%~Mouliné par MaN_auto v.0.43.0 (e8f1fc3f) 2026-09-29 15:13:53 \documentclass[CRPHYS,Unicode,biblatex,french]{cedram} \addbibresource{CRPHYS_Castin_20260250.bib} \usepackage{mathtools} \usepackage[np]{numprint} \usepackage{pdflscape} \usepackage{booktabs} \renewcommand{\arraystretch}{1.2} \usepackage{subcaption} \captionsetup{subrefformat=parens} \newcommand{\fact}[1]{#1\mathpunct{!}} \DeclareMathOperator{\re}{Re} \DeclareMathOperator{\im}{Im} \newcommand{\qb}{{\bar{q}}} \newcommand{\kb}{{\bar{k}}} \newcommand{\psib}{\bar{\psi}} \newcommand{\chib}{\bar{\chi}} \newcommand{\thb}{\bar{\theta}} \newcommand{\kk}{\mathbf{k}} \newcommand{\qq}{\mathbf{q}} \newcommand{\g}[1]{\og #1 \fg} \newcommand{\ii}{\mathrm{i}} \newcommand{\ff}{\mathrm{f}} \newcommand{\eee}{\mathrm{e}} \newcommand{\veps}{\varepsilon} \newcommand{\rmB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rmF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rmi}{\mathrm{i}} \newcommand{\rmt}{\mathrm{t}} \newcommand{\rmeq}{\smash{\mathrm{eq}}} \newcommand{\rmId}{\mathrm{Id}} 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with a concave acoustic branch} \author{\firstname{Yvan} \lastname{Castin}} \address{Laboratoire Kastler Brossel, ENS-Université PSL, CNRS, Université Sorbonne et Collège de France, 24 rue Lhomond, 75231 Paris, France} \email{yvan.castin@lkb.ens.fr} \author{\firstname{Mariia} \lastname{Tsimokha}} \address[1]{Laboratoire Kastler Brossel, ENS-Université PSL, CNRS, Université Sorbonne et Collège de France, 24 rue Lhomond, 75231 Paris, France} \begin{abstract} Nous considérons l'évolution collisionnelle vers l'équilibre du gaz de phonons spatialement homogène et isotrope d'un superfluide tridimensionnel à branche d'excitation acoustique concave, à une température \textit{T} non nulle mais arbitrairement basse. Les collisions à trois phonons \tralicstex{1\textit{ϕ} ↔ 2\textit{ϕ}}{$1\phi\leftrightarrow 2\phi$} sont interdites par la conservation de l'énergie-impulsion. Les collisions à quatre phonons \tralicstex{2\textit{ϕ} → 2\textit{ϕ}}{$2\phi\to 2\phi$} de Landau et Khalatnikov ne conduisent, au bout d'un temps \tralicstex{∝ \textit{T}\textsuperscript{--7}}{$\propto T^{-7}$}, qu'à un équilibre thermique partiel, une loi de Bose de potentiel chimique non nul pour les phonons, car elles en conservent le nombre total. La relaxation vers l'équilibre thermochimique complet est donc assurée par les collisions beaucoup plus lentes à cinq phonons \tralicstex{2\textit{ϕ} ↔ 3\textit{ϕ}}{$2\phi\leftrightarrow 3\phi$} de Khalatnikov, en un temps \tralicstex{∝ \textit{T}\textsuperscript{--9}}{$\propto T^{-9}$}. Au moyen d'équations cinétiques sur les nombres d'occupation des modes de phonons et après calcul explicite par l'hydrodynamique quantique de l'amplitude de collision \tralicstex{2\textit{ϕ} → 3\textit{ϕ}}{$2\phi\to 3\phi$} à basse température, nous déterminons l'évolution correspondante de la fugacité \tralicstex{\textit{z}\textsubscript{ϕ}}{$z_\phi$} du gaz de phonons depuis le régime non dégénéré \tralicstex{\textit{z}\textsubscript{\textit{ϕ}} = 0\textsuperscript{+}}{$z_\phi=0^+$} jusqu'à l'équilibre complet \tralicstex{\textit{z}\textsubscript{\textit{ϕ}} = 1\textsuperscript{--}}{$z_\phi=1^-$}. En utilisant la conservation de l'énergie totale, nous trouvons que la fugacité varie avec une loi de puissance non entière \tralicstex{∝ \textit{t}\textsuperscript{4/5} }{$\propto t^{4/5}$} aux temps courts et une loi exponentielle aux temps longs ; la vitesse de variation de l'entropie, toujours positive, est asymptotiquement proportionnelle au carré de la vitesse de variation de la fugacité, \tralicstex{(d/d\textit{t})\textit{S\textsubscript{ϕ}} ∝ [(d/d\textit{t})\textit{z\textsubscript{ϕ}}]\textsuperscript{2}}{$(\mathrm{d}/\mathrm{d}t)S_\phi\propto\bigl[(\mathrm{d}/\mathrm{d}t)z_\phi\bigr]^2$}, comme l'avait prédit Landau pour une transformation adiabatique arbitrairement lente. Nos résultats portent à son terme l'étude commencée par Khalatnikov en 1950 et pourraient être vérifiés expérimentalement dans un gaz d'atomes froids fermioniques de spin \tralicstex{1/2}{~$1/2$} dans le secteur du raccordement CBE-BCS où la branche acoustique est de départ concave, ou dans l'hélium~4 liquide superfluide à suffisamment haute pression. \end{abstract} \begin{altabstract} We consider the collisional evolution towards equilibrium of a spatially homogeneous and isotropic phonon gas of a three-dimensional superfluid with a concave acoustic excitation branch, at a non-zero but arbitrarily low temperature \textit{T}. Three-phonon collisions \tralicstex{1\textit{ϕ} ↔ 2\textit{ϕ}}{$1\phi\leftrightarrow 2\phi$} are forbidden by conservation of energy-momentum. Four-phonon collisions \tralicstex{2\textit{ϕ} → 2\textit{ϕ}}{$2\phi\to 2\phi$} of Landau and Khalatnikov lead, after a time \tralicstex{∝ \textit{T}\textsuperscript{--7}}{$\propto T^{-7}$}, only to a partial thermal equilibrium, a Bose law of non-zero chemical potential for the phonons, because they conserve the total number of phonons. Relaxation towards complete thermochemical equilibrium is therefore ensured by the much slower five-phonon collisions \tralicstex{2\textit{ϕ} ↔ 3\textit{ϕ}}{$2\phi\leftrightarrow 3\phi$} of Khalatnikov, in a time \tralicstex{∝ \textit{T}\textsuperscript{--9}}{$\propto T^{-9}$}. Using kinetic equations on the occupation numbers of the phonon modes and explicitly calculating the \tralicstex{2\textit{ϕ} → 3\textit{ϕ}}{$2\phi\to 3\phi$} collisional amplitude with quantum hydrodynamics at low temperature, we determine the corresponding evolution of the fugacity \tralicstex{\textit{z}\textsubscript{\textit{ϕ}}}{$z_\phi$} of the phonon gas from the non-degenerate regime \tralicstex{\textit{z}\textsubscript{\textit{ϕ}} = 0\textsuperscript{+}}{$z_\phi=0^+$} to complete equilibrium \tralicstex{\textit{z}\textsubscript{\textit{ϕ}} = 1\textsuperscript{--}}{$z_\phi=1^-$}. Using the conservation of total energy, we find that the fugacity varies with a non-integer power law \tralicstex{∝ \textit{t}\textsuperscript{4/5}}{$\propto t^{4/5}$} at short times and an exponential law at long times; the speed of change of entropy, always positive, is asymptotically proportional to the square of the speed of change of fugacity, \tralicstex{(d/d\textit{t})\textit{S\textsubscript{ϕ}} ∝ [(d/d\textit{t})\textit{z\textsubscript{ϕ}}]\textsuperscript{2}}{$(\mathrm{d}/\mathrm{d}t)S_\phi\propto\bigl[(\mathrm{d}/\mathrm{d}t)z_\phi\bigr]^2$}, as Landau predicted for an arbitrarily slow adiabatic transformation. Our results bring to a close the study initiated by Khalatnikov in 1950 and could be experimentally verified in a gas of cold spin-\tralicstex{1/2}{~$1/2$} fermionic atoms in the sector of the BEC-BCS crossover where the acoustic branch has a concave start, or in superfluid liquid helium-4 at sufficiently high pressure. \end{altabstract} \keywords{\kwd{Superfluide} \kwd{branche acoustique} \kwd{phonons} \kwd{équations cinétiques} \kwd{collisions phonons-phonons} \kwd{potentiel chimique} \kwd{limite de basse température}} \altkeywords{\kwd{Superfluid} \kwd{acoustic branch} \kwd{phonons} \kwd{kinetic equations} \kwd{phonon-phonon collisions} \kwd{chemical potential} \kwd{low-temperature limit}} \COI{Les auteurs ne travaillent pas, ne conseillent pas, ne possèdent pas de parts, ne reçoivent pas de fonds d'une organisation qui pourrait tirer profit de cet article, et n'ont déclaré aucune autre affiliation que leurs organismes de recherche} \begin{document} %\input{CR-pagedemetas} %\end{document} \maketitle \tableofcontents \section{Présentation du problème}\label{sec0} Considérons un système tridimensionnel isolé de particules bosoniques ou fermioniques en interaction à courte portée, spatialement homogène de densité volumique $\rho$ dans la boîte de quantification arbitrairement grande $[0,L]^3$, entièrement superfluide dans son état fondamental et admettant comme seule branche d'excitation sans bande interdite la branche acoustique de départ linéaire~\cite{SonWingate,Escobedo,insuffisance} \begin{equation}\label{eq:brac} \hbar\omega_\qq \underset{q\to 0^+}{=} \hbar c q \bracks[\Bigg]{1+\frac{\gamma}{8}\parens[\Bigg]{\frac{\hbar q}{mc}}^2+O(q^4\ln q)}. \end{equation} Ici $\omega_\qq$ est la pulsation propre des quanta d'excitation ---~les phonons $\phi$~--- de vecteur d'onde $\qq$, $c$ est la vitesse du son à température nulle, $m$ la masse d'une particule du superfluide et $\gamma$ un paramètre de courbure sans dimension. À température non nulle mais suffisamment basse, on ne peut peupler significativement d'autre branche d'excitation et le système se réduit à un gaz bosonique de phonons, dont la relation de dispersion~\eqref{eq:brac} évoque un hamiltonien quadratique de gaz parfait $\hat{H}_2=\sum_\qq \hbar\omega_\qq \hat{b}_\qq^\dagger \hat{b}_\qq$, mais qui en réalité interagissent par l'hamiltonien $\hat{H}_3$ de l'hydrodynamique quantique de Landau et Khalatnikov cubique en les opérateurs de création~$\hat{b}_\qq^\dagger$ et d'annihilation $\hat{b}_\qq$ des phonons, voir~\cite[section~2.1]{insuffisance}, \cite[section~24]{LandauStat2} et les références~\cite{LK,QO}\footnote{Comme toute théorie effective de basse énergie, l'hydrodynamique quantique doit être régularisée par une coupure ultraviolette et traitée selon les idées de la renormalisation habituelles en électrodynamique quantique ; ainsi, il faudrait prendre en principe comme pulsation propre $\omega_\qq$ dans $\hat{H}_2$ non pas la valeur mesurée expérimentalement $cq\bracks[\big]{1+(\gamma/8)(\hbar q/mc)^2+\dotsb}$ dite \g{effective} comme nous le faisons dans cet article, mais la valeur \g{nue} $c^{(0)}q\bracks[\big]{1+(\gamma^{(0)}/8)(\hbar q/mc^{(0)})^2}$ où $c^{(0)}$ et $\gamma^{(0)}$ sont la vitesse du son et le paramètre de courbure nus, non renormalisés. Le passage de la valeur nue à la valeur effective de $\omega_\qq$ se fait alors sous l'effet des interactions entre phonons. Cette procédure de renormalisation est un luxe inutile ici : nous calculons un taux d'amortissement par la règle d'or de Fermi généralisée et non pas un déplacement d'énergie, tout se passe sur la couche d'énergie collisionnelle et aucune coupure ultraviolette n'est requise.}\textsuperscript{,}\footnote{Dans l'hydrodynamique quantique, voir les références précitées, l'hamiltonien d'interaction entre phonons comporte également une contribution $\hat{H}_4$ quartique en les $\hat{b}$ et $\hat{b}^\dagger$, mais qui apporte dans la limite de basse température une contribution sous-dominante au taux de relaxation du nombre de phonons calculé ici, voir après notre équation~\eqref{eq:h3m} ; aussi en faisons-nous l'économie dans cette introduction.} : \begin{equation}\label{eq:H3} \hat{H}_3 = \frac{1}{L^{3/2}} \sum_{\qq,\qq'} \frac{1}{2}\mathcal{C}(\qq,\qq',\qq+\qq') \parens[\big]{\hat{b}^{\smash{\dagger}}_{\qq+\qq'}\hat{b}_\qq \hat{b}_{\qq'}+\text{h.c.}} +\frac{1}{3!} \mathcal{C}\parens[\big]{\qq,\qq',-(\qq+\qq')} \parens[\big]{\hat{b}_\qq\hat{b}_{\qq'}\hat{b}_{-(\qq+\qq')}+\text{h.c.}} \end{equation} avec l'amplitude de couplage dépendant du paramètre sans dimension $\Lambda$ de l'équation~\eqref{eq:defLam} : \begin{equation} \mathcal{C}(\qq,\qq',\qq'')=mc^2\parens[\Bigg]{\frac{\hbar^3 q q'q''}{8\rho m^3c^3}}^{1/2} \parens[\Bigg]{3\Lambda + \frac{\qq\cdot \qq'}{q q'} + \frac{\qq\cdot \qq''}{q q''} + \frac{\qq'\cdot \qq''}{q' q''} }. \end{equation} Le superfluide constitue donc un milieu non linéaire pour le son~\cite{Maris} et, rappelons-le, l'hamiltonien $\hat{H}=\hat{H}_2+\hat{H}_3$ s'applique quelle que soit la force des interactions dans le superfluide sous-jacent ou sa nature liquide ou gazeuse, pourvu que les nombres d'onde $q$ soient suffisamment faibles. Supposons que notre gaz de phonons soit préparé initialement dans un état excité spatialement homogène et isotrope de basse énergie mais hors d'équilibre, et demandons-nous comment il va relaxer vers l'équilibre thermodynamique complet de température $T_{\rmeq}$ et de potentiel chimique $\mu_\phi^{\rmeq}=0$ sous l'effet des collisions entre phonons (on a nécessairement $\mu_\phi^{\rmeq}=0$ puisque $\hat{H}_3$ ne conserve pas le nombre total de phonons $N_\phi$). Lorsque la branche acoustique~\eqref{eq:brac} est de départ convexe ($\gamma>0$), les processus de collision entre phonons dominants à basse énergie sont à trois phonons $1\phi\leftrightarrow2\phi$, ceux de désintégration $1\phi\to 2\phi$ de Belyaev (termes $\hat{b}^\dagger\hat{b}^\dagger\hat{b}$ dans $\hat{H}_3$) et ceux inverses de fusion $2\phi\to1\phi$ de Landau (termes $\hat{b}^\dagger\hat{b}\hat{b}$ dans $\hat{H}_3$), voir~\cite[section~34]{LandauStat2} et la référence~\cite{Maris}. Ils changent à la fois la distribution en vecteur d'onde $n_\qq$ des phonons et leur nombre total $N_\phi$, et conduisent à une atteinte a priori simultanée de l'équilibre thermique $T\to T_{\rmeq}$ et chimique $\mu_\phi\to \mu_\phi^{\rmeq}=0$, avec un taux de relaxation caractéristique $\Gamma_\phi^{\rmeq}\propto T_{\rmeq}^{5}$ au voisinage de l'équilibre~\cite{Annalen}\footnote{Nous considérons ici seulement les phonons thermiques typiques d'énergie $\hbar\omega_\qq\propto k_{\rmB}T$, qui sont à suffisamment basse température dans le régime faiblement collisionnel $\omega_\qq\gg\Gamma_\phi^{\rmeq}$ relevant de processus élémentaires $n\phi\leftrightarrow n'\phi$ bien identifiés. Nous ne parlons pas des phonons de pulsation $\omega_\qq\ll\Gamma_\phi^{\rmeq}$, qui sont dans le régime hydrodynamique décrit par des coefficients de transport macroscopiques comme la viscosité~\cite{KhalatLivre} et correspondant à un amortissement diffusif du son dans le fluide~\cite{diffus}. La même restriction vaut pour $\gamma<0$ vis-à-vis des collisions $2\phi\to 2\phi$.}. Ce cas monoéchelle n'est pas étudié ici. Lorsque la branche acoustique~\eqref{eq:brac} est de départ concave\footnote{Nous ne traitons pas ici le cas délicat $\gamma=0$, encore largement ouvert~\cite{QO}.} ($\gamma<0$), les processus à trois phonons ne conservent plus l'énergie-impulsion et les processus de collision dominants deviennent ceux à quatre phonons $2\phi\to 2\phi$ de Landau et Khalatnikov~\cite{LK,EPL,Annalen} (on notera plus généralement que les processus $1\phi\to n\phi$ et $n\phi\to 1\phi$ violent la conservation de l'énergie-impulsion pour tout $n>1$). Les processus à quatre phonons assurent certes la relaxation thermique de la distribution en vecteur d'onde des phonons vers une loi de Bose de potentiel chimique $\mu_\phi$, \begin{equation}\label{eq:loiB} n_\qq \to \bar{n}_\qq(T,\mu_\phi) = \frac{1}{\exp\bracks[\big]{\beta(\hbar\omega_\qq-\mu_\phi)}-1} \end{equation} où $\beta=1/k_{\rmB}T$, avec une constante de temps instantanée $\propto T^{-7}$ au sens où le taux d'amortissement des phonons d'énergie $\approx k_{\rmB}T$ est $\propto T^7 f(\beta\mu_\phi)$ avec $f(\beta\mu_\phi)\approx 1$ pour $\beta\abs{\mu_\phi}\lesssim 1$~\cite{etalement}\footnote{Nous l'avons dit, il est supposé dans ce travail que la distribution $n_\qq$ est isotrope. Dans le cas contraire, sa relaxation thermique par les processus $2\phi\to 2\phi$ peut prendre un temps $\propto T^{-9}$, ce qui ruine la séparation des échelles à venir, voir~\cite{Khalat1950} et~\cite[note~4]{etalement}. Par ailleurs, rappelons que, dans la limite de basse température prise ici, les interactions entre phonons apportent une correction négligeable à la distribution d'équilibre de gaz parfait~\eqref{eq:loiB}.}, mais pas la relaxation chimique de $\mu_\phi$ vers zéro car ils conservent le nombre total de phonons $N_\phi$. La thermalisation de $N_\phi$ résulte donc, dans une deuxième étape, de processus collisionnels d'ordre plus élevé, beaucoup plus lents à basse température: les processus sous-dominants à cinq phonons $2\phi\leftrightarrow 3\phi$, de temps caractéristique instantané $\propto T^{-9}$, voir~\cite{Khalat1950} et~\cite[note~57]{QO}\footnote{Quand le gaz de phonons est non dégénéré, c'est-à-dire de fugacité $z_\phi$ ---~définie plus loin~--- petite devant~$1$, le taux de thermalisation instantané par les processus $2\phi\to 2\phi$ est en fait proportionnel à $z_\phi T^7 \ll T^7$ où $T$ est la température instantanée, voir~\cite[équations (38)~et~(41)]{etalement}, si bien que la division en deux étapes par séparation des échelles de temps semble plus difficile à obtenir expérimentalement (il faudrait réduire encore plus la température). Heureusement, il n'en est rien. Dans la limite non dégénérée, le taux de relaxation instantané de $z_\phi$ par les processus $2\phi\leftrightarrow 3\phi$ est $\Gamma_\phi^{\rmnondeg}\equiv (\dd z_\phi/\dd t)/z_\phi\propto T_{\rmeq}^9/z_\phi^{5/4}$ d'après~\eqref{eq:mouv} ; or $T \propto T_{\rmeq}/z_\phi^{1/4}$ d'après~\eqref{eq:elim} donc $\Gamma_\phi^{\rmnondeg}\propto z_\phi T^9$ est lui aussi réduit par un facteur $z_\phi$. De plus, on trouve que $\Gamma_{2\phi\to 2\phi}^{\rmnondeg}/\Gamma_{2\phi\to 2\phi}^{\rmeq}\propto z_\phi T^7/T_{\rmeq}^7\propto z_\phi^{-3/4}\gg 1$ : le taux de collision $2\phi\to 2\phi$ thermique typique est en fait plus élevé dans le cas non dégénéré $z_\phi\ll 1$ qu'à l'équilibre complet $z_\phi=1^-$.