(\rr)\ell^3 \hat{\vv}(\rr)+\ell^3 e_0(\hat{\rho}(\rr))
\end{equation}}\unskip 
Here, $e_0(\rho)$ is the zero-temperature energy density of the
homogeneous Fermi gas with density $\rho$, and $m\hat{\rho}(\rr)\ell^3$
is the amount of matter (the mass) in the portion centered at $\rr$.
The equations of motion for $\hat{\rho}$ and $\hat{\vv}$ in the
Heisenberg picture, derived from the Hamiltonian $H$, take the form of
a continuity equation and an operator-valued Euler equation (without
viscosity term)\footnote[34]{See note~33 for the equation
for $\hat{\rho}(\rr)$. The equation for $\hat{\vv}(\rr)$ is obtained by
taking the gradient of that for $\hat{\phi}(\rr)$,
$\hbar\partial_t\hat{\phi}=-\mu_0(\hat{\rho})-m\hat{\vv}^2/2$, where
$\mu_0(\rho)$ is the zero-temperature chemical potential function, as
in Equation~(\ref{eqe2X30}).}, hence the name quantum hydrodynamics
given to the theory (with the risk of confusion pointed out in note~24). 

\begin{figure}
\includegraphics{fig14}
\caption{\label{fige5}Cutting the gas into mesoscopic cubic portions of side $\ell$,
in the quantum hydrodynamics of Landau and Khalatnikov (this effective
theory does not describe length scales $&lt;\ell$). See text for choice of
$\ell$.}
\end{figure}


As you will have gathered, the great strength of this effective theory
is that it does not depend on the nature of the bosonic or fermionic
particles constituting the underlying superfluid, nor on their
interactions (strong or weak, in liquid or gas phase) as long as they
remain short-range, except through the equation of state $e_0(\rho)$
and the curvature parameter $\gamma$ at zero temperature. It therefore
applies equally well to weakly interacting Bose gases, strongly
interacting Fermi gases and liquid helium-4 (an extremely dense system
that defies microscopic theory). 

However, the formalism can only be trusted in a low-temperature limit,
$T\to 0$, where spatial density fluctuations and phase gradients are
small; Equation~(\ref{eqe1X29}) must therefore be expanded to the
relevant order (here, fourth order) in powers of 
{\begin{equation}\label{eqe2X29}
\delta\hat{\rho}(\rr)\equiv\hat{\rho}(\rr)-\hat{\rho}_0 \quad \mbox{and}\quad \delta\hat{\phi}(\rr)\equiv\hat{\phi}(\rr)-\hat{\phi}_0
\end{equation}}\unskip
where $\hat{\rho}_0$ and $\hat{\phi}_0$ are the zero-wave-vector
Fourier components of the fields $\hat{\rho}(\rr)$ and
$\hat{\phi}(\rr)$ (physically, $\hat{\rho}_0=\hat{N}/L^3$, where
$\hat{N}$ is the total number of fermions operator, $L^3$ is the volume
of the quantization box $[0,L]^3$ and $\hat{\phi}_0$ is the phase
operator of the pair condensate~\cite{brouilfer}). The expanded
Hamiltonian is formally written as 
{\begin{equation}\label{eqe3X29}
H=H_0+H_2+H_3+H_4+\cdots
\end{equation}}\unskip
where $H_n$ is the contribution of total degree $n$ in
$\delta\hat{\rho}$ and $\delta\hat{\phi}$.

The 0-order contribution $H_0$ is a constant of little interest; the
1-order contribution is exactly zero (because
$\sum_{\rr}\ell^3\delta\hat{\rho}(\rr)=0$ by construction) and has been
omitted directly from Equation~(\ref{eqe3X29}). The quadratic
contribution $H_2$ is diagonalized by a Bogolioubov
transformation\footnote[35]{This transformation
corresponds to the modal expansions
$\delta\hat{\rho}(\rr)=L^{-3/2}\sum_{\kk\neq\zero} \rho_{\kk}
(\hat{b}_{\kk}+\hat{b}_{-\kk}^\dagger) \exp(\ii\kk\cdot\rr)$ and
$\delta\hat{\phi}(\rr)=L^{-3/2}\sum_{\kk\neq\zero}\phi_{\kk}
(\hat{b}_{\kk}-\hat{b}_{-\kk}^\dagger)\exp(\ii\kk\cdot\rr)$ where
$\rho_{\kk}=(\hbar\rho k/2 m c)^{1/2}$ and
$\phi_{\kk}=(-\ii)(mc/2\hbar\rho k)^{1/2}$ are the amplitudes of the
quantum fluctuations of density and phase in the phonon mode of wave
vector $\kk$. Note the relation
$-\ii\omega_{\kk}\delta\rho_{\kk}-\rho(\hbar/m)k^2\phi_{\kk}=0$ imposed by
the linearized continuity equation.}: 
{\begin{equation}\label{eqe4X29}
H_2=\mathrm{const}+\sum_{\kk\neq\zero} \hbar\omega_{\kk} \hat{b}_{\kk}^\dagger\hat{b}_{\kk}
\end{equation}}\unskip
where the creation $\hat{b}_{\kk}^\dagger$ and annihilation $\hat{b}_{\kk}$
operators of an elementary excitation (a phonon) of wave vector $\kk$
obey the usual bosonic commutation relations 
{\begin{equation}\label{eqe1X30}
[\hat{b}_{\kk},\hat{b}_{\kk'}]=0 \quad \mbox{and}\quad [\hat{b}_{\kk},\hat{b}_{\kk'}^\dagger]=\delta_{\kk,\kk'}
\end{equation}}\unskip
The spectrum obtained here is exactly linear, $\omega_{\kk}=c k$, with
the speed of sound given by 
{\begin{equation}\label{eqe2X30}
mc^2=\rho\frac{\dd^2}{\dd\rho^2} e_0(\rho) = \rho \frac{\dd}{\dd\rho}\mu_0(\rho)
\end{equation}}\unskip
where $\mu_0(\rho)$ is the zero-temperature chemical potential of the
Fermi gas with density $\rho$. The relation (\ref{eqe2X30}) is exact
(it's well known from superfluid hydrodynamics~\cite{tome9landau}), but
the systematic absence of curvature in the spectrum is not physically
realistic: this pathology stems from the fact that we have omitted
so-called gradient corrections~\cite{SonWingate} from Hamiltonian $H$;
to simplify, as illustrious predecessors~\cite{LK} have done, we
replace $\omega_{\kk}$ in $H_2$ by hand with its cubic approximation
(\ref{eqe1X24}), which is justified by reference~\cite{Annalen}. 


The approximation $H_2$ corresponds to an ideal gas of phonons, and
cannot describe sound attenuation. The interaction between phonons that
causes their damping comes from the cubic contribution $H_3$ and the
quartic contribution $H_4$. For the sake of simplicity, we give here
only the expression of the most useful part of $H_3$, simplified to
make the physics clear: 
{\begin{equation}\label{eqe3X30}
H_3|_{\rm simpl} = \frac{\mathcal{A}}{2L^{3/2}}\sum_{\kk,\kk',\qq} (k k' q)^{1/2} \hat{b}_{\kk}^\dagger\hat{b}_{\kk'}^\dagger\hat{b}_{\qq} \delta_{\kk+\kk',\qq} + (k' k q)^{1/2} \hat{b}_{\kk'}^\dagger\hat{b}_{\kk} \hat{b}_{\qq} \delta_{\kk',\kk+\qq}+\cdots
\end{equation}}\unskip 
with the constant amplitude (independent of the wave numbers) as a factor,
{\begin{equation}\label{eqe4X30}
\mathcal{A}=(\xi/2)^{3/2}\rho^{-1/2}\left[3 mc^2+\rho^2 \frac{\dd^3}{\dd\rho^3}e_0(\rho)\right]
\end{equation}}\unskip
and $\xi=\hbar/mc$ as before\footnote[36]{The true coupling amplitude
depends on the angles between the three wave vectors $\kk_i$ involved;
as damping is actually dominated at low temperatures by processes at
small angles between wave vectors, due to the small denominator effect
described below, we have written the amplitude directly at zero angles
$\kk_i\cdot\kk_j/k_ik_j=1$.}. The ellipse in Equation~(\ref{eqe3X30})
contains terms $\hat{b}^\dagger\hat{b}^\dagger\hat{b}^\dagger$ and
$\hat{b}\hat{b}\hat{b}$ of no great importance, as they do not conserve
the energy $H_2$. The terms $\hat{b}^\dagger\hat{b}^\dagger\hat{b}$ and
$\hat{b}^\dagger\hat{b}\hat{b}$, on the other hand, are central to
damping: they correspond respectively to the Beliaev process (phonon
$\qq$ decays into two phonons $\kk$ and $\kk'$) and to the Landau
process (phonon $\qq$ merges with a phonon $\kk$ to form a single
phonon $\kk'$), which can be represented diagrammatically as follows,
where the phonon whose damping we are studying plays a privileged role:
\fxlabel{eqe1X31}
{\begin{fxequation}\label{eqe1X31}
%{\begin{equation}\label{eqe1X31}
\begin{array}{c}
{\inlinefig{fx03}}
\end{array}
%\end{equation}}\unskip
\end{fxequation}}\unskip
As $H_3$ is cubic, each vertex of the diagram representing its action
is the meeting point of three phonon lines. We could proceed in the
same way with $H_4$ (the vertices would be four lines), but we won't do
so, as quartic processes generally play a sub-dominant role in damping
compared with cubic processes (for example, in the four-phonon damping
$\phi\phi\to\phi\phi$ for $\gamma&lt;0$, the amplitude of the direct
process $\kk,\qq\to\kk',\kk''$ induced by $H_4$ in first-order
perturbation theory is in practice negligible compared to that of the
indirect process of the same initial and final state
$\kk,\qq\to\kk+\qq\to\kk',\kk''$ induced by $H_3$ treated in
second-order, due to the appearance in the latter of a very small
energy denominator at small angles between $\kk$ and
$\qq$)\footnote[37]{This energy denominator
$\hbar\omega_{\qq}+\hbar\omega_{\kk}-\hbar\omega_{\kk+\qq}$ would be
exactly zero at zero angle without the curvature terms in the
dispersion relation (\ref{eqe1X24}), which incidentally shows the
singularity of a $\gamma=0$ theory (to which we'll return in 
Section~\ref{sece4.3}).}.


