Nous considérons la solution X=(Xt)t⩾0 d'une équation différentielle stochastique inhomogène en temps et le temps de sortie τ pour (t,Xt)t⩾0 d'un domaine espace–temps . Nous montrons la différentiabilité d'espérance de fonctionnelles de X arrêté au temps τ par rapport au domaine : ces résultats étendent ceux de la littérature, connus notamment des analystes dans les problèmes d'optimisation de formes. En revanche sur le plan probabiliste, ce n'est pas classique.
We consider the solution X=(Xt)t⩾0 of a time-inhomogeneous stochastic differential equation and the exit time τ by (t,Xt)t⩾0 of the time–space domain . We prove the differentiability of expectations of functionals of X stopped at τ, with respect to the domain : these results extend those in the literature, known in particular by the analysts for the issues of shape optimization. However from the probabilistic point of view, this is not standard.
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Cristina Costantini 1 ; Nicole El Karoui 2 ; Emmanuel Gobet 2
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Cristina Costantini; Nicole El Karoui; Emmanuel Gobet. Représentation de Feynman–Kac dans des domaines temps–espace et sensibilité par rapport au domaine. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 337 (2003) no. 5, pp. 337-342. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00364-9. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(03)00364-9/
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[5] Second Order Parabolic Differential Equations, World Scientific, River Edge, NJ, 1996
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[7] Malliavin Calculus and Related Topics, Springer-Verlag, 1995
[8] Optimal Shape Design for Elliptic Systems, Springer Ser. Comput. Phys., Springer-Verlag, New York, 1984
[9] Differentiation with respect to the domain in boundary value problems, Numer. Funct. Anal. Optim., Volume 2 (1980) no. 7–8, pp. 649-687
[10] Introduction to Shape Optimization, Springer-Verlag, Berlin, 1992 (Shape sensitivity analysis)
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