On the irreducibility of multivariate subresultants

Laurent Busé; Carlos D'Andrea

doi:10.1016/j.crma.2003.12.019

Algebraic Geometry

On the irreducibility of multivariate subresultants
[Sur l'irréductibilité des sous-résultants multivariés]

Présenté par : Bernard Malgrange

Laurent Busé ¹ ; Carlos D'Andrea ²

¹ INRIA, GALAAD, 2004, route des Lucioles, BP 93, 06902 Sophia-Antipolis cedex, France
² Department of Mathematics UC Berkeley & The Miller Institute for Basic Research in Science, 1089 Evans Hall, Berkeley, CA 94720-3840, USA

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 338 (2004) no. 4, pp. 287-290.

Résumé
Abstract

Soient P₁,…,P_n des polynômes homogènes génériques en n variables de degré respectif d₁,…,d_n. Nous montrons que si ν est un entier tel que ∑_i=1ⁿd_i−n+1−min{d_i}<ν, tous les sous-résultants multivariés de degré ν des polynômes P₁,…,P_n sont irréductibles. Nous montrons également que cette borne est atteinte dans des cas particuliers. Comme conséquence directe nous obtenons une nouvelle formule pour le calcul du résultant résiduel de $(\begin{matrix} ρ - ν + n - 1 \\ n - 1 \end{matrix})$ points lisses isolés dans $ℙ^{n - 1}$ .

Let P₁,…,P_n be generic homogeneous polynomials in n variables of degrees d₁,…,d_n respectively. We prove that if ν is an integer satisfying ∑_i=1ⁿd_i−n+1−min{d_i}<ν, then all multivariate subresultants associated to the family P₁,…,P_n in degree ν are irreducible. We show that the lower bound is sharp. As a byproduct, we get a formula for computing the residual resultant of $(\begin{matrix} ρ - ν + n - 1 \\ n - 1 \end{matrix})$ smooth isolated points in $ℙ^{n - 1} .$

Reçu le : 2003-10-07
Accepté le : 2003-12-19
Publié le : 2004-01-29

DOI : 10.1016/j.crma.2003.12.019

Affiliations des auteurs :

Laurent Busé ¹ ; Carlos D'Andrea ²

¹ INRIA, GALAAD, 2004, route des Lucioles, BP 93, 06902 Sophia-Antipolis cedex, France
² Department of Mathematics UC Berkeley & The Miller Institute for Basic Research in Science, 1089 Evans Hall, Berkeley, CA 94720-3840, USA

@article{CRMATH_2004__338_4_287_0,
     author = {Laurent Bus\'e and Carlos D'Andrea},
     title = {On the irreducibility of multivariate subresultants},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {287--290},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {338},
     number = {4},
     year = {2004},
     doi = {10.1016/j.crma.2003.12.019},
     language = {en},
}

TY  - JOUR
AU  - Laurent Busé
AU  - Carlos D'Andrea
TI  - On the irreducibility of multivariate subresultants
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2004
SP  - 287
EP  - 290
VL  - 338
IS  - 4
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2003.12.019
LA  - en
ID  - CRMATH_2004__338_4_287_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Laurent Busé
%A Carlos D'Andrea
%T On the irreducibility of multivariate subresultants
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2004
%P 287-290
%V 338
%N 4
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2003.12.019
%G en
%F CRMATH_2004__338_4_287_0

Laurent Busé; Carlos D'Andrea. On the irreducibility of multivariate subresultants. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 338 (2004) no. 4, pp. 287-290. doi : 10.1016/j.crma.2003.12.019. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2003.12.019/

Bibliographie
Cité par

[1] L. Busé, Étude du résultant sur une variété algébrique, Ph.D. thesis, Université de Nice, 2001

[2] M. Chardin Multivariate subresultants, J. Pure Appl. Algebra, Volume 101 (1995) no. 2, pp. 129-138

[3] M. Chardin Formules à la Macaulay pour les sous-résultants en plusieurs variables, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 319 (1994) no. 5, pp. 433-436

[4] M. Chardin Formules à la Macaulay pour les sous-résultants en plusieurs variables et application au calcul d'un résultant réduit http://www.math.jussieu.fr/~chardin/textes.html Preprint (extended version of the previous article). Available at

[5] M. Chardin Sur l'indépendance linéaire de certains monômes modulo des polynômes génériques, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 319 (1994) no. 10, pp. 1033-1036

[6] C. D'Andrea, G. Jeronimo, Subresultants and Generic Monomial bases, Preprint, 2003

[7] C. D'Andrea, A. Khetan, Macaulay style formulas for toric residues, Preprint, 2003

[8] M. El Kahoui An elementary approach to subresultants theory, J. Symbolic Comput., Volume 35 (2003) no. 3, pp. 281-292

[9] A.V. Geramita; F. Orecchia Minimally generating ideals defining certain tangent cones, J. Algebra, Volume 78 (1982) no. 1, pp. 36-57

[10] L. González-Vega Determinantal formulae for the solution set of zero-dimensional ideals, J. Pure Appl. Algebra, Volume 76 (1991) no. 1, pp. 57-80

[11] J.P. Jouanolou Formes d'inertie et résultant: un formulaire, Adv. Math., Volume 126 (1997) no. 2, pp. 119-250

[12] T. Mulders A note on subresultants and the Lazard/Rioboo/Trager formula in rational function integration, J. Symbolic Comput., Volume 24 (1997) no. 1, pp. 45-50

[13] J.H. Sylvester A theory of syzygetic relations of two rational integral functions, comprising an application to the theory of Sturm's functions, and that of the greatest algebraic common measure, Philos. Transl., Volume 143 (1853), pp. 407-548

[14] A. Szanto, Solving over-determined systems by subresultant methods, J. Symbolic Comput., in press

Cité par Sources :

Commentaires - Politique