\subsection{How to calculate phonon damping?}
\label{sece4.3}

Let's imagine that we apply a short pulse of Bragg excitation to the
gas, initially at thermal equilibrium, inducing a small coherent
Glauber displacement of amplitude $\alpha\in\mathbb{C}^*$ in the phonon
mode of wave vector $\qq$ without affecting the other modes, which
corresponds to the unitary evolution operator $U_{\rm
exc}=\exp(\alpha\hat{b}_{\qq}^\dagger-\alpha^*\hat{b}_{\qq})$~\footnote[38]{In
a cold atom experiment, Bragg excitation is induced by the
superposition of two far off-resonance laser beams of wave vectors
$\kk_1$ and $\kk_2$ with $\kk_1-\kk_2=\qq$; even if the $\pm \qq$
acoustic modes are initially empty ($\hbar\omega_{\qq}\gg k_{\rm B} T$)
and can only receive phonons, Raman (two-photon) processes---absorption
of a photon in one laser beam, stimulated emission in the 
other---induce $\pm\hbar(\kk_1-\kk_2)=\pm\hbar\qq$ momentum changes in the
Fermi gas and generally excite the two modes; however, 
the duration of the Bragg excitation can be adjusted so that the $-\qq$
mode emerges intact from the excitation procedure~\cite{Cartago}.}.
Immediately after excitation, we have a non-zero mean for the
corresponding annihilation operator: 
{\begin{equation}\label{eqe1X32}
\langle\hat{b}_{\qq}(0^+)\rangle=\alpha\neq 0
\end{equation}}\unskip 
This leads to an observable modulation of the mean gas density at wave
vectors $\pm\qq$ since $\langle\delta\hat{\rho}(\rr,0^+)\rangle$, a
linear combination of $\langle\hat{b}_{\kk}(0^+)\rangle$ and
$\langle\hat{b}_{\kk}^\dagger(0^+)\rangle$ as in note 35, is
then $\neq 0$. 

In the limit $\alpha\to 0$, i.e.\ in the linear response regime, the
many-body Green's function formalism applied to the effective
low-energy theory, hence to the phonon Hamiltonian (\ref{eqe3X29})
(rather than to a microscopic description of the Fermi gas with
interaction potential $V(\rr_{ij})$ as
references~\cite{tome9landau,FetterW} for example do), leads to the
exact expression 
{\begin{equation}\label{eqe2X32}
\langle\hat{b}_{\qq}(t)\rangle \stackrel{t&gt;0}{=} \alpha \eee^{-\ii\omega_{\qq} t} \int_{C_+} \frac{\dd\zeta}{2\ii\rmpi} \frac{\eee^{-\ii\zeta t/\hbar}}{\zeta-\Sigma_{\qq}(\zeta)}
\end{equation}}\unskip 
In this expression, $C_+$ is the integration path parallel to the real
axis in the upper complex half-plane, followed from right to left (from
$\re\zeta=+\infty$ to $\re\zeta=-\infty$), see Figure \ref{fige6}, and
$\Sigma_{\qq}(\zeta)$ is the self-energy at wave vector $\qq$ and complex
energy $\zeta$~\footnote[39]{In comparison with the usual
energy variable $z$ (of reference~\cite{FetterW}, for example), the
energy variable used here is shifted by the unperturbed energy of mode
$\qq$, $\zeta=z-\hbar\omega_{\qq}$. This explains why we were able to
take out the unperturbed phase factor in (\ref{eqe2X32}) and why
$\Sigma_{\qq}(\zeta)$ is taken at $\zeta=\ii 0^+$ in the approximation
(\ref{eqe1X34}) to come (it actually corresponds to $z
=\hbar\omega_{\qq}+\ii 0^+$).}, which is not known explictly but is
defined by its perturbative expansion to all orders in the
phonon--phonon interaction. Here, we restrict ourselves to the cubic
interaction $H_3$ (see Section \ref{sece4.2}) and the expansion takes
the following diagrammatic form 
\fxlabel{eqe1X33}
{\begin{fxequation}\label{eqe1X33}
%{\begin{equation}\label{eqe1X33}
\begin{array}{c}
{\inlinefig{fx04}}
\end{array}
%\end{equation}}\unskip
\end{fxequation}}\unskip
where the integer $n$ gives the order in $H_3$~\cite{insuffisance}. We
only indicate the topology; it remains to sum over all possible
non-redundant orientations of the internal lines, see example of
diagram section (\ref{eqe1X31})\footnote[40]{In the first diagram of
(\ref{eqe1X33}) (with one loop), (i) orienting the top line to the
right and the bottom line to the left and (ii) orienting the top line
to the left and the bottom line to the right correspond to the same
contribution, by invariance of the diagram by angle $\rmpi$ rotation
around its horizontal axis. The same applies to the inner loop of the
second diagram in (\ref{eqe1X33}), which is locally rotationally
symmetric. For the same reason of rotational symmetry (this time
global) of the diagrams of order $n=4$, we decide, in order to avoid
double counting, to put the inner loop in the upper branch and, in the
third diagram of (\ref{eqe1X33}), to orient the bridge downwards.}; a
precise value can then be assigned to each diagram, involving a sum
over the wave vectors and Matsubara frequencies of the internal
lines~\cite{FetterW}. 

\begin{figure}
\includegraphics{fig15}
\caption{\label{fige6}Integration path in the complex plane followed 
by Equation (\ref{eqe2X32}).}
\end{figure}


