Comptes Rendus
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Probability distributions arising from nested Gaussians
[Lois de probabilités résultant de lois normales réitérées]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 3-4, pp. 201-204.

On considère un échantillon aléatoire X1,,Xn suivant la loi normale N(μ,σ12), de taille n1. Conditionnellement à chaque Xi,i=1,,n, on définit un nouvel échantillon aléatoire Xi,1,,Xi,n suivant la loi normale N(Xi,σ22) (N(Xi,σ22) est une notation introduite par commodité). Sous l'hypothèse que les n nouveaux échantillons aléatoires ainsi obtenus sont conditionnellement indépendants, on obtient un ensemble de points aléatoires de seconde génération. La question est d'étudier les propriétés de cet ensemble. On donne un théorème précisant la densité limite obtenue lorsque n tend vers l'infini, et on généralise ce théorème en étudiant ce qui se produit lorsque que l'on répète cette procédure jusqu'à obtenir, conditionnellement à chaque Xi1,i2,,ip1,i1=1,,n1,i2=1,,n2,,ip1=1,,np1, de nouveaux échantillons aléatoires Xi1,i2,,ip,ip=1,,np suivant la loi normale N(Xi1,i2,,ip1,σp2).

We consider a random sample X1,,Xn of size n1 from an N(μ,σ12) Gaussian law. Then, conditionally on each Xi,i=1,,n, we define a new random sample Xi,1,,Xi,n from the N(Xi,σ22) normal distribution (N(Xi,σ22) is notation introduced for convenience). Assuming that the so obtained n new random samples are conditionally independent, we get a second step randomly generated set of points. The question is to investigate the properties of this set. We give a theorem precising the limiting density obtained when n approaches infinity, and we generalize this theorem by studying what occurs when repeating this process until, conditionally on each Xi1,i2,,ip1,i1=1,,n1,i2=1,,n2,,ip1=1,,np1, we get new random samples Xi1,i2,,ip,ip=1,,np, from the N(Xi1,i2,,ip1,σp2) normal distribution.

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DOI : 10.1016/j.crma.2009.01.009

Souad El Otmani 1 ; Armand Maul 1

1 Université Paul-Verlaine-Metz, LMAM, CNRS UMR 7122, Île du Saulcy, 57045 METZ, France
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Souad El Otmani; Armand Maul. Probability distributions arising from nested Gaussians. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 3-4, pp. 201-204. doi : 10.1016/j.crma.2009.01.009. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2009.01.009/

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