Sur la probabilité d’extinction dans des modèles mathématiques d’épidémies

Nicolas Bacaër

doi:10.1016/j.crvi.2017.09.002

Biomodélisation/Biological modelling

Sur la probabilité d’extinction dans des modèles mathématiques d’épidémies

Nicolas Bacaër ^1,²

¹ Unité 209 (UMMISCO), institut de recherche pour le développement, 32, avenue Henri-Varagnat, 93143 Bondy, France
² Université de Tokyo, département de mathématiques, Tokyo, Japon

Comptes Rendus. Biologies, Volume 340 (2017) no. 11-12, pp. 453-455.

Résumé

On présente une formule pour la probabilité d’extinction d’une épidémie modélisée par un processus de branchement à plusieurs types lorsque ce processus est construit à partir de modèles à compartiments qui sont des systèmes d’équations différentielles.

Métadonnées

Reçu le : 2017-06-15
Accepté le : 2017-09-05
Publié le : 2017-10-04

PMID

DOI : 10.1016/j.crvi.2017.09.002

Mots clés : Épidémie, Probabilité d’extinction, Processus de branchement

Affiliations des auteurs :

Nicolas Bacaër ^{1, 2}

¹ Unité 209 (UMMISCO), institut de recherche pour le développement, 32, avenue Henri-Varagnat, 93143 Bondy, France
² Université de Tokyo, département de mathématiques, Tokyo, Japon

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Nicolas Bacaër. Sur la probabilité d’extinction dans des modèles mathématiques d’épidémies. Comptes Rendus. Biologies, Volume 340 (2017) no. 11-12, pp. 453-455. doi : 10.1016/j.crvi.2017.09.002. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/biologies/articles/10.1016/j.crvi.2017.09.002/

Version originale du texte intégral

1 Introduction

De nombreux modèles mathématiques d’épidémies se présentent sous la forme d’un système d’équations différentielles ordinaires non linéaires. Au début de l’épidémie, les personnes infectées, qui peuvent être de plusieurs types, représentent une fraction négligeable de la population, de sorte qu’on peut linéariser le modèle pour obtenir un système linéaire pour les compartiments infectés seuls. Ce système est en général de la forme $\frac{d I}{d t} = (A - B - C) I$ où :

• I = (I₁, …, I_n) est un vecteur colonne et I_i(t) est le nombre de personnes infectées de type i ;
• A est une matrice d’infection et A_i,j ≥ 0 est le taux auquel une personne infectée de type j produit de nouvelles personnes infectées de type i ;
• B est une matrice de transfert, −B_i,j ≥ 0 (pour i ≠ j) est le taux auquel une personne infectée de type j se transforme en une personne infectée de type i et B_j,j = − ∑_i≠j B_i,j ;
• C est une matrice diagonale et C_j,j ≥ 0 est le taux auquel une personne infectée de type j cesse d’être infectée.

À ce système, on associe un nombre noté ℛ₀ à la suite de Lotka et appelé reproductivité [1, p. 102]. Ici, ce nombre est égal au rayon spectral de la matrice A(B + C)⁻¹ [2, §2.1]. Il n’y aura une épidémie que si ℛ₀ > 1. De plus, la reproductivité ℛ₀ mesure l’effort nécessaire pour arrêter l’épidémie : il faut diviser la matrice d’infection par ℛ₀ ou plus.

Au début de l’épidémie, les effets stochastiques sont importants et peuvent conduire à l’extinction de l’épidémie, quand bien même on aurait ℛ₀ > 1. On peut donc imaginer des modèles qui sont des processus de branchement à plusieurs types en temps continu, construits avec les coefficients des matrices A, B et C [2–5]. La question était alors de calculer la probabilité d’extinction dans ces modèles si l’on part de (i₁,…,i_n) personnes infectées (nombres entiers) à t = 0. Cette probabilité prend la forme d’un produit $ω_{1}^{i_{1}} \dots ω_{n}^{i_{n}}$ . On n’a pas trouvé dans les travaux ci-dessus de formule générale qui reliât les probabilités ω_j et les matrices A, B et C. Seuls des exemples particuliers ont été étudiés.

Dans la section 2, on montre ainsi que les probabilités d’extinction ω_j sont, lorsque ℛ₀ > 1, l’unique solution dans le cube ${[0,1[}^{n}$ du problème de point fixe

ω_{j} = \frac{\sum_{i} A_{i, j} ω_{i} ω_{j} - \sum_{i \neq j} B_{i, j} ω_{i} + C_{j, j}}{\sum_{i} A_{i, j} + B_{j, j} + C_{j, j}}

(1)

avec 1 ≤ j ≤ n. Ceci peut aussi s’écrire

\sum_{i} (1 - ω_{i}) (A_{i, j} ω_{j} - B_{i, j} - C_{i, j}) = 0

(2)

avec 1 ≤ j ≤ n. Si l’on note [1 − ω_i] le vecteur ligne (1 − ω₁ … 1 − ω_n) et diag[ω_i], la matrice diagonale avec les ω_i sur la diagonale, le système prend une forme plus compacte :

[1 - ω_{i}] (A diag [ω_{i}] - B - C) = 0 .

