Tout groupe réductif connexe G sur un corps k (de caractéristique nulle) peut s'écrire comme un quotient , où S est un k-tore flasque central dans un k-groupe réductif H extension d'un k-tore quasitrivial par un k-groupe semisimple simplement connexe. De telles présentations de G permettent de simplifier l'étude du groupe des points rationnels de G, de la cohomologie galoisienne de G et du groupe de Brauer d'une compactification lisse de G.
A connected reductive group G over a (characteristic zero) field k may be written as a quotient , where the k-group H is an extension of a quasitrivial torus by a simply connected group, and S is a flasque k-torus, central in H. Such presentations lead to a simplified approach to the Galois cohomology of G and related objects, such as the Brauer group of a smooth compactification of G. When k is a number field, one also recovers known formulas, in terms of S, for the quotient of the group of rational points by R-equivalence, and for the Abelian groups which measure the lack of weak approximation and the failure of the Hasse principle for principal homogeneous spaces.
Accepté le :
Publié le :
Jean-Louis Colliot-Thélène 1
@article{CRMATH_2004__339_5_331_0,
author = {Jean-Louis Colliot-Th\'el\`ene},
title = {R\'esolutions flasques des groupes r\'eductifs connexes},
journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
pages = {331--334},
publisher = {Elsevier},
volume = {339},
number = {5},
year = {2004},
doi = {10.1016/j.crma.2004.06.012},
language = {fr},
}
Jean-Louis Colliot-Thélène. Résolutions flasques des groupes réductifs connexes. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 339 (2004) no. 5, pp. 331-334. doi : 10.1016/j.crma.2004.06.012. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2004.06.012/
[1] Abelian Galois cohomology of reductive groups, Mem. Amer. Math. Soc., Volume 132 (1998) no. 626
[2] Formulas for the unramified Brauer group of a principal homogeneous space of a linear algebraic group, J. Algebra, Volume 225 (2000), pp. 804-821
[3] Arithmetical birational invariants of linear algebraic groups over two-dimensional geometric fields, with an appendix by P. Gille, J. Algebra, Volume 276 (2004), pp. 292-339
[4] J.-L. Colliot-Thélène, Un théorème de finitude pour le groupe de Chow des zéro-cycles d'un groupe algébrique linéaire sur un corps p-adique, Invent Math. (2004), à paraître
[5] Arithmetic of linear algebraic groups over 2-dimensional geometric fields, Duke Math. J., Volume 121 (2004), pp. 285-341
[6] La R-équivalence sur les tores, Ann. Sci. École. Norm. Sup., Volume 10 (1977), pp. 175-229
[7] La descente sur les variétés rationnelles, II, Duke Math. J., Volume 54 (1987), pp. 375-492
[8] La R-équivalence sur les groupes algébriques réductifs définis sur un corps global, Publ. Math. I.H.É.S., Volume 86 (1997), pp. 199-235
[9] Cohomologie galoisienne des groupes quasidéployés sur des corps de dimension cohomologique ⩽2, Compositio Math., Volume 125 (2001), pp. 283-325
[10] Groupe de Brauer et arithmétique des groupes algébriques linéaires, J. Reine Angew. Math. (Crelle), Volume 327 (1981), pp. 12-80
[11] Algebraicheskie Tory, Nauka, Moscou, 1977
Cité par Sources :
Commentaires - Politique