Si l'estimation des teneurs dans les milieux naturels est résolue depuis 1965 [7] grâce au krigeage, sa mise en œuvre pour des milieux fortement hétérogènes pose plusieurs questions méthodologiques. D'une part, le fort contraste des teneurs dans ces milieux rend délicate la mise en évidence d'une éventuelle structure spatiale ; cette question de l'inférence du variogramme, approfondie dans [6], n'est pas abordée ici. D'autre part, des informations qualitatives complètent fréquemment les données d'échantillonnage. Lorsqu'elles sont corrélées aux teneurs, des informations faciles à acquérir, peu coûteuses et, par suite, potentiellement abondantes, permettraient d'améliorer la précision des estimations, notamment lorsque la structure spatiale inférée sur les teneurs est médiocre. Plusieurs statistiques permettent de caractériser les liaisons entre des variables qualitatives et des variables numériques, comme les teneurs. Cette note a pour objectif de montrer comment extraire de ces informations qualitatives des variables auxiliaires utilisables pour le cokrigeage des teneurs.

Pour une friche industrielle polluée par des hydrocarbures aromatiques polycycliques (HAP), nous examinons les liaisons entre différents indices qualitatifs ainsi que les teneurs dans les sols, et nous évaluons l'amélioration de la précision obtenue dans l'estimation des teneurs, en incorporant ces indices dans le cokrigeage de la teneur.

Dans de nombreux domaines, des observations qualitatives apportent une information sur la variable d'intérêt, par exemple les teneurs en place. Usuellement, ces observations sont codées numériquement, par exemple 0 pour « absence », 1 pour « faible » et 2 pour « fort ». Un tel codage, arbitraire, pose problème pour incorporer ces observations comme variables auxiliaires dans un cokrigeage des teneurs [2].

Plusieurs statistiques sont utilisées classiquement pour examiner les relations entre une variable qualitative ou indice, supposée désormais codée en N classes ou catégories, et une variable continue, désignée par « teneur » dans la suite (voir par exemple [9]) : moyenne, médiane et histogramme des teneurs par classe de l'indice, moyenne des rangs. Les teneurs sont ordonnées par ordre croissant, puis numérotées suivant leur « rang », compris entre 1 et le nombre de mesures. La moyenne de ces rangs par classe de l'indice présente l'avantage d'être robuste vis-à-vis de teneurs très fortes. Les histogrammes des teneurs par classe d'indice correspondent à la loi conditionnelle des teneurs ; sur les mesures disponibles, ils décrivent exhaustivement la relation teneurs–catégories, point à point.

On sait que la meilleure corrélation point à point entre une variable numérique Z et toute fonction de l'indice P est la régression de Z sur P : la moyenne de Z par classe de P permet ainsi de convertir l'indice P en une grandeur de même « dimension » que Z, et maximisant leur corrélation, sans nécessiter aucun codage arbitraire. Dans le cas de fonctions aléatoires, on commencera par vérifier la stationnarité spatiale de la loi conditionnelle de Z(x) relativement à P(x). Dans la suite, le couple de fonctions aléatoires (Z(x), P(x)) est supposé stationnaire.

Posons M(x)=E[Z(x)|P(x)]. Alors, dans la décomposition de Z en moyenne par classe et résidu Z(x)=M(x)+R(x), la moyenne de R(x) par classe est nulle. Par suite, E[Z(x)|M(x)]=M(x) et Z(x) est une « dispersée » de M(x). Par conséquent, à même tonnage de sol remué (le tonnage de « minerai »), une sélection sur M(x) entraı̂ne une moindre récupération de la pollution (le « métal » en termes miniers, voir [8]) qu'une sélection sur la teneur Z(x), si celle-ci était connue. Si les moyennes par classe sont différentes (ou si les classes de même teneur moyenne sont regroupées), il y a bijection entre M et P. La sélection sur l'indice ne doit pas faire illusion : même avec une couverture très dense, les erreurs de sélection sont inévitables, et d'autant plus marquées que la variance des teneurs par classe est importante. De plus, la sélection sur l'indice ne permet pas de tenir compte de la différence de support entre l'échantillon, quasi « ponctuel », et l'unité minimale de sélection, par exemple le godet d'une pelleteuse, qui lui est supérieure de plusieurs ordres de grandeur.

Considérons un indice à deux catégories, et soit I l'indicatrice de l'une des catégories. M(x) s'écrit : $\mathrm{M}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{E}\left[\mathrm{Z}\right(\mathrm{x}\left)\right|\mathrm{I}\left(\mathrm{x}\right)=1\left]\mathrm{I}\right(\mathrm{x})+\mathrm{E}[\mathrm{Z}\left(\mathrm{x}\right)\left|\mathrm{I}\right(\mathrm{x})=0](1-\mathrm{I}(\mathrm{x}\left)\right]$.

