Comptes Rendus
no. 4
Geometry/Functional Analysis
A reduction of the slicing problem to finite volume ratio bodies
[Réduction du problème des sections de corps convexes au cas de rapport volumique borné]

Présenté par : Jean Bourgain

Jean Bourgain1 ; Bo'az Klartag2 ; Vitali Milman2
1 Institute for Advanced Study, Olden Lane, Princeton, NJ 08540, USA
2 School of Mathematical Sciences, Tel Aviv University, Tel Aviv 69978, Israel
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 4, pp. 331-334.

Cette Note concerne le problème bien connu de la minoration uniforme de la mesure des sections de codimension 1 de corps convexes isotrope dans ℝn, ce qui équivaut à une borne uniforme de la constante d'isotropie. Nous démontrons qu'une réponse affirmative à cette question dans le cas particulier d'un corps à rapport volumique borné (c'est-à-dire tel que la racine n-ième du volume de l'ellipsoide de John admet une borne inférieure) entraı̂ne une réponse affirmative en général. La méthode utilise des techniques de symétrisation et de géométrie des espaces de Banach.

Here we discuss results around the slicing problem, which is a well known open problem in asymptotic convex geometry. We show that if one can prove that the isotropic constant of bodies with a finite volume ratio is uniformly bounded – then it would follow that the isotropic constant of any convex body is uniformly bounded.

Reçu le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.1016/S1631-073X(03)00041-4

Jean Bourgain 1 ; Bo'az Klartag 2 ; Vitali Milman 2

1 Institute for Advanced Study, Olden Lane, Princeton, NJ 08540, USA
2 School of Mathematical Sciences, Tel Aviv University, Tel Aviv 69978, Israel 
@article{CRMATH_2003__336_4_331_0,
     author = {Jean Bourgain and Bo'az Klartag and Vitali Milman},
     title = {A reduction of the slicing problem to finite volume ratio bodies},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {331--334},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {336},
     number = {4},
     year = {2003},
     doi = {10.1016/S1631-073X(03)00041-4},
     language = {en},
}
TY  - JOUR
AU  - Jean Bourgain
AU  - Bo'az Klartag
AU  - Vitali Milman
TI  - A reduction of the slicing problem to finite volume ratio bodies
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2003
SP  - 331
EP  - 334
VL  - 336
IS  - 4
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/S1631-073X(03)00041-4
LA  - en
ID  - CRMATH_2003__336_4_331_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Jean Bourgain
%A Bo'az Klartag
%A Vitali Milman
%T A reduction of the slicing problem to finite volume ratio bodies
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2003
%P 331-334
%V 336
%N 4
%I Elsevier
%R 10.1016/S1631-073X(03)00041-4
%G en
%F CRMATH_2003__336_4_331_0
Jean Bourgain; Bo'az Klartag; Vitali Milman. A reduction of the slicing problem to finite volume ratio bodies. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 4, pp. 331-334. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00041-4. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(03)00041-4/

[1] K.M. Ball Normed spaces with a weak-Gordon–Lewis property, Proc. of Funct. Anal., University of Texas and Austin (1987–1989), Lecture Notes in Math., 1470, Springer, 1991, pp. 36-47

[2] J. Bourgain On the distribution of polynomials on high dimensional convex sets, Geometric aspects of functional analysis (1989–90), Lecture Notes in Math., 1469, Springer, 1991, pp. 127-137

[3] S. Dar Remarks on Bourgain's problem on slicing of convex bodies, Geometric aspects of functional analysis, Oper. Theory Adv. Appl., 77, Birkhäuser, 1995, pp. 61-66

[4] V.D. Milman Inégalité de Brunn–Minkowski inverse et applications à la théorie locale des espaces normés, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. 1, Volume 320 (1986), pp. 25-28

[5] V.D. Milman Geometrical inequalities and mixed volumes in the local theory of Banach spaces, Colloque en l'honneur de Laurent Schwartz, Astérisque, Volume 131 (1985) no. 1, pp. 373-400

[6] V.D. Milman; A. Pajor Isotropic position and inertia ellipsoids and zonoids of the unit ball of a normed n-dimensional space, Geometric aspects of functional analysis (1987–88), Lecture Notes in Math., 1376, Springer, 1989, pp. 64-104

[7] G. Pisier The Volume of Convex Bodies and Banach Space Geometry, Cambridge Tracts in Math., 94, Cambridge University Press, 1997

Cité par Sources :

Commentaires - Politique