Comptes Rendus
Correspondence between de Saint-Venant and Boussinesq. 1: Birth of the Shallow–Water Equations
Comptes Rendus. Mécanique, Volume 347 (2019) no. 9, pp. 632-662.

The Shallow–Water Equations (SWEs), also referred to as the de Saint-Venant equations, constitute the current governing mathematical tool for free-surface water flows. These include, e.g., flood flows in rivers and in urban zones, flows across hydraulic structures as dams or wastewater facilities, flows in the environmental fields, glaciology, or meteorology. Despite this attractiveness, the system of two partial differential equations has an exact mathematical solution only for a limited number of problems of practical relevance.

This historical work on the SWEs is based on a correspondence between two 19th-century scientists, de Saint-Venant and Boussinesq. Their well-known papers are thus commented from the point of development of their theory; the input of both scientists is evidenced by their writings, and comments of both to each other that led to what is commonly known as the SWEs. Given the age difference of the two of 45 years, the experienced engineer de Saint-Venant, and the mathematician Boussinesq, two eminent researchers, met to discuss not only problems in hydraulics, but in physics generally. In addition, their correspondence embraced also questions in ethics, religion, history of sciences, and personal news.

The results of the SWEs cease to hold if streamline curvature effects dominate; this includes breaking waves, solitary and cnoidal waves, or non-linear waves in general. In most other cases, however, the SWEs perfectly apply to typical flows in engineering practice; they are considered the fundamental system of equations describing open channel flows. This work thus provides a background to its birth, including lots of comments as to its improvement, physical meanings, methods of solution, and a discussion of the results. This paper also deals with the steady flow equations, gives a short account on the main persons mentioned in the Correspondence, and provides a summary of further developments of the SWEs until 1920.

Supplementary Materials:
Supplementary material for this article is supplied as a separate file:

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.1016/j.crme.2019.08.004
Mots clés : Biography, Fluid mechanics, History, Hydraulics, Water waves

Willi H. Hager 1 ; Oscar Castro-Orgaz 2 ; Kolumban Hutter 1

1 VAW, ETH Zurich, CH-8093 Zürich, Switzerland
2 University of Cordoba, Campus Rabanales, 14071 Cordoba, Spain
@article{CRMECA_2019__347_9_632_0,
     author = {Willi H. Hager and Oscar Castro-Orgaz and Kolumban Hutter},
     title = {Correspondence between de {Saint-Venant} and {Boussinesq.} 1: {Birth} of the {Shallow{\textendash}Water} {Equations}},
     journal = {Comptes Rendus. M\'ecanique},
     pages = {632--662},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {347},
     number = {9},
     year = {2019},
     doi = {10.1016/j.crme.2019.08.004},
     language = {en},
}
TY  - JOUR
AU  - Willi H. Hager
AU  - Oscar Castro-Orgaz
AU  - Kolumban Hutter
TI  - Correspondence between de Saint-Venant and Boussinesq. 1: Birth of the Shallow–Water Equations
JO  - Comptes Rendus. Mécanique
PY  - 2019
SP  - 632
EP  - 662
VL  - 347
IS  - 9
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crme.2019.08.004
LA  - en
ID  - CRMECA_2019__347_9_632_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Willi H. Hager
%A Oscar Castro-Orgaz
%A Kolumban Hutter
%T Correspondence between de Saint-Venant and Boussinesq. 1: Birth of the Shallow–Water Equations
%J Comptes Rendus. Mécanique
%D 2019
%P 632-662
%V 347
%N 9
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crme.2019.08.004
%G en
%F CRMECA_2019__347_9_632_0
Willi H. Hager; Oscar Castro-Orgaz; Kolumban Hutter. Correspondence between de Saint-Venant and Boussinesq. 1: Birth of the Shallow–Water Equations. Comptes Rendus. Mécanique, Volume 347 (2019) no. 9, pp. 632-662. doi : 10.1016/j.crme.2019.08.004. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mecanique/articles/10.1016/j.crme.2019.08.004/

[1] C.-L-M.-H. Navier Mémoire sur les lois du mouvement des fluides, Mém. Acad. Sci. Paris, Volume 6 (1822), pp. 389-440 (in French)

[2] L. Prandtl Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung, Intl. Mathematiker-Kongress, Heidelberg, Teubner, Leipzig (1904), pp. 484-491 (in German)

[3] M.J. Lighthill; G.B. Whitham On kinematic waves 1: Flood movement in long rivers, Proc. R. Soc. A, Volume 229 (1955), pp. 281-316

