Comptes Rendus
Mathematical Problems in Mechanics
A generalization of the classical Cesàro–Volterra path integral formula
[Une généralisation de la formule classique de l'intégrale curviligne de Cesàro–Volterra]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 347 (2009) no. 9-10, pp. 577-582.

Si un champ e de matrices symétriques d'ordre trois vérifie les conditions de compatibilité de Saint Venant dans un domaine simplement connexe Ω de R3, alors il existe un champ u de déplacements de Ω tel que e=12(uT+u) dans Ω. Si le champ e est suffisamment régulier, le déplacement u(x) peut être calculé explicitement en tout point xΩ comme une fonction de e et de CURLe, au moyen d'une intégrale curviligne de Cesàro–Volterra le long d'un chemin contenu dans Ω et d'extrémité x.

On suppose ici que les composantes du champ e sont seulement dans L2(Ω), auquel cas la formule intégrale de Cesàro–Volterra n'a pas de sens. On établit alors l'existence d'une « formule de Cesàro–Volterra avec peu de régularité », qui donne à nouveau dans ce cas une solution explicite u de l'équation e=12(uT+u).

If a symmetric matrix field e of order three satisfies the Saint Venant compatibility conditions in a simply-connected domain Ω in R3, there then exists a displacement field u of Ω such that e=12(uT+u) in Ω. If the field e is sufficiently smooth, the displacement u(x) at any point xΩ can be explicitly computed as a function of e and CURLe by means of a Cesàro–Volterra path integral formula inside Ω with endpoint x.

We assume here that the components of the field e are only in L2(Ω), in which case the classical path integral formula of Cesàro and Volterra becomes meaningless. We then establish the existence of a “Cesàro–Volterra formula with little regularity”, which again provides an explicit solution u to the equation e=12(uT+u) in this case.

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DOI : 10.1016/j.crma.2009.03.007

Philippe G. Ciarlet 1 ; Liliana Gratie 1 ; Cristinel Mardare 2

1 Department of Mathematics, City University of Hong Kong, 83, Tat Chee Avenue, Kowloon, Hong Kong
2 Laboratoire Jacques-Louis Lions, Université Pierre et Marie Curie, 4, place Jussieu, 75005, Paris, France
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