Comptes Rendus
Partial differential equations
Courant-sharp eigenvalues of a two-dimensional torus
[Valeurs propres Courant-strictes d'un tore bidimensionnel]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 353 (2015) no. 6, pp. 535-539.

Cette note vise à déterminer quelles sont les valeurs propres du laplacien sur le tore plat (R/Z)2 qui ont une fonction propre réalisant le cas d'égalité dans le théorème de Courant (situation Courant-stricte). Nous suivons la stratégie de Å. Pleijel (1956) [18], qui associe une borne inférieure de type loi de Weyl pour la fonction de comptage et une inégalité de type Faber–Krahn. Comme dans les travaux de P. Bérard et D. Meyer, cette dernière est déduite d'une inégalité isopérimétrique, avec une condition de petitesse, ici explicitée, sur l'aire du domaine.

In this note, we determine, in the case of the Laplacian on the flat two-dimensional torus (R/Z)2, all the eigenvalues having an eigenfunction that satisfies Courant's theorem with equality (Courant-sharp situation). Following the strategy of Å. Pleijel (1956) [18], the proof is a combination of a lower bound (à la Weyl) of the counting function, with an explicit remainder term, and of a Faber–Krahn inequality for domains on the torus (deduced as in the work of P. Bérard and D. Meyer from an isoperimetric inequality), with an explicit upper bound on the area.

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DOI : 10.1016/j.crma.2015.03.014

Corentin Léna 1

1 Department of Mathematics Giuseppe Peano, University of Turin, Via Carlo Alberto, 10, 10123 Turin, Italy
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Corentin Léna. Courant-sharp eigenvalues of a two-dimensional torus. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 353 (2015) no. 6, pp. 535-539. doi : 10.1016/j.crma.2015.03.014. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2015.03.014/

[1] P. Bérard Inégalités isopérimétriques et applications, SEDP (1981)

[2] P. Bérard Volume des ensembles nodaux des fonctions propres du Laplacien, SEDP, École polytechnique, Palaiseau, France, 1984

[3] P. Bérard; B. Helffer Dirichlet eigenfunctions of the square membrane: Courant's property, and A. Stern's and Å. Pleijel's analyses, March 2014 (Preprint) | arXiv

[4] P. Bérard; B. Helffer Courant-sharp eigenvalues for the equilateral torus, and for the equilateral triangle, February 2015 (Preprint) | arXiv

[5] P. Bérard; D. Meyer Inégalités isopérimétriques et applications, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 15 (1982), pp. 513-541

[6] B. Bourdin; D. Bucur; É. Oudet Optimal partitions for eigenvalues, SIAM J. Sci. Comput., Volume 31 (2009–2010), pp. 4100-4114

[7] I. Chavel Isoperimetric Inequalities: Differential Geometric and Analytic Perspectives, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2001

[8] R. Courant Ein allgemeiner Satz zur Theorie der Eigenfunktionen selbstadjungierter Differentialausdrücke, Nachr. Ges. Göttingen (1923), pp. 81-84

[9] B. Helffer; T. Hoffmann-Ostenhof Minimal partitions for anisotropic tori, J. Spectr. Theory, Volume 4 (2014), pp. 221-233

[10] B. Helffer; T. Hoffmann-Ostenhof; S. Terracini Nodal domains and spectral minimal partitions, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire, Volume 26 (2009), pp. 101-138

[11] B. Helffer; T. Hoffmann-Ostenhof; S. Terracini On spectral minimal partitions: the case of the sphere, Around the research of Vladimir Maz'ya. III, Int. Math. Ser. (N. Y.), vol. 13, 2010, pp. 153-178

[12] B. Helffer; M. Persson Sundqvist Nodal domains in the square—the Neumann case, October 2014 (Preprint) | arXiv

[13] H. Howards; M. Hutchings; F. Morgan The isoperimetric problem on surfaces, Amer. Math. Monthly, Volume 106 (1999), pp. 430-439

[14] C. Léna Spectral minimal partitions for a family of tori, March 2015 (Preprint) | arXiv

[15] C. Léna Courant-sharp eigenvalues of a two-dimensional torus, January 2015 (Preprint) | arXiv

[16] J. Leydold Knotenlinien und Knotengebiete von Eigenfunktionen, Universität Wien, 1989 http://othes.univie.ac.at/34443/ (Diplom Arbeit Unpublished, available at:)

[17] J. Leydold On the number of nodal domains of spherical harmonics, Topology, Volume 35 (1996), pp. 301-321

[18] Å. Pleijel Remarks on Courant's nodal theorem, Comm. Pure. Appl. Math., Volume 9 (1956), pp. 543-550

[19] I. Polterovich Pleijel's nodal theorem for free membranes, Proc. Amer. Math. Soc., Volume 137 (2009), pp. 1021-1024

[20] J. Toth; S. Zelditch Counting nodal lines that touch the boundary of an analytic domain, J. Differential Geom., Volume 81 (2009), pp. 649-686

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