[4] A. de Saint-Venant Théorie du mouvement non-permanent des eaux avec application aux crues des rivières et à l'introduction des marées dans leur lit, C. r. hebd. séances Acad. sci., Volume 73 (1871), pp. 148-154 73, 237–240 (in French)

[5] A. Ritter Die Fortpflanzung der Wasserwellen, Z. Ver. Dtsch. Ing., Volume 36 (1892) no. 2, pp. 947-954 (in German)

[6] O. Reynolds An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinuous and the law of resistance in parallel channels, Philos. Trans. R. Soc., Volume 174 (1883), pp. 935-982

[7] A. de Saint-Venant Mémoire sur un mode d'interpolation applicable à des questions relatives au mouvement des eaux, et suppléant à l'intégration souvent impossible des équations aux dérivées partielles, C. r. hebd. séances Acad. sci., Volume 17 (1843), pp. 1108-1115 (in French)

[8] A. de Saint-Venant Mémoire sur les formules nouvelles pour la solution des problèmes relatifs aux eaux courantes, C. r. hebd. séances Acad. sci., Volume 31 (1850), pp. 283-286 581–583. An extended version is contained in the Annales des Mines, 1851, Series 4, 20, 183–353 (in French)

[9] A. de Saint-Venant Démonstration élémentaire de la formule de propagation d'une onde ou d'une intumescence dans un canal prismatique; et remarques sur les propagations du son et de la lumière, sur les ressauts, ainsi que sur la distinction des rivières et des torrents, C. R. Hebd. Séances Acad. Sci., Volume 71 (1870), pp. 186-195 (in French)

[10] H. Darcy; H. Bazin Recherches hydrauliques, Mémoires présentées par divers savants à l'Académie des sciences, Paris, Volume 19 (1865), pp. 1-494 (in French)

[11] A. Chézy Formule pour trouver la vitesse constante que doit avoir l'eau dans une rigole ou un canal dont la pente est donnée, Ann. Ponts Chaussées, Volume 61 (1921), pp. 165-269 1776, Dossier 847, Ms. 1915, of the manuscript collection of the “École nationale des ponts et chaussées”, Paris. Reproduced in G. Mouret, Antoine Chézy: histoire d'une formule d'hydraulique (in French)

[12] P.-S. Girard Rapport sur le projet général du canal de l'Ourcq, Carilian-Goeury, Paris, 1803 (in French)

[13] G. Riche de Prony Recherches physico-mathématiques sur la théorie des eaux courantes, Imprimerie Impériale, Paris, 1804 (in French)

[14] G. Mouret Antoine Chézy: Histore d'une formule d'hydraulique, Ann. Ponts Chaussées, Volume 91 (1921), pp. 165-269 (in French)

[15] P. Gauckler Du mouvement de l'eau dans les conduites, Ann. Ponts Chaussées, Volume 38 (1868) no. 1, pp. 229-281 (in French)

[16] W.H. Hager; O. Castro-Orgaz William Froude and the Froude number, J. Hydraul. Eng., Volume 142 (2016) no. 03716001, pp. 1-9

[17] J.-B. Bélanger Essai sur la solution numérique de quelques problèmes relatifs au mouvement permanent des eaux courantes, Carilian-Goeury, Paris, 1828 (in French)

[18] G.-G. Coriolis Mémoire sur l'établissement de la formule qui donne la figure des remous, et sur la correction qu'on doit y introduire pour tenir compte des différences des vitesses dans les divers points d'une section, Ann. Ponts Chaussées, Volume 6 (1836) no. 1, pp. 314-335 (in French)

[19] C. Bresse Cours de mécanique appliquée: Hydraulique, Mallet-Bachelier, Paris, 1868 (in French)

[20] B.C. Yen Open-channel flow equations revisited, J. Eng. Mech. Div., Volume 99 (1973) no. EM5, pp. 979-1009 (ASCE)

[21] E.J. Boudin De l'axe hydraulique des cours d'eau contenus dans un lit prismatique, et des dispositifs réalisant, en pratique, ses formes diverses, Ann. Travaux publics, Volume 20 (1863), pp. 397-555 (in French)

[22] J.-B. Bélanger Cours de mécanique, Carilian-Goeury et Dalmont, Paris, 1838 (in French)

[23] J.-V. Poncelet; J. Lesbros Expériences hydrauliques sur les lois de l'eau à travers les orifices rectangulaires verticaux à grandes dimensions, entreprises à Metz, Mémoires présentés par divers Savants à l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France, Volume 3 (1832), pp. 242-502 (in French)

[24] J.-V. Poncelet; J. Lesbros Analyse des expériences faites à Metz en 1827 et 1828, sur l'écoulement de l'eau à travers les orifices rectangulaires verticaux à grandes dimensions, Ann. Ponts Chaussées, Volume 6 (1836) no. 1, pp. 214-236 (in French)