In order to obtain explicit results for the damping, we traditionally
perform the following two approximations\footnote[41]{Our
effective theory being exact to the leading order in temperature, we
use it only in the $T\to 0$ limit, fixing the ratio $\bar{q}=\hbar c
q/k_{\rm B}T$ so that the mode $\qq$ is also described exactly. We then
have $\omega_{\qq}/\Gamma_{\rm th}\to +\infty$ where $\Gamma_{\rm
th}=\Gamma_{q=k_{\rm B} T/\hbar c}$ is the thermalization rate of the
phonon gas and $\Gamma_q$ is the function (\ref{eqe3X34}), since the
exponent $\nu$ introduced in Figure \ref{fige7} on page \pageref{fige7}
is always $&gt;1$, see Table \ref{tablee1} on page \pageref{tablee1}: the
thermalization rate $\Gamma_{\rm th}$ tends towards zero faster than
the angular eigenfrequency $\omega_{\qq}$ and the mode by definition
enters the collisionless regime. In the opposite, hydrodynamic regime
$\omega_{\qq}\ll\Gamma_{\rm th}$, the phonon gas has time to reach local
thermal equilibrium at each oscillation point of the sound wave $\qq$,
and damping is described by viscosity-type coefficients in the
classical hydrodynamic equations of a two-fluid
model~\cite{Khalatlivre}.}: 
\begin{enumerate}[(1)]
\item the Markov approximation (the phonon gas seen by mode $\qq$
constitutes a reservoir with no memory, i.e.\ with negligible
correlation time): we ignore the energy dependence of the self-energy
as follows (see note 39), 
{\begin{equation}\label{eqe1X34}
\Sigma_{\qq}(\zeta)\simeq \Sigma_{\qq}(\ii 0^+)
\end{equation}}\unskip
The integral in Equation~(\ref{eqe2X32}) is then calculated by the
residue theorem (one closes the contour with an infinite semicircle in
the lower complex half-plane), 
{\begin{equation}\label{eqe2X34}
\langle\hat{b}_{\qq}(t)\rangle|_{\rm Markov} \stackrel{t\geq 0}{=} \alpha \eee^{-\ii\omega_{\qq} t} \eee^{-\ii \Sigma_{\qq}(\ii 0^+)t/\hbar}
\end{equation}}\unskip 
The signal decay in this case is exponential, with a rate corresponding
to the imaginary part of $\Sigma_{\qq}(\ii 0^+)$ (the real part gives the
change in the mode angular frequency).
\item Born approximation: $\im\Sigma_{\qq}(\ii 0^+)$ is calculated
perturbatively to leading order $n$ in $H_3$. The damping rate of
phonon $\qq$ is then\footnote[42]{To shed further light on the
approximation (\ref{eqe3X34}), let's point out for $n=2$ that it can be
obtained by the quantum master equation method well known in quantum
optics (we obtain a closed evolution equation for the density operator
$\hat{\rho}_S(t)$ of a small system $S$---here the phonon mode 
$\qq$---coupled to a large reservoir $R$---here the other phonon modes
$\kk\neq\qq$, by resorting to the Born--Markov
approximation)~\cite{CCTbordeaux,mon_cours} or, more simply, using
Fermi's golden rule (we calculate $\dd\langle\hat{n}_{\qq}\rangle/\dd t$,
where $\langle\hat{n}_{\qq}\rangle=\langle\hat{b}_{\qq}^\dagger
\hat{b}_{\qq}\rangle$ is the mean number of phonons in the
non-equilibrium mode $\qq$, by summing the incoming fluxes---population
processes $\kk,\kk'\to \qq$ and $\kk'\to \kk,\qq$---and outgoing 
fluxes---inverse depopulation processes $\qq\to\kk,\kk'$ and 
$\qq,\kk\to\kk'$---and linearizing just after the Bragg excitation,
as $(\dd/\dd
t)\delta n_{\qq}(t=0^+)=-\Gamma_{\qq} \delta n_{\qq}(t=0^+)$, where $\delta
n_{\qq}(t)\equiv \langle n_{\qq}\rangle(t)-\bar{n}_{\qq}$ is the deviation
from thermal equilibrium). For $n=4$, we find the same result
(\ref{eqe3X34}) by extending Fermi's golden rule to higher
orders~\cite{Landaumec}.}$^,$\footnote[43]{There's a little
mathematical subtlety here: if the leading order $n$ is $\geq 4$, the
Markov approximation must no longer simply replace $\Sigma_{\qq}(\zeta)$
with $\Sigma_{\qq}(\ii 0^+)$ but must approximate it by a Taylor
expansion around $\zeta=\ii 0^+$. For example, for $n=4$, we take
$\Sigma_{\qq}(\zeta)\simeq \Sigma_{\qq}(\ii
0^+)+\zeta\sofrac{\dd}{\dd\zeta}\Sigma_{\qq}(\ii 0^+)$ so that at order 4
in $H_3$,
$\zeta-\Sigma_{\qq}(\zeta)\simeq[1-\sofrac{\dd}{\dd\zeta}\Sigma_{\qq}(\ii
0^+)][\zeta-\Sigma_{\qq}^{(2)}(\ii 0^+)-\Sigma_{\qq}^{(4){\rm eff}}(\ii
0^+)]$ with $\Sigma_{\qq}^{(4){\rm eff}}(\ii 0^+)=\Sigma_{\qq}^{(4)}(\ii
0^+)+\Sigma_{\qq}^{(2)}(\ii 0^+)\sofrac{\dd}{\dd\zeta}\Sigma_{\qq}^{(2)}(\ii
0^+)$. Then replace $\Sigma_{\qq}^{(4)}(\ii 0^+)$ with
$\Sigma_{\qq}^{(4){\rm eff}}(\ii 0^+)$ in the damping rate expression
(\ref{eqe3X34}). In the three-dimensional concave case, this makes no
difference to $\Gamma_{\qq}|_{\mathrm{Born}\ndash\mathrm{Markov}}$, since
$\sofrac{\dd}{\dd\zeta}\Sigma_{\qq}^{(2)}(\ii 0^+)$ is a real quantity, as
is $\Sigma_{\qq}^{(2)}(\ii 0^+)$; in the two-dimensional concave case,
the conclusion is less obvious but remains the same, see note
48. On the other hand, this substitution must be made in
the calculation of the thermal angular frequency shift $\Delta_{\qq}$ of
the mode, $\hbar\Delta_{\qq}|_{\mathrm{Born}\ndash\mathrm{Markov}}=\re[\Sigma_{\qq}^{(2)}(\ii
0^+)+\Sigma_{\qq}^{(4){\rm eff}}(\ii 0^+)]-\mbox{idem at }T=0$.}
{\begin{equation}\label{eqe3X34}
\Gamma_{\qq}|_{\mathrm{Born}\ndash\mathrm{Markov}} = -\frac{2}{\hbar} \im\Sigma_{\qq}^{(n)}(\ii 0^+)
\end{equation}}\unskip
where the exponent gives the order in $H_3$. In the case of a convex
acoustic branch ($\gamma&gt;0$) in 3D, it's sufficient to go to order
$n=2$: this is the three-phonon Beliaev--Landau damping, much studied
theoretically and observed in liquid helium-4~\cite{Roach,hel4} and, to
a lesser extent, in bosonic cold-atom gases, only Beliaev damping
having been seen there~\cite{NirDav}. In the concave case ($\gamma&lt;0$),
we need to go to order $n=4$ (the first contribution in Equation
(\ref{eqe1X33}) is purely real for $\zeta=\ii 0^+$ because its energy
denominators, of the form
$\hbar\omega_{\qq}+\hbar\omega_{\kk}-\hbar\omega_{\kk+\qq}$ and
$\hbar\omega_{\qq}-(\hbar\omega_{\kk}+\hbar\omega_{\qq-\kk})$, cannot
vanish, but the next two are not in $\phi\phi\to\phi\phi$ processes);
this case has been little studied theoretically
(reference~\cite{Annalen} noted and corrected an error in the original
calculation~\cite{LK}, and reference~\cite{diffpferm} obtained a much
more explicit expression of the result, even generalizing it to a
non-zero phonon chemical potential $\mu_\phi$)\footnote[44]{If we restrict
ourselves at low temperature to the leading collisional processes
$\phi\phi\rightarrow\phi\phi$, the phonon number becomes a conserved
quantity, allowing us to take $\mu_\phi&lt;0$.} and it has, to our
knowledge, never been observed experimentally (no precise measurement
of $\Gamma_{\qq}^{\gamma &lt;0}$ has been made in any system). 
\end{enumerate}