(3)

Dans la section 3, on propose des exemples simples d’application de cette formule. Notons que la formule (2) peut se généraliser au cas d’un environnement périodique [6, équation 4].

2 Démonstration

Construisons le modèle stochastique associé naturellement au modèle déterministe. On suppose qu’avec un taux A_i,j, chaque personne infectée de type j est remplacée en quelque sorte par deux personnes, l’une de type i, l’autre de type j (il y a eu une nouvelle infection). Ceci signifie que la probabilité de cet événement est A_i,jdt pendant un intervalle de temps infinitésimal dt. Avec un taux −B_i,j pour i ≠ j, chaque personne infectée de type j se transforme en une personne infectée de type i. Avec un taux C_j,j, chaque personne infectée de type j cesse d’être infectieuse. Schématiquement,

j \underset{A_{i, j}}{\to} i + j, j \underset{- B_{i, j}}{\to} i (i \neq j), j \underset{C_{j, j}}{\to} .

Comme −∑_i≠j B_i,j = B_j,j, chaque personne infectée de type j subit un des trois événements ci-dessus avec le taux total

λ_{j} = \sum_{i} A_{i, j} + B_{j, j} + C_{j, j} .

Notons g_j(x₁,…,x_n) la fonction génératrice du nombre de personnes des différents types 1,2,…,n, engendrées par une personne de type j selon le schéma ci-dessus. On a

g_{j} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \frac{1}{λ_{j}} (\sum_{i} A_{i, j} x_{i} x_{j} + \sum_{i \neq j} (- B_{i, j}) x_{i} + C_{j, j}) .

D’après la théorie des processus de branchement à plusieurs types [4, théorème 1.2], on sait que, lorsque ℛ₀ > 1, les probabilités (ω₁, …, ω_n) sont l’unique solution dans le cube ${[0,1[}^{n}$ du problème de point fixe g_j(ω₁, …, ω_n) = ω_j pour 1 ≤ j ≤ n. Or ceci s’écrit aussi

\sum_{i} A_{i, j} ω_{i} ω_{j} + \sum_{i \neq j} (- B_{i, j}) ω_{i} + C_{j, j} = ω_{j} λ_{j} = ω_{j} (\sum_{i} A_{i, j} + B_{j, j} + C_{j, j}) .

D’où, en réarrangeant,

- \sum_{i} B_{i, j} ω_{i} + C_{j, j} = (1 - ω_{j}) = ω_{j} \sum_{i} A_{i, j} (1 - ω_{i}) .

Comme ∑_i B_i,j = 0, ajoutons ce terme au membre de gauche :

\sum_{i} B_{i, j} (1 - ω_{i}) + C_{j, j} (1 - ω_{j}) = ω_{j} \sum_{i} A_{i, j} (1 - ω_{i}) .

Ceci est bien identique à l’équation (2), puisque C_i,j = 0 pour i ≠ j.

3 Exemples

Prenons un modèle de type SEIR qui fait intervenir quatre compartiments : S(t) est le nombre de personnes susceptibles d’être atteintes par la maladie, E(t) le nombre de personnes qui ont été infectées après avoir été exposées lors d’un contact, mais qui ne sont pas encore infectieuses, I(t) le nombre de personnes infectieuses et R(t) le nombre de personnes rétablies et immunisées. Notons N(t) = S(t) + E(t) + I(t) + R(t) la population totale, v le nombre de naissances par unité de temps, a la fréquence des contacts, μ la mortalité naturelle, b le taux auquel les personnes exposées deviennent infectieuses, c le taux auquel les personnes infectieuses guérissent et ɛ la surmortalité pendant la période infectieuse. Alors, on peut proposer le modèle suivant :

\frac{d S}{d t} = ν - a S \frac{I}{N} - μ S, \frac{d E}{d t} = a S \frac{I}{N} - (μ + b) E,

\frac{d I}{d t} = b E - (μ + ε + c) I, \frac{d R}{d t} = c I - μ R .

En l’absence de la maladie, l’état stationnaire est S = N* = v/μ. Au début d’une épidémie, la population est presque entièrement constituée de personnes susceptibles, de sorte que S ≃ N ≃ N*. On obtient ainsi le modèle linéarisé

\frac{d E}{d t} = - (μ + b) E + a I, \frac{d I}{d t} = b E - (μ + ε + c) I .

Avec les notations des sections précédentes, on a

A = (\begin{array}{c} 0 & a \\ 0 & 0 \end{array}), B = (\begin{array}{c} b & 0 \\ - b & 0 \end{array}), C = (\begin{array}{c} μ & 0 \\ 0 & μ + ε + c \end{array}) .