Soit M₁=E[Z(x)|I(x)=1] et M₀=E[Z(x)|I(x)=0] ; un calcul simple montre que le variogramme de la moyenne par classe M(x) est proportionnel à celui de l'indicatrice :

Lorsque plusieurs indices sont relevés, la méthode se généralise en définissant une variable moyenne par classe pour chaque indice, ou en croisant les catégories des différents indices (cas de la stratification exhaustive), avec regroupement éventuel des classes de même moyenne conditionnelle de la teneur.

Un exemple de cokrigeage de Z pour plusieurs indices, dans un modèle légèrement différent, est présenté dans la référence [4].

Dans le cas de plusieurs indices, l'analyse factorielle des correspondances synthétise l'information des différentes variables qualitatives. Les indicatrices de l'ensemble des catégories sont décomposées en facteurs point à point non corrélés, dont on conserve ceux qui restituent une part importante de l'information. Si ces facteurs sont corrélés aux teneurs, ils sont utilisables comme variables auxiliaires pour le cokrigeage des teneurs.

Lors d'audits de sites industriels potentiellement pollués, il est parfois encore admis qu'une bonne connaissance de l'historique du site, complétée par quelques prélèvements « de contrôle », suffirait pour délimiter les zones à dépolluer. Mais les risques résultant d'une connaissance approximative de cet historique rendent indispensable un échantillonnage systématique [6], souvent limité pour des raisons de coût. Pour palier le nombre trop restreint de mesures, des approches macro-exploratoires cherchent à tirer de l'information de sites similaires (voir [3] pour une approche par réseaux de neurones artificiels). Ces méthodes sont cependant inopérantes pour l'estimation locale pour un site donné. Les observations qualitatives peuvent alors fournir une information supplémentaire peu coûteuse et potentiellement abondante.

Le site étudié, situé dans le département du Nord (59), est une partie de la zone d'épandage d'une ancienne cokerie, fermée en 1973, remblayé et nivelé depuis, et présentant une importante pollution par des hydrocarbures aromatiques polycycliques. Une zone de 1 ha a été reconnue par 52 sondages, implantés suivant une grille carrée de 10 m de côté, localement resserrée à 5 m (Fig. 1). Les échantillons sont des carottes de 1 m de long et 45 mm de diamètre forées au fond de fosses à 1,5 m de profondeur.

Les 16 HAP de la liste US EPA ont été analysés par chromatographie liquide haute pression (HPLC) après séchage des échantillons à l'air libre et tamisage à 2 mm, suivant les normes Afnor. Le benzo(a)pyrène (BaP), HAP à cinq cycles, présente des effets cancérigènes avérés [1]. Souvent considéré comme représentatif du comportement des autres HAP, il est retenu pour l'examen des relations entre concentration et information qualitative. La moyenne expérimentale des concentrations en BaP est égale à 37,83 ppm. L'écart type, de 96,25 ppm, correspond à un coefficient de variation important, d'environ 2,5, valeur usuelle pour ces produits.

Durant l'échantillonnage, huit indices pédologiques et organoleptiques ont été relevés sur les sondages : présence/absence d'odeur, de goudron, de charbon (dans les remblais ou dans le sol), débris de maçonnerie, laitier, couleur verdâtre des limons, présence de craie dans le sol. Informations peu coûteuses, ces indices constituent-ils des indicateurs de la pollution, ou lui sont-ils liés ?

Un indice utilisé pour guider l'échantillonnage doit nécessairement détecter toutes les teneurs « fortes » parmi les échantillons prélevés, au risque sans cela de manquer des zones contaminées. Mais un indice significativement corrélé à la concentration est également utilisable pour améliorer l'estimation. Nous examinons donc les relations entre différentes variables auxiliaires et les teneurs.

4.1 Statistiques élémentaires

4.2 Histogrammes par classe

4.3 Analyse factorielle des correspondances

D'après le nuage de corrélation entre BaP et le facteur auxiliaire (Fig. 4), les concentrations faibles correspondent essentiellement à un sol en place, et les concentrations fortes et intermédiaires aux remblais. La majorité des fortes teneurs correspondent à une valeur élevée du facteur auxiliaire, d'où la possibilité d'inclure ce dernier dans un cokrigeage de la teneur.

Le variogramme expérimental de BaP est ajusté par le modèle isotrope $\gamma \left(\mathrm{h}\right)=3000+8000{\mathrm{Sph}}_{30\mathrm{m}}\left(\mathrm{h}\right)$ en tenant compte des resserrements d'échantillonnage à petite distance. Le modèle ajusté comprend une structure sphérique de portée 30 m. Son expression générale, pour une portée a, est :

Les estimations ponctuelles des teneurs sont effectuées d'abord par krigeage ordinaire (KO) en voisinage unique, aux nœuds d'une grille, superposée aux contours du site. Les calculs sont effectués avec le logiciel Isatis, version 4.1 [5].

