Comptes Rendus
Problèmes mathématiques de la mécanique
Inégalités de Korn non linéaires dans Rn, avec ou sans conditions aux limites
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 353 (2015) no. 6, pp. 563-568.

Soit Ω un ouvert borné de Rn à frontière lipschitzienne. Étant donné deux immersions Φ:Ω¯Rn et Θ:Ω¯Rn suffisamment régulières et de même orientation, on établit plusieurs inégalités de Korn non linéaires montrant que, pour tout 1<p<, la norme ΦΘW1,p(Ω) peut être majorée en fonction de la norme ΦTΦΘTΘLq(Ω) pour tout qR vérifiant max{1,p2}qp, où (ΦTΦΘTΘ) représente donc la différence exacte des métriques correspondant aux immersions Φ et Θ. De telles inégalités généralisent les inégalités de Korn linéaires bien connues où, lorsque Θ=id, la différence exacte ΦTΦI est réduite à sa partie linéaire vT+v par rapport au champ de vecteurs v:=Φid:Ω¯Rn.

Let Ω be a bounded open subset of Rn with a Lipschitz boundary. Given two smooth enough immersions Φ:Ω¯Rn et Θ:Ω¯Rn with the same orientation, we establish various nonlinear Korn inequalities that show that, for any 1<p<, the norm ΦΘW1,p(Ω) can be bounded above in terms of the norm ΦTΦΘTΘLq(Ω) for any qR such that max{1,p2}qp, where (ΦTΦΘTΘ) thus represents the exact difference between the metrics corresponding to the immersions Φ and Θ. Such inequalities generalize the well-known linear Korn inequalities, where, when Θ=id, the exact difference ΦTΦI is reduced to its linear part vT+v with respect to the vector field v:=Φid:Ω¯Rn.

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DOI : 10.1016/j.crma.2015.03.004

Philippe G. Ciarlet 1 ; Cristinel Mardare 2, 3

1 Department of Mathematics, City University of Hong Kong, 83 Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong
2 Sorbonne Universités, Université Pierre-et-Marie-Curie, Laboratoire Jacques-Louis-Lions, 75005 Paris, France
3 CNRS, UMR 7598, Laboratoire Jacques-Louis-Lions, 75005 Paris, France
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Philippe G. Ciarlet; Cristinel Mardare. Inégalités de Korn non linéaires dans $ {\mathbb{R}}^{n}$, avec ou sans conditions aux limites. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 353 (2015) no. 6, pp. 563-568. doi : 10.1016/j.crma.2015.03.004. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2015.03.004/

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