[Convergence presque sûre de certaines séries aléatoires]
Soit une suite de nombres complexes de carré sommable, un entier, et la base orthonormée de l'espace formée par les fonctions propres radiales de l'opérateur de Laplace agissant sur l'espace des fonctions de carré intégrable sur la boule unité de . Nous généralisons un résultat d'Ayache et Tzvetkov en calculant dans le cas général l'exposant critique de la suite , c'est-à-dire l'infimum des tels que la série aléatoire converge presque sûrement dans , où désigne une suite de choix de signes indépendants sur un espace de probabilité .
Let be a square-summable sequence of complex numbers, an integer, and the orthonormal basis of the space consisting of the radial eigenfunctions of the Laplace operator acting on the space of square-summable functions on the unit ball of . We generalize a result of Ayache and Tzvetkov and compute in the general case the critical exponent of the sequence , i.e. the infimum of the p's, , such that the random series converges almost surely in , where denotes a sequence of independent random choices of signs on a probability space .
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Sophie Grivaux 1
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Sophie Grivaux. Almost sure convergence of some random series. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 3-4, pp. 155-159. doi : 10.1016/j.crma.2010.01.020. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2010.01.020/
[1] properties for gaussian random series, Trans. Amer. Math. Soc., Volume 360 (2008), pp. 4425-4439
[2] Absolutely Summing Operators, Cambridge Stud. Adv. Math., vol. 43, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1995
[3] Introduction à l'étude des espaces de Banach, Analyse et probabilités, Cours Spécialisés, vol. 12, Société Mathématique de France, Paris, 2004
[4] Séries de variables aléatoires vectorielles indépendantes et propriétés géométriques des espaces de Banach, Studia Math., Volume 58 (1976), pp. 45-90
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