 Let's determine the validity of the Born approximation by means of the
estimate of order $n \in 2\mathbb{N}^*$ given in
reference~\cite{insuffisance}: 
{\begin{equation}\label{eqe1X35}
\Sigma_{\qq}^{(n)}(\ii 0^+)\approx \int\left(\prod_{i=1}^{n/2}\dd^dk_i\right) \frac{\langle\ \ |L^{d/2}H_3|\ \ \rangle^n}{(\Delta E)^{n-1}}\approx |\gamma|T^3 \left(\epsilon_{d{\rm D}}=\frac{T^{2d-4}}{|\gamma|^{(5-d)/2}}\right)^{n/2}
\end{equation}}\unskip
where $d\geq 2$ is the dimension of space. The writing in the second
expression symbolically represents the product of $n$ matrix elements
of the cubic phonon interaction in the numerator and the product of
$n-1$ energy denominators (associated with $n-1$ intermediate states)
in the denominator, and the integral is taken over the independent
phonon wave vectors $\kk_i$. The order of magnitude in the third
expression is obtained as in reference~\cite{insuffisance} by
restricting to the small $O(|\gamma|^{1/2}T)$ angles between $\kk_i$
and $\qq$, which is legitimate when $T\to 0$~\cite{LK}; we omit here
the dependence in the density $\rho$, in $\xi=\hbar/mc$ and in the
coupling constant $\mathcal{A}$ of Equation~(\ref{eqe4X30}), unlike
reference~\cite{insuffisance}, but we keep that in the curvature
parameter $\gamma$, as we will soon link $\gamma$ and $T$. In short,
the Born expansion is legitimate in dimension $d = 3$ if its small
parameter tends to zero at low temperature: 
{\begin{equation}\label{eqe2X35}
\epsilon_{{\rm 3D}}=\frac{T^2}{|\gamma|}\underset{T\to 0}{\to} 0.
\end{equation}}\unskip
To discuss the validity of the Markov approximation, we assume that the
behavior of the self-energy in the vicinity of $\zeta=\ii 0^+$ is
characterized by two exponents, $\nu$ and $\sigma$, the one giving the
typical values $\propto T^\nu$ of its imaginary part and the one giving
its typical scale of variation $\propto T^\sigma$, as in Figure
\ref{fige7}~\footnote[45]{The exponents introduced here differ by one unit
from those in reference~\cite{insuffisance} due to a different choice
of convention.}$^,$\footnote[46]{For the sake of clarity, we have assumed in
Figure \ref{fige7} that the function shown has a maximum at the origin.
This is not necessarily true (the two-dimensional convex case of
reference~\cite{insuffisance} provides a counter-example, see its
Equation (114)). The true definition of exponents $\nu$ and $\sigma$ is
that the scaled function $\im
\Sigma_{\qq}(\zeta=\bar{\zeta}mc^2(k_{\rm
B}T/mc^2)^\sigma)/\ubreak[mc^2(k_{\rm B}T/mc^2)^\nu]$ has a
finite, non-zero limit as $T\to 0$ with fixed reduced complex energy
$\bar{\zeta}$ ($\im\bar{\zeta}&gt;0$).}. 
From Equation~(\ref{eqe3X34}), we therefore have 
{\begin{equation}\label{eqe3X35}
\Gamma_{\qq} \underset{T\to 0}{\approx} T^\nu
\end{equation}}\unskip 
The function $\Sigma_{\qq}(\zeta)$ then has a slow (negligible) energy
variation on the scale of the damping rate (which is indeed the inverse
of the characteristic time in Equation~(\ref{eqe2X32})) if it is wider
than high, which imposes 
{\begin{equation}\label{eqe1X36}
\nu&gt;\sigma
\end{equation}}\unskip
The exponent $\nu$ is obtained by an explicit calculation of the
right-hand side of Equation~(\ref{eqe3X34}) in the limit $T\to 0$, as
was done in reference~\cite{Annalen} for the three-dimensional
case\footnote[47]{The historical reference~\cite{LK} for fixed $\gamma&lt;0$
also finds $\nu = 7$ but the $q$ dependence of $\Gamma_{\qq}$ is
different, e.g.\ $\Gamma_{\qq}\approx q T^6$ in~\cite{LK} instead of
$q^3T^4$ in~\cite{Annalen} as $q\to 0$.} and in
reference~\cite{insuffisance} for the two-dimensional convex case; more
simply, we can use the estimate (\ref{eqe1X35}) with $n=2$ if
$\gamma&gt;0$ and $d\in\{2,3\}$, $n=4$ if $\gamma&lt;0$ and
$d=3$~\footnote[48]{For fixed $\gamma&lt;0$ and $d=2$,
Alice Sinatra obtained in 2021, in the formulation of
references~\cite{epl,Annalen}, the unpublished result that
$\im\Sigma_{\qq}^{(n=4)}(\ii 0^+)=0$ at order $T^3$ (the expected leading
order in temperature). To see this, it is actually simpler to use
expressions (84) and (85) in reference~\cite{insuffisance}: (i) in
(84), we can ignore processes $\phi\leftrightarrow\phi\phi\phi$ and
restrict ourselves to process $\phi\phi\to\phi\phi$ (second
contribution), the only one conserving energy--momentum; (ii) in the
integrand of (85), we are entitled to replace $\zeta$ by $0$ in the
numerator of the large fraction for the similar reason that processes
$\phi\leftrightarrow\phi\phi$ do not conserve energy--momentum---this
makes the numerator real; (iii) we then check that, if the scaled
energy difference $\Delta E/[k_{\rm B}T (k_{\rm
B}T/mc^2)^2]$ next to $\ii 0^+$ vanishes in the denominator of
the large fraction, as required by the Dirac distribution
$\delta(\Delta E)$ of the generalized Fermi golden
rule~\cite{Landaumec}, the numerator also vanishes (we show this by
formally replacing $\gamma$ in the numerator by its $\Delta
E$-cancelling expression, a rational function of the moduli and angles
of the phonon wavevectors).  In other words, the limit at $\zeta=0$
(but also at $\zeta=-\Delta E$) of the transition amplitude in the
numerator of the large fraction, considered as a rational fraction of
the angles, can be written $\Delta E\times P/Q$, where the polynomials
$\Delta E$, $P$ and $Q$ are two by two coprime.\tpar{}
However, this reasoning neglects possible edge effects in the integral
on phonon wave numbers, in the sense of reference~\cite{fermi1D}, where
one of the wave numbers tends to zero, which makes one of the energy
denominators of the $\phi\leftrightarrow\phi\phi$ processes tend to
zero. Including these edge effects, we find that the processes
$\phi\to\phi\phi\phi$, $\phi\phi\to\phi\phi$ and $\phi\phi\phi\to\phi$,
abbreviated as $1\to 3$, $2\to 2$ and $3\to 1$ in
reference~\cite{insuffisance}, each make a non-zero contribution to
$\im\Sigma_{\qq}^{(n=4)}(\ii 0^+)$ at order $T^3$, but the sum of these
contributions is exactly zero (the contribution of the edge
$q_1'+q_2'=q$ in $2\to 2$, i.e.\ 
$C\int_0^{\bar{q}}\dd\bar{k}\,(\bar{n}_k^{\rm lin}+\bar{n}_{q-k}^{\rm
lin}+1)\bar{k}(\bar{q}-\bar{k})/\bar{q}$, is exactly offset by $1\to
3$, and that of the edges $q_1'=0$ and $q_2'=0$ as a whole, i.e.\ 
$2C\int_{\bar{q}}^{+\infty}\dd\bar{k}\, (\bar{n}_{k-q}^{\rm
lin}-\bar{n}_k^{\rm lin})\bar{k}(\bar{k}-\bar{q})/\bar{q}$, is exactly
offset by $3\to 1$; here, $\bar{k}=\hbar c k/k_{\rm B}T$,
$\bar{n}_k^{\rm lin}=1/(\exp\bar{k}-1)$,
$\Lambda=\rho^2(\sofrac{\dd^3}{\dd\rho^3}e_0(\rho))/\ubreak(3 mc^2)$
and $C=k_{\rm B}T (k_{\rm
B}T/mc^2)^2[9(1+\Lambda)^2/8\rho\xi^2]^2/
[\rmpi(3\gamma)^2]$).\tpar{}
The conclusion is not changed by the correction $\Sigma_{\qq}^{(2)}(\ii
0^+)\sofrac{\dd}{\dd\zeta}\Sigma_{\qq}^{(2)}(\ii 0^+)$ of our note
43, as we find that factors $\Sigma_{\qq}^{(2)}(\ii 0^+)$
and $\sofrac{\dd}{\dd\zeta}\Sigma_{\qq}^{(2)}(\ii 0^+)$ are both real. This
was obvious for the first factor (the edge effects it presents in
1D~\cite{fermi1D} are suppressed in 2D by a lowering of the phonon
density of states at low wavenumber). This was not the case for the
second factor: because of edge effects in the integration over $\kk$
(see Equation (39) in reference~\cite{insuffisance}), the Beliaev and
Landau processes each give a non-zero contribution to
$\im\sofrac{\dd}{\dd\zeta}\Sigma_{\qq}^{(2)}(\ii 0^+)$ (it is
$2[9(1+\Lambda)^2/8\rho\xi^2]/[\bar{q}(3|\gamma|)^{3/2}]$ for Landau at
temperature leading order) but these contributions are exactly
opposite, in particular because the energy denominators
$\veps_{\qq}-(\veps_{\kk}+\veps_{\qq-\kk})$ and
$\veps_{\qq}+\veps_{\kk}-\veps_{\qq+\kk}$ are opposite $\sim\mp\hbar c
k[1-(v_q/c)\cos\theta]$ at leading order in $k$
($v_q=\dd\veps_{\qq}/\hbar\dd q$ is the group velocity and $\theta$ is
the angle between $\kk$ and $\qq$) and enter the derivative of the
Dirac distribution $\delta'(\veps)$, which is an odd function of its
argument.\tpar{}
The two-dimensional concave case is therefore special: the quantity
$\im\Sigma_{\qq}^{(4){\rm eff}}(\ii 0^+)$ of 
note~43---considered at all temperature orders---does
not give the correct
temperature scaling law $\propto T^3$ of the self-energy at fourth
order in $H_3$ on a $O(T^3)$ neighborhood of $\zeta=\ii 0^+$; nor does
it give the damping rate $\Gamma_{\qq}$, since the Born and Markov
approximations fail, as in the two-dimensional convex case (see the
last line of our Table~\ref{table1}). Note, however, still for
$\gamma&lt;0$, that the limiting case $\rho\xi^2\to +\infty$ of a very
weakly interacting underlying superfluid must be set apart as there we
have the additional small parameter $1/\rho\xi^2$ helping validity of
Markov (as in Section 3.2 of reference~\cite{insuffisance}) and Born
(as in Equation (17) of the same reference); this limiting case is
inaccessible in a gas of spin-$1/2$ fermions with contact interaction---we 
have $\rho\xi^2=O(1)$ when $\gamma&lt;0$~\cite{csdm}---but it is in a
Bose gas with an interaction range $\gtrsim\xi$ as considered in
reference~\cite{Annalen}.}. The exponent $\sigma$ is obtained by
generalizing the previous estimate to the case $\zeta\neq 0$, i.e.\ by
adding $\zeta$ to $\Delta E$ in (\ref{eqe1X35}); however, in an
expansion at small angles between $\kk_i$ and $\qq$, the part of
$\Delta E$ linear in the wave numbers vanishes, leaving only the cubic
contributions $\approx\gamma T^3$, so that, independently of the
dimension of space $d$, 
{\begin{equation}\label{eqe2X36}
\frac{1}{\zeta+\Delta E} \approx \frac{1}{\zeta+\gamma T^3} \quad\mbox{and therefore } T^\sigma\approx|\gamma|T^3
\end{equation}}\unskip
taking into account the dependence on the parameter $\gamma$, 
which---as we said---may vary with temperature. The resulting validity
condition $T^\nu=o(\gamma T^3)$ in (\ref{eqe1X36}) can be given a
simple interpretation: in the limit $T\to 0$ taken with the scaling law
$q\approx T$, the damping rate $\Gamma_{\qq}$ must tend to zero faster
than the $q^3$ term in $\omega_{\qq}$, 
{\begin{equation}
\Gamma_q\stackrel{\hbar c q/k_{\rm B}T\,\mbox{\scriptsize fixed}}{\underset{T\to 0}{=}}o(\omega_{\qq}^{(3)})\quad\mbox{with } \omega_{\qq}^{(3)}=\gamma mc^2(q\xi)^3/8\hbar
\end{equation}}\unskip
which is the true mark of the Markovian nature of damping (rather than
the naive perturbative condition $\Gamma_{\qq}=o(\omega_{\qq})$).

