Comptes Rendus
Partial Differential Equations/Functional Analysis
Almost sure convergence of some random series
[Convergence presque sûre de certaines séries aléatoires]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 3-4, pp. 155-159.

Soit (cn)n1 une suite de nombres complexes de carré sommable, d2 un entier, et (en,d)n1 la base orthonormée de l'espace L2([0,1],rd1dr) formée par les fonctions propres radiales de l'opérateur de Laplace agissant sur l'espace L2(Dd) des fonctions de carré intégrable sur la boule unité Dd={xRd;r=|x|<1} de Rd. Nous généralisons un résultat d'Ayache et Tzvetkov en calculant dans le cas général l'exposant critique de la suite (cn)n1, c'est-à-dire l'infimum des p2 tels que la série aléatoire εn(ω)cnen,d converge presque sûrement dans Lp([0,1],rd1dr), où (εn) désigne une suite de choix de signes indépendants sur un espace de probabilité (Ω,F,P).

Let (cn)n1 be a square-summable sequence of complex numbers, d2 an integer, and (en,d)n1 the orthonormal basis of the space L2([0,1],rd1dr) consisting of the radial eigenfunctions of the Laplace operator acting on the space L2(Dd) of square-summable functions on the unit ball Dd={xRd;r=|x|<1} of Rd. We generalize a result of Ayache and Tzvetkov and compute in the general case the critical exponent of the sequence (cn)n1, i.e. the infimum of the p's, p2, such that the random series εn(ω)cnen,d converges almost surely in Lp([0,1],rd1cdr), where (εn) denotes a sequence of independent random choices of signs on a probability space (Ω,F,P).

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DOI : 10.1016/j.crma.2010.01.020

Sophie Grivaux 1

1 Laboratoire Paul-Painlevé, UMR 8524, université Lille 1, cité scientifique, bâtiment M2, 59655 Villeneuve d'Ascq cedex, France
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Sophie Grivaux. Almost sure convergence of some random series. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 3-4, pp. 155-159. doi : 10.1016/j.crma.2010.01.020. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2010.01.020/

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