Comptes Rendus
no. 17-18
Partial Differential Equations/Numerical Analysis
A divergence-free velocity reconstruction for incompressible flows
[Une reconstruction de la vitesse à divergence nulle pour les écoulements incompressibles]

Présenté par : Olivier Pironneau

Alexander Linke1
1 Free University Berlin, Department of Mathematics and Computer Science, Arnimallee 6, 14195 Berlin, Germany
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 350 (2012) no. 17-18, pp. 837-840.

Lors dʼécoulements incompressibles avec vitesses normales nulles à la frontière, les forces présentes dans les équations de conservation de la quantité de mouvement dont le rotationnel sʼannule ne doivent tre équilibrées que par le gradient de la pression. Malheureusement, cette propriété nʼest pas vérifiée par la plupart des méthodes de discrétisation disponibles, pour lesquelles la divergence (en un sens continu) de lʼapproximation de la vitesse nʼest pas nulle. Aussi, nous proposons dʼutiliser une reconstruction continue de la vitesse à divergence nulle, dans chaque produit scalaire L2 intervenant dans la formulation variationnelle. Nous illustrons cette méthode dans le cas dʼun schéma non conforme de type MAC sur grille non structurée de Delaunay. La reconstruction basée sur les éléments de Raviart–Thomas de bas degré, permet dʼaccroître la robustesse et la précision de ce schéma dans des cas de forces irrotationnelles significatives.

In incompressible flows with vanishing normal velocities at the boundary, irrotational forces in the momentum equations should be balanced completely by the pressure gradient. Unfortunately, nearly all available discretizations for incompressible flows violate this property. The origin of the problem is that discrete velocities are usually not divergence-free. Hence, the use of divergence-free velocity reconstructions is proposed wherever an L2 scalar product appears in the discrete variational formulation. The approach is illustrated and applied to a nonconforming MAC-like discretization for unstructured Delaunay grids. It is numerically demonstrated that a divergence-free velocity reconstruction based on the lowest-order Raviart–Thomas element increases the robustness and accuracy of an existing convergent discretization, when irrotational forces appear in the momentum equations.

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DOI : 10.1016/j.crma.2012.10.010

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[1] R. Eymard, J. Fuhrmann, A. Linke, MAC schemes on triangular Delaunay meshes, Berlin, 2011, WIAS-Preprint 1654, http://www.wias-berlin.de/publications/wias-publ/run.jsp?template=abstract&type=Preprint&year=2011&number=1654.

[2] K. Galvin; A. Linke; L.G. Rebholz; N.E. Wilson Stabilizing poor mass conservation in incompressible flow problems with large irrotational forcing and application to thermal convection, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., Volume 237–240 (2012), pp. 166-176

[3] F. Hermeline Une méthode de volumes finis pour les équations elliptiques du second ordre, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 326 (1998) no. 12, pp. 1433-1436

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