Comptes Rendus
no. 17-18
Théorie des nombres
Hypertranscendance de fonctions de Mahler du premier ordre

Présenté par : Jean-Pierre Serre

Pierre Nguyen1
1 Institut de mathématiques de Jussieu, 4 place Jussieu, 75252 Paris, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 349 (2011) no. 17-18, pp. 943-946.

Soit K un corps équipé dʼun endomorphisme σ. Dans cette Note, nous utilisons la théorie de Galois aux différences pour donner un critère dʼindépendance algébrique pour les solutions de σ-équations du premier ordre. Ce résultat nous permet de caractériser les solutions hyperalgébriques de ces σ-équations lorsque K est muni dʼune dérivation Δ telle que Δ∘σ=pσ∘Δ, où p est une (σ,Δ)-constante qui nʼest pas une racine de lʼunité. Nous en déduisons, dans le cas de lʼopérateur de Mahler, une preuve galoisienne dʼun théorème dʼhypertranscendance de Ke. Nishioka.

Let K be a field equipped with an endomorphism σ. In this Note, we use difference Galois theory to give an algebraic independence criterion for solutions of first order σ-equations. This result allows us to characterize the hyperalgebraic solutions of such σ-equations when K is endowed with a derivation Δ such that Δ∘σ=pσ∘Δ, where p is a (σ,Δ)-constant which is not a root of unity. We deduce from this theorem, in the setting of the Mahler operator, a galoisian proof of a hypertranscendency theorem of Ke. Nishioka.

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DOI : 10.1016/j.crma.2011.08.021

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Pierre Nguyen. Hypertranscendance de fonctions de Mahler du premier ordre. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 349 (2011) no. 17-18, pp. 943-946. doi : 10.1016/j.crma.2011.08.021. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2011.08.021/

[1] D. Bertrand Unipotent radicals of differential Galois group and integrals of solutions of inhomogeneous equations, Math. Ann., Volume 321 (2001), pp. 645-666

[2] R.M. Cohn Difference Algebra, Interscience, New York, 1965

[3] C. Hardouin Hypertranscendance et groupes de Galois aux différences, 2006 | arXiv

[4] C. Hardouin; M. Singer Differential Galois theory of linear differential equations, Math. Ann., Volume 342 (2003) no. 2, pp. 257-276

[5] K. Ishizaki Hypertranscendency of meromorphic solutions of a linear functional equation, Aeq. Math., Volume 56 (1998) no. 3, pp. 271-283

[6] K.K. Kubota On the algebraic independence of holomorphic solutions of certain function equations and their values, Math. Ann., Volume 227 (1977), pp. 9-50

[7] Ke. Nishioka A note on differentially algebraic solutions of first order linear difference equations, Aeq. Math., Volume 27 (1984), pp. 32-48

[8] A. Ovchinnikov Tannakian approach to linear differential algebraic groups, Transformation Groups, Volume 13 (2008) no. 2, pp. 413-446

[9] M. Van der Put; M. Singer Galois Theory of Difference Equations, Lecture Notes in Math., vol. 1666, Springer, 1997

[10] M. Wibmer, Geometric difference Galois theory, thèse de lʼuniversité de Heidelberg, 2010.

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