\begin{figure}
\includegraphics{fig16}
\caption{\label{fige7}In the limit $T\to 0$, the order of magnitude and typical
width of function $\im\Sigma_{\qq}(\zeta)$ near $\zeta=\ii 0^+$ are
assumed to be characterized by two power laws in temperature, with
exponents $\nu$ and $\sigma$ (taking into account a possible
temperature dependence of the curvature parameter
$\gamma$).}
\end{figure}


The situation is summarized in Table~\ref{tablee1} below\footnote[49]{In
the third row of the table, possible logarithmic factors $\ln(1/T)$ are
omitted for simplicity. These factors arise from the fact that, for
scaling laws $\gamma\propto T^2$ and $q\propto T$, the terms $q^3$ and
$q^5\ln q$ are of the same order of magnitude in the dispersion
relation (\ref{eqe1X24}): in this low curvature regime, the
logarithmico-quintic contribution to $\omega_{\qq}$ is no longer a small
correction and must be kept.}. The Born--Markov approximation is
therefore usable in dimension 3, except over a narrow interval of
values of $\gamma$, of width $\approx (k_{\rm B}T/mc^2)^2$ around
$\gamma = 0$; for $\gamma = 0$, the phonon dispersion relation
(\ref{eqe1X24}) deviates quintically from the linear law $cq$, which is
obviously a special case. 

\begin{table}
\caption{\label{tablee1}In the study of phonon damping in a superfluid,
validity of the Born--Markov approximation in the low-temperature limit
$T\to 0$ depending on the dimension of space $d$ and the curvature
parameter $\gamma$ of the acoustic branch (more precisely, its sign and
its temperature dependence, the third line holding regardless of the
sign of $\gamma$).}
\begin{tabular}{cccccc}
\thead
&amp; $\nu$ &amp; $\sigma$ &amp; Markov &amp; $\epsilon_{d{\rm D}}$ &amp;  Born \\
\endthead
$d=3,\gamma&gt;0$ \mbox{fixed}&amp; 5 &amp; 3 &amp; yes &amp; $\approx T^2\to 0$ &amp; yes \\
$d=3,\gamma&lt;0$ \mbox{fixed}&amp; 7 &amp; 3 &amp; yes &amp; $\approx T^2\to 0$ &amp; yes \\
$d=3,\gamma=O(T^2)$ &amp; 5 &amp; 5 &amp; no &amp; $\approx T^0\not\to 0$ &amp; no \\
$d=2,\gamma&gt;0$ \mbox{fixed}&amp; 3 &amp; 3 &amp; no &amp; $\approx T^0\not\to 0$ &amp; no 
\botline
\end{tabular}
\tabnote{The exponents $\nu$ and $\sigma$ used in the definition
(\ref{eqe1X36}) of the Markovian regime are shown in Figure
\ref{fige7}, and the small parameter of the Born expansion
$\epsilon_{d{\rm D}}$ is given in
Equation~(\ref{eqe1X35}).}
\end{table}


The precise calculation of the damping rate $\Gamma_{\qq}$ (or what takes
its place for non-exponential decay, such as the inverse of the width
of $|\langle\hat{b}_{\qq}(t)\rangle|^2$ at relative height $1/\eee$) for
these small values of curvature is, to our knowledge, an open question;
it is of great experimental relevance, as the interaction strength
leading to $\gamma=0$ seems to be close to the unitary limit (see
reference~\cite{PRAconcav} and our Section \ref{sece5.1}), the
preferred point for cold atom experiments in a regime of fairly high
values of $T_{\rm c}/T_{\rm F}$ and collisional properties conducive to
evaporative cooling~\cite{Shlyap}.

For good measure, we have also considered the two-dimensional convex
case in Table~\ref{tablee1}: the Born--Markov approximation fails here,
and reference~\cite{insuffisance} had to resort to a non-perturbative
heuristic approximation on the self-energy $\Sigma_{\qq}(\zeta)$ to reach
good agreement with classical field simulations (quantum hydrodynamics
operators $\hat{b}_{\qq},\hat{b}_{\qq}^\dagger$ replaced by complex numbers
$b_{\qq},b_{\qq}^*$) in the weakly interacting regime $\rho\xi^2\gg 1$ of
the underlying bosonic superfluid, where a small parameter was thought
to be available and to ensure the success of Fermi's golden rule even
in the $k_{\rm B}T/mc^2\to 0$ limit (this reasonable expectation,
confirmed in Section~3.2 of reference~\cite{insuffisance} to order two
in $H_3$, is invalidated in Section 4.3 of the same reference by a
calculation to order four)\footnote[50]{We haven't even mentioned the very
special case of dimension $d=1$, where two wave vectors make a very
small angle (zero!) as soon as they are in the same direction. Let's
just say that the Born small parameter is still given by Equation
(\ref{eqe1X35}), even though this equation was obtained under the
assumption $d\geq 2$. Restoring the density dependence as
in~\cite{insuffisance}, we find more precisely $\epsilon_{1\rm
D}=1/[\gamma^2\rho\xi(k_{\rm B}T/mc^2)^2]$, the prefactor in
(\ref{eqe1X35}) being written $\gamma (k_{\rm B}T)^3/(mc^2)^2$. In the
low-temperature limit $k_{\rm B}T/mc^2\to 0$ at $\rho\xi$ fixed
considered here, $\epsilon_{1\rm D}\to +\infty$ and we must immediately
resort to non-perturbative approximations on $\Sigma_{\qq}(\zeta)$ and
$\Gamma_{\qq}$, such as the self-consistent calculation of
references~\cite{auto1,auto2}. In the opposite weakly-interacting limit
$\rho\xi\to+\infty$ at $k_{\rm B}T/mc^2$ fixed, $\epsilon_{1\rm D}\to
0$ and we can use Fermi's golden rule as in reference~\cite{fermi1D};
more precisely, we expect the validity condition of the golden rule to
be written as $\rho\xi(k_{\rm B}T/mc^2)^2\gg \phi_{1\rm D}(\bar{q})$
where $\phi_{1\rm D}$ is some function of $\bar{q}=\hbar c q/k_{\rm
B}T$, forgetting the $\gamma$ dependence for simplicity (at a fixed
$\bar{q}$, the Born approximation imposes this condition, but the
Markov approximation is then also satisfied because we have
$\hbar\Gamma_{\qq}|^{\mathrm{golden}}_{\mathrm{rule}}
\approx\gamma[(k_{\rm B}T)^3/(mc^2)^2]\epsilon_{1\rm D}\approx k_{\rm
B}T/(\gamma\rho\xi)\ll\Delta E\approx\gamma(k_{\rm B}T)^3/(mc^2)^2$
where $\Delta E$, the typical Beliaev--Landau energy denominator, gives
the width in $\zeta$ of the self-energy as in Equation
(\ref{eqe2X36})). In 2D, as shown in reference~\cite{insuffisance}, the
perturbative $H_3$-expansion of the self-energy is subject to a similar
validity condition, $\rho\xi^2(k_{\rm B}T/mc^2)^2\gg \phi_{2\rm
D}(\bar{q})$, see its Equation~(96), which, unlike the 1D case, is not
obtained by simple power counting.}.

\subsection{Phase diffusion of the pair condensate}
\label{sece4.4}

A fundamental and practical question concerns the coherence time of the
pair condensate at thermal equilibrium in a Fermi gas perfectly
isolated from its environment.

For an infinite unpolarized system of $\uparrow$ and $\downarrow$
fermions, the coherence time is infinite, as asserted by the $U(1)$
symmetry-breaking phenomenon: in the grand canonical ensemble (term
$-\mu\hat{N}$ added to the Hamiltonian of the Fermi gas where $\mu$ is
the chemical potential and $\hat{N}$ the total number of particles
operator), the complex order parameter $\Delta(\rr,t)$ is uniform and
constant; in the canonical ensemble, it therefore evolves with the
undamped phase factor $\exp(-2\ii \mu t/\hbar)$~\footnote[51]{There is a
factor of 2 under the exponential because $\Delta$ is a pair-order
parameter whereas $\mu$ is the chemical potential of the fermions.
There is no factor of 2 in Equation~(\ref{eqe1X37}) because the phase
operator $\hat{\phi}_0$ is conjugate to the fermion density.}, advancing
at the immutable angular frequency $2\mu/\hbar$; in any case, the
coherence time is infinite. 

What about a finite size system (quantization box $[0,L]^3$, fixed
total number of fermions $N$)? To find out, let's follow
reference~\cite{brouilfer} and write the evolution equation for the
condensate phase operator, which we denote $\hat{\phi}_0$ as in
Equation~(\ref{eqe2X29}), in the quantum hydrodynamics
regime\footnote[52]{To obtain this equation, we had to eliminate
$\hat{b}_{\qq}\hat{b}_{-\qq}$ and
$\hat{b}^\dagger_{\qq}\hat{b}^\dagger_{-\qq}$ terms by temporal
smoothing; this is of no consequence, as they oscillate with a period
$\approx\hbar/k_{\rm B}T$ much shorter than the collisional timescales
of interest here (see below) and automatically average to zero.}:
{\begin{equation}\label{eqe1X37}
-\hbar\frac{\dd}{\dd t}\hat{\phi}_0 = \mu_0(\rho) + \sum_{\qq\neq\zero} \hat{b}_{\qq}^\dagger\hat{b}_{\qq} \frac{\dd}{\dd N}(\hbar\omega_{\qq}) \equiv \hat{\mu}
\end{equation}}\unskip 
In the second expression, $\mu_0(\rho)=\dd E_0/\dd N$ is the chemical
potential of the $N$ fermions in the ground state of energy $E_0$ at
density $\rho$, and the sum over $\qq$ can be interpreted as the
adiabatic derivative (meaning at fixed number operators
$\hat{b}_{\qq}^\dagger\hat{b}_{\qq}$ of the phonon modes) with respect to
$N$ of the corresponding sum in the phonon Hamiltonian $H_2$
(\ref{eqe4X29}). The second expression as a whole is therefore the
isentropic derivative of the Hamiltonian with respect to the total
number of particles. In this sense, it is a chemical potential operator
for the fermions, hence the notation $\hat{\mu}$ in the third
expression, and Equation~(\ref{eqe1X37}) is a quantum version of the
famous second Josephson relation, linking the time derivative  of the
(classical) phase of the order parameter to the equilibrium chemical
potential $\mu$. 


