Comptes Rendus
Partial Differential Equations
A remark on the stabilization of the 1-d wave equation
[Une remarque sur la stabilisation de l'équation des ondes 1-d]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 1-2, pp. 47-51.

Nous considérons l'équation des ondes sur un intervalle de longueur 1 avec un amortissement en un point ξ intérieur et avec la condition au bord de Dirichlet aux deux extrémités. Il est bien-connu que, si ξ est rationnel, l'énergie ne tend pas vers 0. Dans ce cas, nous prouvons que l'énergie décroît exponentiellement vers une constante que l'on explicitera.

We consider the wave equation on an interval of length 1 with an interior damping at ξ and with Dirichlet boundary condition at the two ends. It is well known that, if ξ is rational, the energy does not decay to 0. In this case, we prove that the energy decays exponentially to a constant which we identify.

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DOI : 10.1016/j.crma.2009.11.015

Serge Nicaise 1 ; Julie Valein 2

1 Université de Valenciennes et du Hainaut Cambrésis, LAMAV, FR CNRS 2956, Institut des Sciences et Techniques de Valenciennes, 59313 Valenciennes cedex 9, France
2 Institut Elie Cartan Nancy (IECN), Nancy-université & INRIA (Project-Team CORIDA), 54506 Vandoeuvre-lès-Nancy cedex, France
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Serge Nicaise; Julie Valein. A remark on the stabilization of the 1-d wave equation. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 1-2, pp. 47-51. doi : 10.1016/j.crma.2009.11.015. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2009.11.015/

[1] K. Ammari; A. Henrot; M. Tucsnak Asymptotic behaviour of the solutions and optimal location of the actuator for the pointwise stabilization of a string, Asymptot. Anal., Volume 28 (2001) no. 3–4, pp. 215-240

[2] K. Ammari, M. Jellouli, Méthode numérique pour la décroissance de l'énergie d'un réseau de cordes, Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin, submitted for publication

[3] K. Ammari; M. Tucsnak Stabilization of Bernoulli–Euler beams by means of a pointwise feedback force, SIAM J. Control Optim., Volume 39 (2000) no. 4, pp. 1160-1181

[4] K. Ammari; M. Tucsnak Stabilization of second order evolution equations by a class of unbounded feedbacks, ESAIM Control Optim. Calc. Var., Volume 6 (2001), pp. 361-386

[5] A.E. Ingham Some trigonometrical inequalities with applications to the theory of series, Math. Z., Volume 41 (1936) no. 1, pp. 367-379

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