}. Dans la limite $T_{\rmeq}\to 0^+$, en omettant un transitoire en $O(T_{\rmeq}^{-7})$, nous pouvons alors supposer que la loi de Bose~\eqref{eq:loiB} s'applique, avec une température $T(t)$ et un potentiel chimique $\mu_\phi(t)$ dépendant du temps $t$ à une échelle $T_{\rmeq}^{-9}$. L'objectif du présent travail est ainsi de déterminer, dans le cas d'une branche acoustique de départ concave ($\gamma<0$), la loi de relaxation du potentiel chimique des phonons vers zéro sous l'effet des collisions $2\phi\leftrightarrow 3\phi$, en reprenant la méthode théorique à base d'équations cinétiques développée qualitativement par Khalatnikov dans la référence~\cite{Khalat1950} mais en la rendant pleinement quantitative, en particulier (i)~en calculant explicitement l'amplitude de collision $\mathcal{A}_{2\phi\to 3\phi}$, (ii)~en menant à terme l'évaluation d'un facteur numérique global dans le taux de variation de $\mu_\phi$, et (iii)~en ne se limitant pas au voisinage de $\mu_\phi=0$ mais en décrivant tout l'intervalle $\mu_\phi\in \mathopen{]}-\infty,0]$. Dans la section~\ref{sec1}, nous écrivons la contribution des collisions $2\phi\leftrightarrow 3\phi$ aux équations cinétiques sur $n_\qq$, et nous en déduisons la vitesse de variation du nombre de phonons $(\dd/\dd t) N_\phi$ comme une fonctionnelle $\mathcal{F}$ des $n_\qq$ puis, après leur remplacement par la loi de Bose instantanée $\bar{n}_\qq\parens[\big]{T(t),\mu_\phi(t)}$, comme une fonction $F$ de $T(t)$ et $\mu_\phi(t)$. Dans la section~\ref{sec2}, nous calculons l'amplitude de collision $\mathcal{A}_{2\phi\to 3\phi}$ à basse température et la reportons dans la fonction $F$; la vitesse de variation $(\dd/\dd t) N_\phi$ devient proportionnelle à $T^{12}z_\phi^2(1-z_\phi)C_\phi(z_\phi)$ où $z_\phi=\exp(\beta\mu_\phi)$ est la fugacité des phonons et $C_\phi(z_\phi)$ est le facteur numérique ---~dépendant faiblement de $z_\phi$~--- mentionné plus haut. Enfin, dans la section~\ref{sec3}, en utilisant la conservation de l'énergie totale $E_\phi$ des phonons, nous relions $T(t)$ à $\mu_\phi(t)$ et obtenons une équation d'évolution fermée sur $\mu_\phi(t)$, plus commodément sur $z_\phi(t)$; nous en discutons la solution et son comportement aux limites $z_\phi=0^+,1^-$. Pour terminer cette entrée en matière, signalons que le problème considéré ici est loin d'être purement académique. Nos prédictions pourraient en effet être testées expérimentalement dans un gaz d'atomes froids fermioniques de spin~$1/2$ dans le secteur\footnote{Ce secteur devrait correspondre à un paramètre d'interaction $(k_{\rmF}a)^{-1}\in \mathopen{]}-\infty,(k_{\rmF}a)^{-1}_0\mathclose{[}$ où $k_{\rmF}$ est le nombre d'onde de Fermi et $a$ la longueur de diffusion dans l'onde $s$ entre atomes de spins opposés. Il contient à coup sûr la limite BCS $k_{\rmF}a\to 0^-$. Son point terminal $(k_{\rmF}a)^{-1}_0$, pour lequel $\gamma=0$, est probablement proche de la limite unitaire $(k_{\rmF}a)^{-1}=0$, mais n'est pas encore connu avec certitude : la référence~\cite{concav} prédit $(k_{\rmF}a)^{-1}_0\simeq -\np{0,14}$, du côté BCS donc, au moyen de la théorie BCS dépendant du temps linéarisée, alors que les mesures expérimentales de la référence~\cite{Moritz} trouvent $(k_{\rmF}a)^{-1}_0\simeq \np{0,2}$, du côté CBE donc ; ces mesures ne permettent cependant pas de trancher car elles souffrent de deux limitations discutées dans la référence~\cite{commentaire}.} du raccordement CBE-BCS où l'on a $\gamma<0$, ou même dans l'hélium 4 liquide porté à suffisamment haute pression pour que l'on ait $\gamma<0$~\cite{He1,He2} (à supposer qu'on puisse considérer l'hélium liquide comme un système isolé). \paragraph{Note sur la dimension~$2$} Il serait tentant de généraliser le présent travail à 2D, par exemple à un gaz bidimensionnel de fermions de spin~$1/2$ pour une force des interactions donnant une branche acoustique de départ concave~\cite{VanLoon}. L'hydrodynamique quantique de Landau et Khalatnikov ne suffit cependant pas, dans ce cas, à décrire l'interaction entre les phonons. Le problème était déjà connu pour le taux d'amortissement à quatre phonons $2\phi\to 2\phi$ de Landau et Khalatnikov, voir~\cite[note~48]{QO} : dans la limite $T\to 0^+$ aux petits angles, l'amplitude de transition\footnote{On a $\mathcal{A}_{2\phi\to2\phi} = \branket[\big]{\kk_1,\kk_2}{\hat{V}\hat{G}_0(E_{\rmi})\hat{V}}{\qq_1,\qq_2}$ avec $\hat{V}=\hat{H}_3^{(+)}+\hat{H}_3^{(-)}$ dans les notations de~\eqref{eq:fmix}. Or, chaque élément de matrice de $\hat{H}_3^{(\pm)}$ ---~ici au nombre de deux~--- donne un facteur $T^{3/2}$ au numérateur de l'amplitude de transition, comme on le voit sur~\eqref{eq:h3m}, et chaque dénominateur d'énergie ---~ici au nombre de un~--- sort un facteur $T^3$, comme dans~\eqref{eq:denomt3}.} $\mathcal{A}_{2\phi\to2\phi}$ est en fait identiquement nulle sur la couche d'énergie à l'ordre dominant naïvement prédit par comptage de puissances $(T^{3/2})^2/T^3=T^0$, quels que soient les modules et les angles en $O(T)$ des vecteurs d'onde des phonons thermiques entrants et sortants conservant l'énergie-impulsion ; l'amplitude est donc probablement d'ordre dominant vrai $T^2T^0=T^2$ (les ordres en~$T$ vont par pas de deux comme dans la relation de dispersion~\eqref{eq:brac} car l'interaction entre fermions est à courte portée), mais le calcul à cet ordre ne peut s'effectuer au moyen d'une théorie effective aussi simple que celle du présent travail (divers effets omis par cette théorie interviennent alors). La valeur précise du taux d'amortissement de Landau et Khalatnikov, qui dépend quadratiquement de $\mathcal{A}_{2\phi\to2\phi}$ dans la règle d'or de Fermi généralisée (voir~\cite[équation~(129)]{Annalen}), est donc probablement d'ordre $(T^2)^2T^3=T^7$ plutôt que le $T^3$ naïvement attendu~\cite{QO} et reste inconnue à 2D\@. Nous avons découvert que le même problème se pose pour les collisions $2\phi\leftrightarrow 3\phi$ faisant relaxer le nombre de phonons vers sa valeur d'équilibre : sur la couche d'énergie, l'amplitude de diffusion $\mathcal{A}_{2\phi\to 3\phi}$ est en fait identiquement nulle à l'ordre $(T^{3/2})^3/(T^3)^2=T^{-3/2}$ prédit par comptage de puissances sur son expression~\eqref{eq:fmix} et effectivement observé à 3D~\eqref{eq:resann}\footnote{Comme à 3D, on exprime les écarts angulaires réduits $\bar{\psi}_{\alpha i}$ et $\bar{\chi}_{ij}$ en fonction des variables indépendantes $\bar{\theta}_{12}, Z_1$ et $Z_2$ selon l'équation~\eqref{eq:tangred}, la seule différence étant que $Z_1, Z_2$ et donc $Z_3$ sont réelles à 2D (on a $\phi_1=0[\pi]$ et $\phi_2=0[\pi]$ dans~\eqref{eq:chvar} car $\kk_1$ et $\kk_2$ doivent être dans le même plan que $\qq_1$ et $\qq_2$), puis on les reporte dans la différence d'énergie~\eqref{eq:eimef} et l'amplitude de transition $2\phi\to 3\phi$~\eqref{eq:resann} écrites aux ordres dominants attendus. On trouve ainsi que le défaut d'énergie réduit $u-v$ est un polynôme de degré~$2$ en $\bar{\theta}_{12}$ et que l'amplitude réduite $\bar{\mathcal{A}}_{\ii\to\ff}$~\eqref{eq:Abar} est une fraction rationnelle $P(\thb_{12})/Q(\thb_{12})$ en la variable $\thb_{12}$, avec des polynômes $P$ de degré~$12$ et $Q$ de degré~$14$. On vérifie alors avec un logiciel de calcul formel que le reste de la division euclidienne de $P(\thb_{12})$ par $u-v$ est nul pour tous $Z_1,Z_2$. Il existe donc un polynôme $R$ de degré~$10$ en $\thb_{12}$ tel que $\bar{\mathcal{A}}_{\ii\to\ff}=R(\thb_{12})(u-v)/Q(\thb_{12})$.}; l'amplitude est donc probablement d'ordre dominant vrai $T^2T^{-3/2}=T^{1/2}$ à 2D, ce qui conduirait à un taux de relaxation du nombre de phonons en $T^7$, à calculer là aussi avec une théorie plus précise que notre hydrodynamique quantique\footnote{Soyons plus précis sur cette loi en $T^7$. En nous plaçant pour simplifier dans la limite asymptotique en temps $z_\phi=\exp(\mu_\phi/k_{\rmB}T)\to 1^-$, nous tirons de la version 2D de~\eqref{eq:dnphi} aux petits angles la loi d'échelle $(\dd/\dd t) N_\phi/\mathcal{V}\propto T^2(T^3)^3(T^{1/2})^2T^{-3}(1-z_\phi)C_\phi^{\rmtwoD}(z_\phi)\propto T^9(1-z_\phi)C_\phi^{\rmtwoD}(z_\phi)$ où le premier facteur provient de l'intégration sur $q_1$, le deuxième sur les modules et angles de $\qq_2,\kk_1,\kk_2$, le troisième du carré de $\mathcal{A}_{\ii\to\ff}$, le quatrième du delta de conservation de l'énergie et le cinquième des facteurs statistiques ; le sixième $C_\phi^{\rmtwoD}(z_\phi)$ est l'équivalent 2D du coefficient sans dimension~\eqref{eq:cphi}. Or, en dimension~$2$, l'énergie et le nombre de phonons thermiques sont de la forme $E_\phi\propto \mathcal{V}T^3e(z_\phi)$ et $N_\phi\propto\mathcal{V} T^2 n(z_\phi)$ où $\dd e/\dd z_\phi$ a une limite finie $>0$ en $z_\phi=1^-$, tandis que $\dd n/\dd z_\phi$ diverge comme $\abs[\big]{\ln(1-z_\phi)}$. De la conservation de l'énergie $\dd E_\phi/\dd t=0$ nous déduisons $\dd T/\dd t \propto T\dd(1-z_\phi)/\dd t$ ; alors $(\dd/\dd t) N_\phi/\mathcal{V} \propto T^2 \abs[\big]{\ln(1-z_\phi)} \dd (z_\phi-1)/\dd t$ et en définitive $\dd(z_\phi-1)/\dd t\propto -(z_\phi-1)[T^7 C_\phi^{\rmtwoD}(z_\phi)/\abs[\big]{\ln(1-z_\phi)}]$, d'où le taux de relaxation de $N_\phi$ en $T^7$ à 2D annoncé dans le texte principal. On voit bien cependant qu'il est impossible d'être aussi affirmatif sans connaître le comportement de $C_\phi^{\rmtwoD}(z_\phi)$ au voisinage de $z_\phi=1^-$ (le texte principal suppose implicitement ---~et sans fondement~--- que $C_\phi^{\rmtwoD}(z_\phi)\propto \abs[\big]{\ln(1-z_\phi)}$).}; pour couronner le tout, en admettant que ces estimations soient correctes, on n'aurait donc pas, à 2D, séparation des échelles de temps entre les collisions à quatre phonons et celles à cinq phonons, toutes deux en $T^{-7}$, ce qui interdirait de faire l'hypothèse~\eqref{eq:loiB}. \section{Équations cinétiques pour les collisions \texorpdfstring{$2\phi\leftrightarrow 3\phi$}{2 phi <-> 3 phi} et première expression de \texorpdfstring{$(\dd/\dd t) N_\phi$}{(dd/ dd t) N\_ phi}}\label{sec1} Écrivons, suivant la procédure habituelle (celle par exemple de~\cite[section~6.3.2.2]{livre}), les équations cinétiques (ou de taux ou de Boltzmann quantiques) donnant l'évolution du nombre de phonons $n_{\qq_1}$ du fluide dans le mode de vecteur d'onde $\qq_1$ sous l'effet des collisions à cinq phonons $2\phi\leftrightarrow 3\phi$: \begin{equation}\label{eq:dnq} \begin{split} \scalebox{.97}{$\displaystyle \restr{\frac{\dd}{\dd t} n_{\qq_1}}{2\phi\leftrightarrow 3\phi}$} & \scalebox{.95}{$\displaystyle = - \sum_{\qq_2} \frac{1}{3!}\sum_{\kk_1,\kk_2,\kk_3} \frac{2\pi}{\hbar} \abs[\big]{\mathcal{A}(\qq_1,\qq_2\to\kk_1,\kk_2,\kk_3)}^2\delta_{\qq_1+\qq_2,\kk_1+\kk_2+\kk_3} \delta\parens[\Bigg]{\sum_{\alpha=1}^{2}\hbar\omega_{\qq_\alpha}-\sum_{i=1}^{3}\hbar\omega_{\kk_i}}$} \\ & \hspace{.3\displaywidth} \scalebox{.97}{$\displaystyle \times \bracks[\Bigg]{\parens[\Bigg]{\prod_{\alpha=1}^{2} n_{\qq_\alpha}}\parens[\Bigg]{\prod_{i=1}^{3}(1+n_{\kk_i})}-\parens[\Bigg]{\prod_{i=1}^{3} n_{\kk_i}} \parens[\Bigg]{\prod_{\alpha=1}^{2} (1+n_{\qq_\alpha})}}$} \\ & \quad \scalebox{.97}{$\displaystyle - \frac{1}{2!} \sum_{\qq_2,\qq_3} \frac{1}{2!} \sum_{\kk_1,\kk_2} \frac{2\pi}{\hbar} \abs[\big]{\mathcal{A}(\qq_1,\qq_2,\qq_3\to\kk_1,\kk_2)}^2 \delta_{\qq_1+\qq_2+\qq_3,\kk_1+\kk_2} \delta\parens[\Bigg]{\sum_{\alpha=1}^{3}\hbar\omega_{\qq_\alpha}-\sum_{i=1}^{2}\hbar\omega_{\kk_i}}$} \\ & \hspace{.3\displaywidth} \scalebox{.97}{$\displaystyle \times \bracks[\Bigg]{\parens[\Bigg]{\prod_{\alpha=1}^{3} n_{\qq_\alpha}}\parens[\Bigg]{\prod_{i=1}^{2}(1+n_{\kk_i})}-\parens[\Bigg]{\prod_{i=1}^{2} n_{\kk_i}} \parens[\Bigg]{\prod_{\alpha=1}^{3} (1+n_{\qq_\alpha})}}.$} \end{split} \end{equation} Les taux de collision élémentaires s'expriment en termes des amplitudes de transition $2\phi\to3\phi$ ou $3\phi\to2\phi$ au moyen de la règle d'or de Fermi généralisée, brièvement justifiée dans l'annexe~\ref{ann:orgen}, dont on reconnaîtra le facteur $2\pi/\hbar$ et le delta de Dirac de conservation de l'énergie (les deltas de Kronecker assurent la conservation de l'impulsion). Dans la première contribution au second membre de~\eqref{eq:dnq}, le vecteur $\qq_1$ est entrant dans une collision $2\phi\to 3\phi$, ce qui entraîne une dépopulation du mode, d'où le signe moins global; il faut bien sûr sommer sur le second vecteur entrant possible $\qq_2$ et sur tous les vecteurs sortants $\kk_1,\kk_2,\kk_3$ possibles, en divisant la seconde somme par $3!$ pour tenir compte de l'invariance de l'état final par permutation des $\kk_i$. Mais nous avons astucieusement regroupé cette dépopulation avec le processus microscopique inverse $3\phi\to2\phi$, obtenu en échangeant tous les phonons entrants et tous les phonons sortants. Le processus inverse est un processus d'alimentation du mode puisque $\qq_1$ est cette fois sortant, d'où le signe moins entre crochets dans la deuxième ligne; il a bien entendu les mêmes deltas de conservation de l'énergie et de l'impulsion, mais aussi une amplitude de transition de même module au carré compte tenu du principe de microréversibilité: \begin{equation}\label{eq:rever} \abs[\big]{\mathcal{A}(\qq_1,\qq_2\to\kk_1,\kk_2,\kk_3)}^2 = \abs[\big]{\mathcal{A}(\kk_1,\kk_2,\kk_3\to\qq_1,\qq_2)}^2. \end{equation} En revanche, ses facteurs d'amplification bosonique sont différents, puisqu'il faut mettre un facteur $n$ pour chaque phonon entrant et un facteur $1+n$ pour chaque phonon sortant. La seconde contribution au second membre de~\eqref{eq:dnq}, sur la troisième et la quatrième ligne, s'analyse de la même manière. Cette fois, le vecteur $\qq_1$ est entrant dans une collision $3\phi\to2\phi$ ou sortant dans la collision inverse $2\phi\to 3\phi$. Il y a deux vecteurs d'onde libres sur lesquels sommer dans l'état asymptotique contenant $\qq_1$, et il y en a deux également dans l'autre état asymptotique; il faut donc diviser deux fois par $2!$ pour éviter les comptages multiples d'états. La dérivée temporelle du nombre total de phonons $N_\phi$ s'obtient en sommant~\eqref{eq:dnq} sur le vecteur d'onde $\qq_1$. Dans la seconde contribution, nous effectuons le changement de nom $\qq_\alpha\leftrightarrow \kk_i$ sur les variables muettes et utilisons à nouveau le principe de microréversibilité~\eqref{eq:rever} de façon à n'avoir partout qu'une amplitude de transition $2\phi\to 3\phi$. Ce changement étant fait, les deux contributions de~\eqref{eq:dnq} prennent même forme dans $(\dd/\dd t)N_\phi$: elles ne diffèrent plus que par un signe et par leurs nombres de symétrie $2\fact{}2!$ ou $3!$ au dénominateur, tout le reste se factorise. Il reste \begin{multline}\label{eq:dnphi} \frac{\dd}{\dd t} N_\phi = \frac{3-2}{2\fact{} 3!} \sum_{\qq_1,\qq_2 \vphantom{\kk}} \ \sum_{\kk_1,\kk_2,\kk_3} \frac{2\pi}{\hbar} \abs[\big]{\mathcal{A}(\qq_1,\qq_2\to\kk_1,\kk_2,\kk_3)}^2\delta_{\qq_1+\qq_2,\kk_1+\kk_2+\kk_3} \\ \times \delta\parens[\Bigg]{\sum_{\alpha=1}^{2}\hbar\omega_{\qq_\alpha}-\sum_{i=1}^{3}\hbar\omega_{\kk_i}} \bracks[\Bigg]{\parens[\Bigg]{\prod_{\alpha=1}^{2} n_{\qq_\alpha}}\parens[\Bigg]{\prod_{i=1}^{3}(1+n_{\kk_i})}-\parens[\Bigg]{\prod_{i=1}^{3} n_{\kk_i}} \parens[\Bigg]{\prod_{\alpha=1}^{2} (1+n_{\qq_\alpha})}}. \end{multline} Comme il est dit dans la section~\ref{sec0}, nous pouvons supposer ici que le gaz de phonons est dans un état d'équilibre partiel, thermique mais pas chimique, c'est-à-dire que les nombres d'occupation $n_{\qq_\alpha}$ et $n_{\kk_i}$ suivent la loi de Bose~\eqref{eq:loiB} de température $T$ et de potentiel chimique $\mu_\phi<0$ et sont remplaçables par $\bar{n}_{\qq_\alpha}$ et $\bar{n}_{\kk_i}$. Éliminons les facteurs $\bar{n}$ qui s'ensuivent dans~\eqref{eq:dnphi} au moyen de la relation \begin{equation} \bar{n}_{\qq_\alpha}=\eee^{-\beta(\hbar\omega_{\qq_\alpha}-\mu_\phi)}(1+\bar{n}_{\qq_\alpha}) \quad \text{ou} \quad \bar{n}_{\kk_i}=\eee^{-\beta(\hbar\omega_{\kk_i}-\mu_\phi)}(1+\bar{n}_{\kk_i}). \end{equation} Ceci fait sortir un facteur $z_\phi^2\exp\bracks[\big]{-\beta(\hbar\omega_{\qq_1}+\hbar\omega_{\qq_2})}$ dans le premier terme entre crochets, et un facteur $z_\phi^3 \exp\bracks[\big]{-\beta(\hbar\omega_{\kk_1}+\hbar\omega_{\kk_2}+\hbar\omega_{\kk_3})}$ dans le second, avec ---~rappelons-le~--- $z_\phi=\exp(\beta\mu_\phi)$. En présence du delta de Dirac de conservation de l'énergie, les exponentielles des énergies ont la même valeur dans ces facteurs, qu'on choisit d'écrire $\exp\bracks[\big]{-\beta(\hbar\omega_{\qq_1}+\hbar\omega_{\qq_2})}$. Pour éviter de multiplier les équations, éliminons un vecteur d'onde par conservation de l'impulsion, en convenant que \begin{equation}\label{eq:k3} \kk_3\equiv \qq_1+\qq_2-(\kk_1+\kk_2) \end{equation} et passons dans la foulée à la limite thermodynamique d'un volume de quantification $\mathcal{V}=L^3$ tendant vers l'infini, en anticipant le fait (établi dans la section~\ref{sec2}, voir son équation~\eqref{eq:resann}) que l'amplitude de collision varie comme \begin{equation} \mathcal{A}(\qq_1,\qq_2\to \kk_1,\kk_2,\kk_3) \sim \frac{\check{\mathcal{A}}_{\ii\to\ff}}{\mathcal{V}^{3/2}}. \end{equation} Ici, pour abréger, $\ket{\ii}$ représente l'état initial à deux phonons $\ket{\qq_1,\qq_2}$ et $\ket{\ff}$ l'état final à trois phonons $\ket{\kk_1,\kk_2,\kk_3}$, et l'amplitude $\check{\mathcal{A}}_{\ii\to\ff}$ ne dépend pas de la taille du système. On notera aussi $E_{\ii}=\hbar\omega_{\qq_1}+\hbar\omega_{\qq_2}$ l'énergie de l'état initial et $E_{\ff}=\hbar\omega_{\kk_1}+\hbar\omega_{\kk_2}+\hbar\omega_{\kk_3}$ celle de l'état final. Le remplacement des sommes sur les quatre vecteurs d'onde restants par des intégrales fait sortir un facteur $\mathcal{V}^4$, partiellement compensé par celui $1/\mathcal{V}^3$ provenant de l'amplitude au carré, comme il se doit ($N_\phi$ est une grandeur extensive $\propto \mathcal{V}$). Il vient finalement \begin{equation}\label{eq:res1} \resizebox{.93\displaywidth}{!}{$\displaystyle \frac{\dd}{\dd t} \frac{N_\phi}{\mathcal{V}} = \frac{1}{12} z_\phi^2(1-z_\phi) \int_{\mathbb{R}^{12}} \frac{\Dif{3}q_1\Dif{3}q_2 \Dif{3}k_1\Dif{3}k_2}{\bracks[\big]{(2\pi)^3}^4} \frac{2\pi}{\hbar} \abs{\check{\mathcal{A}}_{\ii\to\ff}}^2 \delta(E_\ii-E_\ff) \eee^{-\beta E_\ii} \prod_{\alpha=1}^{2} (1+\bar{n}_{\qq_\alpha}) \prod_{i=1}^{3} (1+\bar{n}_{\kk_i}).