Comptes Rendus
Théorie des nombres/Analyse complexe
Une généralisation de la formule du triple produit de Jacobi et quelques applications
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 349 (2011) no. 7-8, pp. 361-364.

Si An0 pour tout nZ, on montre que la série à 2 variables Q(x,y)=nZAnxnyn(n+1)/2 se factorise formellement en un triple produit infini qui généralise la formule de Jacobi. Soit ρo la racine positive de k=1ρk2=1/2, on prouve la convergence de la factorisation de Q pour xC et |y|<ρo2Ω1 avec Ω=supnZ|An1An+1/An2|. On en déduit que si Ω<ρo2=0,2078 on peut calculer explicitement chaque zéro de la série de Laurent f(x)=nZAnxn comme la somme ou lʼinverse de la somme de séries dont les termes sont des expressions polynomiales des An1An+1/An2. Si lʼinégalité précédente est large et f(x) réelle, tous ses zéros sont réels. Une autre application consiste, lorsquʼon connait la factorisation en triple produit de Q(x,y) par une autre voie que celle décrite dans la note, à les identifier. Ainsi avec la fonction theta de Jacobi, on a obtenu une identité nouvelle pour la somme des diviseurs σ(n) dʼun entier.

If An0 for all nZ, we show the series with 2 variables Q(x,y)=nZAnxnyn(n+1)/2 factorizes formally in an infinite triple product, which generalizes the Jacobiʼs formula. Let ρo be the positive root of k=1ρk2=1/2, we prove the convergence of the factorization of Q for xC and |y|<ρo2Ω1 with Ω=supnZ|An1An+1/An2|. We deduce that if Ω<ρo2=0.2078 each zero of the Laurent series f(x)=nZAnxn can be explicitly calculated as the sum or the inverse of the sum of series, whose terms are polynomial expressions of An1An+1/An2. If the previous inequality is wide and f(x) real, then all its zeros are real numbers. An other application is when you know the triple product factorization of Q(x,y) by another way than described in the note, to identify them. So with the Jacobi theta function, we obtained a new identity for the sum of divisors σ(n) of an integer.

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DOI : 10.1016/j.crma.2011.03.003

Vincent Brugidou 1, 2

1 Laboratoire Paul-Painlevé, université de Lille 1, 59655 Villeneuve dʼAscq cedex, France
2 IUT A de Lille 1, boulevard Paul-Langevin, BP 179, 59653 Villeneuve dʼAscq cedex, France
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Vincent Brugidou. Une généralisation de la formule du triple produit de Jacobi et quelques applications. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 349 (2011) no. 7-8, pp. 361-364. doi : 10.1016/j.crma.2011.03.003. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2011.03.003/

[1] V. Brugidou A new method to determine the value or the reality of zeros for certain entire functions, J. Math. Pures Appl., Volume 94 (2010), pp. 244-276

[2] G.H. Hardy; E.M. Wright An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, 1979

[3] P. Henrici Applied and Computational Complex Analysis, vol. 1, John Wiley & Sons, 1974

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