Comptes Rendus
Équations aux dérivées partielles/Géométrie différentielle
Equations hessiennes complexes sur des variétés kählériennes compactes
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 1-2, pp. 41-46.

Sur une variété kählérienne compacte connexe de dimension 2m, ω étant la forme de Kähler, Ω une forme volume donnée dans [ω]m et k un entier 1<k<m, on cherche à résoudre de façon unique dans [ω] l'équation ω˜kωmk=Ω en utilisant une notion de k-positivité pour ω˜[ω] (les cas extrêmes sont résolus : k=m par Yau, k=1 trivialement). Nous résolvons par la méthode de continuité l'équation hessienne d'ordre k complexe elliptique correspondante sous l'hypothèse que la variété est à courbure bisectionnelle holomorphe non-négative, ici requise seulement pour établir un pincement a priori de valeurs propres.

On a compact connected 2m-dimensional Kähler manifold with Kähler form ω, given a volume form Ω[ω]m and an integer 1<k<m, we want to solve uniquely in [ω] the equation ω˜kωmk=Ω, relying on the notion of k-positivity for ω˜[ω] (the extreme cases are solved: k=m by Yau, k=1 trivially). We solve by the continuity method the corresponding complex elliptic k-th Hessian equation under the assumption that the holomorphic bisectional curvature of the manifold is non-negative, required here only to derive an a priori eigenvalues pinching.

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DOI : 10.1016/j.crma.2009.11.011

Asma Jbilou 1

1 Laboratoire Jean-Alexandre-Dieudonné, université de Nice Sophia-Antipolis, parc Valrose 06108 Nice cedex 2, France
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Asma Jbilou. Equations hessiennes complexes sur des variétés kählériennes compactes. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 1-2, pp. 41-46. doi : 10.1016/j.crma.2009.11.011. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2009.11.011/

[1] Th. Aubin Métriques riemanniennes et courbures, J. Diff. Geom., Volume 4 (1970), pp. 383-424

[2] Th. Aubin Equations du type Monge–Ampère sur les variétés kählériennes compactes, C. R. Acad. Sci. Paris A, Volume 283 (1976), pp. 116-120

[3] Th. Aubin Some Nonlinear Problems in Riemannian Geometry, Springer, 1998

[4] A.L. Besse Einstein Manifolds, Springer, 1987

[5] Z. Blocki Weak solutions to the complex Hessian equation, Ann. Inst. Fourier Grenoble, Volume 55 (2005), pp. 1735-1756

[6] E. Cartan Leçons Sur la Géométrie des Espaces de Riemann, Gauthier-Villars, 1946

[7] L. Caffarelli; L. Nirenberg; J. Spruck The Dirichlet problem for nonlinear second order elliptic equations, III: Functions of the eigenvalues of the Hessian, Acta Math., Volume 155 (1985), pp. 261-301

[8] Ph. Delanoë Sur l'analogue presque-complexe de l'équation de Calabi–Yau, Osaka J. Math., Volume 33 (1996), pp. 829-846

[9] L. Gårding An inequality for hyperbolic polynomials, J. Math. and Mech., Volume 8 (1959), pp. 957-965

[10] C. Gerhardt Closed Weingarten hypersurfaces in Riemannian manifolds, J. Diff. Geom., Volume 43 (1996), pp. 612-641

[11] D. Gilbarg; N.S. Trudinger Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Springer, 2001

[12] Z. Hou, Complex Hessian equation on Kähler manifold, Preprint, 24 December 2008, downloadable at: | arXiv

[13] A. Jbilou, Equations hessiennes complexes sur les variétés kählériennes compactes, Thèse, Univ. Nice Sophia-Antipolis (19 Février 2010)

[14] S. Kobayashi; K. Nomizu Foundations of Differential Geometry II, Interscience Publishers, 1969

[15] S.-Y. Li On the Dirichlet problems for symmetric function equations of the eigenvalues of the complex Hessian, Asian J. Math., Volume 8 (2004), pp. 87-106

[16] M. Lin; N. Trudinger On some inequalities for elementary symmetric functions, Bull. Austral. Math. Soc., Volume 50 (1994), pp. 317-326

[17] A. Vinacua Nonlinear elliptic equations and the complex Hessian, Comm. PDE, Volume 13 (1988), pp. 1467-1497

[18] S.-T. Yau On the Ricci curvature of a compact Kähler manifold and the complex Monge–Ampère equations. I, Comm. Pure Appl. Math., Volume 31 (1978), pp. 339-441

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