Comptes Rendus
no. 9
Travelling waves and dispersion relation in the spatial unfolding of a periodic orbit
[Ondes progressives et relation de dispersion dans le déploiement spatial d'une orbite périodique]
Emmanuel Risler1
1 Institut Non Linéaire de Nice, UMR CNRS-UNSA 6618, 1361, route des Lucioles, 06560 Valbonne, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 9, pp. 833-838.

Pour une équation aux dérivées partielles en dimension un d'espace, admettant une solution homogène en espace et périodique en temps, on montre l'existence, au voisinage de cette solution, d'une famille à un paramètre d'ondes progressives paramétrisées par leur nombre d'onde k (k=0 correspondant à la solution spatialement homogène initiale). La justification, élémentaire, est basée sur un argument de perturbation singulière (théorème de la variété centrale globale de Fenichel).

For a partial differential equation in spatial dimension one, admitting a spatially homogeneous time periodic solution, we show the generic existence, close to this solution, of a one-parameter family of travelling waves parametrized by their wave number k (k=0 corresponding to the spatially homogeneous initial solution). The argument is elementary and relies on a direct application of singular perturbation theory (Fenichel's global center manifold theorem).

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DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02363-4

Emmanuel Risler 1

1 Institut Non Linéaire de Nice, UMR CNRS-UNSA 6618, 1361, route des Lucioles, 06560 Valbonne, France 
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Emmanuel Risler. Travelling waves and dispersion relation in the spatial unfolding of a periodic orbit. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 9, pp. 833-838. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02363-4. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02363-4/

[1] D.V. Anosov On limit cycles in systems of differential equations with a small parameter in the highest derivatives, Amer. Math. Soc. Transl. Sér. 2, Volume 33 (1963), pp. 233-275 Translation from Mat. Sb. (N.S.) 50 (92) (1960) 299–334

[2] N. Fenichel Geometric singular perturbation theory for ordinary differential equations, J. Differential Equations, Volume 31 (1979), pp. 53-98

[3] C. Jones Geometric singular perturbation theory, Lecture Notes in Math., 1609, 1995, pp. 44-118

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