Comptes Rendus
no. 7
Analyse fonctionnelle
Vers un théorème de la limite centrale dans l'espace de Wasserstein ?

Présenté par : le comité de rédaction

Martial Agueh1 ; Guillaume Carlier2, 3
1 University of Victoria, Victoria, BC, PO Box 3060 STN CSC Victoria, BC, V8W 3R4, Canada
2 Université Paris-Dauphine, PSL Research University, CNRS, CEREMADE, 75016 Paris, France
3 INRIA, Centre de Paris, équipe MOKAPLAN, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 355 (2017) no. 7, pp. 812-818.

Les barycentres dans l'espace de Wasserstein constituent une manière naturelle d'interpoler entre plusieurs mesures de probabillité, utile dans différents domaines appliqués comme le traitement d'images ou l'apprentissage statistique. Nous conjecturons que ces barycentres obéissent à un théorème de la limite centrale que nous démontrons dans quelques cas (très) particuliers.

The notion of Wasserstein barycenters is a natural way to interpolate between several probability measures, useful in various applied settings like image processing or machine learning. We conjecture that such barycenters obey a central limit theorem which we prove in some (very) particular cases.

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DOI : 10.1016/j.crma.2017.05.010
Martial Agueh 1 ; Guillaume Carlier 2, 3

1 University of Victoria, Victoria, BC, PO Box 3060 STN CSC Victoria, BC, V8W 3R4, Canada
2 Université Paris-Dauphine, PSL Research University, CNRS, CEREMADE, 75016 Paris, France
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Martial Agueh; Guillaume Carlier. Vers un théorème de la limite centrale dans l'espace de Wasserstein ?. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 355 (2017) no. 7, pp. 812-818. doi : 10.1016/j.crma.2017.05.010. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2017.05.010/

[1] M. Agueh; G. Carlier Barycenters in the Wasserstein space, SIAM J. Math. Anal., Volume 43 (2011) no. 2, pp. 904-924

[2] J.-D. Benamou; G. Carlier; M. Cuturi; L. Nenna; G. Peyré Iterative Bregman projections for regularized transportation problems, SIAM J. Sci. Comput., Volume 37 (2015) no. 2, pp. 1111-1138

[3] J. Bigot; T. Klein Characterization of barycenters in the Wasserstein space by averaging optimal transport maps, 2012 (preprint) | arXiv

[4] Y. Brenier Polar factorization and monotone. Rearrangement of vector-valued functions, Commun. Pure Appl. Anal., Volume 44 (1991) no. 4, pp. 375-417

[5] M. Cuturi, A. Doucet, Fast computation of Wasserstein barycenters, in: Proceedings of the 31st International Conference on Machine Learning (ICML-14), Beijing, China, 21–26 June 2014, pp. 685–693.

[6] E. Del Barrio; H. Lescornel; J.-M. Loubes A statistical analysis of a deformation model with Wasserstein barycenters: estimation procedure and goodness of fit test, 2015 (preprint) | arXiv

[7] J. Ebert; V. Spokoiny; A. Suvorikova Construction of non-asymptotic confidence sets in 2-Wasserstein space, 2017 (preprint) | arXiv

[8] E. Giné; J.-R. Leòn On the central limit theorem in Hilbert space, Stochastica, Volume 4 (1980) no. 1, pp. 43-71

[9] Y.-H. Kim; B. Pass Wasserstein Barycenters over Riemannian manifolds, Adv. Math., Volume 307 (2017), pp. 640-683

[10] T. Le Gouic; J.-M. Loubes Existence and consistency of Wasserstein barycenters, Probab. Theory Relat. Fields (2016), pp. 1-17

[11] R.-J. McCann A convexity principle for interacting gases, Adv. Math., Volume 128 (1997), pp. 153-179

[12] F. Santambrogio Optimal Transport for Applied Mathematicians, Birkhäuser, 2015

[13] C. Villani Topics in Optimal Transportation, Grad. Stud. Math., American Mathematical Society, 2003

Cité par Sources :

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