In a given realization of the experiment, which we assume to correspond
to a $N$-body eigenstate $|\psi_\lambda\rangle$ of energy $E_\lambda$
sampling the canonical ensemble, the occupation numbers
$\hat{b}_{\qq}^\dagger\hat{b}_{\qq}$ fluctuate and decorrelate under the
effect of incessant collisions between phonons due in particular to
$H_3$, see Equation~(\ref{eqe3X30}). At times long enough for a large
number of collisions to have taken place, we therefore expect a
diffusive spreading of the condensate phase, the variance of the random
phase shift increasing linearly with time: 
{\begin{equation}\label{eqe1X38}
\mathrm{Var}_\lambda[\hat{\phi}_0(t)-\hat{\phi}_0(0)] \underset{\Gamma_{\rm coll}^{\phi}t\gg 1}{\sim} 2 D_\lambda t
\end{equation}}\unskip
with a subintensive diffusion coefficient $D_\lambda$, i.e.\ $\approx
1/N$ in the thermodynamic limit. Here $\Gamma_{\rm
coll}^{\phi}=\Gamma_{q=k_{\rm B}T/\hbar c}$ is the typical collision
rate between thermal phonons (the function $\Gamma_q$ is that of
Equation~(\ref{eqe3X34})). The spreading (\ref{eqe1X38}) induces an
exponential loss of temporal coherence of rate $D_\lambda$, by virtue
of Wick's relation (the phase shift statistic in $|\psi_\lambda\rangle$
is expected to be approximately Gaussian~\cite{vraiediff}), 
{\begin{eqnarray}
\label{eqe2X38}
&amp;&amp;\left\langle\exp\{-\ii[\hat{\phi}_0(t)-\hat{\phi}_0(0)]\}\right\rangle_\lambda 
\simeq \exp[-\ii\langle\hat{\phi}_0(t)-\hat{\phi}_0(0)\rangle_\lambda] 
\exp\{-\textstyle\frac{1}{2}\mathrm{Var}_\lambda[\hat{\phi}_0(t)-\hat{\phi}_0(0)]\} \nonumber\\
&amp;&amp;\qquad\underset{\Gamma_{\rm coll}^{\phi}t\gg 1}{\simeq} 
\exp[-\ii\langle\hat{\mu}\rangle_\lambda t/\hbar] \exp(-D_\lambda t)
\end{eqnarray}}\unskip
which is confirmed by the resolvent analysis of
reference~\cite{brouilfer}\footnote[53]{If we assume
that the interacting phonon gas is an ergodic quantum
system~\cite{eth1,eth2}, the mean $\langle\hat{\mu}\rangle_\lambda$ in
the steady state $|\psi_\lambda\rangle$ depends only on the two
conserved quantities, the energy $E$ and the number of particles $N$,
and coincides for a large system with the microcanonical chemical
potential $\mu_{\rm mc}(E=E_\lambda,N)$. If the energy $E$ fluctuates
from one realization of the experiment to the next around the mean
value $\bar{E}$, as in the canonical ensemble, the phase factor in the
third expression of Equation~(\ref{eqe2X38}) fluctuates and leads to a
Gaussian-in-time loss of coherence: linearization of $\mu_{\rm
mc}(E,N)$ around $\bar{E}$ gives
$\mathrm{Var}\,[\hat{\phi}_0(t)-\hat{\phi}_0(0)]\sim[\partial_E \mu_{\rm
mc}(\bar{E},N)]^2(\mathrm{Var}\, E)t^2/\hbar^2$, a parasitic effect
$\approx t^2/N$ rapidly masking the phase diffusion (\ref{eqe1X38})
$\approx t/N$~\cite{superdiff}.}.

In the case $\gamma&gt;0$ of a convex acoustic branch, the situation
resembles that of weakly interacting Bose condensates well studied in
reference~\cite{praphase}: the dominant collisions are the three-phonon
Beliaev--Landau ones $\phi\leftrightarrow\phi\phi$, and $D_\lambda$ has
been calculated for the low-temperature Fermi pair condensate in
reference~\cite{diffpferm}; we give here a simplified expression,
keeping only the scaling laws in $N$, $T$ and $\gamma$ (under the
assumption $\gamma=O(1)$): 
{\begin{equation}\label{eqe3X38}
D_\lambda^{\gamma&gt;0} \approx N^{-1} T^4 \gamma^0.
\end{equation}}\unskip
There has been no experimental verification yet in cold atomic gases
(the only quantum fluids sufficiently well isolated for the condensate
loss of coherence to be intrinsic), even for bosons.

In the concave case $\gamma&lt;0$, on the other hand, the question remains
largely open. An attempt to calculate $D_\lambda$ in
reference~\cite{diffpferm}, taking into account only the
Landau--Khalatnikov four-phonon collision processes
$\phi\phi\to\phi\phi$ at small angles, of typical rate $\Gamma_{\rm
coll}^{\phi}\propto (k_{\rm B}T/mc^2)^7mc^2/\hbar|\gamma|\approx T^7$,
led to an infinite diffusion coefficient, 
{\begin{equation}\label{eqe1X39}
D_\lambda^{\gamma&lt;0} = +\infty
\end{equation}}\unskip
more precisely to a superdiffusive spreading law (simplified as in
(\ref{eqe3X38}))\footnote[54]{In all cases, see Equations (\ref{eqe3X38})
and (\ref{eqe2X39}), we find that there is no phase spreading at the
thermodynamic limit $N\to +\infty$: in an isolated gas, the limited
coherence time of the condensate is a finite-size effect.} 
{\begin{equation}\label{eqe2X39}
\mathrm{Var}_\lambda^{\gamma&lt;0} [\hat{\phi}_0(t)-\hat{\phi}_0(0)] \approx N^{-1} T^{20/3} |\gamma|^{1/3} t^{5/3}
\end{equation}}\unskip
in particular because collisions $\phi\phi\to\phi\phi$ preserve the
total number $N_\phi$ of phonons (unlike
$\phi\leftrightarrow\phi\phi$)\footnote[55]{$N_\phi$ should then be added
to the list of constants of motion, alongside $E$ and $N$, in note
53.}$^,$\footnote[56]{The fact that, for $\gamma&lt;0$, the phonon
damping rate $\Gamma_{\qq}$ tends towards zero as $q^3$ (instead of $q$
for $\gamma&gt;0$) also plays a role; however, without the conservation of
$N_\phi$, it would lead to a marginally superdiffusive $t\,\ln t$
spreading law (see Equation (C.20) of reference~\cite{diffpferm} and
the morality stated below its Equation (72)).}. To go beyond this and
obtain the true (a priori finite) value of $D_\lambda$ remains an open
question: one would have to take into account the subdominant
five-phonon processes $\phi\phi\leftrightarrow\phi\phi\phi$ which
change $N_\phi$ and occur at a rate $\approx T^9$~\cite{Khalat}, of the
same order of magnitude as that of large-angle $\phi\phi\to\phi\phi$
processes~\cite{LK,Annalen}, which is not
easy\footnote[57]{Publication~\cite{diffpferm}, misunderstanding
reference~\cite{Khalat}, had seen there a five-phonon damping rate
scaling as $T^{11}$. The error has been corrected here. Indeed,
reference~\cite{Khalat}, considering a quasi-thermal equilibrium with a
small non-zero phonon chemical potential $\mu_\phi\to 0^-$, obtains the
evolution equation $L^{-3}\dd N_\phi/\dd t=-\Gamma_\phi\mu_\phi$ for
the average phonon number, where $\Gamma_\phi\approx T^{11}$ is not the
rate sought despite appearances; as $L^{-3}\dd N_\phi/\dd t\approx
T^2\dd\mu_\phi/\dd t$ for Bose's law $\bar{n}_{\qq}=1/\{\exp[(\hbar c q
-\mu_\phi)/k_{\rm B}T]-1\}$, we actually have $-\dd\mu_\phi/\dd
t\propto (\Gamma_\phi/T^2)\mu_\phi$, of rate $\approx T^9$.}.

\section{Open questions requiring a microscopic theory of the many-body
problem} \label{sece5}

The quantum hydrodynamics of Section \ref{sece4} is only a low-energy
effective theory. It therefore has limitations of two kinds, which we
briefly review here, and which make it impossible to dispense with a
many-body microscopic calculation. 