[25] J.V. Poncelet Introduction à la mécanique industrielle, Carilian-Goeury, Paris, 1841 (in French)

[26] A.J.E.J. Dupuit Étude théorique sur le mouvement des eaux courantes dans les canaux découverts et à travers les terrains perméables, Dunod, Paris, 1863 1848 (in French)

[27] J.W. Lahmeyer Berichtigung der Erfahrungsresultate über die Bewegung des Wassers in Flussbetten and Kanälen, Förster's Allg. Bauztg., Volume 17 (1852), pp. 149-159 (in German)

[28] J.-V. Poncelet Notice sur quelques phénomènes produits à la surface libre des fluides, en repos ou en mouvement, par la présence des corps solides qui y sont plus ou moins plongés, et spécialement sur les ondulations et les rides permanents qui en résultent, Ann. Chim. Phys., Volume 46 (1831), pp. 5-25 (in French)

[29] A. Tadini Di varie cose alla idraulica scienza appartenenti, Bravi, Bergamo, 1830 (in Italian)

[30] P. Vauthier De la théorie du mouvement permanent des eaux courantes et de ses applications à la solution de plusieurs problèmes, Ann. Ponts Chaussées, Volume 6 (1836) no. 1, pp. 241-313 (in French)

[31] J. Boussinesq Essai sur la théorie des eaux courantes, Mémoires présentés par divers savants à l'Académie des sciences, Volume 23 (1877), pp. 1-660 (in French)

[32] J.W. Lahmeyer Erfahrungsresultate über die gleichförmige Bewegung des Wassers in Flüssen und Kanälen, Meyer, Braunschweig, 1848 (in German)

[33] A. Graeff Traité d'hydraulique, Imprimerie nationale, Paris, 1883 (in French)

[34] J. Boussinesq Additions et éclaircissements au mémoire intitulé « Essai sur la théorie des eaux courantes », Mémoires présentés par divers savants à l'Académie des sciences, Paris, Volume 24 (1878), pp. 1-64 (in French)

[35] J.C.I. Dooge Historical Development of Concepts in Open Channel Flow (G. Garbrecht, ed.), Hydraulics and Hydraulic Research: A Historical Review, Balkema, Rotterdam, The Netherlands, 1987, pp. 205-230

[36] C. Kleitz, Recherche des conditions économiques auxquelles devraient satisfaire des retenues opérées sur les affluents dans l'intérêt de la Vallée du Rhône (Study of economic conditions to be satisfied by reservoirs operating with flow additions in the interest of Rhone Valley), 1858, Unpublished Memoir, 30 January 1858 (in French).

[37] C. Kleitz Sur la théorie du mouvement non-permanent des liquides et sur son application à la propagation des crues de rivières, Ann. Ponts Chaussées, Volume 47 (1877) no. 2, pp. 133-196 (in French)

[38] Unsteady flow in open channels 3: Bibliography (W.A. Miller; V. Yevjevich, eds.), Water Resources Publications, Fort Collins CO, USA, 1975

[39] H.L. Partiot Mémoire sur les marées fluviales, C. r. hebd. séances Acad. sci., Volume 73 (1871) no. 2, pp. 91-95 (in French)

[40] H.L. Partiot Étude sur les rivières à marée et sur les estuaires, Baudry, Paris, 1892 (in French)

[41] J. Boussinesq Théories des ondes et des remous qui se propagent le long d'un canal rectangulaire horizontal, J. Math. Pures Appl. de M. Liouville, Série 2, Volume 17 (1872), pp. 55-108 18, 47–52 (in French)

[42] J. Boussinesq Théorie des ondes liquides périodiques, Mémoires présentés par divers savants à l'Académie des sciences, Paris, Volume 20 (1873), pp. 509-615 (in French)

[43] J. Boussinesq Théorie de l'écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans des lits rectangulaires à grande section, Gauthier-Villars, Paris, 1897 (in French)

[44] A. Graeff Mémoire sur le mouvement des eaux dans les réservoirs à alimentation variable, Mémoires présentés par divers savants à l'Académie des sciences, Volume 21 (1875), pp. 393-538 (in French)

[45] C. Herschel On waves of translation, Trans. ASCE, Volume 4 (1875), pp. 185-200

[46] L. Rayleigh On waves, Philos. Mag. Ser. 5, Volume 1(4) (1876), pp. 257-279

[47] G.-E. Comoy Étude pratique sur les marées fluviales et notamment sur le mascaret, Gauthier-Villars, Paris, 1881 (in French)

