Comptes Rendus
no. 1
Sous-ensembles homogènes de ℤ2 et pavages du plan
Maurice Nivat1
1 LIAFA CNRS UMR 7089, Université Paris 7, case 7014, 2, place Jussieu, 75251 Paris cedex 05, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 1, pp. 83-86.

Nous appelons sous-ensemble homogène de degré k pour F du plan discret ℤ2 tout sous-ensemble tel qu'à travers toutes les positions possibles d'une fenêtre finie que l'on translate apparait toujours le même nombre k de points de A. Nous montrons deux propriétés, il existe un sous-ensemble homogène de degré 1 pour F si et seulement si F pave le plan par translation. Si la fenêtre est rectangulaire tout sous-ensemble homogène de degré k pour F est l'union disjointe de k sous-ensembles homogènes de degré 1 pour F.

We say that the subset A of the discrete plane ℤ2 is k-homogeneous for F if and only if whichever is the position of a finite window F which we translate over ℤ2 the same number k of points of A appears in the window. And we prove two properties. There exists a 1-homogeneous subset for F if and only if F tiles the plane by translation. If the window is a rectangle every k-homogeneous subset is the disjoint union of k 1-homogeneous subset.

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02377-4

Maurice Nivat 1

1 LIAFA CNRS UMR 7089, Université Paris 7, case 7014, 2, place Jussieu, 75251 Paris cedex 05, France 
@article{CRMATH_2002__335_1_83_0,
     author = {Maurice Nivat},
     title = {Sous-ensembles homog\`enes de $ \mathbb{Z}^{2}$ et pavages du plan},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {83--86},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {335},
     number = {1},
     year = {2002},
     doi = {10.1016/S1631-073X(02)02377-4},
     language = {fr},
}
TY  - JOUR
AU  - Maurice Nivat
TI  - Sous-ensembles homogènes de $ \mathbb{Z}^{2}$ et pavages du plan
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2002
SP  - 83
EP  - 86
VL  - 335
IS  - 1
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/S1631-073X(02)02377-4
LA  - fr
ID  - CRMATH_2002__335_1_83_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Maurice Nivat
%T Sous-ensembles homogènes de $ \mathbb{Z}^{2}$ et pavages du plan
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2002
%P 83-86
%V 335
%N 1
%I Elsevier
%R 10.1016/S1631-073X(02)02377-4
%G fr
%F CRMATH_2002__335_1_83_0
Maurice Nivat. Sous-ensembles homogènes de $ \mathbb{Z}^{2}$ et pavages du plan. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 1, pp. 83-86. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02377-4. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02377-4/

[1] D. Beauquier; M. Nivat Tiling the plane with one tile, Proc. of the 6th Ann. Symp. on Comp. Geometry, ACM, Berkeley, 1990, pp. 128-138

[2] R. Tijdeman Decomposition of the integers as a direct sum of two subsets (S. David, ed.), Number Theory, Number Theory Seminar, Paris, 1992–1993, Cambridge University Press, 1995, pp. 261-276

Cité par Sources :

Commentaires - Politique