Considérons un corps perméable hétérogène, occupant un domaine $\Omega$ dans l'espace. Ce corps est le siège d'un écoulement de fluide sous l'effet de pressions ou de flux imposés sur son contour $\partial \Omega$. On suppose qu'il est constitué de matériaux de perméabilités différentes, caractérisés chacun par un tenseur de perméabilité noté $\mathrm{k}$, symétrique et défini positif. En tout point de $\Omega$, caractérisé par son vecteur position $\overrightarrow{\mathrm{x}}$, l'écoulement a lieu suivant la loi de Darcy :

Les champs p et $\overrightarrow{\mathrm{q}}$, solutions du problème d'écoulement, doivent vérifier ces deux équations et les conditions aux limites de flux ou de pression sur $\partial \Omega$. On définit le flux moyen et le gradient moyen de pression dans le corps par les relations suivantes, dans lesquelles V est le volume du domaine $\Omega$ :

Pour une fonction f quelconque, on peut écrire l'identité mathématique suivante (formule de Green), dans laquelle $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ représente le vecteur unitaire sortant et dS l'élément de surface sur $\partial \Omega$ :

En prenant pour f la pression, on trouve que la moyenne du gradient de pression peut s'écrire sous la forme suivante :

En utilisant ∂_ix_j=δ_ij (coordonnées cartésiennes) et la conservation de la masse, ∂_iq_i=0, on peut écrire : ${\partial }_i\left({\mathrm{x}}_j{q}_i\right)=\left({\partial }_i{x}_j\right)q_i+{\mathrm{x}}_j{\partial }_i{q}_i={\delta }_{\mathrm{ij}}{q}_j={\mathrm{q}}_i$. En remplaçant q_i dans (3) par ∂_i(x_jq_i) et en utilisant (4), on trouve l'expression suivante pour le flux moyen :

Les formules (5) et (6) permettent de calculer les moyennes volumiques du gradient de pression et du flux à l'aide des pressions et du flux au contour pour une forme du domaine et des conditions aux limites quelconques.

En général, dans les méthodes directes ou non locales, essentiellement deux types de conditions aux limites sont considérés. Les conditions de perméamètre supposent une forme rectangulaire (dans le cas bidimensionnel) pour le domaine, dont deux côtés parallèles sont soumis à des pressions constantes et les deux autres, à un flux sortant nul $(\overrightarrow{\mathrm{q}}·\overrightarrow{\mathrm{n}}=0)$. Les conditions de pression linéaire au contour sont définies par :

Contrairement à ce qui est supposé dans les travaux utilisant les conditions de perméamètre, l'équation (5) montre que, sous ces conditions, la moyenne du gradient de pression ne peut être déduite des seules valeurs de la pression sur les côtés à pression imposée. La formule (6) permet en revanche de montrer que, sous ces conditions, la moyenne volumique du flux est bien égale à la moyenne surfacique du flux sur les côtés à pression imposée, comme cela est souvent admis dans ces travaux.

Considérons maintenant le cas des conditions de pression linéaire au contour. La formule (6) montre que, dans ce cas où le flux n'est (imposé) nul sur aucun côté, le flux moyen ne peut se déduire de la moyenne surfacique sur un seul des côtés. Ceci est à l'origine de beaucoup de difficultés dans les travaux [5] utilisant ces conditions.

En prenant dans (4) pour f une constante non nulle et en prenant ensuite pour f la composante x_j du vecteur position $\overrightarrow{\mathrm{x}}$, sachant que ∂_ix_j=δ_ij, on établit successivement les deux identités suivantes :

En reportant l'expression (7) de $\mathrm{p}\left(\overrightarrow{\mathrm{x}}\right)$ dans (5) et en utilisant les identités (8), on trouve :

Ce résultat, admis en général dans les travaux utilisant des conditions de pression linéaire au contour sur des domaines rectangulaires avec $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ parallèle à un des côtés, se trouve ici établi pour un domaine de forme quelconque.

Pour un domaine $\Omega$ fixé, avec une distribution fixée de $\mathrm{k}\left(\overrightarrow{\mathrm{x}}\right)$ dans $\Omega$, le champ de pression $\mathrm{p}\left(\overrightarrow{\mathrm{x}}\right)$ solution du problème d'écoulement avec les conditions aux limites de pression linéaire au contour avec les données $(\overrightarrow{\mathrm{A}},\mathrm{P})$ est défini par l'équation (7) et l'équation suivante (10) :