$} \end{equation} Cette expression est positive, et s'annule seulement pour $z_\phi=1$, c'est-à-dire pour un potentiel chimique de phonon nul $\mu_\phi=0$, comme on pouvait s'y attendre. Pour terminer, réduisons l'intégrale multiple dans~\eqref{eq:res1} au moyen de l'invariance par rotation. \begin{enumerate}\romanenumi \item Par isotropie globale, la direction du vecteur $\qq_1$ est sans importance. On peut donc placer $\qq_1$ selon l'axe $Oz$ d'un repère cartésien $\mathit{Oxyz}$ et dirigé vers le \og haut \fg{} (sens des $z$ croissants). On sort un facteur $4\pi$ d'angle solide total, et il reste à intégrer sur le module~$q_1$ de $\qq_1$ avec l'habituel jacobien sphérique $q_1^2$. \item La direction de $\qq_1$ étant ainsi fixée, il reste une invariance par rotation d'axe $Oz$; en coordonnées sphériques d'axe polaire $Oz$, l'intégrande ne dépend pas de l'angle azimutal du vecteur $\qq_2$. On peut donc placer $\qq_2$ dans le demi-plan $xOz$, $x>0$ (plan origine des angles azimutaux). On sort un facteur $2\pi$ d'angle azimutal total, et il reste à intégrer sur le module $q_2$ et l'angle polaire $\theta_{12}$ du vecteur $\qq_2$, avec l'habituel jacobien $q_2^2\sin\theta_{12}$. \item Les directions de $\qq_1$ et $\qq_2$ étant fixées, il n'y a plus d'invariance par rotation. On intègre sur les vecteurs restants $\kk_1$ et $\kk_2$ en coordonnées sphériques d'axe polaire $Oz$ et de demi-plan azimutal de référence $xOz$, $x>0$ ; on appelle $k_i$, $\psi_{1i}$ et $\phi_i$ le module, l'angle polaire et l'angle azimutal du vecteur $\kk_i$ correspondant. \end{enumerate} En d'autres termes, les vecteurs d'onde indépendants s'écrivent comme suit dans le repère cartésien $\mathit{Oxyz}$: \begin{equation}\label{eq:vecs} {\qq_1= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\q_1 \end{pmatrix}}, \quad {\qq_2= \begin{pmatrix} q_2\sin\theta_{12} \\ 0 \\ q_2 \cos\theta_{12} \end{pmatrix}}, \quad {\kk_1= \begin{pmatrix} k_1\sin\psi_{11}\cos\phi_1 \\ k_1\sin\psi_{11}\sin\phi_1 \\ k_1 \cos\psi_{11} \end{pmatrix}}, \quad {\kk_2= \begin{pmatrix} k_2\sin\psi_{12}\cos\phi_2 \\ k_2\sin\psi_{12}\sin\phi_2 \\ k_2 \cos\psi_{12} \end{pmatrix}}, \end{equation} le vecteur $\kk_3$ étant toujours donné par~\eqref{eq:k3}, et nous avons réduit~\eqref{eq:res1} à une intégrale nonuple: \begin{multline}\label{eq:res2} \frac{\dd}{\dd t} \frac{N_\phi}{\mathcal{V}} = \frac{z_\phi^2(1-z_\phi)}{6(2\pi)^9\hbar} \int_0^{+\infty} \dd q_1 \, q_1^2 \int_0^{+\infty} \dd q_2 \, q_2^2 \int_0^\pi \dd \theta_{12} \sin \theta_{12} \\ \times \int_0^{+\infty} \dd k_1 \, k_1^2 \int_0^\pi \dd \psi_{11} \sin \psi_{11} \int_0^{2\pi} \dd \phi_1 \int_0^{+\infty} \dd k_2 \, k_2^2 \int_0^\pi \dd\psi_{12} \sin \psi_{12} \\ \times \int_0^{2\pi}\dd\phi_2\, \abs{\check{\mathcal{A}}_{\ii\to\ff}}^2 \delta(E_\ii-E_\ff) \eee^{-\beta E_\ii} \prod_{\alpha=1}^{2} (1+\bar{n}_{\qq_\alpha}) \prod_{i=1}^{3} (1+\bar{n}_{\kk_i}). \end{multline} \section{Amplitude de collision \texorpdfstring{$2\phi\rightarrow 3\phi$}{2 phi -> 3 phi} et expression de \texorpdfstring{$(\dd/\dd t)N_\phi$}{(dd/ dd t) N\_ phi} à basse température}\label{sec2} L'ingrédient manquant dans l'expression~\eqref{eq:res2} de la dérivée temporelle du nombre de phonons est l'amplitude de collision $2\phi\to 3\phi$ entre les phonons thermiques, c'est-à-dire l'amplitude de transition $\mathcal{A}_{\ii\to\ff}$ entre l'état initial à deux phonons $\ket{\ii}=\ket{\qq_1,\qq_2}$ et l'état final à trois phonons $\ket{\ff}=\ket{\kk_1,\kk_2,\kk_3}$ sous l'effet de l'hamiltonien d'interaction phonon-phonon $\hat{V}$. Nous menons ici notre calcul à l'ordre dominant en température. Nous pouvons alors réduire~$\hat{V}$ à l'interaction cubique décrite dans la section~\ref{sec0}, qui plus est en la restreignant aux trios de vecteurs d'onde faisant un petit angle $O(T)$ entre eux ~\cite{LK,Annalen,Khalat1950}. Nous prenons en pratique $\hat{V}=\hat{H}_3^{(+)}+\hat{H}_3^{(-)}$, avec $\hat{H}_3^{(+)}=[\hat{H}_3^{(-)}]^\dagger$ et \begin{equation}\label{eq:h3m} \hat{H}_3^{(-)} {\overunderset{\rmpetits}{\rmangles}{=}} \frac{3mc^2(1+\Lambda)}{2\rho^{1/2}L^{3/2}} \sum_{\qq,\qq'}^{\widehat{(\qq,\qq')}=O(T)} \parens[\Bigg]{\frac{\hbar}{2mc}}^{3/2}\bracks[\big]{q q'(q+q')}^{1/2} \hat{b}^\dagger_{\qq+\qq'} \hat{b}_\qq \hat{b}_{\qq'} \end{equation} comme dans la référence~\cite{QO}. En particulier, comme l'ont montré les références~\cite{LK,Annalen,Khalat1950}, nous pouvons ignorer les processus non résonnants $\hat{b}^\dagger\hat{b}^\dagger\hat{b}^\dagger$ et $\hat{b}\hat{b}\hat{b}$ naturellement présents dans l'hamiltonien cubique $\hat{H}_3$ ~\eqref{eq:H3} de l'hydrodynamique quantique, ainsi que l'hamiltonien quartique~$\hat{H}_4$ prédit par cette théorie, voir~\cite[équations $(24,12)$~et~$(24,13)$]{LandauStat2}. Dans l'expression~\eqref{eq:h3m} comme dans~\eqref{eq:H3}, on a introduit le paramètre sans dimension \begin{equation}\label{eq:defLam} \Lambda= \frac{\rho\frac{\Dif{2}\mu_{0}}{\dd\rho^2}}{3\frac{\dd\mu_{0}}{\dd\rho}}= \frac{\rho^2\frac{\Dif{2}\mu_{0}}{\dd\rho^2}}{3 mc^2} \end{equation} où $\mu_{0}$ est le potentiel chimique du superfluide sous-jacent dans l'état fondamental et, rappe\-lons-le, $\rho$ est sa densité volumique, $m$ la masse d'une particule constituante et $c$ la vitesse du son à température nulle, effectivement donnée par $mc^2=\rho \, \dd\mu_{0}/\dd\rho$. \begin{figure}[!ht] \includegraphics[width=.9\textwidth]{table} \caption{Arbre de décision trouvant tous les diagrammes dans l'amplitude de transition~\eqref{eq:fmix} d'ordre~$3$ en $\hat{V}=\hat{H}_3^{(+)}+\hat{H}_3^{(-)}$ entre l'état initial à deux phonons $\ket{\ii}=\ket{\qq_1,\qq_2}$ et l'état final à trois phonons $\ket{\ff}=\ket{\kk_1,\kk_2,\kk_3}$. On rappelle qu'une action de $\hat{H}_3^{(+)}$ désintègre un phonon en deux (termes $\hat{b}^\dagger\hat{b}^\dagger\hat{b}$), et qu'une action de $\hat{H}_3^{(-)}$ fusionne deux phonons en un (termes $\hat{b}^\dagger\hat{b}\hat{b}$). On a exclu les cas de mesure nulle à la limite thermodynamique où il existe des relations simples entre ces différents vecteurs d'onde, comme $\qq_\alpha=\kk_j+\kk_l$, etc., autres que la conservation de l'impulsion totale.}\label{tab:arbre} \end{figure} De plus, à 3D, toujours grâce à la limite de basse température, il nous suffit de calculer l'amplitude de transition au premier ordre non nul en $\hat{V}$, ici l'ordre~$3$ comme dans l'annexe~\ref{ann:orgen}; comme nous sommes sur la couche d'énergie $E_\ii=E_\ff$ dans l'équation~\eqref{eq:res2}, nous utilisons la forme mixte suivante, qui conduit aux dénominateurs d'énergie les plus simples: \begin{equation}\label{eq:fmix} \mathcal{A}_{\ii\to\ff} = \branket[\big]{\kk_1,\kk_2,\kk_3}{\hat{V}\hat{G}_0(E_\ff)\hat{V}\hat{G}_0(E_i)\hat{V}}{\qq_1,\qq_2} = \sum_{\lambda,\mu}\frac{ \branket{\ff}{\hat{V}}{\mu} \branket{\mu}{\hat{V}}{\lambda} \branket{\lambda}{\hat{V}}{\ii}}{\Delta E_2(\mu)\, \Delta E_1(\lambda)} \end{equation} où $\hat{G}_0(z)=(z \rmId -\hat{H}_2)^{-1}$ est la résolvante de l'hamiltonien non perturbé $\hat{H}_2=\sum_\qq \hbar\omega_\qq\hat{b}_\qq^\dagger \hat{b}_\qq$ et nous avons introduit une relation de fermeture sur les états propres de $\hat{H}_2$ intermédiaires $\lambda,\mu$ avec les différences d'énergie $\Delta E_1(\lambda)=E_\ii-E_\lambda$ et $\Delta E_2(\mu)=E_\ff-E_\mu$. En explorant tous les cas possibles au moyen de la figure~\ref{tab:arbre}, nous aboutissons aux six diagrammes de la figure~\ref{fig:diag}, numérotés de~\subref{fig:diag_a} à~\subref{fig:diag_f}, dont les contributions à l'amplitude s'écrivent explicitement comme suit: \begin{align} \label{eq:ampa} \mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfiga} & = \sum_i \frac{ \branket{\kk_j,\kk_l}{\hat{V}}{\kk_j+\kk_l} \branket{\kk_j+\kk_l,\kk_i}{\hat{V}}{\qq_1+\qq_2} \branket{\qq_1+\qq_2}{\hat{V}}{\qq_1,\qq_2}} {(\veps_{\kk_j}+\veps_{\kk_l}-\veps_{\kk_j+\kk_l})(\veps_{\qq_1}+\veps_{\qq_2}-\veps_{\qq_1+\qq_2})}, \\ \label{eq:ampb} \mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfigb} & = \sum_{\alpha}\sum_{i\neq j}\frac{ \branket{\kk_l}{\hat{V}}{\qq_\beta,\kk_l-\qq_\beta} \branket{\kk_j,\kk_l-\qq_\beta}{\hat{V}}{\qq_\alpha-\kk_i} \branket{\kk_i,\qq_\alpha-\kk_i}{\hat{V}}{\qq_\alpha}} {(\veps_{\kk_l}-\veps_{\qq_\beta}-\veps_{\kk_l-\qq_\beta})(\veps_{\qq_\alpha}-\veps_{\kk_i}-\veps_{\qq_\alpha-\kk_i})}, \\ \label{eq:ampc} \mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfigc} & = \sum_\alpha\sum_i\frac{ \branket{\kk_j,\kk_l}{\hat{V}}{\kk_j+\kk_l} \branket{\kk_j+\kk_l}{\hat{V}}{\qq_\alpha-\kk_i,\qq_\beta} \branket{\kk_i,\qq_\alpha-\kk_i}{\hat{V}}{\qq_\alpha}} {(\veps_{\kk_j}+\veps_{\kk_l}-\veps_{\kk_j+\kk_l})(\veps_{\qq_\alpha}-\veps_{\kk_i}-\veps_{\qq_\alpha-\kk_i})}, \\ \label{eq:ampd} \mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfigd} & = \sum_\alpha\sum_{i\neq j}\frac{ \branket{\kk_l}{\hat{V}}{\qq_\alpha-\kk_i,\qq_\beta-\kk_j} \branket{\kk_j,\qq_\beta-\kk_j}{\hat{V}}{\qq_\beta} \branket{\kk_i,\qq_\alpha-\kk_i}{\hat{V}}{\qq_\alpha}} {(\veps_{\kk_l}-\veps_{\qq_\alpha-\kk_i}-\veps_{\qq_\beta-\kk_j})(\veps_{\qq_\alpha}-\veps_{\kk_i}-\veps_{\qq_\alpha-\kk_i})}, \\ \label{eq:ampe} \mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfige} & = \sum_\alpha\sum_i \frac{ \branket{\kk_j,\kk_l}{\hat{V}}{\kk_j+\kk_l} \branket{\kk_i}{\hat{V}}{\qq_\beta,\kk_i-\qq_\beta} \branket{\kk_i-\qq_\beta,\kk_j+\kk_l}{\hat{V}}{\qq_\alpha}} {(\veps_{\kk_j}+\veps_{\kk_l}-\veps_{\kk_j+\kk_l})(\veps_{\qq_\alpha}-\veps_{\kk_j+\kk_l}-\veps_{\kk_i-\qq_\beta})}, \\ \label{eq:ampf} \mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfigf} & = \sum_\alpha\sum_i \frac{ \branket{\kk_i}{\hat{V}}{\qq_\beta,\kk_i-\qq_\beta} \branket{\kk_j,\kk_l}{\hat{V}}{\kk_j+\kk_l} \branket{\kk_i-\qq_\beta,\kk_j+\kk_l}{\hat{V}}{\qq_\alpha}} {(\veps_{\kk_i}-\veps_{\qq_\beta}-\veps_{\kk_i-\qq_\beta})(\veps_{\qq_\alpha}-\veps_{\kk_j+\kk_l}-\veps_{\kk_i-\qq_\beta})}. \end{align} On a noté $\veps_\qq=\hbar\omega_\qq$ et $\veps_\kk=\hbar\omega_\kk$ les énergies propres des phonons et on a tenu compte de la conservation de l'impulsion à chaque sommet. De plus, comme sur la figure~\ref{fig:diag}, on a posé (i)~$\{\beta\}=\{1,2\}\setminus\{\alpha\}$ lorsqu'il y a une somme sur $\alpha\in\{1,2\}$, (ii)~$\{j,l\}=\{1,2,3\}\setminus\{i\}$ lorsqu'il y a une somme simple sur $i\in\{1,2,3\}$ (l'ordre choisi entre $j$ et $l$ est sans importance car le sommande est une fonction symétrique de ces indices, on peut par exemple imposer $jk_1+k_2$ lorsque tous les vecteurs entrants et sortants sont quasi colinéaires et de même sens: \begin{equation} k_3=(q_1+q_2-k_1-k_2)\bracks[\Bigg]{1+\frac{(\qq_1+\qq_2-\kk_1-\kk_2)^2-(q_1+q_2-k_1-k_2)^2}{(q_1+q_2-k_1-k_2)^2}}^{1/2}. \end{equation} Après développement des carrés au numérateur de la grande fraction, ne restent plus que des différences entre doubles produits de vecteurs et de scalaires, comme $-2\qq_\alpha\cdot\kk_i+2q_\alpha k_i=2q_\alpha k_i(1-\cos\psi_{\alpha i})\sim q_\alpha k_i \psi_{\alpha i}^2$. Les termes linéaires en nombre d'onde se compensent dans~\eqref{eq:diff} et nous retenons que \begin{equation}\label{eq:eimef} E_\ii-E_\ff \underset{T\to 0^+}{\sim} \frac{1}{2} k_{\rmB} T \abs{\gamma}\epsilon ^2 (u-v) \end{equation} avec \begin{align} \label{eq:defu} u & = \frac{\qb_1\qb_2\bar{\theta}_{12}^2+\kb_1\kb_2\bar{\chi}_{12}^2-\sum_{\alpha,i=1}^{2} \qb_\alpha\kb_i \bar{\psi}_{\alpha i}^2}{\qb_1+\qb_2-\kb_1-\kb_2}, \\ \label{eq:defv} v & = \frac{1}{4}\parens[\big]{\qb_1^3+\qb_2^3-\kb_1^3-\kb_2^3-\kb_3^3}. \end{align} Les comportements dominants en $\epsilon$ étant maintenant déterminés, on supposera satisfaite dans la suite la relation valable à l'ordre zéro: \begin{equation}\label{eq:defk3b} \qb_1+\qb_2 = \kb_1+\kb_2+\kb_3. \end{equation} Dans toutes ces formules, les différentes variables angulaires ne sont bien sûr pas indépendantes, mais s'expriment en fonction des angles polaires $\theta_{12},\psi_{11},\psi_{12}$ et azimutaux $\phi_1,\phi_2$ du paramétrage sphérique~\eqref{eq:vecs}. Les calculs trigonométriques requis sont un peu longs mais sans difficulté dans la limite des petits angles\footnote{On accède au sinus de l'angle cherché entre deux vecteurs au travers de la norme de leur produit vectoriel, sachant qu'on peut ici linéariser les sinus des angles autres qu'azimutaux et remplacer leur cosinus par un. Par exemple, la relation exacte $k_ik_3\sin\chi_{i3} = \abs{\kk_i\wedge\kk_3}$ ($i\in\{1,2\}$) donne, après usage de \eqref{eq:k3}~et~\eqref{eq:vecs} et linéarisation trigonométrique, $k_i k_3\chi_{i3}\sim k_i\abs[\big]{(\psi_{1i}\cos\phi_i,\psi_{1i}\sin\phi_i,1)\wedge (q_2\theta_{12}-k_j\psi_{1j}\cos\phi_j,-k_j\psi_{1j}\sin\phi_j,q_1+q_2-k_j\simeq k_3+k_i)}$ où $j\in\{1,2\}\setminus\{i\}$ et l'on a tenu compte de~\eqref{eq:defk3b} et du fait que $\kk_i\wedge\kk_i=\mathbf{0}$. Il en résulte que \begin{equation} \chi_{i3}\sim \abs[\Big]{\parens[\Big]{(k_3+k_i)\psi_{1i}\sin\phi_i+k_j\psi_{1j}\sin\phi_j, -\parens[\big]{(k_3+k_i)\psi_{1i}\cos\phi_i+k_j\psi_{1j}\cos\phi_j-q_2\theta_{12}},0}}/k_3 \end{equation} ou encore, après mise à l'échelle des nombres d'onde et des angles, $\bar{\chi}_{i3} = \abs[\big]{(\kb_3+\kb_i)z_i+\kb_jz_j-\qb_2\bar{\theta}_{12}}/\kb_3$ avec les nombres complexes $z_n=\bar{\psi}_{1n}\exp(\ii\phi_n),\ n\in\{1,2\}$. Ceci se réduit à $\bar{\chi}_{i3}=\abs{Z_i-Z_3}$ grâce à \eqref{eq:defk3b}~et~\eqref{eq:chvar}.}. Les résultats obtenus se simplifient grandement si l'on pense à introduire des variables complexes encapsulant $\psi_{11},\psi_{12}$ et $\phi_1,\phi_2$: \begin{equation}\label{eq:chvar} Z_1\equiv \bar{\psi}_{11}\exp(\ii\phi_1)-\frac{\qb_2}{\qb_1+\qb_2}\bar{\theta}_{12}, \qquad Z_2\equiv \bar{\psi}_{12}\exp(\ii\phi_2) -\frac{\qb_2}{\qb_1+\qb_2}\bar{\theta}_{12}, \qquad Z_3=-\frac{\kb_1 Z_1+\kb_2 Z_2}{\kb_3}. \end{equation} Le décalage proportionnel à $\bar{\theta}_{12}$ découple astucieusement cette variable angulaire des autres dans la forme quadratique $u$, voir plus bas, et la variable surnuméraire $Z_3$, non indépendante, permet de rétablir une certaine symétrie entre les vecteurs sortants $\kk_i$ (brisée dans le paramétrage \eqref{eq:k3}~et~\eqref{eq:vecs}). Alors, on a pour tout $i\in\{1,2,3\}$, $j\in\{1,2,3\}\setminus\{i\}$: \begin{equation}\label{eq:tangred} \bar{\psi}_{1i} = \abs[\Bigg]{Z_i+\frac{\qb_2}{\qb_1+\qb_2}\bar{\theta}_{12}}, \qquad \bar{\psi}_{2i} = \abs[\Bigg]{Z_i-\frac{\qb_1}{\qb_1+\qb_2}\bar{\theta}_{12}}, \qquad \bar{\chi}_{ij} = \abs{Z_i-Z_j} \end{equation} et \begin{equation} {u=\frac{\qb_1\qb_2}{\qb_1+\qb_2} \bar{\theta}_{12}^2 -\frac{1}{\kb_3} (Z_1^*,Z_2^*) M \binom{Z_1}{Z_2} \quad \text{où} \quad M = \begin{pmatrix} \kb_1(\kb_1+\kb_3) & \kb_1\kb_2\\ \kb_1\kb_2 & \kb_2(\kb_2+\kb_3) \end{pmatrix}}. \end{equation} On note que la matrice $M$ ainsi introduite est définie positive et de déterminant \begin{equation} \det M = \kb_1 \kb_2 \kb_3 (\kb_1+\kb_2+\kb_3). \end{equation} En reportant dans l'équation~\eqref{eq:res2} les résultats de cette section, nous obtenons finalement la vitesse de variation du nombre de phonons à l'ordre dominant en température, \begin{equation}\label{eq:res3} \boxed{ \frac{\dd}{\dd t} \frac{N_\phi}{\mathcal{V}} \underset{T\to 0^+}{\sim} k_{\rmB}T\frac{mc(1+\Lambda)^6}{\hbar^2\gamma^2\rho^3} \parens[\Bigg]{\frac{k_{\rmB}T}{\hbar c}}^{11} \frac{3^5}{4^7\pi^9}z_\phi^2(1-z_\phi)C_\phi(z_\phi)} \end{equation} avec un coefficient sans dimension fonction seulement de la fugacité des phonons, \begin{multline}\label{eq:cphi} C_\phi(z_\phi) = \int_0^{+\infty} \prod_{\alpha=1}^{2} \dd\qb_\alpha \prod_{i=1}^{3}\dd\kb_i \, \delta\parens[\Bigg]{\sum_{\alpha=1}^{2}\qb_\alpha-\sum_{i=1}^{3}\kb_i} I_{\rmang}(\qb_1,\qb_2,\kb_1,\kb_2,\kb_3) \\ \times\eee^{-(\qb_1+\qb_2)} \prod_{\alpha=1}^{2} (1+\bar{n}_{q_\alpha}^{\rmlin}) \prod_{i=1}^{3} (1+\bar{n}_{k_i}^{\rmlin}). \end{multline} Ici, $\bar{n}^{\rmlin}$ est la loi de Bose pour une relation de dispersion des phonons linéarisée, \begin{equation}\label{eq:nqlin} \bar{n}^{\rmlin}_{q}=\frac{1}{\eee^{\beta(\hbar c q-\mu_\phi)}-1}=\frac{1}{z_\phi^{-1}\exp \qb-1} \end{equation} et la fonction $I_{\rmang}$ est l'intégrale angulaire\footnote{L'intégrale dans $\mathbb{C}$ d'une fonction de la variable complexe $f(z)$, notée ici $J=\int_{\mathbb{C}}\Dif{2}z\, f(z)$, est définie comme l'intégrale dans $\mathbb{R}^2$ sur les parties réelle et imaginaire de $z$, $J=\int_{\mathbb{R}^2}\dd x \, \dd y \, f(x+\ii y)$. Avec un système de coordonnées polaires dans le plan complexe, c'est-à-dire une représentation de $z$ par son module $\psi>0$ et sa phase $\phi\in[0,2\pi[$ comme dans~\eqref{eq:chvar}, on obtient plutôt ---~mais de manière équivalente~--- $J = \int_0^{+\infty} \dd \psi \, \psi \int_0^{2\pi} \dd \phi \, f\parens[\big]{\psi\exp(\ii\phi)}$, ce qui est la forme apparaissant dans~\eqref{eq:res2} après linéarisation de $\sin\psi$ aux petits angles. La différence entre les variables $z$ et $Z$ dans~\eqref{eq:chvar} n'étant qu'une simple translation (de jacobien visiblement unité), ceci explique comment passer de l'intégrale sphérique sur la direction de $\kk_1$ ou $\kk_2$ dans~\eqref{eq:res2} à une intégrale sur le plan complexe dans~\eqref{eq:Iang}, un voisinage proche du pôle nord sur la sphère pouvant être approximé par le plan tangent.} \begin{equation}\label{eq:Iang} I_{\rmang}(\qb_1,\qb_2,\kb_1,\kb_2,\kb_3) = \frac{\qb_1\qb_2\kb_1\kb_2}{\kb_3} \int_0^{+\infty} \dd\bar{\theta}_{12}\, \bar{\theta}_{12} \int_{\mathbb{C}} \Dif{2}Z_1 \int_{\mathbb{C}} \Dif{2}Z_2 \, \abs[\big]{\bar{\mathcal{A}}_{\ii\to\ff}}^2 \delta(u-v). \end{equation} Une forme plus belle des intégrales~\eqref{eq:cphi} et~\eqref{eq:Iang}, et aussi plus facile à traiter numériquement, est donnée dans l'annexe~\ref{ann:simp}. Le coefficient $C_\phi$ est, comme les nombres d'occupation thermiques, une fonction croissante de $z_\phi$ ---~$I_{\rmang}$, intégrale d'une fonction positive, est positive~--- mais, nous le verrons dans la section~\ref{sec3}, en dépend en réalité assez peu. Terminons cette section par une remarque importante. On s'attend à ce que l'hydrodynamique quantique de Landau et Khalatnikov soit une théorie effective exacte à basse énergie, donc à ce que~\eqref{eq:res3} soit un équivalent exact de la vitesse de variation du nombre de phonons, quelle que soit la force des interactions dans le superfluide (nous n'avons pas de raison de mettre en doute les équations cinétiques en régime de couplage faible entre phonons). \section{Cinétique de relaxation de la fugacité des phonons}\label{sec3} La loi de Bose~\eqref{eq:loiB} fait intervenir deux variables dépendant du temps, la température $T(t)$ et la fugacité des phonons $z_\phi(t)=\exp\parens[\big]{\beta(t)\mu_\phi(t)}$ où $\mu_\phi(t)$ est le potentiel chimique des phonons. Nous ne disposons que d'une seule équation d'évolution, celle~\eqref{eq:res3} sur le nombre total de phonons $N_\phi$. Une seconde équation nous est heureusement fournie par la conservation de l'énergie totale des phonons $E_\phi$, notre fluide étant isolé dans le volume de quantification $\mathcal{V}$. Encore faut-il relier ces quantités à $z_\phi$ et $T$. Pour cela, le plus simple est de calculer le grand potentiel $\Omega_\phi(T,\mu_\phi,\mathcal{V})$ du gaz de phonons, toujours à la limite thermodynamique et, ce qui autorise à linéariser la branche acoustique, à l'ordre dominant en température: \begin{equation} \frac{\Omega_\phi}{\mathcal{V}} \underset{T\to 0^+}{\sim} k_{\rmB}T \int_{\mathbb{R}^3} \frac{\Dif{3}q}{(2\pi)^3} \ln\bracks[\big]{1-\eee^{-\beta(\hbar c q-\mu_\phi)}}= -mc^2\frac{\epsilon^4}{\pi^2\xi^3} g_4(z_\phi) \end{equation} où $\xi=\hbar/mc$ est la longueur dite de relaxation, $g_\alpha(z)=\sum_{n\geq 1} z^n/n^\alpha$ est une fonction de Bose ou polylogarithme et l'on pose $\epsilon=k_{\rmB}T/mc^2$ comme dans l'équation~\eqref{eq:defeps}. Les différentes grandeurs thermodynamiques se déduisent de la définition $\Omega_\phi=E_\phi-T S_\phi -\mu_\phi N_\phi$ et de la forme différentielle associée, $\dd\Omega_\phi=-S_\phi \, \dd T - N_\phi \, \dd \mu_\phi -P_\phi \, \dd\mathcal{V}$, avec $S_\phi$ l'entropie\footnote{On notera que, dans notre limite de basse température, $S_\phi$ est aussi l'entropie du système dans son ensemble, dans la mesure où les phonons sont les seules excitations peuplées thermiquement. On pourrait donc la noter $S$.