La valeur optimale des programmes entiers

Jean B. Lasserre

doi:10.1016/S1631-073X(02)02591-8

La valeur optimale des programmes entiers

Jean B. Lasserre ¹

¹ LAAS-CNRS, 7, avenue du Colonel Roche, 31077 Toulouse cedex 4, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 11, pp. 863-866.

Résumé
Abstract

On donne une expression de la valeur optimale f_c(y) du programme entier $\max {c' x ∣ x \in Ω (y) \cap ℕ^{n}}$ où $Ω (y)$ est le polyèdre convexe ${x \in ℝ^{n} ∣ Ax = y, x ⩾ 0}$ . Elle est une conséquence de la formule de Brion et Vergne qui évalue la somme $\sum_{x \in Ω (y) \cap ℕ^{n}} e^{c' x}$ . On montre que comme en programmation linéaire, f_c(y) peut être obtenue par inspection des coûts réduits aux sommets du polyèdre. On donne aussi un résultat explicite qui relie f_c(ty) à la valeur optimale du programme linéaire associé, pour des valeurs de $t \in ℕ$ suffisamment grandes.

We present a formula for the optimal value f_c(y) of the integer program $\max {c' x ∣ x \in Ω (y) \cap ℕ^{n}}$ where $Ω (y)$ is the convex polyhedron ${x \in ℝ^{n} ∣ Ax = y, x ⩾ 0}$ . It is a consequence of Brion and Vergne's formula which evaluates the sum $\sum_{x \in Ω (y) \cap ℕ^{n}} e^{c' x}$ . As in linear programming, f_c(y) can be obtained by inspection of the reduced-costs at the vertices of the polyhedron. We also provide an explicit result that relates f_c(ty) and the optimal value of the associated continous linear program, for large values of $t \in ℕ$ .

Reçu le : 2002-09-22
Accepté le : 2002-10-15
Publié le : 2002-11-12

DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02591-8

Affiliations des auteurs :

Jean B. Lasserre ¹

¹ LAAS-CNRS, 7, avenue du Colonel Roche, 31077 Toulouse cedex 4, France

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JO  - Comptes Rendus. Mathématique
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Jean B. Lasserre. La valeur optimale des programmes entiers. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 11, pp. 863-866. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02591-8. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02591-8/

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