Courants résidus et opérateurs de Monge–Ampère

Michel Méo

doi:10.1016/j.crma.2019.01.011

Analyse complexe/Géométrie analytique

Courants résidus et opérateurs de Monge–Ampère

Présenté par : Jean-Pierre Demailly

Michel Méo ¹

¹ Institut Élie Cartan de Lorraine, Université de Lorraine, boulevard des Aiguillettes, BP 70239, 54506 Vandœuvre-lès-Nancy, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 357 (2019) no. 2, pp. 130-142.

Résumé
Abstract

On étend au cas où le support est un sous-ensemble analytique éventuellement singulier le théorème de Federer de structure du courant résidu. Par ailleurs, on détermine la loi générale de transformation de la distribution $γ_{f}$ associée à une application holomorphe $f = (f_{1}, \dots, f_{N})$ . On arrive ainsi à l'interprétation cohomologique de la classe fondamentale associée à un cycle analytique effectif, qui n'est pas nécessairement localement intersection complète. Par cette même loi, on obtient une caractérisation des sous-ensembles algébriques de dimension pure de $C^{n}$ , qui sont des intersections complètes. On caractérise aussi les intersections complètes de codimension q dans $P_{n}$ en termes des solutions de l'équation de Monge–Ampère singulière dans $P_{q}$ . Enfin, on exprime la condition sur la dimension des pôles de la fonction plurisousharmonique u impliquant que l'opérateur de Monge–Ampère $Q \land d^{c} u$ est d'ordre 0, pour tout courant positif fermé Q de bidimension $(k, k)$ .

We extend to the case when the support is a possibly singular analytic subvariety the Federer theorem on the structure of the residue current. On another hand, we determine the general law of transformation of the distribution $γ_{f}$ associated with a holomorphic map $f = (f_{1}, \dots, f_{N})$ . In such a way, we arrive at the cohomological interpretation of the fundamental class of an effective analytic cycle, which is not necessarily a local complete intersection. By this same law, we obtain a characterization of the pure dimensional algebraic subsets of $C^{n}$ , which are complete intersections. We also characterize the complete intersections of codimension q in $P_{n}$ in terms of the solutions of the singular Monge–Ampère equation in $P_{q}$ . Lastly, we express the condition on the dimension of the poles of the plurisubharmonic function u, so that the Monge–Ampère operator $Q \land d^{c} u$ has measure coefficients, for all closed positive current Q of bidimension $(k, k)$ .

Reçu le : 2018-06-15
Accepté le : 2019-02-04
Publié le : 2019-02-01

DOI : 10.1016/j.crma.2019.01.011

Affiliations des auteurs :

Michel Méo ¹

¹ Institut Élie Cartan de Lorraine, Université de Lorraine, boulevard des Aiguillettes, BP 70239, 54506 Vandœuvre-lès-Nancy, France

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Michel Méo. Courants résidus et opérateurs de Monge–Ampère. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 357 (2019) no. 2, pp. 130-142. doi : 10.1016/j.crma.2019.01.011. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2019.01.011/

Bibliographie
Cité par

[1] E. Bedford; M. Kalka Foliations and complex Monge–Ampère equations, Commun. Pure Appl. Math., Volume 30 (1977) no. 5, pp. 543-571

[2] C.A. Berenstein; A. Yger Analytic residue theory in the non-complete intersection case, J. Reine Angew. Math., Volume 527 (2000), pp. 203-235

[3] S. Boucksom; P. Eyssidieux; V. Guedj; A. Zeriahi Monge–Ampère equations in big cohomology classes, Acta Math., Volume 205 (2010) no. 2, pp. 199-262

[4] J.-Y. Boyer; M. Hickel Une généralisation de la loi de transformation pour les résidus, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 125 (1997) no. 3, pp. 315-335

[5] N. Coleff; M. Herrera; D. Lieberman Algebraic cycles as residues of meromorphic forms, Math. Ann., Volume 254 (1980), pp. 73-87

[6] J.-P. Demailly Monge–Ampère operators, Lelong numbers and intersection theory, Complex Analysis and Geometry, The University Series in Mathematics, Plenum Press, 1993, pp. 115-193

[7] J.-P. Demailly; M. Passare Courants résiduels et classe fondamentale, Bull. Sci. Math., Volume 119 (1995) no. 1, pp. 85-94

[8] D. Eisenbud; E.G. Evans Every algebraic set in n-space is the intersection of n hypersurfaces, Invent. Math., Volume 19 (1973), pp. 107-112

[9] H. Federer Geometric Measure Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 153, Springer Verlag, 1969

[10] J.E. Fornaess; N. Sibony Oka's inequality for currents and applications, Math. Ann., Volume 301 (1995), pp. 399-419

[11] P. Griffiths; J. Harris Principles of Algebraic Geometry, John Wiley and Sons, 1978

[12] L. Hörmander On the division of distributions by polynomials, Ark. Mat., Volume 3 (1958), pp. 555-568

[13] J.R. King The currents defined by analytic varieties, Acta Math., Volume 127 (1971) no. 3–4, pp. 185-220

[14] J.M. Landsberg Differential-geometric characterizations of complete intersections, J. Differ. Geom., Volume 44 (1996) no. 1, pp. 32-73

[15] S. Lojasiewicz Division d'une distribution par une fonction analytique de variables réelles, C. R. Hebd. Séances Acad. Sci., Volume 246 (1958), pp. 683-686

[16] S. Lojasiewicz Triangulation of semi-analytic sets, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa (3), Volume 18 (1964), pp. 449-474

[17] M. Méo Résidus dans le cas non nécessairement intersection complète, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 333 (2001), pp. 33-38

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