Comptes Rendus
Analyse sur les groupes de Lie non commutatifs
The Harmonic Oscillator on the Heisenberg Group
[L’oscillateur harmonique sur le groupe de Heisenberg]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 358 (2020) no. 5, pp. 609-614.

Dans cette note, nous présentons une notion d’oscillateur harmonique sur le groupe de Heisenberg H n qui forme l’analogue naturel de l’oscillateur harmonique sur n sous quelques hypothèses raisonnables : l’oscillateur harmonique sur H n devraît être une somme négative de carrés d’opérateurs liée au sous-laplacien sur H n , être essentiellement auto-adjoint avec un spectre purement discret, et les vecteurs propres doivent former une base orthonormée de L 2 (H n ). Cette approche conduit à un opérateur différentiel sur H n qui est déterminé par l’algèbre de Dynin–Folland de Lie (stratifiée). Nous fournissons une expression explicite pour l’opérateur ainsi qu’une estimation asymptotique pour ses valeurs propres.

In this note we present a notion of harmonic oscillator on the Heisenberg group H n which forms the natural analogue of the harmonic oscillator on n under a few reasonable assumptions: the harmonic oscillator on H n should be a negative sum of squares of operators related to the sub-Laplacian on H n , essentially self-adjoint with purely discrete spectrum, and its eigenvectors should be smooth functions and form an orthonormal basis of L 2 (H n ). This approach leads to a differential operator on H n which is determined by the (stratified) Dynin–Folland Lie algebra. We provide an explicit expression for the operator as well as an asymptotic estimate for its eigenvalues.

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DOI : 10.5802/crmath.78
Classification : 35R03, 35P20

David Rottensteiner 1 ; Michael Ruzhansky 1, 2

1 Department of Mathematics: Analysis, Logic and Discrete Mathematics, Ghent University, Krijgslaan 281, S8, 9000 Gent, Belgium
2 School of Mathematical Sciences, Queen Mary University of London, Mile End Road, London E1 4NS, United Kingdom
Licence : CC-BY 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits
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David Rottensteiner; Michael Ruzhansky. The Harmonic Oscillator on the Heisenberg Group. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 358 (2020) no. 5, pp. 609-614. doi : 10.5802/crmath.78. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.78/

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