Comptes Rendus
Probability Theory
Minima of sequences of Gaussian random variables
[Minima des suites des variables aléatoires gaussiennes]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 6, pp. 445-448.

Pour une suite a1,,an des nombres réels, on note le k-ième plus petit membre par k-min1inai. On démontre qu'il existe deux constants positives c et C telles que pour toute suite x1,,xn des nombres réels et pour tout kn, on ait

cmax1jkk+1ji=jn1/xiEk-min1in|xigi|Cln(k+1)max1jkk+1ji=jn1/xi.
Ici giN(0,1), i=1,,n, sont des variables aléatoires Gaussiennes indépendentes. En plus, si k=1, on n'a pas besoin de l'indépendence des gi's pour obtenir l'inégalité du gauche. On démontre également les inégalités correspondantes pour Ek-min1in|xigi|p.

For a given sequence of real numbers a1,,an we denote the k-th smallest one by k-min1inai. We show that there exist two absolute positive constants c and C such that for every sequence of positive real numbers x1,,xn and every kn one has

cmax1jkk+1ji=jn1/xiEk-min1in|xigi|Cln(k+1)max1jkk+1ji=jn1/xi,
where giN(0,1), i=1,,n, are independent Gaussian random variables. Moreover, if k=1 then the left hand side estimate does not require independence of the gis. Similar estimates hold for Ek-min1in|xigi|p as well.

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DOI : 10.1016/j.crma.2005.02.003

Yehoram Gordon 1 ; Alexander Litvak 2 ; Carsten Schütt 3 ; Elisabeth Werner 4, 5

1 Technion, Department of Mathematics, Haifa 32000, Israel
2 Department of Mathematical and Statistical Sciences, University of Alberta, Edmonton, Alberta, Canada T6G 2G1
3 Christian Albrechts Universität, Mathematisches Seminar, 24098 Kiel, Germany
4 Department of Mathematics, Case Western Reserve University, Cleveland, OH 44106, USA
5 Université de Lille 1, UFR de mathématique, 59655 Villeneuve d'Ascq, France
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Yehoram Gordon; Alexander Litvak; Carsten Schütt; Elisabeth Werner. Minima of sequences of Gaussian random variables. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 340 (2005) no. 6, pp. 445-448. doi : 10.1016/j.crma.2005.02.003. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2005.02.003/

[1] Y. Gordon; A.E. Litvak; C. Schütt; E. Werner Orlicz norms of sequences of random variables, Ann. Probab., Volume 30 (2002), pp. 1833-1853

[2] S. Mallat, O. Zeitouni, Optimality of the Karhunen–Loeve basis in nonlinear reconstruction, preprint, http://www.ee.technion.ac.il/~zeitouni/openprob.html

[3] O. Zeitouni, private communication

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