} et $P_\phi$ la pression du gaz de phonons. En se souvenant que $(\dd/\dd\nu) g_\alpha(\eee^\nu)=g_{\alpha-1}(\eee^\nu)$, on obtient \begin{equation}\label{eq:grand} \frac{N_\phi}{\mathcal{V}} \sim \frac{\epsilon^3}{\pi^2\xi^3} g_3(z_\phi), \qquad \frac{E_\phi}{\mathcal{V}} \sim mc^2 \frac{3\epsilon^4}{\pi^2\xi^3} g_4(z_\phi), \qquad \frac{S_\phi}{\mathcal{V}k_{\rmB}} \sim \frac{\epsilon^3}{\pi^2\xi^3}\bracks[\big]{4 g_4(z_\phi) -g_3(z_\phi)\,\ln z_\phi}. \end{equation} La pression est proportionnelle à l'énergie volumique, $P_\phi\sim E_\phi/3\mathcal{V}$; c'est une propriété bien connue des gaz parfaits ultrarelativistes. La conservation de l'énergie permet d'éliminer $\epsilon(t)$ au profit de la fugacité $z_\phi(t)$, le plus commodément en termes de sa valeur $\epsilon_{\rmeq}=k_{\rmB} T_{\rmeq}/mc^2$ à l'équilibre thermochimique complet, atteint pour $z_\phi=1$ (asymptotiquement en temps) et repéré par l'indice \og eq \fg{} : \begin{equation}\label{eq:elim} \epsilon^4 g_4(z_\phi) = \text{cte} \underset{t\to +\infty}{=} \epsilon_{\rmeq}^4 g_4(1) = \epsilon_{\rmeq}^4 \zeta(4) \quad \text{donc} \quad \epsilon(t)=\epsilon_{\rmeq} \parens[\Bigg]{\frac{\zeta(4)}{g_4\parens[\big]{z_\phi(t)}}}^{1/4} \end{equation} où $\zeta$ est la fonction zêta de Riemann. Nous tirons alors des expressions~\eqref{eq:grand} et~\eqref{eq:res3} de $N_\phi$ et de sa dérivée l'équation du mouvement cherchée sur la fugacité: \begin{equation}\label{eq:mouv} \boxed{ \frac{1}{\Gamma_\phi^{\rmeq}}\frac{\dd}{\dd t}z_\phi = F(z_\phi) \equiv \frac{4\zeta(2)\zeta(4)-3\zeta^2(3)}{4g_2(z_\phi)g_4(z_\phi) - 3 g_3^2(z_\phi)} \parens[\Bigg]{\frac{\zeta(4)}{g_4(z_\phi)}}^{5/4} \frac{C_\phi(z_\phi)}{C_\phi(1)} z_\phi^3 (1-z_\phi)\geq 0.} \end{equation} Nous avons introduit le taux de relaxation $\Gamma_\phi^{\rmeq}$ de $z_\phi$ au voisinage de l'équilibre complet, \begin{equation}\label{eq:gamphieq} \Gamma^{\rmeq}_\phi\underset{T_{\rmeq}\to 0^+}{\sim}\frac{3^5}{(4\pi)^7} \frac{4\zeta(4) C_\phi(1)}{4\zeta(2)\zeta(4)-3\zeta^2(3)} \frac{(1+\Lambda)^6}{\gamma^2(\rho\xi^3)^3} \parens[\Bigg]{\frac{k_{\rmB}T_{\rmeq}}{mc^2}}^9 \frac{mc^2}{\hbar} \end{equation} pour nous ramener à une fonction $F(z_\phi)$ sans dimension et dépendant seulement de la fugacité. Ce taux est proportionnel à la température à la puissance neuf, comme nous l'annoncions dans la section~\ref{sec0}. Il entre dans l'équation de relaxation linéaire à laquelle obéit asymptotiquement toute grandeur $G$ variant ---~après élimination de $\epsilon$ comme dans~\eqref{eq:elim}~--- linéairement avec la fugacité en $z_\phi=1$ (au sens où $(\dd/\dd z_\phi)G(z_\phi)\neq 0$ en $z_\phi=1$), \begin{equation} \frac{\dd}{\dd t} G\parens[\big]{z_\phi(t)} \underset{\Gamma_\phi^{\rmeq}t\to+\infty}{\sim} -\Gamma_\phi^{\rmeq} \bracks[\big]{G\parens[\big]{z_\phi(t)}-G_{\rmeq}} \end{equation} telle que la température $T$, le potentiel chimique $\mu_\phi$ ou la densité $\rho_\phi=N_\phi/\mathcal{V}$ du gaz de phonons, \begin{equation} \begin{aligned} & \frac{\dd}{\dd t} T(t) \underset{\Gamma_\phi^{\rmeq}t\to+\infty}{\sim} -\Gamma_\phi^{\rmeq}\bracks[\big]{T(t)-T_{\rmeq}}, \\ & \frac{\dd}{\dd t} \mu_\phi \underset{\Gamma_\phi^{\rmeq}t\to+\infty}{\sim} -\Gamma_\phi^{\rmeq} \mu_\phi, \\ & \frac{\dd}{\dd t} \rho_\phi \underset{\Gamma_\phi^{\rmeq}t\to+\infty}{\sim} -\Gamma_\phi^{\rmeq} \bracks[\big]{\rho_\phi-\rho_\phi^{\rmeq}}. \end{aligned} \end{equation} Aux temps longs $\Gamma_\phi^{\rmeq}t\gg 1$, on peut en effet remplacer $G$ par son approximation affine $G(z_\phi)\simeq G_{\rmeq}+G'(1)(z_\phi-1)$ et utiliser le fait que, par définition, $(\dd/\dd t)z_\phi\sim -\Gamma_\phi^{\rmeq} (z_\phi-1)$. Ici $G'(1)$ est la dérivée de $G$ par rapport à $z_\phi$ en $z_\phi=1$. Si la grandeur $G$ varie au contraire quadratiquement ---~la dérivée première $G'(1)$ est nulle, la dérivée seconde $G''(1)$ est non nulle~---, on utilise plutôt l'approximation $G(z_\phi)\simeq G_{\rmeq}+(1/2)G''(1)(z_\phi-1)^2$ et la relaxation se produit asymptotiquement avec un taux double, \begin{equation} \frac{\dd}{\dd t} G(z_\phi) \underset{\Gamma_\phi^{\rmeq}t\to+\infty}{\sim} G''(1) (z_\phi-1) \frac{\dd}{\dd t} z_\phi \underset{\Gamma_\phi^{\rmeq}t\to+\infty}{\sim} -2\Gamma_\phi^{\rmeq} \bracks[\big]{G(z_\phi)-G_{\rmeq}} \end{equation} en sous-entendant la dépendance en temps de $z_\phi$ pour alléger, mais il est physiquement plus parlant d'écrire \begin{equation}\label{eq:insp} \frac{\dd}{\dd t} G(z_\phi) \underset{\Gamma_\phi^{\rmeq}t\to+\infty}{\sim} -\frac{G''(1)}{\Gamma_\phi^{\rmeq}} \parens[\Bigg]{\frac{\dd z_\phi}{\dd t}}^2. \end{equation} Ce cas de variation quadratique est celui de l'entropie $S_\phi$, dont l'expression~\eqref{eq:grand} et l'élimination~\eqref{eq:elim} conduisent à \begin{equation} \frac{S_\phi(z_\phi)}{S_\phi^{\rmeq}} = \parens[\Bigg]{\frac{\zeta(4)}{g_4(z_\phi)}}^{3/4} \frac{4 g_4(z_\phi)- g_3(z_\phi)\, \ln z_\phi}{4\zeta(4)} \end{equation} donc à\footnote{Nous disposons en effet des développements limités en $\nu=0$, $g_4(\eee^\nu)=\zeta(4)+\zeta(3)\nu+(1/2)\zeta(2)\nu^2+\dotsb$ et $g_3(\eee^\nu)=\zeta(3)+\zeta(2)\nu+\dotsb$ avec $\nu=\ln z_\phi$.} $S'_\phi(1)=0$ et \begin{equation} \frac{S''_\phi(1)}{S_\phi^{\rmeq}} = -\frac{4\zeta(2)\zeta(4)-3\zeta^2(3)}{16\,\zeta^{2}(4)} <0. \end{equation} L'équation~\eqref{eq:insp} appliquée à $S_\phi$ reproduit joliment la première formule hors texte de~\cite[section~11]{LandauStat}, issue d'un argument \og à la Landau \fg, dans le contexte un peu différent d'une transformation adiabatique pilotée de l'extérieur par la variation arbitrairement lente d'un paramètre physique du système. Plus généralement, dans notre problème, nous trouvons que l'entropie est toujours une fonction croissante du temps, en accord avec le second principe de la thermodynamique, même loin de l'état d'équilibre complet $z_\phi=1$: \begin{equation} \frac{1}{\Gamma_\phi^{\rmeq}}\frac{\dd}{\dd t} \frac{S_\phi(t)}{S_\phi^{\rmeq}} = \frac{4\zeta(2)\zeta(4)-3\zeta^2(3)}{16\,\zeta^2(4)}\parens[\Bigg]{\frac{\zeta(4)}{g_4(z_\phi)}}^3 (-\ln z_\phi) z_\phi^2(1-z_\phi) \frac{C_\phi(z_\phi)}{C_\phi(1)} \geq 0. \end{equation} Formellement, l'équation du mouvement~\eqref{eq:mouv} s'intègre facilement car elle est à variables séparables. De plus, comme elle est du premier ordre en temps, sa solution particulière correspondant à l'état initial $z_\phi(t=0)=0$ d'un gaz de phonons de Boltzmann ---~infiniment non dégénéré car infiniment peu dense~--- contient toutes les trajectoires possibles, à une redéfinition près de l'origine des temps. Cette solution particulière est donnée par \begin{equation}\label{eq:sol0} \int_0^{z_\phi(t)} \frac{\dd z_\phi}{F(z_\phi)} = \Gamma_\phi^{\rmeq}t. \end{equation} \begin{figure}[hb] \begin{subcaptiongroup} \includegraphics[width=6cm]{fig2a} \hspace{5mm} \includegraphics[width=6cm]{fig2b} \phantomcaption\label{fig2_a} \phantomcaption\label{fig2_b} \end{subcaptiongroup} \caption{Pour un gaz de $N_\phi$ phonons à l'équilibre thermique mais pas chimique ---~c'est-à-dire de fugacité \mbox{$z_\phi < 1$}~--- dans un superfluide isolé spatialement homogène de branche acoustique concave: \subref{fig2_a}~dépendance en $z_\phi$ du coefficient sans dimension~$C_\phi$ dans la vitesse de variation~\eqref{eq:res3} de $N_\phi$ sous l'effet des collisions à cinq phonons $2\phi\leftrightarrow 3\phi$ de Khalatnikov, et \subref{fig2_b}~relaxation correspondante de $z_\phi$ vers sa valeur à l'équilibre thermodynamique complet selon l'équation~\eqref{eq:sol0}. En~\subref{fig2_b}, en couleur, les comportements limites aux temps courts~\eqref{eq:courts} et aux temps longs~\eqref{eq:longs}. Le taux de relaxation asymptotique $\Gamma_\phi^{\rmeq}$ est donné par~\eqref{eq:gamphieq}.}\label{fig2} \end{figure} Il nous reste à calculer numériquement $C_\phi(z_\phi)$, comme il est expliqué dans l'annexe~\ref{ann:num} et représenté sur la figure~\ref{fig2}\subref{fig2_a}, pour tracer ladite solution particulière sur la figure~\ref{fig2}\subref{fig2_b}. Des expressions analytiques simples peuvent être obtenues dans des cas limites. Aux temps courts, la propriété $g_\alpha(z)\sim z$, $z\to 0$ conduit à \begin{equation} F(z_\phi) \underset{z_\phi\to 0^+}{\sim} \frac{4}{5} A z_\phi^{-1/4} \quad \text{avec} \quad A = \frac{5}{4} \bracks[\big]{\zeta(4)}^{5/4} \bracks[\big]{4\zeta(2)\zeta(4)-3\zeta^2(3)}\frac{C_\phi(0)}{C_\phi(1)} \end{equation} d'où la loi de puissance non entière \begin{equation}\label{eq:courts} z_\phi(t) \underset{\Gamma_\phi^{\rmeq}t\to 0^+}{\sim} (A \Gamma_\phi^{\rmeq}t)^{4/5} \end{equation} représentée en rouge sur la figure~\ref{fig2}\subref{fig2_b}. Numériquement, nous trouvons que \begin{equation}\label{eq:val01} C_\phi(0) = \np{3,528}(1) \times 10^4 \quad \text{et} \quad C_\phi(1) = \np{5,422}(3) \times 10^4 \quad \text{donc} \quad A = \np{2,502}(2). \end{equation} Aux temps longs, la propriété\footnote{La fonction $g_2(z_\phi)$ admet le terme singulier $-(z_\phi-1)\ln(1-z_\phi)$ dans son développement en $z_\phi=1^-$, car sa dérivée en ce point diverge comme $g_1(z_\phi)=-\ln(1-z_\phi)$. Numériquement, la dérivée de $C_\phi(z_\phi)$ semble elle aussi diverger logarithmiquement en $z_\phi=1^-$ (analytiquement, ceci résulte du fait que, pour $z_\phi=1$, le facteur statistique $\prod_{\alpha,i}(1+\bar{n})$ dans~\eqref{eq:cphi} diverge lorsqu'un ou plusieurs nombres d'onde réduits tendent vers zéro, tandis que $I_{\rmang}$ tend vers zéro toujours assez vite pour faire converger l'intégrale donnant $C_\phi(1)$ mais pas toujours assez vite pour faire converger celle donnant sa dérivée $C_\phi'(1)$). D'où la domination logarithmique du reste dans~\eqref{eq:devinvF}. Soyons plus précis sur le comportement de $I_{\rmang}(\qb_1,\qb_2,\kb_1,\kb_2,\kb_3)$~\eqref{eq:Iang} à faible nombre d'onde, en nous mettant directement sur la variété $\mathcal{W}$~\eqref{eq:defW} pour simplifier : \hypertarget{foot_a}{(a)}~si $\qb_1\to 0^+$ à $\kb_1$ et $\kb_2$ fixés, l'annulation est quartique $I_{\rmang}\propto \qb_1^4$ ; \hypertarget{foot_b}{(b)}~si $\kb_1\to 0^+$ à $\qb_1$ et $\kb_2$ fixés, elle est linéaire $I_{\rmang}\propto \kb_1$ ; \hypertarget{foot_c}{(c)}~si $\kb_1\propto \kb_2\to 0^+$ à $\qb_1$ fixé, elle est quintique $I_{\rmang}\sim C(\qb_1)\kb_1\kb_2 (\kb_1^3+\kb_2^3)+(4\pi/3)^2\qb_1 \qb_2 \kb_1 \kb_2 (\kb_1+\kb_2)^3$ où $C(\qb_1)$ est une certaine fonction de $\qb_1$ ; \hypertarget{foot_d}{(d)}~si $\qb_1\propto \kb_1\propto \kb_2\to 0^+$, elle est sextique $I_{\rmang}\sim (4\pi/3)^2\kb_1\kb_2\qb_1\bracks[\big]{\min\parens[\big]{\qb_1^3,(\kb_1+\kb_2)^3}+Y(\qb_1-\kb_1) \min\parens[\big]{\kb_2^3,(\qb_1-\kb_1)^3}+Y(\qb_1-\kb_2) \min\parens[\big]{\kb_1^3,(\qb_1-\kb_2)^3}}$ avec $Y$ la fonction de Heaviside. Nous obtenons ces résultats dans la représentation de l'annexe~\ref{ssec:chvar}, c'est-à-dire avec le paramétrage~\eqref{eq:cgz12} des variables complexes $Z_1$ et $Z_2$ en termes de $\zeta_+$ et $\zeta_-$, l'écriture~\eqref{eq:Iangjol} de $I_{\rmang}$ comme une intégrale sur $\zeta_+$ et $\zeta_-$ dans le plan complexe et l'expression~\eqref{eq:thb120num} de l'angle $\thb_{12}$ sur la couche d'énergie. Le résultat~\hyperlink{foot_a}{(a)} s'obtient en passant dans~\eqref{eq:Iangjol} à la limite $\qb_1\to 0^+$ sous le signe intégral à $\zeta_+$ et $\zeta_-$ fixés et en montrant que $\bar{\mathcal{A}}_{\ii\to\ff} \propto \qb_1^2$ (les termes dominants dans~\eqref{eq:Abar} sont $\propto 1/\smash{\thb}_{12}^{(0)2}\propto \qb_1$ mais ils se compensent à cet ordre). Le résultat~\hyperlink{foot_b}{(b)} s'obtient en effectuant le changement de variable $\zeta_-=\kb_1^{1/2}\check{\zeta}_-$ puis en passant à la limite $\kb_1\to 0^+$ à $\zeta_+$ et $\check{\zeta}_-$ fixés (on vérifie que $\bar{\mathcal{A}}_{\ii\to\ff} \propto \kb_1^0$, le facteur $\kb_1$ provient du jacobien $\Dif{2}\zeta_-/\Dif{2}\check{\zeta}_-$). Si l'on prend $\kb_2>\kb_1$ pour simplifier les notations, le résultat~\hyperlink{foot_c}{(c)} s'obtient en passant à la limite (i)~à $\zeta_+$ et $\check{\zeta}_-=\zeta_-/\kb_1^{1/2}$ fixés ($\mathcal{A}_{\ii\to\ff}\propto \kb_2^2$, les termes dominants $\propto \kb_2$ se compensent), puis (ii)~à $\zeta_-$ et $\check{\zeta}_+=\zeta_+/\kb_2^{1/2}$ fixés ($\mathcal{A}_{\ii\to\ff}\propto \kb_1^2$, les termes dominants $\propto \kb_1$ se compensent), et enfin (iii)~à $\zeta_+$ et $w\in\mathbb{C}$ fixés avec le changement de variable $\zeta_-=\zeta_-^{\chib_{12}=0}(\zeta_+) + w \kb_2^{3/2}$ (ici $\zeta_-^{\chib_{12}=0}(\zeta_+) = \bracks[\big]{(a-b)/(a+b)}(m_-/m_+)^{1/2}\zeta_+$ est la valeur de $\zeta_-$ annulant $\chib_{12}$ à $\zeta_+$ fixé). Toujours pour $\kb_2>\kb_1$, le résultat~\hyperlink{foot_d}{(d)} s'obtient d'abord en passant à la limite à $\check{\zeta}_+=\zeta_+/\kb_2^{1/2}$ et $w$ fixés, après avoir effectué les changements de variables (i)~$\zeta_-=\zeta_-^{\chib_{12}=0}(\check{\zeta}_+)+\kb_2^{3/2} w$ et (ii)~$\zeta_-=\zeta_-^{\psib_{11}=0}(\check{\zeta}_+)+\kb_2^{3/2} w$, puis en passant à la limite à $\check{\zeta}_-=\zeta_-/\kb_1^{1/2}$ et $w$ fixés après le changement de variable (iii)~$\zeta_+=\zeta_+^{\psib_{12}=0}(\check{\zeta}_-)+\kb_2^{3/2} w$ ; contrairement à $\zeta_-^{\chib_{12}=0}(\check{\zeta}_+)$, le point d'annulation de $\psib_{11}$ ou de $\psib_{12}$ à $\check{\zeta}_+$ ou $\check{\zeta}_-$ fixé n'a pas d'expression explicite simple, mais il suffit ici de le connaître à l'ordre dominant, $\zeta_-^{\psib_{11}=0}(\check{\zeta}_+)\sim \bracks[\big]{\kb_1/(\qb_1-\kb_1)}^{1/2}\bracks[\big]{\kb_2\abs{\check{\zeta}_+}^2+(3/4)(\kb_1+\kb_2-\qb_1)}^{1/2}$ ou $\zeta_+^{\psib_{12}=0}(\check{\zeta}_-)\sim \bracks[\big]{\kb_2/(\qb_1-\kb_2)}^{1/2}\bracks[\big]{\kb_1\abs{\check{\zeta}_-}^2+(3/4)(\kb_1+\kb_2-\qb_1)}^{1/2}$ (il n'existe alors que pour $\qb_1>\kb_1$ ou $\qb_1>\kb_2$). On l'aura compris dans~\subref{fig:diag_d}, les lieux d'annulation des angles $\psib_{\alpha i}$ ou $\chib_{jl}$ ne contribuent à $I_{\rmang}$ à l'ordre dominant que si, dans les dénominateurs de~\eqref{eq:Abar}, ces angles sont divisés par des \og largeurs de lorentzienne \fg{} $\abs{\qb_\alpha-\kb_i}$ ou $\kb_j+\kb_l$ tendant vers zéro (l'angle $\psib_{23}$ fait exception car il tend partout vers zéro à $\check{\zeta}_+$ et $\check{\zeta}_-$ fixés).\label{note:sing}} \begin{equation}\label{eq:devinvF} \frac{1}{F(z_\phi)} \underset{z_\phi\to 1^-}{=} \frac{1}{1-z_\phi} +O\parens[\big]{\ln(1-z_\phi)} \end{equation} montre que l'écart $1/F(z_\phi)-1/(1-z_\phi)$ est d'intégrale finie sur l'intervalle $[0,1]$ et motive une simple astuce plus-moins sur l'intégrande de~\eqref{eq:sol0}, $1/F(z_\phi)=1/(1-z_\phi) + \bracks[\big]{1/F(z_\phi)-1/(1-z_\phi)}$. L'intégration donne une loi exponentielle comme attendu, \begin{equation}\label{eq:longs} z_\phi(t) \underset{\Gamma_\phi^{\rmeq}t\to+\infty}{=} 1-\exp(B-\Gamma_\phi^{\rmeq}t) +O\parens[\big]{\Gamma_\phi^{\rmeq}t\exp(-2\Gamma_\phi^{\rmeq}t)} \end{equation} avec \begin{equation} B=\int_0^{1} \dd z_\phi \bracks[\Bigg]{\frac{1}{F(z_\phi)}-\frac{1}{1-z_\phi}} = -\np{1,269}(3). \end{equation} La loi~\eqref{eq:longs} est représentée en bleu ---~bien entendu sans le $O$~--- sur la figure~\ref{fig2}\subref{fig2_b}. \printCOI \appendix \section{La règle d'or de Fermi généralisée}\label{ann:orgen} La règle d'or de Fermi généralisée est habituellement utilisée à l'ordre minimal $n_0$ en la perturbation $\hat{V}$ auquel elle prédit un taux de transition non nul entre états propres non perturbés, en tenant compte de tout état initial possible $\ket{\ii}$ d'énergie $E_\ii$ et de tout état final possible $\ket{\ff}$ d'énergie~$E_\ff$. Les états intermédiaires $\ket{\mu}$ intervenant dans l'expression perturbative de l'amplitude de transition d'ordre $n_0$ correspondante $\mathcal{A}_{\ii\to\ff}$ ont alors tous des énergies $E_\mu$ différentes de $E_\ii$ (et de~$E_\ff$), sinon la transition $\ket{\ii} \to \ket{\mu}$ serait permise à un ordre en $\hat{V}$ strictement inférieur à $n_0$. Ici, sur une branche acoustique concave, la perturbation $\hat{V}$ est somme de l'interaction cubique~\eqref{eq:h3m} entre phonons et de son hermitien conjugué, l'on a $n_0=2$ (les processus dominants $2\phi\to 2\phi$ ont une amplitude d'ordre~$2$ en $\hat{V}$), et notre emploi de la règle d'or dans la section~\ref{sec1} sort de ce cadre, puisque l'équation cinétique~\eqref{eq:dnq} décrit les processus sous-dominants $2\phi\leftrightarrow3\phi$, dont l'amplitude est d'ordre~$3$ en $\hat{V}$. On s'attend donc à devoir affronter quelque subtilité, comme l'explique la section~\ref{ssec:crise}. Un autre point insatisfaisant, dans notre usage de la règle d'or, est que l'amplitude de transition $2\phi\rightarrow3\phi$~\eqref{eq:fmix} est calculée dans le vide, alors que les collisions se produisent en réalité dans le bain thermique du gaz de phonons; ainsi, dans les contributions~\eqref{eq:ampa}--\eqref{eq:ampf} des diagrammes de la figure~\ref{fig:diag}, il faudrait prendre en compte les facteurs $(n+1)^{1/2}$ ou $n^{1/2}$ accompagnant la création ou l'annihilation d'un phonon interne dans un mode déjà peuplé thermiquement (ces facteurs dans les modes des phonons entrants ou sortants sont bien inclus dans l'équation~\eqref{eq:dnq}); de plus, il faudrait ajouter à la figure~\ref{fig:diag} les nouveaux diagrammes permis par cette occupation thermique des modes intermédiaires. Cette