1 Introduction
Une méthode courante de détermination des propriétés hydrauliques à grande échelle des massifs fracturés consiste à simuler l'écoulement dans un réseau de fractures et à essayer d'établir des relations entre le gradient moyen de pression et le flux moyen dans ce réseau [1,5,10]. Cette méthode, dite directe [2], s'inscrit dans le cadre plus général des méthodes dites non locales de détermination de la perméabilité effective des milieux hétérogènes [3,6,7,9]. Dans ces méthodes, le flux moyen
À la difficulté du calcul des valeurs moyennes s'ajoute celle de la définition même du tenseur de perméabilité équivalente, qui doit donner
Nous allons d'abord proposer dans ce travail une méthode permettant de calculer correctement les moyennes volumiques du flux et du gradient de pression à partir des données sur la frontière. Ensuite, en faisant le choix d'une famille particulière de conditions aux limites, nous donnons une définition rigoureuse d'un tenseur de perméabilité équivalente, dont nous étudierons les propriétés. Notre définition et notre démarche s'inspirent des méthodes générales d'homogénéisation du comportement mécanique des matériaux hétérogènes [11].
2 Position du problème
Considérons un corps perméable hétérogène, occupant un domaine
(1) |
(2) |
Les champs p et
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3 Expression des moyennes volumiques en fonction des valeurs aux frontières
Pour une fonction f quelconque, on peut écrire l'identité mathématique suivante (formule de Green), dans laquelle
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En prenant pour f la pression, on trouve que la moyenne du gradient de pression peut s'écrire sous la forme suivante :
(5) |
En utilisant ∂ixj=δij (coordonnées cartésiennes) et la conservation de la masse, ∂iqi=0, on peut écrire :
(6) |
Les formules (5) et (6) permettent de calculer les moyennes volumiques du gradient de pression et du flux à l'aide des pressions et du flux au contour pour une forme du domaine et des conditions aux limites quelconques.
En général, dans les méthodes directes ou non locales, essentiellement deux types de conditions aux limites sont considérés. Les conditions de perméamètre supposent une forme rectangulaire (dans le cas bidimensionnel) pour le domaine, dont deux côtés parallèles sont soumis à des pressions constantes et les deux autres, à un flux sortant nul
(7) |
Contrairement à ce qui est supposé dans les travaux utilisant les conditions de perméamètre, l'équation (5) montre que, sous ces conditions, la moyenne du gradient de pression ne peut être déduite des seules valeurs de la pression sur les côtés à pression imposée. La formule (6) permet en revanche de montrer que, sous ces conditions, la moyenne volumique du flux est bien égale à la moyenne surfacique du flux sur les côtés à pression imposée, comme cela est souvent admis dans ces travaux.
Considérons maintenant le cas des conditions de pression linéaire au contour. La formule (6) montre que, dans ce cas où le flux n'est (imposé) nul sur aucun côté, le flux moyen ne peut se déduire de la moyenne surfacique sur un seul des côtés. Ceci est à l'origine de beaucoup de difficultés dans les travaux [5] utilisant ces conditions.
En prenant dans (4) pour f une constante non nulle et en prenant ensuite pour f la composante xj du vecteur position
(8) |
En reportant l'expression (7) de
(9) |
Ce résultat, admis en général dans les travaux utilisant des conditions de pression linéaire au contour sur des domaines rectangulaires avec
4 Tenseur de conductivité hydraulique
Pour un domaine
(10) |
En remarquant que, si le champ
(11) |
Le tenseur
En intégrant sur
Or, sur
Dans le dernier membre de ces égalités,
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Or, du fait de la symétrie de
Ce résultat contredit celui de [5] rapporté dans [7], suivant lequel « les conditions aux limites uniformes (variant linéairement sur le contour) ne produisent pas de perméabilité symétrique ». La différence résulte du fait que, comme nous l'avons expliqué ci-dessus, le flux moyen n'est pas correctement calculé dans [5].
Dans le cas particulier où
(13) |
Comme
En reportant (9) dans (11), on trouve :
(14) |
Le tenseur
(15) |
Au premier membre de (15), nous trouvons l'expression de la dissipation donnée par Indelman et Dagan [4]. Cette relation montre que la dissipation macroscopique calculée par
Supposons maintenant que
5 Application aux milieux fracturés
Dans le cas d'un milieu fracturé bi-dimensionnel, la formule (6) s'écrit sous la forme discrétisée :
(16) |

a. Domaines étudiés. b. Diagramme obtenu par la méthode [5], en partant du carré ABCD : 1, diagramme obtenu par la même méthode, mais en utilisant l'expression (16) pour le flux moyen ; 2, ellipses représentant les tenseurs
a. Studied domains. b. Diagram obtained by the method [5], beginning on the square ABCD: 1, diagram obtained by the same method but using the expression (16) for the mean flux; 2, ellipses representing
6 Conclusions
La perméabilité équivalente d'un domaine hétérogène et de forme quelconque peut être étudiée par une méthode non locale en appliquant sur la frontière de ce domaine des conditions de pression linéaire au contour, définies par la relation (7). Le gradient moyen de pression dans le domaine sera alors exactement égal à
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