\subsection{Determining the ingredients of quantum hydrodynamics}
\label{sece5.1}

Quantum hydrodynamics involves two quantities that are external to it,
the equation of state of the unpolarized Fermi gas at zero temperature
(through the energy density $e_0(\rho)$ or the chemical potential
$\mu_0(\rho)$---its derivative---at density $\rho$) and the curvature
parameter $\gamma$ of the acoustic branch (\ref{eqe1X24}). 


In the present case of equal mass $m_\uparrow=m_\downarrow=m$, the
equation of state has been measured experimentally~\cite{Salomon,mit}
and various approximate calculation methods give satisfactory results,
such as fixed-node diffusive quantum Monte
Carlo~\cite{Giorgini,Gezerlis} or the Gaussian fluctuations
approximation in a path integral formulation~\cite{Randeria,Drummond}. 

The situation is much more open for the curvature parameter $\gamma$.
The Anderson random phase approximation (RPA)~\cite{Anderson},
equivalent for this problem to the eigenfrequency calculation of
linearized time-dependent BCS equations or even to the more powerful
Gaussian fluctuations
approximation~\cite{Strinati,Randeria}\footnote[58]{These different
approaches lead to exactly the same implicit equation linking angular
eigenfrequency $\omega_{\qq}$, chemical potential $\mu$ and order
parameter $\Delta$, and exactly the same equation linking $\mu, \Delta$
and $s$-wave scattering length $a$~\cite{PRAconcav}; they differ only
in the equation of state $\mu=\mu_0(\rho)$ linking $\mu$ to $\rho$ in
the ground state, the one of Gaussian fluctuations being the most
accurate. For example, at the unitary limit $a^{-1}=0$, the approaches
all give $mc^2/\mu=2/3$ (this is exact by scale invariance,
$\mu_0(\rho)\propto \rho^{2/3}$ in Equation~(\ref{eqe2X30})),
$|\Delta|/\mu\simeq 1.16$ (close to the experimental value $0.44 E_{\rm
F}/0.376 E_{\rm F}\simeq 1.17$ knowing that $|\Delta|=E_{\rm pair}/2$
in these theories and that $E_{\rm pair}/2E_{\rm F}\simeq 0.44$ in the
experiment~\cite{Ketterle}) but the ratio $\mu/E_{\rm F}\simeq 0.376$
in the experiment~\cite{mit}, very poorly reproduced $\simeq 0.59$ by
RPA and BCS, is much better $\simeq 0.40$ in Gaussian fluctuations.},
leads to a fairly simple analytical expression of $\gamma$ in terms of
$\mu/|\Delta|$ and $(\partial\mu/\partial|\Delta|)_a$, exact in the
limit $k_{\rm F}a\to 0^+$ of a condensate of dimers ($\gamma\to 1$),
reasonable in the BCS limit $k_{\rm F}a\to 0^-$ ($\gamma\to -\infty$
exponentially with $1/k_{\rm F}|a|$ since the acoustic branch is
crushed by the broken-pair continuum) and changing sign for
$|\Delta|/\mu\simeq 0.87$, i.e.\ $1/k_{\rm F}a\simeq -0.14$ for the
rather approximate BCS equation of state, not far from the unitary
limit in any case~\cite{PRAconcav}.

In particular, $\gamma$ has the same positive value at the unitary
limit in all three approaches (convex acoustic branch at low $q$): 
{\begin{equation}\label{eqe1X41}
\gamma_{a^{-1}=0}^{\rm RPA}\simeq 0.084
\end{equation}}\unskip
The error, however, is uncontrolled, and we're not even sure of the
sign. 

A completely different method proceeds by extending the problem to an
arbitrary spatial dimension $d$ and expanding around dimension four, in
powers of the small parameter $\epsilon=4-d$. At the unitary limit, it
too predicts a convex branch at low $q$~\cite{Rupak}\footnote[59]{We
obtained expression (\ref{eqe2X41}) by directly inserting Equation (50)
of reference~\cite{Rupak} into the dispersion relation (48) of the same
reference and using the exact property $mc^2=2\mu/3$ due to scale
invariance. Proceeding differently, i.e.\ via its Equation (52) and its
result $c_2/c_1=O(\epsilon^2)\simeq 0$ with $d=3$ in its Equation (48),
we find the fairly close value $\gamma_{a^{-1}=0}^{\rm
dimension}=8/45\simeq 0.18$.}: 
{\begin{equation}\label{eqe2X41}
\gamma_{a^{-1}=0}^{\rm dimension} = \frac{1}{3}\left[1-\frac{1}{4}\epsilon+O(\epsilon^2)\right]\underset{d=3}{\stackrel{\epsilon=1}{\simeq}}\frac{1}{4}&gt;0
\end{equation}}\unskip

Experimentally, a recent measurement of the acoustic branch by Bragg
excitation in a cold-atom Fermi gas leads, on the contrary, to a
concave branch at the unitary limit~\cite{Moritz}:
{\begin{equation}\label{eqe1X42}
\gamma_{a^{-1}=0}^{\rm exp}=\frac{8\mu}{3E_{\rm F}}\zeta\simeq \zeta\quad\mbox{with }\zeta=-0.085(8)&lt;0
\end{equation}}\unskip
where the ratio $\mu/E_{\rm F}$ is $\simeq 3/8$ for the ground-state
unitary gas~\cite{mit} and $\zeta$ is the acoustic-branch curvature
parameter for a rescaling of $q$ by $k_{\rm F}$, $\omega_{\qq}=cq(1+\zeta
q^2/k_{\rm F}^2+\cdots)$. The result (\ref{eqe1X42}) suffers from two
limitations~\cite{comment}: (i) a cubic fit of the branch over an
interval of rather high $q$ values, $q/k_{\rm F}\in[0.29,1.63]$, rather
than over a narrow neighborhood of $q=0$ (for the RPA dispersion
relation, for example, which has an inflection point at $q\simeq 0.5
k_{\rm F}$, such a fit, blindly mixing convex and concave parts, would
not give the right sign of $\gamma_{a^{-1}=0}^{\rm RPA}$), and (ii) a
relatively high temperature, $T=0.128(8)T_{\rm F}\simeq 0.8\!T_{\rm
c}$: even if we start from the RPA branch of parameter $\gamma&gt;0$ in
the ground state, quantum hydrodynamics predicts a thermal change
$\delta\gamma_{\rm th}$ in curvature (by interaction of the mode $\qq$
with thermal phonons) negative enough to change its sign: 
{\begin{equation}\label{eqe2X42}
\delta\gamma_{\rm th}\sim -\frac{8\rmpi^2}{9(3\mu/E_{\rm F})^{1/2}}\left(\frac{T}{T_{\rm F}}\right)^2\simeq -0.14&lt;-\gamma_{a^{-1}=0}^{\rm RPA}
\end{equation}}\unskip
The question of the sign of $\gamma$ at the unitary limit, which
crucially determines the three-phonon ($\gamma&gt;0$) or four-phonon
($\gamma&lt;0$) nature of sound damping in the low-temperature
collisionless regime, therefore remains largely open\footnote[60]{The
damping studied experimentally in reference~\cite{Zwierlein_visco} is
in the hydrodynamic regime, in the sense of note 41. This
reference therefore does not allow us to resolve the problem.}.

\subsection{Describing high-frequency modes}
\label{sece5.2}

Quantum hydrodynamics, with its almost linear acoustic branch, cannot
reliably describe the sound waves of angular frequency
$\omega_{\qq}&gt;mc^2/\hbar$ in the Fermi superfluid. Ignoring the composite
nature of bound pairs $\uparrow\downarrow$, it is totally inapplicable
to angular frequencies $\omega\approx E_{\rm pair}/\hbar$, where
$E_{\rm pair}$ is the binding energy of a pair: at these frequencies,
pairs can break into two fermionic excitations $\chi$ (conservation of
energy no longer prohibits this), see Figure \ref{fige4}a.

A microscopic description of the Fermi gas is then required. At zero
temperature, the main method available is that of the time-dependent
BCS variational theory~\cite{BlaizotRipka}. Its specialization to the
linear response regime yields the following eigenvalue equation for the
energy $z$ of the modes of wave vector $\qq$: 
{\vspace*{3pt}}
{\begin{equation}\label{eqe1X43}
\mathrm{det}\, M(\qq,z)=0\quad\mbox{with } M(\qq,z)=
\begin{pmatrix} M_{|\Delta||\Delta|}(\qq,z) &amp; M_{|\Delta|\theta}(\qq,z)\\[5pt]
M_{\theta|\Delta|}(\qq,z) &amp; M_{\theta\theta}(\qq,z)\end{pmatrix}
\end{equation}}\unskip
where the coefficients of the $2\times 2$ matrix correspond to a
response in the modulus $|\Delta|$ or in the phase $\theta$ of the
complex order parameter $\Delta(\rr,t)$. In the weakly-interacting BCS
limit $k_{\rm F}a\to 0^-$, off-diagonal elements are usually (rightly)
neglected and the dynamics decouples into modulus and phase modes; in
the general case, this distinction no longer applies. 