question a été traitée pour les collisions $2\phi\to 2\phi$ dans la référence~\cite{Annalen}, qui trouve que l'amplitude de transition a même valeur dans le bain thermique et dans le vide tant qu'on reste sur la couche d'énergie $E_\ii=E_\ff$. Dans la section~\ref{ssec:soupe}, nous étendons cette conclusion aux collisions $2\phi\rightarrow3\phi$ (toujours à l'ordre dominant en $\hat{V}$). \subsection{Une subtilité de l'ordre sous-dominant}\label{ssec:crise} Le plus simple pour mener l'étude perturbative de l'amplitude de probabilité de transition de $\ket{\ii} = \ket{\qq_1,\qq_2}$ vers $\ket{\ff} = \ket{\kk_1,\kk_2,\kk_3}$ est de partir de son expression exacte~\cite{Bordeaux}, \begin{equation} \branket[\big]{\ff}{\hat{U}(t)}{\ii} = \int_{+\infty+\ii 0^+}^{-\infty+\ii 0^+} \frac{\dd z}{2\ii\pi} \eee^{-\ii z t/\hbar} \branket[\big]{\ff}{\hat{G}(z)}{\ii} \end{equation} avec $\hat{U}(t)$ l'opérateur d'évolution pendant $t>0$, puis de développer la résolvante de l'hamiltonien complet $\hat{G}(z)=(z \rmId -\hat{H})^{-1}$ en puissances de $\hat{V}$, $\hat{G}=\hat{G}_0+\hat{G}_0\hat{V}\hat{G}_0+\hat{G}_0\hat{V}\hat{G}_0\hat{V}\hat{G}_0+\dotsb$ (les notations sont celles de la section~\ref{sec2}). À l'ordre~$3$ en $\hat{V}$ qui nous intéresse, nous obtenons \begin{equation} \begin{split} \eval{\branket[\big]{\ff}{\hat{U}(t)}{\ii}}{}{(3)} & = \int_{+\infty+\ii 0^+}^{-\infty+\ii 0^+} \frac{\dd z}{2\ii\pi} \frac{\exp(-\ii z t/\hbar)}{(z-E_\ii)(z-E_\ff)} \branket[\big]{\ff}{\hat{V}\hat{G}_0(z)\hat{V}\hat{G}_0(z)\hat{V}}{\ii} \\ & = \int_{+\infty+\ii 0^+}^{-\infty+\ii 0^+} \frac{\dd z}{2\ii\pi} \frac{\exp(-\ii z t/\hbar)}{(z-E_\ii)(z-E_\ff)} \sum_{\lambda,\mu} \frac{ \branket{\ff}{\hat{V}}{\mu} \branket{\mu}{\hat{V}}{\lambda} \branket{\lambda}{\hat{V}}{\ii}}{(z-E_\lambda)(z-E_\mu)} \end{split} \end{equation} où la somme porte comme dans l'équation~\eqref{eq:fmix} sur le nombre fini d'états intermédiaires possibles. Il nous reste à refermer le contour d'intégration par un demi-cercle à l'infini dans le demi-plan complexe inférieur, et à appliquer le théorème des résidus dans le cas générique d'énergies deux à deux distinctes: \begin{multline}\label{eq:avcro} \eval{\branket[\big]{\ff}{\hat{U}(t)}{\ii}}{}{(3)} = \sum_{\lambda,\mu} \branket{\ff}{\hat{V}}{\mu} \branket{\mu}{\hat{V}}{\lambda} \branket{\lambda}{\hat{V}}{\ii} \\ \bracks[\Bigg]{ \frac{\exp(-\ii E_\ii t/\hbar)}{(E_\ii-E_\ff) (E_\ii-E_\lambda)(E_\ii-E_\mu)} +\frac{\exp(-\ii E_\ff t/\hbar)}{(E_\ff-E_\ii) (E_\ff-E_\lambda)(E_\ff-E_\mu)} \\ + \frac{\exp(-\ii E_\lambda t/\hbar)}{(E_\lambda-E_\ii) (E_\lambda-E_\ff)(E_\lambda-E_\mu)} +\frac{\exp(-\ii E_\mu t/\hbar)}{(E_\mu-E_\ii) (E_\mu-E_\ff)(E_\mu-E_\lambda)} }. \end{multline} La suite ressemble à l'établissement de la règle d'or de Fermi habituelle: le module au carré de l'amplitude se met à diverger linéairement en temps, ce qui permet de définir un taux de transition élémentaire $\delta\Gamma_{\ii\to\ff}$, lorsque deux des énergies sont très proches. Or, rappelons-le, la perturbation $\hat{V}$ est une interaction à trois phonons et ne conserve pas l'énergie sur une branche acoustique concave; il en résulte que $E_\lambda$ est bien séparée de $E_\ii$, $E_\mu$ est bien séparée de $E_\ff$, $E_\lambda$~et~$E_\mu$ sont bien séparées entre elles; en revanche, on peut avoir $E_\ii=E_\ff$, $E_\ii=E_\mu$ ou $E_\lambda=E_\ff$ (mais pas deux de ces possibilités en même temps). Commençons par le cas attendu d'un croisement entre $E_\ii$ et $E_\ff$. Nous pouvons alors approximer $E_\ii$ et $E_\ff$ par leur demi-somme $\bar{E}=(E_\ii+E_\ff)/2$ dans l'expression entre crochets de~\eqref{eq:avcro}, sauf dans le facteur $E_\ii-E_\ff$ et sous les exponentielles (le temps $t$ diverge): \begin{equation}\label{eq:croisif} \bracks{\dots}_{\textnormal{Eq.~\eqref{eq:avcro}}} \simeq \frac{-2\ii\eee^{-\ii \bar{E}t/\hbar}\sin\bracks[\big]{(E_\ii-E_\ff)t/2\hbar}}{(E_\ii-E_\ff)(\bar{E}-E_\lambda)(\bar{E}-E_\mu)} + \frac{1}{E_\lambda-E_\mu}\parens[\Bigg]{\frac{\eee^{-\ii E_\lambda t/\hbar}}{(E_\lambda-\bar{E})^2}-\frac{\eee^{-\ii E_\mu t/\hbar}}{(E_\mu-\bar{E})^2} }. \end{equation} Au sens des distributions, $\sin^2(\Omega t)/(\Omega^2 t)$ tend vers $\pi\delta(\Omega)$ lorsque $t\to +\infty$, donc le module au carré de la première contribution dans~\eqref{eq:croisif} diverge linéairement en temps; en revanche, il n'y a pas de divergence en temps dans le module au carré de la seconde contribution, ou dans le terme d'interférence entre les deux contributions (par exemple, $\sin(\Omega t)/\Omega$ tend vers $\pi\delta(\Omega)$). Nous aboutissons à la règle d'or généralisée attendue: \begin{equation}\label{eq:attendu} \abs[\Big]{\eval{\branket[\big]{\ff}{\hat{U}(t)}{\ii}}{}{(3)}}^2 {\overunderset{E_\ii\simeq E_\ff}{t\to +\infty}{\sim}} \frac{2\pi t}{\hbar} \delta(E_\ii-E_\ff) \abs[\Bigg]{\sum_{\lambda,\mu} \frac{ \branket{\ff}{\hat{V}}{\mu} \branket{\mu}{\hat{V}}{\lambda} \branket{\lambda}{\hat{V}}{\ii}}{(\bar{E}-E_\lambda)(\bar{E}-E_\mu)}}^2. \end{equation} Poursuivons par le cas inhabituel d'un croisement entre $E_\ii$ et $E_\mu$ (celui d'un croisement entre $E_\ff$ et $E_\lambda$ se traite de manière symétrique). Remarquons d'abord, au vu de la figure~\ref{fig:diag}, que la résonance $E_\ii=E_\mu$ peut certes se produire, mais seulement dans les diagrammes~\subref{fig:diag_a}, \subref{fig:diag_c}~et~\subref{fig:diag_e}, où l'état intermédiaire $\ket{\mu}$ est à deux phonons\footnote{En effet, sur une branche acoustique croissante concave, la fusion de deux phonons diminue toujours l'énergie et la désintégration en deux phonons l'augmente toujours, c'est-à-dire que l'énergie varie dans le même sens que le nombre de phonons sous l'effet de $\hat{H}_3^{(\pm)}$.}. Procédons ensuite aux mêmes manipulations dans l'équation~\eqref{eq:avcro}, en posant cette fois $\bar{E}=(E_\ii+E_\mu)/2$, pour obtenir\footnote{On pourrait faire rentrer la somme sur $\mu$ et la distribution de Dirac à l'intérieur du module au carré, au prix de l'introduction pas très orthodoxe de la racine carrée $\delta^{1/2}$, pour tenir compte d'une dégénérescence, c'est-à-dire de l'existence de plusieurs états intermédiaires $\ket{\mu}$ de même énergie.}: \begin{equation}\label{eq:drame} \abs[\Big]{\eval{\branket[\big]{\ff}{\hat{U}(t)}{\ii}}{}{(3)}}^2 {\overunderset{E_\ii\simeq E_\mu}{t\to +\infty}{\sim}} \frac{2\pi t}{\hbar}\sum_\mu \delta(E_\ii-E_\mu) \abs[\Bigg]{\sum_{\lambda} \frac{ \branket{\ff}{\hat{V}}{\mu} \branket{\mu}{\hat{V}}{\lambda} \branket{\lambda}{\hat{V}}{\ii}}{(\bar{E}-E_\lambda)(\bar{E}-E_\ff)}}^2. \end{equation} Cette expression semble prédire l'existence d'une transition $\ket{\ii}\to\ket{\ff}$ de taux non nul se produisant sans conservation de l'énergie (si $E_\ii=E_\mu$, on a nécessairement $E_\ff\neq E_\ii$ car $E_\ff\neq E_\mu$, voir plus haut). Nous serions donc confrontés à une sérieuse \og crise de l'énergie \fg. Heureusement, il n'y a rien de réel là-dedans, ceci résulte seulement d'une mauvaise interprétation. L'équation~\eqref{eq:drame} n'est pas une contribution au taux de transition $2\phi\to 3\phi$ entre $\ket{\ii}$ et $\ket{\ff}$, mais résulte de la transition $2\phi\to 2\phi$ entre $\ket{\ii}$ et $\ket{\mu}$. Voilà qui est paradoxal: l'état $\ket{\ff}$ étant à trois phonons et l'état $\ket{\mu}$ à deux phonons, ces états sont orthogonaux et l'on ne voit pas comment une transition de $\ket{\ii}$ vers $\ket{\mu}$ pourrait augmenter l'amplitude de probabilité de présence dans $\ket{\ff}$. Mais ce serait oublier que les phonons introduits jusqu'à présent, loin d'être des excitations élémentaires exactes du système, n'en sont que l'approximation d'ordre zéro en $\hat{V}$: sous l'effet incessant de l'hamiltonien cubique $\hat{V}$, chaque phonon nu interagit avec lui-même, et s'habille de phonons dits captifs ou virtuels~\cite{erratique}. L'état $\ket{\mu}$ n'est donc que l'approximation d'ordre zéro en $\hat{V}$ d'un état à deux phonons habillés $\ket{\tilde\mu}$, qui s'écrit à l'ordre un comme suit, selon la théorie des perturbations ordinaire: \begin{equation} \ket{\tilde\mu} = \ket{\mu} + \sum_\nu \ket{\nu} \frac{\branket{\nu}{\hat{V}}{\mu}}{E_\mu-E_\nu}+O(\hat{V}^2). \end{equation} L'état à trois phonons nus $\ket{\ff}$ n'est pas orthogonal aux états à deux phonons habillés $\ket{\tilde\mu}$, et les transitions $2\phi\to 2\phi$ induisent donc, indirectement, une transition de $\ket{\ii}$ vers $\ket{\ff}$ avec l'amplitude \begin{equation}\label{eq:indi} \restr{\branket[\big]{f}{\hat{U}(t)}{\ii}}{2\phi\to 2\phi} = \sum_\mu \braket{\ff}{\tilde{\mu}} \branket[\big]{\tilde{\mu}}{\hat{U}(t)}{\ii} \simeq \sum_\mu \frac{\branket{\ff}{\hat{V}}{\mu}}{E_\mu-E_\ff} \eval{\branket[\big]{\mu}{\hat{U}(t)}{\ii}}{}{(2)}. \end{equation} Il reste à se souvenir de la règle d'or de Fermi généralisée à l'ordre~$2$ en $\hat{V}$, \begin{equation}\label{eq:dgim} \abs[\Big]{\eval{\branket[\big]{\mu}{\hat{U}(t)}{\ii}}{}{(2)}}^2 \underset{t\to +\infty}{\sim}\frac{2\pi t}{\hbar} \delta(E_\ii-E_\mu) \abs[\Bigg]{\sum_\lambda \frac{ \branket{\mu}{\hat{V}}{\lambda} \branket{\lambda}{\hat{V}}{\ii}} {\bar{E}-E_\lambda}}^2 \end{equation} avec $\bar{E}=(E_\ii+E_\mu)/2$ comme précédemment, et à approximer le dénominateur restant $E_\mu-E_\ff$ par $\bar{E}-E_\ff$, pour reconnaître le résultat dérangeant~\eqref{eq:drame} dans le module au carré de~\eqref{eq:indi}. En conclusion, à l'ordre dominant en $\hat{V}$, le taux de transition $2\phi\to 3\phi$ pour une branche acoustique concave est correctement donné par la règle d'or attendue~\eqref{eq:attendu}, dont il est fait usage dans les sections \ref{sec1}~et~\ref{sec2}. En particulier, sur la couche d'énergie $E_\ii=E_\ff$, il n'y a pas de divergence particulière à craindre car il n'y a pas d'annulation possible d'un dénominateur d'énergie $\bar{E}-E_\lambda$ ou $\bar{E}-E_\mu$ dans l'amplitude de transition effective, même si les transitions $2\phi\to 2\phi$ peuvent conserver l'énergie-impulsion. La situation est donc considérablement plus simple que celle d'une branche acoustique même partiellement convexe, où le calcul du taux de collision $2\phi\to 2\phi$, sous-dominant par rapport à $1\phi\leftrightarrow 2\phi$, nécessite une régularisation non perturbative (on tient compte de la durée de vie finie des phonons intermédiaires due aux processus à trois phonons en leur attribuant une énergie complexe) \cite{Ukr}\footnote{Soyons plus précis dans le cas concave. Les phonons intermédiaires, faisant partie d'un bain thermique, y acquièrent après tout une durée de vie finie sous l'effet des collisions $2\phi\to 2\phi$. Ceci leur confère une énergie complexe, avec une partie imaginaire de l'ordre de $T^{7}$ comme il est dit dans la section~\ref{sec0}. Voilà qui est négligeable, à basse température, devant l'échelle des dénominateurs d'énergie $E_\ii-E_\lambda$, $E_\ff-E_\mu$, de l'ordre de $T^3$ aux petits angles comme dans~\eqref{eq:denomt3}. En particulier, on peut trouver dans l'équation~\eqref{eq:attendu} des temps $t$ suffisamment longs pour que la largeur $\hbar/t$ du pseudo-delta de Dirac soit négligeable, mais suffisamment courts pour ne pas activer l'instabilité $2\phi\to 2\phi$.}. \subsection{Dans le bain thermique plutôt que dans le vide}\label{ssec:soupe} L'occupation thermique des modes des phonons internes sur la figure~\ref{fig:diag} a deux conséquences: (i)~elle fait apparaître un nouveau mécanisme, l'absorption de phonons intermédiaires (compensée en définitive par leur réémission), bien sûr impossible à température nulle, et (ii)~elle modifie les amplitudes de transition au travers des amplitudes bosoniques $n^{1/2}$ ou $(1+n)^{1/2}$, $n$~étant un nombre de phonons internes. Heureusement, nous trouvons après réflexion que, pour chaque diagramme de la figure~\ref{fig:diag}, les processus élémentaires à trois phonons (les sommets du diagramme) restent exactement les mêmes, mais doivent maintenant être combinés dans un ordre quelconque; en d'autres termes, chaque diagramme à température nulle donne naissance à une classe de $3!=6$ diagrammes à température non nulle, s'en déduisant par permutation des trois sommets (le cas des diagrammes \subref{fig:diag_e}~et~\subref{fig:diag_f} est particulier, voir plus bas). Le calcul des nouvelles amplitudes reste donc assez simple, puisque les éléments de matrice de l'interaction cubique $\hat{V}$ peuvent être mis en facteur. Détaillons le cas du diagramme~\subref{fig:diag_a}. Appelons $\qq_{12} = \qq_1+\qq_2$ et $\kk_{jl} = \kk_j+\kk_l$ les vecteurs d'onde des phonons internes, et notons $A_1 = \branket{\qq_{12}}{\hat{V}}{\qq_1,\qq_2}$, $A_2 = \branket{\kk_i,\kk_{jl}}{\hat{V}}{\qq_{12}}$ et $A_3 = \branket{\kk_j,\kk_l}{\hat{V}}{\kk_{jl}}$ les éléments de matrice à température nulle des processus élémentaires à trois phonons, dans leur ordre d'apparition sur la figure~\ref{fig:diag}, ainsi que $\delta_1=\hbar\omega_{\qq_{12}}-\hbar\omega_{\qq_1}-\hbar\omega_{\qq_2}$, $\delta_2=\hbar\omega_{\kk_i}+\hbar\omega_{\kk_{jl}}-\hbar\omega_{\qq_{12}}$ et $\delta_3=\hbar\omega_{\kk_j}+\hbar\omega_{\kk_l}-\hbar\omega_{\kk_{jl}}$ les variations d'énergie correspondantes. L'amplitude des diagrammes de la classe~\subref{fig:diag_a} en présence du bain thermique s'écrit comme une somme sur les permutations $\sigma$ des processus élémentaires, \begin{equation}\label{eq:moda} \mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfiga} = \sum_i\sum_{\sigma\in S_3} \mathcal{A}^{\subfiga}_{\sigma(1)\sigma(2)\sigma(3)} \end{equation} avec en indice de chaque terme l'ordre des actions retenu, de gauche à droite dans le diagramme; on l'aura compris, le cas dans le vide ---~sans bain thermique~--- correspond à la permutation identité et à l'indice $123$, comme sur la figure~\ref{fig:diag}. Nous nous mettons tout de suite sur la couche d'énergie, d'où la relation \begin{equation}\label{eq:mag} \delta_1+\delta_2+\delta_3=0 \end{equation} dont nous ferons bon usage dans la suite. Le calcul donne\footnote{Dans ces expressions, les dénominateurs valent simplement $\delta_{\sigma(1)}(\delta_{\sigma(1)}+\delta_{\sigma(2)})=-\delta_{\sigma(1)}\delta_{\sigma(3)}$.} \begin{alignat}{2} \label{eq:deb1} & \mathcal{A}^{\subfiga}_{123} = \frac{A_1A_2A_3}{-\delta_1\delta_3}(1+n_{\qq_{12}})(1+n_{\kk_{jl}}), \qquad && \mathcal{A}^{\subfiga}_{132} = \frac{A_1A_2A_3}{-\delta_1\delta_2} n_{\kk_{jl}} (1+n_{\qq_{12}}), \\ \label{eq:deb2} & \mathcal{A}^{\subfiga}_{213} = \frac{A_1A_2A_3}{-\delta_2\delta_3}n_{\qq_{12}} (1+n_{\kk_{jl}}), \qquad && \mathcal{A}^{\subfiga}_{231} = \frac{A_1A_2A_3}{-\delta_2\delta_1} n_{\qq_{12}} (1+n_{\kk_{jl}}), \\ \label{eq:deb3} & \mathcal{A}^{\subfiga}_{312} = \frac{A_1A_2A_3}{-\delta_3\delta_2}n_{\kk_{jl}}(1+n_{\qq_{12}}), \qquad && \mathcal{A}^{\subfiga}_{321} = \frac{A_1A_2A_3}{-\delta_3\delta_1} n_{\qq_{12}} n_{\kk_{jl}}, \end{alignat} soit, après regroupement des termes puis utilisation de~\eqref{eq:mag} pour remplacer le facteur $(\delta_1+\delta_3)$ par $-\delta_2$, \begin{multline} \mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfiga} = -\sum _i \frac{A_1A_2A_3}{\delta_1\delta_2\delta_3}\braces[\big]{(\delta_1+\delta_3)\bracks[\big]{n_{\kk_{jl}}(1+n_{\qq_{12}})+n_{\qq_{12}}(1+n_{\kk_{jl}})} + \delta_2\bracks[\big]{(1+n_{\qq_{12}})(1+n_{\kk_{jl}})+n_{\qq_{12}}n_{\kk_{jl}}}} \\ = -\sum_i \frac{A_1A_2A_3}{\delta_1\delta_3}. \end{multline} De façon remarquable, nous retrouvons le résultat dans le vide~\eqref{eq:ampa}, quels que soient d'ailleurs les nombres d'occupation $n_{\qq_{12}}$ et $n_{\kk_{jl}}$ des modes de phonons internes (ils n'ont pas besoin d'être thermiques). Le même raisonnement peut être mené pour les diagrammes de~\subref{fig:diag_b}~à~\subref{fig:diag_d}, et aboutit à la même conclusion. Enfin, il convient de regrouper les diagrammes restants \subref{fig:diag_e}~et~\subref{fig:diag_f} en une même classe~$\classeef$, car les deux phonons intermédiaires de ces diagrammes sont égaux, $\kk_{i\beta} = \kk_i-\qq_\beta$ et $\kk_{jl} = \kk_j+\kk_l$, et les trois processus élémentaires mis en jeu sont exactement les mêmes, avec des éléments de matrice $A_1 = \branket{\kk_{jl},\kk_{i\beta}}{\hat{V}}{\qq_\alpha}$, $A_2 = \branket{\kk_i}{\hat{V}}{\qq_\beta,\kk_{i\beta}}$, $A_3 = \branket{\kk_j,\kk_l}{\hat{V}}{\kk_{jl}}$ et les variations d'énergie correspondantes $\delta_1=\hbar\omega_{\kk_{jl}}+\hbar\omega_{\kk_{i\beta}}-\hbar\omega_{\qq_\alpha}$, $\delta_2=\hbar\omega_{\kk_i} -\hbar\omega_{\qq_\beta}-\hbar\omega_{\kk_{i\beta}}$, $\delta_3=\hbar\omega_{\kk_j} +\hbar\omega_{\kk_l}-\hbar\omega_{\kk_{jl}}$, phénomène qui ne se produit pas avec les autres diagrammes. On a alors, sur le modèle de~\eqref{eq:moda}, \begin{equation} \mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\classeef} = \sum_\alpha\sum_i\sum_{\sigma\in S_3} \mathcal{A}^{\classeef}_{\sigma(1)\sigma(2)\sigma(3)}. \end{equation} Dans le vide, la permutation identité redonne le diagramme~\subref{fig:diag_e} de la figure~\ref{fig:diag}, la permutation~$\tau_{23}$ ---~transposition des indices $2$ et $3$~--- redonne le diagramme~\subref{fig:diag_f}, et les autres permutations donnent zéro. Dans le bain thermique, en suivant l'ordre lexicographique comme dans~\eqref{eq:deb1}, \eqref{eq:deb2}, \eqref{eq:deb3} pour $\sigma(1),\sigma(2),\sigma(3)$, on obtient \begin{multline} \mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\classeef} = \sum_\alpha\sum_i (-A_1A_2A_3) \bracks[\Bigg]{\frac{1}{\delta_1\delta_3} (1+n_{\kk_{jl}})(1+n_{\kk_{i\beta}}) +\frac{1}{\delta_1\delta_2} (1+n_{\kk_{jl}})(1+n_{\kk_{i\beta}})+\frac{1}{\delta_2\delta_3} n_{\kk_{i\beta}} (1+n_{\kk_{jl}}) \\ +\frac{1}{\delta_1\delta_2} n_{\kk_{i\beta}} n_{\kk_{jl}} + \frac{1}{\delta_2\delta_3} n_{\kk_{jl}} (1+n_{\kk_{i\beta}}) +\frac{1}{\delta_1\delta_3} n_{\kk_{jl}} n_{\kk_{i\beta}}}. \end{multline} Après regroupement des termes puis utilisation de~\eqref{eq:mag} pour remplacer le facteur $(\delta_2+\delta_3)$ par $-\delta_1$, il vient \begin{multline} \mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\classeef} = -\sum_\alpha\sum_i \frac{A_1A_2A_3}{\delta_1\delta_2\delta_3} \braces[\big]{(\delta_2+\delta_3)\bracks[\big]{(1+n_{\kk_{jl}})(1+n_{\kk_{i\beta}})+n_{\kk_{i\beta}} n_{\kk_{jl}}} \\ +\delta_1\bracks[\big]{n_{\kk_{i\beta}}(1+n_{\kk_{jl}})+n_{\kk_{jl}}(1+n_{\kk_{i\beta}})}}= \sum_\alpha\sum_i \frac{A_1A_2A_3}{\delta_2\delta_3}. \end{multline} On retrouve ainsi exactement le résultat dans le vide~\eqref{eq:ampef}. En conclusion, sur la couche d'énergie, l'amplitude de collision à cinq phonons $2\phi\to 3\phi$ n'est, à l'ordre dominant en l'interaction cubique $\hat{V}$, pas affectée par la présence d'un bain thermique, plus précisément par le fait que les modes des phonons internes aient des nombres d'occupation non nuls, thermiques ou pas. L'approximation de \og collision dans le vide \fg{} est exacte à cet ordre. \section{Amplitude de collision \texorpdfstring{$2\phi\to 3\phi$}{2 phi to 3 phi} à basse température}\label{ann:lim} Nous établissons ici le comportement dominant~\eqref{eq:resann} de l'amplitude de diffusion~\eqref{eq:fmix} sur la couche d'énergie dans la limite de faibles nombres d'onde et de petits angles $O(T)$ pour les vecteurs entrants $\qq_1,\qq_2$ et sortants $\kk_1,\kk_2,\kk_3$. Nous effectuons quelques manipulations sur les expressions~\eqref{eq:ampa}--\eqref{eq:ampf} des différentes contributions dans la section~\ref{ssec:qta}, avant de passer explicitement à la limite dans la section~\ref{ssec:plpa}. \subsection{Des transformations astucieuses}\label{ssec:qta} \paragraph{Regroupement des contributions \subref{fig:diag_e}~et~\subref{fig:diag_f}, puis~\subref{fig:diag_c}} Il est assez naturel de regrouper les expressions~\eqref{eq:ampe} et~\eqref{eq:ampf} car (i)~elles ont le même domaine de sommation, (ii)~elles ont le même numérateur, (iii)~elles ont au dénominateur le facteur commun $\Delta E_1^{\subfige}(\lambda)=\Delta E_1^{\subfigf}(\lambda)=\veps_{\qq_\alpha}-\veps_{\kk_j+\kk_l}-\veps_{\kk_i-\qq_\beta}$ (les quantités $\Delta E_1(\lambda)$ et $\Delta E_2(\mu)$ sont celles de l'équation~\eqref{eq:fmix}). Il reste à additionner \begin{equation} \frac{1}{\Delta E_2^{\subfige}(\mu)}+\frac{1}{\Delta E_2^{\subfigf}(\mu)}=\frac{1}{\veps_{\kk_j}+\veps_{\kk_l}-\veps_{\kk_j+\kk_l}}+\frac{1}{\veps_{\kk_i}-\veps_{\qq_\beta}-\veps_{\kk_i-\qq_\beta}} \overset{E_\ii=E_\ff}{=}\frac{\Delta E_1^{(e,f)}(\lambda)}{\Delta E_2^{\subfige}(\mu) \Delta E_2^{\subfigf}(\mu)}. \end{equation} Les facteurs $\Delta E_1^{(e,f)}(\lambda)$ se simplifient et l'on aboutit au joli résultat \begin{equation}\label{eq:ampef} \mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfige}+\mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfigf} = \sum_\alpha\sum_i \frac{ \branket{\kk_i}{\hat{V}}{\qq_\beta,\kk_i-\qq_\beta} \branket{\kk_j,\kk_l}{\hat{V}}{\kk_j+\kk_l} \branket{\kk_i-\qq_\beta,\kk_j+\kk_l}{\hat{V}}{\qq_\alpha}} {(\veps_{\kk_j}+\veps_{\kk_l}-\veps_{\kk_j+\kk_l})(\veps_{\kk_i}-\veps_{\qq_\beta}-\veps_{\kk_i-\qq_\beta})}. \end{equation} On remarque alors que si, dans l'amplitude $\mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfigc}$ écrite comme dans~\eqref{eq:ampc}, on effectue la transposition $\alpha\leftrightarrow\beta$ et l'on change l'ordre des facteurs au numérateur, on obtient une expression qui ressemble beaucoup à~\eqref{eq:ampef}, \begin{equation}\label{eq:ampcbis} \mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfigc} = \sum_\alpha\sum_i \frac{ \branket{\kk_i,\qq_\beta-\kk_i}{\hat{V}}{\qq_\beta} \branket{\kk_j,\kk_l}{\hat{V}}{\kk_j+\kk_l} \branket{\kk_j+\kk_l}{\hat{V}}{\qq_\beta-\kk_i,\qq_\alpha}} {(\veps_{\kk_j}+\veps_{\kk_l}-\veps_{\kk_j+\kk_l})(\veps_{\qq_\beta}-\veps_{\kk_i}-\veps_{\qq_\beta-\kk_i})} \end{equation} et qui nous permettra dans la suite de regrouper les contributions~\subref{fig:diag_c}, \subref{fig:diag_e}~et~\subref{fig:diag_f} dans la limite des petits angles. \paragraph{Transformation de la contribution~\subref{fig:diag_d}, puis~\subref{fig:diag_b}} Dans l'expression~\eqref{eq:ampd} de $\mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfigd}$, effectuons sur les variables muettes la transposition $(\alpha,i) \leftrightarrow (\beta,j)$, ce qui ne change ni l'indice $l$ ni le domaine de sommation; il vient \begin{equation}\label{eq:ampdbis} \mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfigd} = \sum_\alpha \sum_{i\neq j} \frac{ \branket{\kk_l}{\hat{V}}{\qq_\beta-\kk_j,\qq_\alpha-\kk_i} \branket{\kk_i,\qq_\alpha-\kk_i}{\hat{V}}{\qq_\alpha} \branket{\kk_j,\qq_\beta-\kk_j}{\hat{V}}{\qq_\beta}} {(\veps_{\kk_l}-\veps_{\qq_\beta-\kk_j}-\veps_{\qq_\alpha-\kk_i})(\veps_{\qq_\beta}-\veps_{\kk_j}-\veps_{\qq_\beta-\kk_j})}. \end{equation} Le numérateur et le facteur $\Delta E_2^{\subfigd}(\mu)$ au dénominateur sont eux aussi inchangés. Remplaçons ensuite $\mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfigd}$ par la demi-somme de son ancienne écriture~\eqref{eq:ampd} et de sa nouvelle écriture~\eqref{eq:ampdbis}; il reste à additionner \begin{multline} \frac{1}{2}\parens[\Bigg]{\frac{1}{\Delta E_1^{\subfigd}(\lambda)}+\frac{1}{\restr{\smash{\Delta E_1^{\subfigd}(\lambda)}}{(\alpha,i) \leftrightarrow (\beta,j)}}} = \frac{1}{2}\parens[\Bigg]{\frac{1}{\veps_{\qq_\alpha}-\veps_{\kk_i}-\veps_{\qq_\alpha-\kk_i}}+\frac{1}{\veps_{\qq_\beta}-\veps_{\kk_j}-\veps_{\qq_\beta-\kk_j}}}\\ \overset{E_\ii=E_\ff}{=} \frac{\frac{1}{2}\Delta E_2^{\subfigd}(\mu)}{(\veps_{\qq_\alpha}-\veps_{\kk_i}-\veps_{\qq_\alpha-\kk_i}) (\veps_{\qq_\beta}-\veps_{\kk_j}-\veps_{\qq_\beta-\kk_j})}. \end{multline} Les facteurs $\Delta E_2^{\subfigd}(\mu)$ se simplifient, et l'on obtient \begin{equation}\label{eq:ampdter} \mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfigd} = \frac{1}{2} \sum_\alpha \sum_{i\neq j} \frac{ \branket{\kk_l}{\hat{V}}{\qq_\alpha-\kk_i,\qq_\beta-\kk_j} \branket{\kk_i,\qq_\alpha-\kk_i}{\hat{V}}{\qq_\alpha} \branket{\kk_j,\qq_\beta-\kk_j}{\hat{V}}{\qq_\beta}} {(\veps_{\qq_\alpha}-\veps_{\kk_i}-\veps_{\qq_\alpha-\kk_i}) (\veps_{\qq_\beta}-\veps_{\kk_j}-\veps_{\qq_\beta-\kk_j})}. \end{equation} Effectuons une renumérotation similaire dans l'amplitude~\eqref{eq:ampb} du diagramme~\subref{fig:diag_b} : on échange d'abord les variables muettes $l$ et $j$ (ce qui ne change pas $i$ ni le domaine de sommation), puis l'on effectue la transposition\footnote{L'ensemble revient à faire une permutation circulaire directe sur les indices $(\alpha,\beta)$ et $(i,j,l)$.} $(\alpha,i)\leftrightarrow(\beta,j)$ (ce qui ne change pas $l$). Nous aboutissons à \begin{equation}\label{eq:ampbbis} \mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfigb} = \sum_\alpha \sum_{i\neq j} \frac{ \branket{\kk_l,\kk_i-\qq_\alpha}{\hat{V}}{\qq_\beta-\kk_j} \branket{\kk_i}{\hat{V}}{\qq_\alpha,\kk_i-\qq_\alpha} \branket{\kk_j,\qq_\beta-\kk_j}{\hat{V}}{\qq_\beta}} {(\veps_{\kk_i}-\veps_{\qq_\alpha}-\veps_{\kk_i-\qq_\alpha})(\veps_{\qq_\beta}-\veps_{\kk_j}-\veps_{\qq_\beta-\kk_j}) } \end{equation} après changement de l'ordre des facteurs au numérateur. Ceci ressemble à la nouvelle forme~\eqref{eq:ampdter} de $\mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfigd}$ au facteur global $1/2$ près, et nous permettra de regrouper les contributions \subref{fig:diag_b}~et~\subref{fig:diag_d} dans la limite des petits angles. \subsection{Passage à la limite des petits angles à basse température}\label{ssec:plpa} Désormais, les nombres d'onde des phonons entrants et sortants, ainsi que tous les angles entre eux, tendent vers zéro linéairement en température, comme dans l'équation~\eqref{eq:ech}. On doit calculer dans cette limite un équivalent des différentes contributions à l'amplitude de transition $\mathcal{A}_{\ii\to\ff}$ dans le cas où les angles des phonons internes avec les phonons entrants ou sortants tendent eux aussi vers zéro plutôt que vers $\pi$ ---~c'est en effet à cette condition que tous les dénominateurs d'énergie $\Delta E_1(\lambda)$ et $\Delta E_2(\mu)$ sont en $O(T^3)$ plutôt qu'en $O(T)$ et qu'on bénéficie à plein de l'effet petit dénominateur. On garde trace des contraintes qui peuvent s'ensuivre sur les nombres d'onde $q_\alpha$ et $k_i$ au moyen de la fonction de Heaviside $Y$. Par exemple, dans le diagramme~\subref{fig:diag_a} de la figure~\ref{fig:diag}, il n'y a aucune contrainte, les vecteurs internes $\qq_1+\qq_2$ et $\kk_j+\kk_l$ devenant automatiquement colinéaires à et de même sens que les vecteurs entrants et sortants lorsque tous les angles~\eqref{eq:angles} tendent vers zéro. En revanche, dans le diagramme~\subref{fig:diag_b}, ce n'est le cas que si $q_\alpha>k_i$ et $k_l>q_\beta$; il faudra donc inclure un facteur $Y(q_\alpha-k_i) Y(k_l-q_\beta)$ au numérateur dans la forme~\eqref{eq:ampb}, qui devient $Y(q_\beta-k_j) Y(k_i-q_\alpha)$ dans la forme~\eqref{eq:ampbbis} que nous utiliserons en pratique. Au numérateur des amplitudes, on utilise le comportement limite à angle nul~\eqref{eq:h3m} des éléments de matrice réécrit comme suit, sans oublier le facteur $2$ provenant de la symétrie d'échange bosonique\footnote{Les termes de $\hat{H}_3^{(-)}$ contribuant à~\eqref{eq:elem} sont en effet d'indices $(\qq,\qq')=(\kk,\kk')$ et $(\qq,\qq')=(\kk',\kk)$.}, \begin{equation}\label{eq:elem} \branket{\kk+\kk'}{\hat{V}}{\kk,\kk'} \underset{T\to 0^+}{\sim} \frac{3 mc^2(1+\Lambda)}{2^{3/2}(\rho\mathcal{V})^{1/2}}\epsilon^{3/2}\bracks[\big]{\kb\smash{\kb}'(\kb+\smash{\kb}')}^{1/2}. \end{equation} Au dénominateur des amplitudes, on utilise la relation~\cite[(14)]{insuffisance} écrite dans le présent cas concave sous la forme \begin{equation}\label{eq:denomt3} \veps_\qq+\veps_{\qq'}-\veps_{\qq+\qq'} \underset{T\to 0^+}{\sim} \frac{1}{2} k_{\rmB}T \abs{\gamma}\epsilon^2 \qb \smash{\qb}' (\qb+\smash{\qb}') \bracks[\Bigg]{\frac{\smash{\bar{\theta}}^2}{(\qb+\smash{\qb}')^2}+\frac{3}{4}} \end{equation} avec l'angle $\theta=\widehat{(\qq,\qq')}=O(T)$ et $\thb$ sa forme réduite. On en déduit immédiatement que \begin{align} \veps_{\qq_1}+\veps_{\qq_2}-\veps_{\qq_1+\qq_2} & \underset{T\to 0^+}{\sim} \frac{1}{2} k_{\rmB}T \abs{\gamma}\epsilon^2 \qb_1 \qb_2 (\qb_1+\qb_2) \bracks[\Bigg]{\frac{\smash{\bar{\theta}}^2_{12}}{(\qb_1+\qb_2)^2}+\frac{3}{4}}, \\ \veps_{\kk_j}+\veps_{\kk_l}-\veps_{\kk_j+\kk_l} & \underset{T\to 0^+}{\sim} \frac{1}{2} k_{\rmB}T \abs{\gamma}\epsilon^2 \kb_j \kb_l (\kb_j+\kb_l) \bracks[\Bigg]{\frac{\bar{\chi}^2_{jl}}{(\kb_j+\kb_l)^2}+\frac{3}{4}}, \end{align} sans condition sur les nombres d'onde. Sous la condition $\kb_l>\qb_\beta$ assurant que les vecteurs $\qq_\beta$ et $\kk_l-\qq_\beta$ sont presque colinéaires et de même sens, on en déduit également que \begin{equation} \veps_{\qq_\beta}+\veps_{\kk_l-\qq_\beta}-\veps_{\kk_l} {\overunderset{\kb_l>\qb_\beta}{T\to 0^+}{\sim}} \frac{1}{2} k_{\rmB}T \abs{\gamma}\epsilon^2 (\kb_l-\qb_\beta) \qb_\beta \kb_l \parens[\Bigg]{\frac{\smash{\bar{\theta}}^2}{\smash{\kb}_{l}^2}+\frac{3}{4}} \end{equation} avec l'angle $\theta=\widehat{(\qq_\beta,\kk_l-\qq_\beta)}=O(T)$. En passant par la norme d'un produit vectoriel, $\sin\theta ={\abs[\big]{(\kk_l-\qq_\beta)\wedge \qq_\beta}}/{\abs{\kk_l-\qq_\beta}\, q_\beta}={k_l \sin\psi_{\beta l}}/{\abs{\kk_l-\qq_\beta}}$, on trouve que $\theta\sim k_l\psi_{\beta l}/(k_l-q_\beta)$ et donc que \begin{equation} \veps_{\qq_\beta}+\veps_{\kk_l-\qq_\beta}-\veps_{\kk_l} {\overunderset{\kb_l>\qb_\beta}{T\to 0^+}{\sim}} \frac{1}{2} k_{\rmB}T \abs{\gamma}\epsilon^2 (\kb_l-\qb_\beta) \qb_\beta \kb_l \bracks[\Bigg]{\frac{\bar{\psi}^2_{\beta l}}{(\kb_l-\qb_\beta)^2}+\frac{3}{4}}. \end{equation} On a de même, par échange formel des $\qq$ et $\kk$, \begin{equation} \veps_{\kk_i}+\veps_{\qq_\alpha-\kk_i}-\veps_{\qq_\alpha} {\overunderset{\qb_\alpha>\kb_i}{T\to 0^+}{\sim}} \frac{1}{2} k_{\rmB}T \abs{\gamma}\epsilon^2 (\qb_\alpha-\kb_i) \qb_\alpha \kb_i \bracks[\Bigg]{\frac{\bar{\psi}^2_{\alpha i}}{(\qb_\alpha-\kb_i)^2}+\frac{3}{4}}. \end{equation} On applique les expressions précédentes aux formes éventuellement optimisées~\eqref{eq:ampa}, \eqref{eq:ampef}, \eqref{eq:ampcbis}, \eqref{eq:ampdter} et~\eqref{eq:ampbbis} des amplitudes de transition. On constate qu'on peut sortir un facteur \begin{equation} \mathcal{A}_0=\bracks[\Bigg]{\frac{3 mc^2(1+\Lambda)\epsilon^{3/2}}{2^{3/2}(\rho\mathcal{V})^{1/2}}}^3\frac{1}{\parens[\big]{\frac{1}{2}k_{\rmB}T\abs{\gamma}\epsilon^2}^2(\bar{q}_1\bar{q}_2\bar{k}_1\bar{k}_2\bar{k}_3)^{1/2}} \end{equation} qui se réécrit trivialement comme dans l'expression~\eqref{eq:resann} annoncée. Il vient alors\footnote{On remarque en particulier que le produit de tous les nombres d'onde internes apparaît systématiquement au numérateur et au dénominateur, et se simplifie dans le rapport.} \begin{align} \label{eq:equivampa} \mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfiga} & \underset{T\to 0^+}{\sim} \mathcal{A}_0\sum_i \frac{\kb_i}{\bracks[\bigg]{\frac{\smash{\bar{\theta}}^2_{12}}{(\qb_1+\qb_2)^2}+\frac{3}{4}}\bracks[\bigg]{\frac{\bar{\chi}^2_{jl}}{(\kb_j+\kb_l)^2}+\frac{3}{4}}}, \\ \label{eq:equivampef} \mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfige}+\mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfigf} & \underset{T\to 0^+}{\sim} -\mathcal{A}_0 \sum_\alpha\sum_i \frac{\qb_\alpha\,Y(\kb_i-\qb_\beta)}{\bracks[\bigg]{\frac{\bar{\chi}^2_{jl}}{(\kb_j+\kb_l)^2}+\frac{3}{4}}\bracks[\bigg]{\frac{\bar{\psi}^2_{\beta i}}{(\kb_i-\qb_\beta)^2}+\frac{3}{4}}}, \\ \label{eq:equivampc} \mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfigc} & \underset{T\to 0^+}{\sim} -\mathcal{A}_0 \sum_\alpha\sum_i \frac{\qb_\alpha\,Y(\qb_\beta-\kb_i)}{\bracks[\bigg]{\frac{\bar{\chi}^2_{jl}}{(\kb_j+\kb_l)^2}+\frac{3}{4}}\bracks[\bigg]{\frac{\bar{\psi}^2_{\beta i}}{(\qb_\beta-\kb_i)^2}+\frac{3}{4}}}, \\ \label{eq:equivampd} \mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfigd} & \underset{T\to 0^+}{\sim} \frac{1}{2} \mathcal{A}_0\sum_\alpha \sum_{i\neq j} \frac{\kb_l\,Y(\qb_\alpha-\kb_i)\,Y(\qb_\beta-\kb_j)}{\bracks[\bigg]{\frac{\bar{\psi}^2_{\alpha i}}{(\qb_\alpha-\kb_i)^2}+\frac{3}{4}} \bracks[\bigg]{\frac{\bar{\psi}^2_{\beta j}}{(\qb_\beta-\kb_j)^2}+\frac{3}{4}}}, \\ \label{eq:equivampb} \mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfigb} & \underset{T\to 0^+}{\sim} \mathcal{A}_0\sum_\alpha \sum_{i\neq j}\frac{\kb_l\,Y(\kb_i-\qb_\alpha)\,Y(\qb_\beta-\kb_j)}{\bracks[\bigg]{\frac{\bar{\psi}^2_{\alpha i}}{(\qb_\alpha-\kb_i)^2}+\frac{3}{4}} \bracks[\bigg]{\frac{\bar{\psi}^2_{\beta j}}{(\qb_\beta-\kb_j)^2}+\frac{3}{4}}}. \end{align} L'amplitude $\mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfiga}$ dans~\eqref{eq:equivampa} donne directement la première somme de l'équation~\eqref{eq:Abar}. Dans l'addition $\parens[\big]{\mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfige}+\mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfigf}}+\mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfigc}$ de~\eqref{eq:equivampef} et~\eqref{eq:equivampc}, les fonctions de Heaviside se complètent à un, $Y(\kb_i-\qb_\beta)+Y(\qb_\beta-\kb_i)=1$, et l'on retrouve la deuxième somme de l'équation~\eqref{eq:Abar} après transposition $\alpha\leftrightarrow\beta$. Enfin, avant de la regrouper avec $\mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfigd}$, il faut travailler un peu sur l'amplitude $\mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfigb}$ dans~\eqref{eq:equivampb}: en effectuant l'échange $(\alpha,i)\leftrightarrow(\beta,j)$ dans le second membre ---~ce qui ne change ni l'indice $l$ ni le dénominateur~--- et en prenant la demi-somme du second membre et de sa nouvelle expression ainsi obtenue, on arrive à \begin{equation}\label{eq:equivampbbis} \mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfigb} \underset{T\to 0^+}{\sim} \frac{1}{2}\mathcal{A}_0\sum_\alpha \sum_{i\neq j}\frac{\kb_l\bracks[\big]{Y(\kb_i-\qb_\alpha)\,Y(\qb_\beta-\kb_j) + Y(\qb_\alpha-\kb_i) Y(\kb_j-\qb_\beta)}}{\bracks[\bigg]{\frac{\bar{\psi}^2_{\alpha i}}{(\qb_\alpha-\kb_i)^2}+\frac{3}{4}} \bracks[\bigg]{\frac{\bar{\psi}^2_{\beta j}}{(\qb_\beta-\kb_j)^2}+\frac{3}{4}}}. \end{equation} Or, à l'ordre zéro en $\epsilon$, on a $\qb_1+\qb_2=\kb_1+\kb_2+\kb_3$ par conservation de l'énergie ou de l'impulsion, si bien que l'inégalité $\kb_i>\qb_\alpha=\kb_i+\kb_j+\kb_l-\qb_\beta$ implique que $\qb_\beta>\kb_j+\kb_l\geq \kb_j$ et l'on peut écrire $Y(\kb_i-\qb_\alpha)\,Y(\qb_\beta-\kb_j)=Y(\kb_i-\qb_\alpha)$ dans~\eqref{eq:equivampbbis}. Il en résulte que, dans le regroupement $\mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfigb}+\mathcal{A}_{\ii\to\ff}^{\subfigd}$ de~\eqref{eq:equivampbbis} et~\eqref{eq:equivampd}, apparaissent des fonctions de Heaviside se complétant en cascade à un, $Y(\kb_i-\qb_\alpha)+Y(\qb_\alpha-\kb_i) Y(\kb_j-\qb_\beta)+Y(\qb_\alpha-\kb_i)\,Y(\qb_\beta-\kb_j)= Y(\kb_i-\qb_\alpha)+Y(\qb_\alpha-\kb_i)=1$. Dans le nouveau sommande obtenu, invariant par échange $(\alpha,i)\leftrightarrow(\beta,j)$, les parties $\sum_{i0. \end{equation} Pour le voir, multiplions comme au premier membre de~\eqref{eq:sca} les cinq nombres d'onde réduits $\qb_\alpha$~et~$\kb_i$ par le facteur d'échelle $\lambda>0$ et effectuons dans~\eqref{eq:Iang} les changements de variable $\bar{\theta}_{12}\to \lambda \bar{\theta}_{12}$, $Z_1\to \lambda Z_1$ et $Z_2\to \lambda Z_2$, ce qui sort déjà un facteur $\lambda^4/\lambda=\lambda^3$ dans le préfacteur de~\eqref{eq:Iang} et un facteur $(\lambda^2)^3$ au travers des éléments d'intégration $\dd\bar{\theta}_{12}\,\bar{\theta}_{12} \Dif{2}Z_1\Dif{2}Z_2$. De plus, sous l'effet de ces transformations, tous les angles réduits~\eqref{eq:tangred} sont multipliés par $\lambda$, l'amplitude réduite $\bar{\mathcal{A}}_{\ii\to\ff}$ est multipliée par $\lambda$ dans~\eqref{eq:Abar} donc son carré par $\lambda^2$ ---~les dénominateurs sont inchangés, les numérateurs sont multipliés par $\lambda$~---, les quantités $u$ et $v$ sont multipliées par $\lambda^3$ dans~\eqref{eq:defu}--\eqref{eq:defv} si bien que $\delta(u-v)\to \lambda^{-3}\delta(u-v)$. Comme $\lambda^3(\lambda^2)^3\lambda^2/\lambda^3=\lambda^8$, on arrive au résultat~\eqref{eq:sca} annoncé. Exploitons l'invariance d'échelle~\eqref{eq:sca} de $I_{\rmang}$ dans la définition~\eqref{eq:cphi} du coefficient $C_\phi(z_\phi)$, en ajoutant un facteur $\delta(\qb_1+\qb_2-\lambda)$ dans l'intégrande et une intégrale extérieure (tout à gauche) $\int_0^{+\infty}\dd\lambda$, selon une astuce bien connue, \begin{multline} C_\phi(z_\phi)=\int_0^{+\infty}\dd\lambda \int_0^{+\infty} \prod_{\alpha=1}^{2} \dd\qb_\alpha \prod_{i=1}^{3}\dd\kb_i\, \delta(\qb_1+\qb_2-\lambda)\delta(\qb_1+\qb_2-\kb_1-\kb_2-\kb_3) I_{\rmang}(\qb_1,\qb_2,\kb_1,\kb_2,\kb_3) \\ \times\eee^{-(\qb_1+\qb_2)} \prod_{\alpha=1}^{2} (1+\bar{n}_{q_\alpha}^{\rmlin}) \prod_{i=1}^{3} (1+\bar{n}_{k_i}^{\rmlin}) \end{multline} puis en effectuant le changement de variable $\qb_\alpha\to\lambda\qb_\alpha$ et $\kb_i\to\lambda\kb_i$ sur les cinq nombres d'onde réduits. Les éléments d'intégration sortent un facteur $\lambda^5$, chaque delta de Dirac sort un facteur $1/\lambda$ et $I_{\rmang}$ sort un facteur $\lambda^8$. Il reste\footnote{Nous nous sommes permis de remplacer $\qb_1+\qb_2$ par $1$ dans l'argument du second delta de Dirac et sous l'exponentielle en préfacteur de $S$, comme nous y autorise le premier delta de Dirac, ce qui permet aussi de limiter le domaine d'intégration sur les nombres d'onde à $[0,1]^5$.