[48] M.-C. Lechalas Hydraulique fluviale, Baudry, Paris, 1884 (in French)

[49] H. Bazin Expériences sur la propagation des ondes le long d'un cours d'eau torrentueux, et confirmation par ces expériences des formules données par Boussinesq, dans sa théorie du mouvement graduellement varié des fluides, C. r. hebd. séances Acad. sci., Volume 100 (1885), pp. 1492-1494 (in French)

[50] A.B. Basset A Treatise on Hydrodynamics, 1888 (Deighton, Cambridge, UK)

[51] J. Massau L'intégration graphique, Ann. Assoc. Ing. Sortis éc. Spéc. Gand, Volume 12 (1889), pp. 185-435 (in French)

[52] J. Massau Mémoire sur l'intégration graphique des équations aux dérivées partielles, Ann. Assoc. Ing. sortis Éc. Spéc. Gand, Volume 23 (1900), pp. 95-214 (in French)

[53] W.H. Wheeler Tidal Rivers: Their Hydraulics, Improvement, Navigation, Longmans, Green & Co., London, New York, 1893

[54] M. Lévy Leçons sur la théorie des marées, Gauthier-Villars, Paris, 1898 (in French)

[55] E. Haerens Mouvement varié des eaux, propagation d'une crue et d'une marée fluviale, Ann. Trav. Publics Belg. Série 2, Volume 4 (1899), pp. 1-19 (in French)

[56] J.-B. Bourdelles Étude sur le régime de la marée dans les estuaires et dans les fleuves, Ann. Ponts Chaussées, Volume 70 (1900), pp. 5-120 (in French)

[57] A. Flamant Hydraulique, Béranger, Paris, 1900 (in French)

[58] R.F. Gwyther The general motion of long waves, with an examination of the direct reflexion of the solitary wave, Philos. Mag. Ser. 5, Volume 1 (1900), pp. 349-352

[59] A.J. Seddon River hydraulics, Trans. ASCE, Volume 43 (1900), pp. 179-243

[60] V. Cornish Waves of the Sea and Other Water Waves, Fisher Onwin, London, 1910

[61] U. Cisotti Integrale generale dei piccoli moti ondosi di tipo permanente in canali molto profondi, Atti R. Ist. Veneto, Volume 70 (1911), pp. 33-47 (in Italian)

[62] T. Levi-Cività Sulle onde di canale, Rend. R. Accad. Lincei, Volume 21 (1912), pp. 3-14 (in Italian)

[63] B.A. Bakhmeteff О неравномерном движении жидкости в открытом русле, 1912 Saint Petersburg, Russia (in Russian)

[64] R. von Mises Elemente der technischen Hydraulik, Teubner, Leipzig, 1914 (in German)

[65] L. Rayleigh On the theory of long waves and bores, Proc. R. Soc. A, Volume 90 (1914), pp. 324-328

[66] A. Palatini Sulla influenza del fondo nella propagazione delle onde dovute a perturbazioni locali, Rend. Circ. Mat. Palermo, Volume 39 (1915) no. 1, pp. 362-384 (in Italian)

[67] P. Alibrandi Sur la théorie des ondes de crue, Ann. Ponts Chaussées, Volume 87 (1917) no. 5, pp. 200-210 (in French)

[68] R.D. Johnson Surges in an open channel, Trans. ASCE, Volume 81 (1917), pp. 112-115

[69] A. Schoklitsch Ueber Dammbruchwellen, Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien, Volume 126 (1917), pp. 1489-1514 (in German)

[70] E. Maillet Sur le mouvement graduellement varié non-permanent et la propagation des crues, Ann. Ponts Chaussées, Volume 89 (1919) no. 3, pp. 289-331 (in French)

[71] G.B. Airy Tides and waves, Encyclopaedia Metropolitana vol. 5, 1841, pp. 241-396

[72] O. Castro-Orgaz; W.H. Hager Non-Hydrostatic Free Surface Flows, Springer, Berlin, 2017

[73] E. Hagenbach Über die Bestimmung der Zähigkeit einer Flüssigkeit durch Ausfluss aus Röhren, Ann. Phys. Chem., Volume 109 (1860) no. 3, pp. 385-426 (in German)

[74] P. Kelland On the theory of waves, Trans. R. Soc. Edinb., Volume 14 (1840), pp. 497-545 (15, 101–144)

[75] A. de Saint-Venant Des diverses manières de poser les équations du mouvement varié des eaux courantes, Ann. Ponts Chaussées, Volume 57 (1887) no. 1, pp. 148-228 (in French)

Cité par Sources :

Commentaires - Politique