Comptes Rendus
Number Theory/Algebraic Geometry
Functional equations for zeta functions of F1-schemes
[Équations fonctionnelles pour les fonctions zêta de schémas sur F1]
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 21-22, pp. 1143-1146.

Pour un schéma X dont les points Fq-rationnels sont comptés par un polynôme N(q)=aiqi, la fonction zêta sur F1 est définie par ζX(s)=(si)ai. Posons χ=N(1). Dans cette Note nous montrons que si X est un schéma projectif lisse, alors sa fonction zêta sur F1 satisfait l'équation fonctionnelle ζX(ns)=(1)χζX(s). Nous montrons aussi que la fonction zêta ζG(s) sur F1 d'un schéma en groupes réductif déployé G de rang r avec N racines positives satisfait l'équation fonctionnelle ζG(r+Ns)=(1)χ(ζG(s))(1)r.

For a scheme X whose Fq-rational points are counted by a polynomial N(q)=aiqi, the F1-zeta function is defined as ζX(s)=(si)ai. Define χ=N(1). In this paper we show that if X is a smooth projective scheme, then its F1-zeta function satisfies the functional equation ζX(ns)=(1)χζX(s). We further show that the F1-zeta function ζG(s) of a split reductive group scheme G of rank r with N positive roots satisfies the functional equation ζG(r+Ns)=(1)χ(ζG(s))(1)r.

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DOI : 10.1016/j.crma.2010.10.010

Oliver Lorscheid 1

1 The City College of New York, Department of Mathematics, 160 Convent Avenue, New York, NY 10031, USA
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Oliver Lorscheid. Functional equations for zeta functions of $ {\mathbb{F}}_{1}$-schemes. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 348 (2010) no. 21-22, pp. 1143-1146. doi : 10.1016/j.crma.2010.10.010. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2010.10.010/

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