} \begin{multline}\label{eq:cphisca} C_\phi(z_\phi) = \int_0^1 \dd \qb_1 \, \dd \qb_2 \, \dd \kb_1 \, \dd \kb_2 \, \dd \kb_3 \, \delta(\qb_1+\qb_2-1) \delta(\kb_1+\kb_2+\kb_3-1) I_{\rmang}(\qb_1,\qb_2,\kb_1,\kb_2,\kb_3)\\ \times \int_0^{+\infty} \dd\lambda\,\lambda^{11} \eee^{-\lambda} S(\lambda\qb_1,\lambda\qb_2,\lambda\kb_1,\lambda\kb_2,\lambda\kb_3) \end{multline} avec la notation compacte pour la partie statistique bosonique, \begin{multline}\label{eq:defS} S(\qb_1,\qb_2,\kb_1,\kb_2,\kb_3)\equiv\prod_{\alpha=1}^{2} (1+\bar{n}_{q_\alpha}^{\rmlin}) \prod_{i=1}^{3} (1+\bar{n}_{k_i}^{\rmlin}) \\ =\bracks[\big]{\parens[\big]{1-z_\phi\eee^{-\qb_1}}\parens[\big]{1-z_\phi\eee^{-\qb_2}}\parens[\big]{1-z_\phi\eee^{-\kb_1}}\parens[\big]{1-z_\phi\eee^{-\kb_2}}\parens[\big]{1-z_\phi\eee^{-\kb_3}}}^{-1}. \end{multline} Cette nouvelle forme de $C_\phi(z_\phi)$ présente deux avantages: (i)~elle permet de découpler l'intégration des facteurs thermiques, seuls à dépendre de la fugacité, et (ii)~elle permet de restreindre l'évaluation de $I_{\rmang}$ à la variété \begin{equation}\label{eq:defW} \mathcal{W}=\braces[\big]{(\qb_1,\qb_2,\kb_1,\kb_2,\kb_3)\in[0,1]^5 \st[\big] \qb_1+\qb_2=\kb_1+\kb_2+\kb_3=1} \end{equation} ce qui conduit à des simplifications dans les expressions des quantités $\bar{\mathcal{A}}_{\ii\to\ff}$, $u$ et $v$, par exemple \begin{align} & v \overset{\mathcal{W}}{=} \frac{3}{4}\bracks[\big]{(1-\kb_1)(1-\kb_2)(1-\kb_3)-(1-\qb_1)(1-\qb_2)}, \\ \label{eq:uW} & u \overset{\mathcal{W}}{=} \qb_1\qb_2\thb^2_{12}-\frac{1}{\kb_3} (Z_1^*,Z_2^*) M \binom{Z_1}{Z_2}, \end{align} avec \begin{equation}\label{eq:uWM} M \overset{\mathcal{W}}{=} \begin{pmatrix} \kb_1(1-\kb_2) & \kb_1\kb_2\\ \kb_1\kb_2 & \kb_2(1-\kb_1) \end{pmatrix}\quad\text{et}\quad \det M \overset{\mathcal{W}}{=} \kb_1 \kb_2 \kb_3. \end{equation} \subsection{Tirer parti de la symétrie d'échange}\label{ssec:symbos} Dans l'intégrale quintuple~\eqref{eq:cphisca} sur les nombres d'onde réduits donnant $C_\phi(z_\phi)$, l'intégrande doit être une fonction symétrique des deux premiers $\qb_1,\qb_2$ et une fonction symétrique des trois derniers $\kb_1,\kb_2,\kb_3$. Ceci reflète bien entendu la symétrie d'échange de l'état initial $\ket{\ii}$ et celle de l'état final $\ket{\ff}$ dans la collision $2\phi\to 3\phi$. Seule la symétrie de $I_{\rmang}$ n'est pas évidente: elle ne saute pas aux yeux sur la définition~\eqref{eq:Iang}, à cause du rôle particulier joué par les vecteurs d'onde $\kk_1$~et~$\kk_2$ dans le paramétrage~\eqref{eq:k3} dont elle est issue, mais nous vérifierons explicitement qu'elle est satisfaite dans la section~\ref{ssec:chvar}. Cette symétrie permet de se restreindre au domaine ordonné $\qb_1<\qb_2$ au prix de l'ajout d'un facteur $2$ et $\kb_1<\kb_2<\kb_3$ au prix de l'ajout d'un facteur $3!=6$, comme nous le détaillons maintenant. Commençons par les variables $\qb_\alpha$: en sous-entendant la dépendance en les $\kb_i$, nous sommes confrontés à l'intégrale \begin{equation} I=\int_0^1\dd\qb_1 \int_0^1\dd\qb_2\,\delta(\qb_1+\qb_2-1) f(\qb_1,\qb_2)=2 \int_0^1\dd\qb_2 \int_0^{\qb_2}\dd\qb_1 \delta(\qb_1+\qb_2-1) f(\qb_1,\qb_2) \end{equation} où la fonction $f$ est symétrique et nous nous sommes réduits comme promis au domaine ordonné dans la seconde égalité. Mais il est possible de simplifier encore l'écriture. Intégrons le delta de Dirac sur $\qb_1$, ce qui revient à imposer que $\qb_1=1-\qb_2$, ce qui est manifestement positif; la contrainte $\qb_1<\qb_2$ conduit alors à $1-\qb_2<\qb_2$ donc à $\qb_2>1/2$. Réciproquement, si $\qb_2>1/2$, on a automatiquement $\qb_1=1-\qb_2<1/2<\qb_2$. Il reste donc \begin{equation} I=2\int_{1/2}^{1} \dd\qb_2\, f(1-\qb_2,\qb_2). \end{equation} Procédons de même pour les variables $\kb_i$: en sous-entendant la dépendance en les $\qb_\alpha$, nous sommes confrontés à l'intégrale \begin{multline} J=\int_0^1\dd\kb_1 \int_0^1\dd\kb_2 \int_0^1\dd\kb_3\,\delta(\kb_1+\kb_2+\kb_3-1) g(\kb_1,\kb_2,\kb_3) \\ =6 \int_0^1\dd\kb_3 \int_0^{\kb_3}\dd\kb_2 \int_0^{\kb_2}\dd\kb_1\,\delta(\kb_1+\kb_2+\kb_3-1) g(\kb_1,\kb_2,\kb_3) \end{multline} avec une fonction $g$ symétrique et une restriction au domaine ordonné. Pour simplifier encore, intégrons comme précédemment le delta de Dirac sur $\kb_1$, ce qui revient à imposer $\kb_1=1-\kb_2-\kb_3$. Comme $\kb_1<\kb_3$ et $\kb_2<\kb_3$, on en déduit que $1<3\kb_3$ donc que $\kb_3>1/3$. Comme $\kb_1<\kb_2$, on en déduit que $\kb_2>(1-\kb_3)/2$ ; voilà qui est compatible avec la condition $\kb_2<\kb_3$ puisque l'on a $\kb_3>1/3$. Réciproquement, l'inégalité $2\kb_2>1-\kb_3$ s'écrit aussi $2(1-\kb_1-\kb_3)>1-\kb_3$ ou encore $\kb_1<(1-\kb_3)/2$, et l'inégalité $\kb_1<\kb_2$ est automatiquement satisfaite. Enfin, il faut penser à vérifier que $\kb_1=1-\kb_2-\kb_3$ reste positif, donc que $\kb_2<1-\kb_3$, ce qui est une condition indépendante de l'inégalité $\kb_2<\kb_3$ et plus contraignante qu'elle dès que $\kb_3>1/2$. Il reste finalement \begin{equation} J=6\int_{1/3}^{1}\dd\kb_3 \int_{(1-\kb_3)/2}^{\min(1-\kb_3,\kb_3)}\dd\kb_2\, g(1-\kb_2-\kb_3,\kb_2,\kb_3). \end{equation} En menant en parallèle ces simplifications dans~\eqref{eq:cphisca}, nous aboutissons à l'expression maximalement réduite cherchée \begin{multline}\label{eq:cphifin} C_\phi(z_\phi)=12 \int_{1/3}^{1}\dd\kb_3 \int_{(1-\kb_3)/2}^{\min(1-\kb_3,\kb_3)}\dd\kb_2\,\int_{1/2}^{1} \dd\qb_2 I_{\rmang}(1-\qb_2,\qb_2,1-\kb_2-\kb_3,\kb_2,\kb_3)\\ \times\int_0^{+\infty} \dd\lambda\, \lambda^{11} \eee^{-\lambda} S\parens[\big]{\lambda(1-\qb_2),\lambda\qb_2,\lambda(1-\kb_2-\kb_3),\lambda\kb_2,\lambda\kb_3}. \end{multline} \subsection{Des changements de variables angulaires simplificateurs}\label{ssec:chvar} Nous nous plaçons dans cette section~\ref{ssec:chvar} immédiatement sur la variété $\mathcal{W}$~\eqref{eq:defW}. L'idée directrice est de simplifier encore l'expression de la quantité $u$~\eqref{eq:uW} en argument du delta de Dirac dans $I_{\rmang}$~\eqref{eq:Iang}. À cette fin, on effectue un changement de variable sur les grandeurs complexes $Z_1$ et $Z_2$: on réduit maximalement la forme hermitienne définissant $u$ en se plaçant dans la base propre orthonormale \begin{equation} \mathbf{e}_+=\binom{a}{b}, \qquad \mathbf{e}_-=\binom{-b}{\phantom{+}a}, \end{equation} de la matrice $M$ et en faisant apparaître dans les amplitudes au dénominateur la racine carrée des valeurs propres correspondantes $m_+>m_->0$ de $M$, et au numérateur la racine carrée de $\kb_3$, \begin{equation}\label{eq:cgz12} \quad \binom{Z_1}{Z_2}= \parens[\Bigg]{\frac{\kb_3}{m_+}}^{1/2} \zeta_+ \mathbf{e}_+ + \parens[\Bigg]{\frac{\kb_3}{m_-}}^{1/2} \zeta_- \mathbf{e}_- \quad \text{c'est-à-dire} \quad \begin{dcases} Z_1 = \frac{a\kb_3^{1/2}}{m_+^{1/2}} \zeta_+ -\frac{b\kb_3^{1/2}}{m_-^{1/2}}\zeta_- \\ Z_2 = \frac{b\kb_3^{1/2}}{m_+^{1/2}} \zeta_++\frac{a\kb_3^{1/2}}{m_-^{1/2}}\zeta_- \end{dcases} \end{equation} où $\zeta_+$ et $\zeta_-$ décrivent $\mathbb{C}$. En partant de l'expression~\eqref{eq:uWM} de $M$ sur la variété, on trouve que \begin{equation}\label{eq:mab} m_\pm = s-p\pm \abs{\delta+\ii p}, \qquad a = \frac{1}{\sqrt{2}}\parens[\Bigg]{1+\frac{\delta}{\abs{\delta+\ii p}}}^{1/2}, \qquad b = \frac{1}{\sqrt{2}}\parens[\Bigg]{1-\frac{\delta}{\abs{\delta+\ii p}}}^{1/2}. \end{equation} avec les raccourcis de notation \begin{equation} s=\frac{1}{2}(\kb_1+\kb_2), \qquad \delta=\frac{1}{2}(\kb_1-\kb_2), \qquad p=\kb_1\kb_2. \end{equation} De plus, le delta de Dirac permet d'intégrer sur l'angle réduit positif $\thb_{12}$, en vertu de l'identité \begin{equation} \delta(u-v)=\delta\parens[\big]{\qb_1\qb_2\smash{\thb}_{12}^2-\abs{\zeta_+}^2-\abs{\zeta_-}^2-v} = \frac{\delta\parens{\thb_{12}-\smash{\thb}_{12}^{(0)}}}{2\qb_1\qb_2\smash{\thb}_{12}^{(0)}} \quad \text{où} \quad \smash{\thb}_{12}^{(0)}=\frac{\parens[\big]{\abs{\zeta_+}^2+\abs{\zeta_-}^2+v}^{1/2}}{(\qb_1\qb_2)^{1/2}} \end{equation} à supposer que cette valeur de $\thb_{12}$ annulant l'argument du delta de Dirac soit réelle positive. Compte tenu du jacobien du changement de variable~\eqref{eq:cgz12}, \begin{equation} \frac{D(\re Z_1,\im Z_1,\re Z_2,\im Z_2)}{D(\re\zeta_+,\im\zeta_+,\re\zeta_{-},\im\zeta_{-})}=\bracks[\Bigg]{\frac{(a^2+b^2)\kb_3}{(m_+ m_-)^{1/2}}}^2=\frac{\kb_3}{\kb_1\kb_2} \end{equation} il reste dans~\eqref{eq:Iang} (avec $Y$ la fonction de Heaviside) \begin{equation}\label{eq:Iangjol} \boxed{ I_{\rmang}(\qb_1,\qb_2,\kb_1,\kb_2,\kb_3) \overset{\mathcal{W}}{=}\frac{1}{2}\int_{\mathbb{C}}\Dif{2}\zeta_+\int_{\mathbb{C}}\Dif{2}\zeta_- \abs[\big]{\bar{\mathcal{A}}_{\ii\to\ff}}^2_{\thb_{12}=\smash{\thb}_{12}^{(0)}} Y\parens[\big]{\abs{\zeta_+}^2+\abs{\zeta_-}^2+v}.} \end{equation} Dans le calcul numérique, nous passerons en représentation phase-module $\zeta_\pm=\rho_\pm\exp(\ii\phi_\pm)$, puis en coordonnées polaires pour intégrer sur $(\rho_+,\rho_-)$, en posant $\rho_+=R\cos\alpha$ et $\rho_-=R\sin\alpha$ avec $R = \parens[\big]{\abs{\zeta_+}^2+\abs{\zeta_-}^2}^{1/2}>0$ et $\alpha\in[0,\pi/2]$, auquel cas\footnote{L'intégrande est invariant par changement de $(\zeta_+,\zeta_-)$ en $(\zeta_+^*,\zeta_-^*)$, donc par changement de $(\phi_+,\phi_-)$ en $(2\pi-\phi_+,2\pi-\phi_-)$. On peut alors se contenter d'intégrer numériquement sur $\phi_+\in[0,\pi]$ après avoir enlevé le facteur $1/2$ devant l'intégrale. On gagne ainsi un facteur~$2$ sur le temps de calcul.\label{note:parite}} \begin{multline}\label{eq:fnum} I_{\rmang}(\qb_1,\qb_2,\kb_1,\kb_2,\kb_3) \\ \overset{\mathcal{W}}{=} \frac{1}{2} \int_0^{2\pi}\dd\phi_+ \int_0^{2\pi}\dd\phi_- \int_0^{\pi/2} \dd\alpha\,\cos\alpha\sin\alpha \int_0^{+\infty} \dd R\, R^3 \abs[\big]{\bar{\mathcal{A}}_{\ii\to\ff}}^2_{\thb_{12}=\smash{\thb}_{12}^{(0)}} Y(R^2+v) \end{multline} avec la valeur réelle positive de $\thb_{12}$ (si elle existe) \begin{equation}\label{eq:thb120num} \smash{\thb}_{12}^{(0)} \overset{\mathcal{W}}{=}\frac{(R^2+v)^{1/2}}{(\qb_1\qb_2)^{1/2}}. \end{equation} Pour terminer, vérifions la symétrie d'échange de $I_{\rmang}$ utilisée dans la section~\ref{ssec:symbos}. \begin{enumerate}\romanenumi \item Il est simple de voir que $I_{\rmang}$ est invariant par la transformation $(\qb_1,\qb_2,\zeta_+,\zeta_-) \to (\qb_2,\qb_1,-\zeta_+,-\zeta_-)$ appliquée à~\eqref{eq:Iangjol}. En effet, la forme de l'intégrale dans~\eqref{eq:Iangjol} est manifestement préservée, et les quantités $v$ et $\smash{\thb}_{12}^{(0)}$ sont manifestement inchangées. De plus, comme les coefficients $m_\pm$, $a$ et $b$ ne changent pas non plus, les variables complexes originelles sont transformées comme suit dans~\eqref{eq:cgz12}, $(Z_1,Z_2)\to (-Z_1,-Z_2)$, et donc $Z_3\to -Z_3$ dans~\eqref{eq:chvar}, ce qui échange les angles réduits $\bar{\psi}_{1i}$ et $\bar{\psi}_{2i}$ sans toucher aux angles réduits $\bar{\chi}_{ij}$ dans~\eqref{eq:tangred}. On en déduit que l'amplitude réduite $\bar{\mathcal{A}}_{\ii\to\ff}$~\eqref{eq:Abar} ne change pas (après sommation sur l'indice $\alpha$ bien entendu), puisque $\qb_\alpha$ et $\qb_\beta$ sont intervertis, de même que $\psib_{\alpha i}$ et $\psib_{\beta i}$. La symétrie par échange de $\qb_1$ et $\qb_2$ est ainsi confirmée. \item Il reste simple d'établir la symétrie par échange de $\kb_1$ et $\kb_2$. Il suffit de vérifier, de manière similaire au point (i), l'invariance de $I_{\rmang}$ par la transformation $(\kb_1,\kb_2,\zeta_+,\zeta_-) \to (\kb_2,\kb_1,\zeta_+,-\zeta_-)$: les quantités $v,\smash{\thb}_{12}^{(0)},m_+,m_-$ sont invariantes, mais les coordonnées du vecteur propre $\mathbf{e}_+$ sont échangées dans~\eqref{eq:mab}, $a\leftrightarrow b$; il en résulte que les variables complexes s'intervertissent, $(Z_1,Z_2)\to (Z_2,Z_1)$, comme les angles $\bar{\psi}_{\alpha 1}$ et $\bar{\psi}_{\alpha 2}$, $\alpha\in\{1,2\}$ ou comme les angles $\bar{\chi}_{13}$ et $\bar{\chi}_{23}$, le complexe $Z_3$ et les autres angles réduits $\bar{\psi}_{13},\bar{\psi}_{23},\bar{\chi}_{12}$ étant inchangés; l'amplitude $\bar{\mathcal{A}}_{\ii\to\ff}$ dans son ensemble est préservée. \item Le cas de la symétrie par échange de $\kb_2$ et $\kb_3$ est plus retors. Après réflexion, on introduit la transformation $(\kb_2,\kb_3,\zeta_+,\zeta_-) \to (\kb_3,\kb_2,\tilde{\zeta}_+,\tilde{\zeta}_-)$ avec \begin{equation}\label{eq:defP} \binom{\tilde{\zeta}_+}{\tilde{\zeta}_-}=P \binom{\zeta_+}{\zeta_-} \quad \text{et} \quad {P = \begin{pmatrix} \frac{\tilde{m}_+^{1/2}}{\kb_2^{1/2}} & 0 \\ 0 & \frac{\tilde{m}_-^{1/2}}{\kb_2^{1/2}} \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} \phantom{+}\tilde{a} & \tilde{b}\\ -\tilde{b} & \tilde{a} \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{\kb_1}{\kb_3} & -\frac{\kb_2}{\kb_3} \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} a & -b \\ b & \phantom{+}a \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} \frac{\kb_3^{1/2}}{m_+^{1/2}} & 0 \\ 0 & \frac{\kb_3^{1/2}}{m_-^{1/2}} \end{pmatrix}}. \end{equation} Les quantités $\tilde{a},\tilde{b},\tilde{m}_{\pm}$ se déduisent de $a,b,m_\pm$ par échange de $\kb_2$ et $\kb_3$. On vérifie que $P$ est une matrice orthogonale de déterminant $-1$, en calculant laborieusement $P ({}^{\rmt}P)$ après avoir montré que \begin{equation} Q ({}^{\rmt}Q)= \begin{pmatrix}\kb_1^{-1} & 0\\0 & \kb_3^{-1} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{equation} où la matrice $Q$ est le produit des trois dernières matrices entrant dans l'équation~\eqref{eq:defP}\footnote{Donnons trois résultats intermédiaires: $m_+a^2+m_-b^2 \overset{\mathcal{W}}{=}\kb_1(1-\kb_2)$, $m_-a^2+m_+b^2 \overset{\mathcal{W}}{=}\kb_2(1-\kb_1)$ et $ab(m_+-m_-) \overset{\mathcal{W}}{=}\kb_1\kb_2$, obtenus en écrivant les éléments de matrice diagonaux $M_{11}$ et $M_{22}$ et non diagonal $M_{12}$ de deux façons différentes, (i)~comme dans la définition~\eqref{eq:uWM} et (ii)~au travers de la décomposition spectrale $M=m_+\ket{\mathbf{e}_+} \bra{\mathbf{e}_+}+m_-\ket{\mathbf{e}_-} \bra{\mathbf{e}_-}$ en notation de Dirac. Par ailleurs, le déterminant d'un produit est le produit des déterminants, d'où $\det P=-(a^2+b^2)(\tilde{a}^2+\tilde{b}^2)(\tilde{m}_+\tilde{m}_-/m_+m_-)^{1/2}$. Or $a^2+b^2=\tilde{a}^2+\tilde{b}^2=1$ par construction et $m_+m_-=\tilde{m}_+\tilde{m}_- \overset{\mathcal{W}}{=}\kb_1\kb_2\kb_3$ d'après~\eqref{eq:uWM}.\label{note:interm}}. La transformation~\eqref{eq:defP} est donc de jacobien unité, et l'on a $\abs{\tilde{\zeta}_+}^2+\abs{\tilde{\zeta}_-}^2 = \abs{\zeta_+}^2+\abs{\zeta_-}^2$; $\smash{\thb}_{12}^{(0)}$ reste intact et la structure de l'intégrale~\eqref{eq:Iangjol} sur $\zeta_+,\zeta_-$ est préservée. Cette transformation est en fait très simple dans les variables complexes originelles $Z_i$~\eqref{eq:chvar}, $(Z_1,Z_2)\to (Z_1,Z_3)$ et $Z_3\to Z_2$, c'est même comme cela qu'elle a été construite\footnote{Les deux dernières matrices dans~\eqref{eq:defP} font passer de $(\zeta_+,\zeta_-)$ à $(Z_1,Z_2)$ comme dans~\eqref{eq:cgz12}; la matrice médiane change $(Z_1,Z_2)$ en $(Z_1,Z_3)$; les deux premières matrices font revenir aux variables zêta par transformation inverse de~\eqref{eq:cgz12} après échange de $\kb_2$ et $\kb_3$.}; il en résulte dans~\eqref{eq:tangred} que $\psib_{11}$, $\bar{\psi}_{21}$ et $\bar{\chi}_{23}$ ne varient pas mais que $\psib_{\alpha 2}$ et $\psib_{\alpha 3}$, $\alpha\in\{1,2\}$ sont échangés, tout comme $\chib_{12}$ et $\chib_{13}$; l'amplitude réduite $\bar{\mathcal{A}}_{\ii\to\ff}$ est préservée dans~\eqref{eq:Abar}, et la symétrie d'échange de $I_{\rmang}$ est confirmée. \end{enumerate} \section{Quelques précisions sur le calcul numérique de \texorpdfstring{$C_\phi$}{C\_ phi}}\label{ann:num} \subsection{Intégration numérique sur les nombres d'onde et sur les angles \texorpdfstring{$\phi_\pm,\alpha$}{phi\_ pm, alpha} ; résultat final} Nous utilisons l'expression~\eqref{eq:cphifin} de $C_\phi(z_\phi)$, et nous effectuons le calcul en parallèle pour les $n_\phi\simeq 100$ valeurs requises de la fugacité $z_\phi$ équiréparties dans $[0,1]$, afin de n'avoir pas à évaluer $n_\phi$ fois l'intégrale angulaire $I_{\rmang}$, qui n'en dépend pas et qui est coûteuse en temps. Nous introduisons un petit paramètre $\eta_{qk}$ contrôlant la discrétisation des intégrales sur les nombres d'onde réduits dans la méthode du point milieu. Dans l'intégrale sur $\kb_3$, nous prenons le pas $\dd\kb_3\simeq (2/3) \eta_{qk}$ (nous avons écrit $\simeq$ car il faut ajuster légèrement $\dd\kb_3$ pour avoir un nombre entier de pas dans la longueur $2/3$ de l'intervalle d'intégration, lorsque $\eta_{qk}$ n'est pas l'inverse d'un entier). Dans l'intégrale suivante, sur $\kb_2$, nous utilisons $\dd\kb_2\simeq \eta_{qk}$, valeur là aussi arrondie pour avoir un nombre entier non nul de pas. Dans la troisième intégrale, sur $\qb_2$, nous identifions comme points remarquables $\kb_i$ et $1-\kb_i$, $i\in\{1,2,3\}$ ---~du moins ceux qui sont dans l'intervalle $[1/2,1]$~--- et le point d'annulation de $v$, $\qb_2(v=0)=\abs[\big]{1+(1-4\sigma)^{1/2}}/2$, si $\sigma\equiv (1-\kb_1)(1-\kb_2)(1-\kb_3)<1/4$; nous intégrons ensuite sur chaque sous-intervalle $[\qb_2^{\rminf},\qb_2^{\rmsup}]$ délimité par ces points\footnote{Si $\qb_2=\kb_i$ ou $\qb_1=1-\qb_2=\kb_i$, on tombe sur une division par zéro dans~\eqref{eq:Abar}. Le cas $v=0$ est lui aussi particulier, comme le laisse pressentir la fonction $Y(R^2+v)$ dans~\eqref{eq:fnum} et comme la suite le confirmera. Si le sous-intervalle est de largeur $\qb_2^{\rmsup}-\qb_2^{\rminf}<\eta_{qk}^2$, on l'ignore simplement, sinon on prend un pas d'intégration $\dd\qb_2\simeq \eta_{qk}$ arrondi pour avoir un nombre entier de pas au moins égal à~$1$.