L'effet de pépite relatif étant important, l'estimation est peu précise, même à proximité immédiate des points expérimentaux.

Deux zones de valeurs fortes, au sud et au nord, ressortent sur la carte d'estimation (Fig. 5). Elles s'expliquent par l'historique du site, mais seule celle au sud, recoupant une mare à goudron, correspond aux anciennes infrastructures. A posteriori, les teneurs fortes au nord ont été justifiées par le dépôt provisoire de matériaux extraits du site.

Le cokrigeage nécessite l'ajustement d'un modèle variographique bivariable. Dans les deux cas, le modèle bivariable retenu est le modèle linéaire de corégionalisation, dans lequel les structures croisées s'expriment comme une combinaison linéaire des composantes élémentaires des variogrammes simples (cf. Fig. 6, pour la concentration en BaP et sa moyenne par classe pour le goudron) [2].

Pour le modèle entre BaP et la moyenne par classe de goudron, comme pour celui entre BaP et le facteur auxiliaire, l'effet de pépite est absent des variogrammes croisés. La corrélation spatiale croisée entre la teneur en BaP et ces variables auxiliaires gagne donc à être exploitée. Les cokrigeages entre la concentration en BaP et les deux variables auxiliaires améliorent les résultats du krigeage ; cette amélioration est néanmoins limitée, les variables étant connues aux mêmes points (configuration isotopique).

Afin d'évaluer le gain effectif dû à la prise en compte d'une telle information, nous avons retiré aléatoirement la moitié des échantillons pour la teneur, soit 26 valeurs de validation, les variables auxiliaires restant disponibles en tous les points. L'estimation de la teneur aux points de validation utilise les mêmes modèles variographiques que précédemment. L'erreur d'estimation est ensuite calculée en ces points de validation, d'abord pour le krigeage, puis pour le cokrigeage avec l'une ou l'autre des deux variables auxiliaires précédentes, goudron et facteur auxiliaire obtenu par ACP (voir Tableau 2).

Pour le goudron, comme pour le facteur auxiliaire, l'apport du cokrigeage est décisif par rapport au krigeage ordinaire de la teneur : l'utilisation du goudron conduit notamment à une diminution de l'erreur moyenne de l'ordre de 60 %. Le nuage de corrélation entre les teneurs mesurées aux 26 points de validation et les différentes estimations montre que le gain obtenu par cokrigeage provient en majeure partie de la concentration la plus élevée de BaP (Fig. 7). Après retrait de ce point, les erreurs et les erreurs quadratiques moyennes restent cependant plus faibles par cokrigeage.

Laquelle des variables auxiliaires, moyenne par classe ou facteur d'une analyse factorielle des indices, améliore-t-elle le mieux, par cokrigeage, l'estimation de la teneur en BaP ?

Certaines teneurs sont estimées avec des valeurs faiblement négatives. Dans le cokrigeage par le facteur auxiliaire, ces valeurs coı̈ncident avec des teneurs très faibles, tandis que pour le krigeage de BaP ou le cokrigeage par le goudron, une teneur de 40 ppm en BaP est estimée négative. Par rapport au cokrigeage par le facteur auxiliaire, le cokrigeage par le goudron évite une surestimation des teneurs faibles.

Huit points de validation ont une teneur mesurée supérieure à 10 ppm. Les trois estimations « ratent » un de ces points. À cette coupure, le KO et le CKO avec le goudron sélectionnent à tort respectivement 15 et 14 points de validation, contre six par le CKO avec le facteur auxiliaire. Sur cet exemple, le facteur auxiliaire serait donc préférable.

Une étude détaillée permettrait de préciser l'apport des différents indices. Un échantillonnage complémentaire du site par de nombreux sondages, sur lesquels les indices utiles seraient relevés, améliorerait à un coût réaliste la précision de l'estimation.

L'incertitude associée à l'estimation des teneurs dans des milieux hétérogènes reste souvent élevée, à cause de la forte variabilité spatiale, notamment à très petite distance, qui se traduit par un important effet de pépite ; cette incertitude est accrue par le nombre souvent faible d'échantillons prélevés.

Le relevé d'indices organoleptiques, combiné à l'analyse des correspondances, peut améliorer sensiblement l'estimation des teneurs en place. Si ces résultats se confirment pour d'autres sites, une stratégie d'échantillonnage pour une meilleure évaluation des sites pollués pourra être proposée.