Ainsi,

A {(B + C)}^{- 1} = (\begin{array}{c} \frac{a b}{(b + μ) (μ + ε + c)} & \frac{a}{μ + ε + c} \\ 0 & 0 \end{array})

et ℛ₀ = ab/[(b + μ)(μ + ɛ + c)]. Supposons ℛ₀ > 1. Le système (3) s’écrit

(1 - ω_{1} 1 - ω_{2}) [(\begin{array}{c} 0 & a \\ 0 & 0 \end{array}) (\begin{array}{c} ω_{1} & 0 \\ 0 & ω_{2} \end{array}) - (\begin{array}{c} b + μ & 0 \\ - b & μ + ε + c \end{array})] = 0 .

On trouve donc les deux équations

- (b + μ) (1 - ω_{1}) + b (1 - ω_{2}) = 0, a ω_{2} (1 - ω_{1}) - (μ + ε + c) (1 - ω_{2}) = 0 .

D’où la solution dans ${[0,1[}^{2}$ , qui est

ω_{1} = \frac{μ + b / ℛ_{0}}{μ + b} = 0,

ω_{2} = \frac{1}{ℛ_{0}} = 0 .

C’est le même résultat que celui de [4, §3.2], mais nous avons court-circuité, avec l’équation (3), la construction des fonctions génératrices.

On calcule de même les probabilités d’extinction pour le modèle de paludisme de [5, §6]. Notons a la fréquence des piqûres infectantes, c₁ la vitesse de guérison des humains, c₂ la mortalité des moustiques, N₁ le nombre d’humains et N₂ le nombre de moustiques. Si I₁ est le nombre d’humains infectés et I₂ le nombre de moustiques infectés, alors le modèle linéarisé est de la forme

A = (\begin{array}{c} 0 & a \\ a N_{2} / N_{1} & 0 \end{array}), B = 0, C = (\begin{array}{c} c_{1} & 0 \\ 0 & c_{2} \end{array}) .

On trouve $ℛ_{0} = a \sqrt{\frac{N_{2} / N_{1}}{c_{1} c_{2}}}$ . Le système (3) s’écrit

(1 - ω_{1} 1 - ω_{2}) [(\begin{array}{c} 0 & a \\ a N_{2} / N_{1} & 0 \end{array}) (\begin{array}{c} ω_{1} & 0 \\ 0 & ω_{2} \end{array}) - (\begin{array}{c} c_{1} & 0 \\ 0 & c_{2} \end{array})] = 0 .

On trouve au terme des calculs :

ω_{1} = \frac{c_{2} + a}{c_{2} ℛ_{0}^{2} + a}, ω_{2} = \frac{c_{2} + a / ℛ_{0}^{2}}{c_{2} + a} .

Néanmoins, même lorsqu’il n’y a que deux types de personnes infectées, le système quadratique de deux équations (2) conduit en général à une équation polynomiale de degré 4 pour chacune des probabilités ω_j. Comme 1 est toujours une racine, on est ramené à une équation de degré 3, qui ne peut pas en général se réduire davantage. C’est le cas, par exemple, pour un modèle de type SIS ou SIR avec migrations entre deux sites, de sorte que le système linéarisé pour les personnes infectées (I₁, I₂) dans les deux sites est de la forme

A = (\begin{array}{c} a_{1} & 0 \\ 0 & a_{2} \end{array}), B = (\begin{array}{c} b_{1} & - b_{2} \\ - b_{1} & b_{2} \end{array}), C = (\begin{array}{c} c_{1} & 0 \\ 0 & c_{2} \end{array}) .

Ce n’est que la présence de nombreux zéros dans les matrices A, B, et C qui permet des calculs explicites relativement simples dans le cas du modèle SEIR ou du modèle de paludisme. Si l’on se contente de calculs numériques, alors, plutôt que d’utiliser le système (3), on obtient le point fixe dans le cube ${[0,1[}^{n}$ du système (1) par de simples itérations en partant de(x₁,…,x_n) = (0,…,0).

Remerciements

L’auteur remercie le professeur Hisashi Inaba, de l’université de Tokyo, pour l’invitation qui lui a été faite à enseigner dans le cadre d’un module sur la modélisation des épidémies, qui a stimulé ces recherches.

Bibliographie

[1] A. Lotka Théorie analytique des associations biologiques, 2^e partie, Hermann, Paris, 1939

[2] L.J.S. Allen; P. van den Driessche Relations between deterministic and stochastic thresholds for disease extinction in continuous- and discrete-time infectious disease models, Math. Biosci., Volume 243 (2013), pp. 99-108

[3] G.E.J. Lahodny; L.J.S. Allen Probability of a disease outbreak in stochastic multipatch epidemic models, Bull. Math. Biol., Volume 75 (2013), pp. 1157-1180

[4] L.J.S. Allen Stochastic population and epidemic models, Springer, Cham, Suisse, 2015

[5] L.J.S. Allen A primer on stochastic epidemic models: formulation, numerical simulation and analysis, Infect. Dis. Model., Volume 2 (2017), pp. 128-142

[6] N. Bacaër; E. Ait Dads Sur la probabilité d’extinction dans un environnement périodique, 2014 | HAL

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