} et par les bornes d'intégration $1/2$ et $1$. Enfin, l'intégrale sur le facteur d'échelle est calculée, toujours par la méthode du point milieu, avec un pas $\dd\lambda=1/n_\phi\simeq \np{0,01}$ (de façon qu'on ait toujours $1-z_\phi$ nul ou supérieur à $\dd\lambda$) et une coupure $\lambda_{\rmmax}=40$. Nous évaluons numériquement l'intégrale angulaire $I_{\rmang}$ à partir de la forme~\eqref{eq:fnum}. L'intégration sur les angles $\phi_\pm$ et $\alpha$ est contrôlée par le nombre entier $n_{\alpha\phi}\gg1$, au sens où nous utilisons les pas $\dd\alpha=\pi/2n_{\alpha\phi}$ et $\dd\phi_+=\dd\phi_-=\dd\phi=2\pi/n_{\alpha\phi}$; on a donc $\dd\alpha\ll\dd\phi$. Nous décalons les grilles régulières en $\phi_+$ et en $\phi_-$ d'un demi-pas pour éviter d'avoir $\phi_+=\phi_-[\pi]$, pour une raison qui apparaîtra plus bas\footnote{Nous nous souvenons aussi de la note~\ref{note:parite}. En pratique, nous prenons donc $n_{\alpha\phi}$ pair et $\phi_+\in\braces[\big]{\dd\phi/2, 3 \, \dd\phi/2, \dots, (n_{\alpha\phi}-1) \, \dd\phi/2}, \phi_-\in\braces[\big]{0,\dd\phi,\dots,(n_{\alpha\phi}-1) \, \dd\phi}$.\label{note:decale}}. L'intégrale sur $R$ est calculée analytiquement comme il est expliqué dans la section~\ref{ssec:intR}. Dans notre calcul numérique de $C_\phi(z_\phi)$, à partir du point de référence $(\eta_{qk}=1/40,n_{\alpha\phi}=60)$, \hypertarget{ann_D_i}{(i)}~nous doublons $n_{\alpha\phi}$ à $\eta_{qk}=1/40$ fixé jusqu'à ce que le résultat change de moins de $10^{-3}$ en valeur relative (et ceci uniformément en $z_\phi\in[0,1]$), et \hypertarget{ann_D_ii}{(ii)}~nous divisons $\eta_{qk}$ par deux à $n_{\alpha\phi}=60$ fixé jusqu'à ce que le résultat change là encore de moins de $10^{-3}$ en valeur relative. La convergence est atteinte au point \hyperlink{ann_D_i}{(i)}~pour $n_{\alpha\phi}=240$, et au point \hyperlink{ann_D_ii}{(ii)}~pour $\eta_{qk}=1/160$. Faire directement le calcul pour $(\eta_{qk}=1/160,n_{\alpha\phi}=240)$ serait long; nous préférons extrapoler à partir du point de référence comme suit: \begin{multline}\label{eq:cphiextrap} C_\phi(z_\phi) \simeq \eval{C_\phi(z_\phi)}{n_{\alpha\phi}=60}{\eta_{qk}=1/40}+ \parens[\Big]{\eval{C_\phi(z_\phi)}{n_{\alpha\phi}=240}{\eta_{qk}=1/40}-\eval{C_\phi(z_\phi)}{n_{\alpha\phi}=60}{\eta_{qk}=1/40}} \\ + \parens[\Big]{\eval{C_\phi(z_\phi)}{n_{\alpha\phi}=60}{\eta_{qk}=1/160}-\eval{C_\phi(z_\phi)}{n_{\alpha\phi}=60}{\eta_{qk}=1/40}} \end{multline} ce qui conduit à la figure~\ref{fig2}. À titre de comparaison, nous effectuons aussi le calcul pour $(\eta_{qk}=1/80,n_{\alpha\phi}=120)$; la demi-somme et la demi-différence avec~\eqref{eq:cphiextrap} conduisent aux valeurs et barres d'erreur données pour $z_\phi=0$ et $z_\phi=1$ dans~\eqref{eq:val01}. \subsection{Intégration analytique sur l'hyperrayon \texorpdfstring{$R$}{R}}\label{ssec:intR} D'abord, nous écrivons l'amplitude de collision réduite~\eqref{eq:Abar} sous la forme synthétique \begin{equation}\label{eq:syn} \bar{\mathcal{A}}_{\ii\to\ff}= \sum_{n=1}^{15} \frac{C_n}{\parens[\Big]{\abs[\big]{A_nR+\lambda_n\bar{\theta}_{12}}^2 +\frac{3}{4}}\parens[\Big]{\abs[\big]{B_nR+\mu_n\bar{\theta}_{12}}^2+\frac{3}{4}}} \end{equation} où les différentes quantités complexes $A_n,B_n$ ou réelles $\lambda_n,\mu_n$ figurent dans la table~\ref{tab:qtes}, puis nous développons le carré $\abs[\big]{\bar{\mathcal{A}}_{\ii\to \ff}}^2$ en 15 termes carrés $n=n'$ et en 105 termes rectangles $n0$ et $\abs{v}^{1/2}$ si $v<0$, exactement comme l'impose la fonction de Heaviside dans~\eqref{eq:K}, et que la valeur~\eqref{eq:thb120num} de l'angle polaire réduit assurant la conservation de l'énergie, \begin{equation} \bar{\theta}_{12}^{(0)} \overset{\mathcal{W}}{=} \frac{\abs{v}^{1/2}}{2(\qb_1\qb_2)^{1/2}}\parens[\bigg]{x+\frac{s_v}{x}} \end{equation} est libre de racine carrée. Nous voilà ramenés à l'intégrale d'une fraction rationnelle, \begin{equation}\label{eq:Kbis} K=\frac{v^2}{16}\int_1^{+\infty} \frac{\dd x\, x^3(x^4-1)(x^2-s_v)^2}{\prod_{m=1}^{4} \parens{a_m x^4+b_m x^2+c_m}} \overset{X=x^2}{=} \frac{v^2}{32} \int_1^{+\infty} \dd X\, \frac{X(X-1)^{2+s_v}(X+1)^{2-s_v}}{\prod_{m=1}^{4} \parens{a_m X^2+b_m X +c_m}} \end{equation} avec les notations suivantes : \begin{equation}\label{eq:defabc} a_m=\abs{\check{D}_m+\check{\nu}_m}^2, \qquad b_m=\frac{3}{4}+2s_v\parens[\big]{\check{\nu}_m^2-\abs{\check{D}_m}^2}, \qquad c_m=\abs{\check{D}_m-\check{\nu}_m}^2 \end{equation} et \begin{equation}\label{eq:renor} \check{D}_m=\frac{\abs{v}^{1/2}}{2}D_m, \qquad \check{\nu}_m=\frac{\abs{v}^{1/2}}{2(\qb_1\qb_2)^{1/2}}\nu_m. \end{equation} Les pôles $X_i$ de la fraction rationnelle $R(X)$ dans l'intégrande de~\eqref{eq:Kbis} s'obtiennent par résolution d'une équation du second degré; on vérifie qu'aucun pôle ne peut être réel positif (sinon le $x_i$ sous-jacent serait réel et on aurait $\abs[\big]{DR+\nu\smash{\thb}_{12}^{(0)}}^2=-3/4$ avec $R$ et $\smash{\thb}_{12}^{(0)}$ réels, ce qui est impossible); en revanche, on peut avoir $X_i$ réel négatif (le $x_i$ sous-jacent est imaginaire pur) ou $X_i$ de partie imaginaire non nulle, appartenant à une paire de pôles complexes conjugués $X_i$ et $X_i^*$. Pour calculer l'intégrale, il reste à décomposer la fraction rationnelle en éléments simples sur $\mathbb{C}$ et à utiliser la primitive naturelle\footnote{On convient que la dernière somme dans~\eqref{eq:primi} est vide si $n_i=1$. Ici, les racines $X_i$ sont deux à deux distinctes et les $n_i$ sont leurs multiplicités.} \begin{equation}\label{eq:primi} F(X)=\int\dd X \, R(X) = \int\dd X \, \sum_{i} \sum_{k=1}^{n_i} \frac{c_k(i)}{(X-X_i)^k} = \sum_i c_1(i)\ln(X-X_i) + \sum_{k=2}^{n_i} \frac{c_k(i)}{1-k} \frac{1}{(X-X_i)^{k-1}} \end{equation} pour obtenir dans le cas général où $R(X)=o(1/X)$ à l'infini et où l'on a donc $\sum_i c_1(i)=0$ : \begin{equation}\label{eq:analy} K=\frac{v^2}{32}\bracks[\big]{-F(1)} \end{equation} (les cas particuliers contraires sont discutés autour des équations~\eqref{eq:deuxnuls} et~\eqref{eq:patho}). \begin{table} \caption{Coefficients entrant dans la forme synthétique~\eqref{eq:syn} de l'amplitude de collision réduite $2\phi\to 3\phi$. La numérotation de~$1$ à~$15$ respecte l'ordre des sommes et l'ordre lexicographique de leurs termes dans son expression~\eqref{eq:Abar}. Pour simplifier, nous nous sommes placés sur la variété $\mathcal{W}$~\eqref{eq:defW}, comme nous le faisons dans le calcul numérique.}\label{tab:qtes} \begin{tabular}{@{} W{c}{3em} *{9}{W{c}{3.1em}} @{}} \toprule & \boldmath{$n=1$} & \boldmath{$n=2$} & \boldmath{$n=3$} & \boldmath{$n=4$} & \boldmath{$n=5$} & \boldmath{$n=6$} & \boldmath{$n=7$} & \boldmath{$n=8$} & \boldmath{$n=9$} \\ \midrule \boldmath{$A_nR$} & $0$ & $0$ & $0$ & $\frac{Z_1}{\abs{\qb_1-\kb_1}}$ & $\frac{Z_2}{\abs{\qb_1-\kb_2}}$ & $\frac{Z_3}{\abs{\qb_1-\kb_3}}$ & $\frac{Z_1}{\abs{\qb_2-\kb_1}}$ & $\frac{Z_2}{\abs{\qb_2-\kb_2}}$ & $\frac{Z_3}{\abs{\qb_2-\kb_3}}$ \\[3ex] \boldmath{$\lambda_n$} & ${1}$ & ${1}$ & ${1}$ & $\frac{\qb_2}{\abs{\qb_1-\kb_1}}$ & $\frac{\qb_2}{\abs{\qb_1-\kb_2}}$ & $\frac{\qb_2}{\abs{\qb_1-\kb_3}}$ & $\frac{-\qb_1}{\abs{\qb_2-\kb_1}}$ & $\frac{-\qb_1}{\abs{\qb_2-\kb_2}}$ & $\frac{-\qb_1}{\abs{\qb_2-\kb_3}}$ \\[3ex] \boldmath{$B_nR$} & $\frac{Z_2-Z_3}{1-\kb_1}$ & $\frac{Z_3-Z_1}{1-\kb_2}$ & $\frac{Z_1-Z_2}{1-\kb_3}$ & $\frac{Z_2-Z_3}{1-\kb_1}$ & $\frac{Z_3-Z_1}{1-\kb_2}$ & $\frac{Z_1-Z_2}{1-\kb_3}$ & $\frac{Z_2-Z_3}{1-\kb_1}$ & $\frac{Z_3-Z_1}{1-\kb_2}$ & $\frac{Z_1-Z_2}{1-\kb_3}$ \\[3ex] \boldmath{$\mu_n$} & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ & $0$ \\[3ex] \boldmath{$C_n$} & ${\kb_1}$ & $\kb_2$ & $\kb_3$ & $-\qb_2$ & $-\qb_2$ & $-\qb_2$ & $-\qb_1$ & $-\qb_1$ &$-\qb_1$ \\ \bottomrule \end{tabular} \vskip\baselineskip \begin{tabular}{@{} W{c}{3em} *{6}{W{c}{3.1em}} @{}} \toprule & \boldmath{$n=10$} & \boldmath{$n=11$} & \boldmath{$n=12$} & \boldmath{$n=13$} & \boldmath{$n=14$} & \boldmath{$n=15$} \\ \midrule \boldmath{$A_nR$} & $\frac{Z_1}{\abs{\qb_1-\kb_1}}$ & $\frac{Z_1}{\abs{\qb_1-\kb_1}}$ & $\frac{Z_2}{\abs{\qb_1-\kb_2}}$ & $\frac{Z_1}{\abs{\qb_2-\kb_1}}$ & $\frac{Z_1}{\abs{\qb_2-\kb_1}}$ & $\frac{Z_2}{\abs{\qb_2-\kb_2}}$ \\[3ex] \boldmath{$\lambda_n$} & $\frac{\qb_2}{\abs{\qb_1-\kb_1}}$ & $\frac{\qb_2}{\abs{\qb_1-\kb_1}}$ & $\frac{\qb_2}{\abs{\qb_1-\kb_2}}$ & $\frac{-\qb_1}{\abs{\qb_2-\kb_1}}$ & $\frac{-\qb_1}{\abs{\qb_2-\kb_1}}$ & $\frac{-\qb_1}{\abs{\qb_2-\kb_2}}$ \\[3ex] \boldmath{$B_nR$} & $\frac{Z_2}{\abs{\qb_2-\kb_2}}$ & $\frac{Z_3}{\abs{\qb_2-\kb_3}}$ & $\frac{Z_3}{\abs{\qb_2-\kb_3}}$ & $\frac{Z_2}{\abs{\qb_1-\kb_2}}$ & $\frac{Z_3}{\abs{\qb_1-\kb_3}}$ & $\frac{Z_3}{\abs{\qb_1-\kb_3}}$ \\[3ex] \boldmath{$\mu_n$} & $\frac{-\qb_1}{\abs{\qb_2-\kb_2}}$ & $\frac{-\qb_1}{\abs{\qb_2-\kb_3}}$ & $\frac{-\qb_1}{\abs{\qb_2-\kb_3}}$ & $\frac{\qb_2}{\abs{\qb_1-\kb_2}}$ & $\frac{\qb_2}{\abs{\qb_1-\kb_3}}$ & $\frac{\qb_2}{\abs{\qb_1-\kb_3}}$ \\[3ex] \boldmath{$C_n$} & ${\kb_3}$ & $\kb_2$ & $\kb_1$ & $\kb_3$ & $\kb_2$ & $\kb_1$ \\ \bottomrule \end{tabular} \end{table} En pratique, l'expression analytique~\eqref{eq:analy} tirée de~\eqref{eq:primi} est assez délicate à utiliser (de même que celle donnant les racines du trinôme $aX^2+bX+c$ sous la forme $(-b\pm\Delta^{1/2})/2a, \Delta=b^2-4ac$, lorsque $ac/b^2$ est inférieur à la précision numérique ---~il vaut mieux alors exprimer les racines par leur développement limité en puissances de $ac/b^2$). Supposons en effet ---~c'est le pire cas~--- que les huit pôles $X_i$ soient deux à deux distincts mais à une très faible distance d'un même point réel fixé $x_0<1$, ce qui revient à prendre $X_i=x_0+\eta Y_i$, $Y_i$ fixé, $\eta\to 0^+$, et considérons l'intégrale simplifiée \begin{equation}\label{eq:defKsimp} K_{\rmsimp}(\eta)=\int_1^{+\infty}\dd X\, R_{\rmsimp}(X) \quad \text{avec} \quad R_{\rmsimp}(X) = \frac{1}{\prod_{i=1}^{8} (X-X_i)} = \sum_{i=1}^{8} \frac{c_1(i)}{X-X_i}. \end{equation} Les coefficients des éléments simples s'écrivent $c_1(i)=C(i)/\eta^7$ avec $C(i)=\prod_{j\neq i} (Y_i-Y_j)$ indépendant de $\eta$. D'après les équations~\eqref{eq:primi}--\eqref{eq:analy}, on a alors \begin{equation}\label{eq:dur} K_{\rmsimp}(\eta)=-\frac{1}{\eta^7}\sum_{i=1}^{8} C(i)\ln(1-x_0-\eta Y_i). \end{equation} Le problème est que l'intégrale $K_{\rmsimp}(\eta)$ est, d'après~\eqref{eq:dur}, une somme de termes individuellement d'ordre $\eta^{-7}$, alors qu'elle est, d'après sa définition~\eqref{eq:defKsimp}, de limite finie $\int_1^{+\infty}\dd X/(X-x_0)^8=(1/7)(1-x_0)^{-7}$ lorsque $\eta\to 0^+$: dans le développement limité de la somme~\eqref{eq:dur} en puissances de $\eta$, des compensations exactes doivent se produire de l'ordre $\eta^0$ à $\eta^6$ inclus. Sur un ordinateur, de précision numérique non infinitésimale $\pi_{\rmnum}$, la forme analytique n'est donc utilisable que si \begin{equation} \eta^7 \gg \pi_{\rmnum}, \quad \text{soit} \quad \begin{cases} \eta\gtrsim 10^{-2} & \text{en double précision $\pi_{\rmnum}\approx 10^{-15}$}, \\ \eta\gtrsim 10^{-4} & \text{en quadruple précision $\pi_{\rmnum}\approx 10^{-31}$}. \end{cases} \end{equation} En pratique, il vaut mieux donc faire coalescer les pôles $X_i$ distants de moins de $\eta$ entre eux\footnote{On assimile deux pôles $X_i$ et $X_j$ à leur moyenne pondérée par leurs multiplicités si $\abs{X_i-X_j}<\eta \max\parens[\big]{1,\parens[\big]{\abs{X_i}+\abs{X_j}}/2}$.}, avant d'utiliser~\eqref{eq:analy}. Comme la quadruple précision est coûteuse en temps et que $\eta=10^{-2}$ n'est pas suffisamment faible (ce choix amènerait à faire coalescer des pôles complexes conjugués de partie réelle supérieure strictement à~$1$, ce qui conduirait pour le coup à un résultat faux\footnote{Par exemple, pour $x_0>1$ fixé et $\eta\to 0^+$, on a $\int_1^{+\infty} \dd X \, \phi(X)/\bracks[\big]{(X-x_0-\ii\eta)(X-x_0+\ii\eta)} = \pi\phi(x_0)/\eta+\phi(x_0)/(1-x_0)-\phi'(x_0)\ln(x_0-1)+\dotsb$, où $\phi(X)$ est une fonction régulière en $x_0$ et nous avons isolé la contribution des pôles $x_0\pm \ii\eta$ à l'intégrale; la coalescence et l'utilisation aveugle de~\eqref{eq:primi} ---~avec prise de partie réelle~--- nous feraient rater la partie divergente $\propto 1/\eta$.}), nous avons adopté une stratégie de compromis: (i)~les calculs sont en général faits en double précision, avec une distance de coalescence $\eta=10^{-3}$; (ii)~en cas de multiplicité supérieure ou égale à quatre ou de résultat absurde (une valeur négative de $K$), on passe localement et temporairement en quadruple précision; (iii)~cette stratégie est validée pour des grilles numériques pas trop grandes, $n_{\alpha\phi}=60$ et $\eta_{qk}=1/40$, par un calcul entièrement en quadruple précision avec $\eta=10^{-4}$ (le temps de restitution est d'une demi-journée sur 128 cœurs, et le résultat diffère de la double précision de moins de $2\cdot 10^{-6}$ en valeur relative). Une autre difficulté est à examiner dans l'évaluation analytique de~\eqref{eq:Kbis} au moyen de~\eqref{eq:analy}, celle de l'annulation d'un ou de plusieurs coefficients $a_m$, plus exactement de leur quasi-annulation dans le calcul numérique (au sens où, par exemple, $\abs{a_m}<10^{-12}\parens[\big]{\abs{b_m}+\abs{c_m}}$): \begin{enumerate}\romanenumi \item Si un seul coefficient $a_m$ est quasi nul, on le remplace directement par zéro dans~\eqref{eq:Kbis} sans déclencher de divergence à l'infini. On est simplement ramené à une fraction rationnelle $R_7(X)$ avec un dénominateur de degré~$7$, de primitive calculée comme dans~\eqref{eq:primi}, et l'on peut prendre $K\simeq (v^2/32)\bracks[\big]{-F_7(1)}$. \item Dans le cas où deux coefficients $a_m$ sont quasi nuls, par exemple $a_1$ et $a_2$, leur mise à zéro conduit à une fraction rationnelle $R_6(X)$ avec un dénominateur de degré~$6$; comme le numérateur est de degré~$5$, ceci déclenche une divergence logarithmique à l'infini. On montre néanmoins qu'on peut utiliser l'expression\footnote{Choisissons pour cela une coupure $\Lambda$ beaucoup plus grande que l'unité et que les pôles bornés $X_i, 1\leq i\leq 6$ de $R_8(X)$, qui peuvent être approximés par les pôles de $R_6(X)$, mais beaucoup plus petite que les pôles divergents $X_0$ et $X_0'$ de $R_8(X)$. Dans l'intégrale au troisième membre de~\eqref{eq:Kbis}, on peut alors approximer l'intégrande par $R_6(X)$ sur l'intervalle $X\in [0,\Lambda]$ et par $1/\bracks[\big]{a_1a_2a_3a_4 X (X-X_0)(X-X_0')}$ sur l'intervalle $X\in[\Lambda,+\infty \mathclose{[}$. Il reste à appliquer~\eqref{eq:primi} à chaque intervalle, en remarquant que $F_6(\Lambda)\simeq (\ln\Lambda)/(b_1 b_2 a_3 a_4)$.} \begin{equation}\label{eq:deuxnuls} K\simeq \frac{v^2}{32}\bracks[\Bigg]{-F_6(1) + \frac{X_0\ln(-X_0')-X_0'\ln(-X_0)}{X_0-X_0'} \frac{1}{b_1 b_2 a_3 a_4}} \end{equation} en commettant une erreur qui tend vers zéro avec $(a_1^2+a_2^2)^{1/2}$. Ici, $X_0=-b_1/a_1$ et $X_0'=-b_2/a_2$ sont une approximation des pôles divergents dans la fraction rationnelle originelle $R_8(X)$, et la fonction $F_6(X)$ est la primitive de $R_6(X)$ donnée par l'équation~\eqref{eq:primi} après décomposition de $R_6(X)$ en éléments simples; la première contribution dans~\eqref{eq:deuxnuls} n'est donc que le résultat d'une application aveugle ---~et incorrecte~--- de l'expression analytique~\eqref{eq:analy} à $R_6(X)$. Le cas particulier $X_0=X_0'$ se traite par la règle de L'Hospital (on remplace la première fraction du second terme dans~\eqref{eq:deuxnuls} par sa limite lorsque $X_0'\to X_0$, c'est-à-dire par $-1+\ln(-X_0)$). Bien entendu, la formule~\eqref{eq:deuxnuls} échoue si les deux coefficients $a_1$, $a_2$ sont exactement nuls ; on le voit sur la définition~\eqref{eq:defabc} des $a_m$ et sur leurs valeurs explicites tirées de la table~\ref{tab:qtes}, cet événement est hautement improbable (et ne se produit pas dans notre calcul numérique) lorsque les phases $\phi_+$ et $\phi_-$ diffèrent modulo $\pi$, d'où les grilles décalées dans la note~\ref{note:decale}. \item Si trois ou quatre coefficients $a_m$ sont quasi nuls, la divergence devient linéaire ou quadratique en la distance inverse de ces coefficients à zéro. Mais ceci impose d'avoir à la fois $\check{A}_n+\check{\lambda}_n\simeq 0$ et $\check{B}_n+\check{\mu}_n\simeq 0$ pour l'un des quinze termes de~\eqref{eq:syn}, les renormalisations repérées par un accent tchèque étant celles de l'équation~\eqref{eq:renor}, ou si l'on préfère $A_n+\lambda_n/(\qb_1\qb_2)^{1/2}\simeq 0$ et $B_n+\mu_n/(\qb_1\qb_2)^{1/2}\simeq 0$. On montre alors que la double annulation stricte ne se produit pas, et qu'il n'y a pas de problème. Vérifions-le pour le terme $n=10$: la double annulation impose $\restr{Z_1}{R=1}=-(\qb_2/\qb_1)^{1/2}$ et $\restr{Z_2}{R=1}=(\qb_1/\qb_2)^{1/2}$. Compte tenu de l'équation~\eqref{eq:cgz12} et de la représentation phase-module avant~\eqref{eq:fnum}, ceci constitue un système de Cramer pour les deux inconnues $\cos\alpha \exp(\ii\phi_+)$ et $\sin\alpha \exp(\ii\phi_-)$, que l'on résout aisément. Comme la somme des modules au carré des deux inconnues doit valoir un, on tombe, en se souvenant de la note~\ref{note:interm}, sur la condition \begin{equation}\label{eq:patho} \frac{\qb_1(1-\kb_1)}{(1-\qb_1)\kb_1} +\frac{(1-\qb_1)(1-\kb_2)}{\qb_1\kb_2} -2 \overset{\mathcal{W}}{=} \frac{1-\kb_1-\kb_2}{\kb_1\kb_2}. \end{equation} C'est en définitive une équation du second degré sur $\qb_1$; on vérifie que les deux racines sont simplement $\qb_1=\kb_1$ et $\qb_1=1-\kb_2$ (c'est-à-dire $\qb_2=\kb_2$ sur la variété $\mathcal{W}$). Ce résultat s'étend aux autres termes de~\eqref{eq:syn} ---~étant entendu que les nombres d'onde réduits sont non nuls, on tombe toujours pour $n$ supérieur ou égal à~$3$ sur une condition $\kb_i=\qb_\alpha$, $i\in\{1,2,3\}$, $\alpha\in\{1,2\}$. Alors (i)~cette condition est violée sur la grille numérique de $\qb_2$, qui exclut les points remarquables $\kb_i$ et $1-\kb_i$, et (ii)~dans la limite $\dd\qb_2\to 0^+$, cette condition tendrait à être satisfaite, mais le terme correspondant dans l'amplitude $\bar{\mathcal{A}}_{\ii\to\ff}$ est supprimé par la divergence de $1/(\kb_i-\qb_\alpha)^2$ au dénominateur. \end{enumerate} \newpage \printbibliography \end{document}