The exploration of solutions to Equation~(\ref{eqe1X43}) has begun. At
a fixed wavenumber $q$, we find at most one root under the edge
$\veps_{\qq}^{\rm bord}$ of the broken-pair continuum, the root
$\hbar\omega_{\qq}$ of the acoustic branch. On the interval
$z\in\mathop{]}\veps_{\qq}^{\rm bord},+\infty\mathop{[}$, the function $\mathrm{det}\,
M(\qq,z)$ has a branch cut\footnote[61]{The matrix elements of $M(\qq,z)$
involve an integral over the wave vector $\kk$ of one of the
dissociation fragments of a bound pair of the condensate, and the
integrand contains the corresponding energy denominator
$z-(\veps_{\kk}+\veps_{\qq-\kk})$; by definition, the denominator
vanishes when $z$ belongs to the broken-pair continuum, see the legend
to Figure \ref{fige4}.}, it is necessary to add an infinitesimal shift
$\ii 0^+$ to $z$ to make sense of it; the function then acquires an
imaginary part, which cannot vanish simultaneously with the real part,
and Equation~(\ref{eqe1X43}) has no solution. On the other hand, a
complex $z_{\qq}$ with a non-infinitesimal $&lt;0$ imaginary part can be
found, by performing an analytic continuation of function
$z\mapsto\mathrm{det}\, M(\qq,z)$ from the upper half-plane to the
lower half-plane through its branch cut (indicated by arrow
$\downarrow$ in the subscript): 
{\vspace*{3pt}}
{\begin{equation}\label{eqe1X44}
\mathrm{det}M_{\downarrow}(\qq,z_{\qq})=0\quad\mbox{with } \im z_{\qq}&lt;0
\end{equation}}\unskip
There is therefore a collective mode in the continuum, which decays
exponentially in time through the emission of broken pairs. The
calculation was first performed in the BCS limit $k_{\rm F}a\to 0^-$,
both for neutral fermions and for electrons in a superconductor, in
reference~\cite{AndrianovPopov}. It was then generalized to fermionic
cold-atom gases for arbitrary values of $k_{\rm F}a$, no longer
neglecting the off-diagonal elements $M_{|\Delta|\theta}$ and
$M_{\theta|\Delta|}$~\cite{prlhiggs,crashiggs}. The Andrianov--Popov
branch persists up to $1/k_{\rm F}a=0.55$ (point of zero chemical
potential $\mu=0$ in BCS theory) and always starts at $2|\Delta|$
quadratically in $q$ with a complex coefficient: 
{\vspace*{3pt}}
{\begin{equation}\label{eqe1X45}
z_{\qq}\stackrel{\mu&gt;0}{\underset{q\to 0}{=}}2|\Delta|+\zeta
\frac{\hbar^2q^2}{4 m_*}+O(q^3) \quad (\im\zeta&lt;0)
\end{equation}}\unskip
where $m_*$ is the effective mass of a fermionic quasiparticle $\chi$
at the location $k=k_0$ of its energy minimum\footnote[62]{The effective
mass is such that $\veps_{\kk}-E_{\rm pair}/2\sim\hbar^2(k-k_0)^2/2m_*$
as $k\to k_0$. Scaling by $m_*$ in Equation~(\ref{eqe1X45}) ensures
that $\zeta$ has a finite, non-zero limit when $k_{\rm F}a\to
0^-$~\cite{AndrianovPopov}. In this regime, the well-known
reference~\cite{LV} predicts an incorrect behavior for $z_{\qq}$ at low
$q$, with an imaginary part tending linearly to zero $\propto q$, see
its Equation (2.38). The quantity $\zeta$ here has nothing to do with
that in Equation~(\ref{eqe1X42}), there is an unfortunate coincidence
of notations.}. We have written $2|\Delta|$ here rather than $E_{\rm
pair}$, where $\Delta$ is the equilibrium order parameter, even though
BCS theory is unable to distinguish (we have exactly $E_{\rm
pair}=2|\Delta|$ for all $\mu&gt;0$ in this theory), in order to evoke the
Higgs mechanism~\cite{Higgs} which we think the collective mode of the
continuum comes under~\cite{Varma}\footnote[63]{As this mechanism results
from $U(1)$ symmetry breaking, here by condensation of bound pairs, it
must be characterized by the energy scale associated with the order
parameter, i.e.\ $|\Delta|$ up to a factor; this is indeed what
reference~\cite{Higgs} finds, see its Equation (2b). On the other hand,
the energy scale $E_{\rm pair}$ is related to pair breaking, not pair
condensation, and therefore has no a priori connection with the Higgs
branch. Having $E_{\rm pair}=2|\Delta|$ is a source of confusion and
prevents the two phenomena from being decoupled. It would also be
interesting to see whether property $E_{\rm pair}=2|\Delta|$ remains
rigorously true at zero temperature in a theory more elaborate than BCS
or in experiments.}; moreover, in the opposite limit $k_{\rm F}a\to 0^+$
of a bosonic dimer condensate, where $2|\Delta|\ll E_{\rm pair}\sim
2|\mu|\sim\hbar^2/ma^2$ (this time we have $\mu&lt;0$), we do indeed find
a collective excitation branch starting quadratically at $2|\Delta|$
and not at $E_{\rm pair}$~\cite{crashiggs}. The extension of
Equation~(\ref{eqe1X43}) to non-zero temperature (beyond a simple
BCS-type mean-field generalization, perhaps insufficient\footnote[64]{This
generalization is not a panacea, as can be seen on the imaginary part
of the acoustic branch. For $\gamma&gt;0$ (but not for $\gamma&lt;0$), this
criticism can be leveled at RPA already at zero temperature, since it
wrongly predicts a purely real angular eigenfrequency $\omega_{\qq}$.
However, this doesn't seem too serious, since the imaginary part
$(-1/2)\Gamma_{\qq}(T=0)\approx q^5$ obtained by quantum hydrodynamics
(Beliaev damping) gets lost in the neglected sub-subdominant terms in
Equation~(\ref{eqe1X24}). This problem is most visible at low $q$ at
non-zero temperature, where $\Gamma_{\qq}(T&gt;0)$ starts linearly in $q$
with a coefficient $\propto T^4$ (exponent $\nu$ is 5 in Table
\ref{tablee1} for the scaling law $q\propto T$ of note~41), 
which the BCS-type mean-field theory cannot account
for (it predicts a coefficient $O[-\exp(E_{\rm pair}/2k_{\rm
B}T)]$~\cite{Kulik,Tempere} since the only thermal occupation numbers
it brings out are those $\bar{n}_{\kk}=1/[\exp(\veps_{\kk}/k_{\rm
B}T)+1]$ of fermionic quasiparticles $\chi$). In other words, the
linearization of the time-dependent BCS equations or, what amounts to
the same thing, the Gaussian fluctuations approximation takes into
account the $\phi-\chi$ coupling but not the $\phi-\phi$ coupling.})
remains to our knowledge an open\break question. 


From an experimental point of view, in cold atoms or superconductors,
excitation at angular frequencies $\omega&gt;E_{\rm pair}/\hbar$ has only
been carried out at zero wavenumber, where there is, according to zero
temperature theories, no collective mode in the continuum, the spectral
weight of the mode tending to 0 as $q\to 0$~\cite{prlhiggs}; at long
times, we simply observe oscillations of the order parameter at angular
frequency $E_{\rm pair}/\hbar$ (this is the effect of the non-zero edge
of the continuum), which attenuate with a power law
$t^{-\alpha}$~\cite{Shimano,ValePRL} by the same mechanism as the
spreading of the Gaussian wave packet of a free particle in ordinary
quantum mechanics (percussive excitation creates a ``wave packet'' of
broken pairs $(\kk,-\kk)$ in the continuum, whose evolution governed by
the dispersion relation $2\veps_{\kk}$ is effectively one-dimensional
for $k_0&gt;0$ ($\mu&gt;0$), in which case $\alpha=1/2$~\cite{Volkov}, and
three-dimensional for $k_0=0$ ($\mu&lt;0$), in which case
$\alpha=3/2$~\cite{Gurarie})\footnote[65]{The observations of
reference~\cite{ValePRL} in a unitary Fermi gas at $T\neq 0$ raise
several questions: (i) the measured exponent $\alpha\simeq 1\pm 0.15$
is very different from the theoretically predicted value ($\alpha=1/2$
at the unitary limit), (ii) it cannot be ruled out that the decay of
the oscillation amplitude is in fact exponential, (iii) in contrast to
the amplitude, the angular frequency of the oscillations shows no
observable reduction as $T$ approaches the transition temperature
$T_{\rm c}$ (where there is no more $U(1)$ symmetry breaking and
$|\Delta|$ tends to zero), which seems incompatible with the
qualification of Higgs oscillations used in this reference (the
measured angular frequency is not proportional to $|\Delta|/\hbar$),
but also suggests a rather troubling lack of dependence of $E_{\rm
pair}$ with temperature (the measured angular frequency should be given
by $E_{\rm pair}/\hbar$ since the excitation is done at $q=0$).
Incidentally, the temperature is never very low in the experiment,
$T\gtrsim 0.1T_{\rm F}$, see our Section \ref{sece2}, which makes the
theory at $T=0$ stricto sensu inapplicable.}. The~observation of the
continuum mode (at $q&gt;0$) and the precise measurement of its dispersion
relation $z_{\qq}$ therefore remain to be done (hints are given in
references~\cite{prlhiggs,Bragg}). 

\section*{Declaration of interests}
The authors do not work for, advise, own shares in, or receive funds
from any organization that could benefit from this article, and have
declared no affiliations other than their research organizations.

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\end{document}
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