En remarquant que, si le champ $\mathrm{p}\left(\overrightarrow{\mathrm{x}}\right)$ est solution de ce problème pour les données $(\overrightarrow{\mathrm{A}},\mathrm{P})$ et si c est une constante quelconque, alors le champ $\mathrm{p}\left(\overrightarrow{\mathrm{x}}\right)+\mathrm{c}$ est solution du même problème pour les données $(\overrightarrow{\mathrm{A}},\mathrm{P}+\mathrm{c})$, et que $\overrightarrow{\nabla }(\mathrm{p}\left(\overrightarrow{\mathrm{x}}\right)+\mathrm{c})=\overrightarrow{\nabla }\mathrm{p}\left(\overrightarrow{\mathrm{x}}\right)$, on déduit que le champ de gradient de pression, et donc le champ de flux donné par $\overrightarrow{\mathrm{q}}\left(\overrightarrow{\mathrm{x}}\right)=\mathrm{k}\left(\overrightarrow{\mathrm{x}}\right)·\overrightarrow{\nabla }\mathrm{p}\left(\overrightarrow{\mathrm{x}}\right)$ ainsi que sa moyenne volumique $\overrightarrow{\mathrm{Q}}$ sont indépendants de la constante c, et donc de la constante P, et ne dépendent que de $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ (et de données intrinsèques, qui sont la géométrie de $\Omega$ et la distribution $\mathrm{k}\left(\overrightarrow{\mathrm{x}}\right)$). Considérons maintenant deux vecteurs ${\overrightarrow{\mathrm{A}}}_1$ et ${\overrightarrow{\mathrm{A}}}_2$ et notons respectivement $p_1\left(\overrightarrow{\mathrm{x}}\right)$ et $p_2\left(\overrightarrow{\mathrm{x}}\right)$, ${\overrightarrow{\mathrm{q}}}_1\left(\overrightarrow{\mathrm{x}}\right)$ et ${\overrightarrow{\mathrm{q}}}_2\left(\overrightarrow{\mathrm{x}}\right)$ et ${\overrightarrow{\mathrm{Q}}}_1$ et ${\overrightarrow{\mathrm{Q}}}_2$ les champs de pression et de flux et les flux moyens associés aux conditions aux limites $({\overrightarrow{\mathrm{A}}}_1,0)$ et $({\overrightarrow{\mathrm{A}}}_2,0)$. On vérifie aisément que le champ $\mathrm{p}\left(\overrightarrow{\mathrm{x}}\right)={\lambda }_1{p}_1\left(\overrightarrow{\mathrm{x}}\right)+{\lambda }_2{p}_2\left(\overrightarrow{\mathrm{x}}\right)$, où λ₁ et λ₂ sont deux constantes quelconques, est solution du problème d'écoulement avec les conditions aux limites $(\overrightarrow{\mathrm{A}},0)$, où $\overrightarrow{\mathrm{A}}={\lambda }_1{\overrightarrow{\mathrm{A}}}_1+{\lambda }_2{\overrightarrow{\mathrm{A}}}_2$. On en déduit que le flux $\overrightarrow{\mathrm{Q}}$ associé à ${\lambda }_1{\overrightarrow{\mathrm{A}}}_1+{\lambda }_2{\overrightarrow{\mathrm{A}}}_2$ est égal à ${\lambda }_1{\overrightarrow{\mathrm{Q}}}_1+{\lambda }_2{\overrightarrow{\mathrm{Q}}}_2$, ce qui veut dire que $\overrightarrow{\mathrm{Q}}$ est une fonction linéaire de $\overrightarrow{\mathrm{A}}$. Ce résultat s'écrit sous la forme :

Le tenseur ${\mathrm{K}}_{\Omega }$ est une caractéristique intrinsèque de $\Omega$, ne dépendant que de sa géométrie et de la distribution $\mathrm{k}\left(\overrightarrow{\mathrm{x}}\right)$. Considérons maintenant deux champs de pression $\mathrm{p}\left(\overrightarrow{\mathrm{x}}\right)$ et $\mathrm{p}\text{'}\left(\overrightarrow{\mathrm{x}}\right)$, résultant des conditions aux limites de pression linéaire au contour avec les données respectivement $(\overrightarrow{\mathrm{A}},\mathrm{P})$ et $(\overrightarrow{\mathrm{A}}\text{'},\mathrm{P}\text{'})$, et notons $\overrightarrow{\mathrm{q}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{q}}\text{'}$ les champs de flux correspondants. En tout point de $\Omega$, la relation $\overrightarrow{\mathrm{q}}\text{'}=-\mathrm{k}·\overrightarrow{\nabla }\mathrm{p}\text{'}$ et la conservation de la masse, ∂_iq′_i=0, permettent d'écrire :

En intégrant sur $\Omega$, et en appliquant (4) au second membre, on trouve :

Or, sur $\partial \Omega$, on a $\mathrm{p}\left(\overrightarrow{\mathrm{x}}\right)=\overrightarrow{\mathrm{A}}·\overrightarrow{\mathrm{x}}+\mathrm{P}$. En reportant cette expression dans le second membre de la relation ci-dessus, on trouve :

Dans le dernier membre de ces égalités, ${\int }_{\partial \Omega }\overrightarrow{\mathrm{q}}\text{'}·\overrightarrow{\mathrm{n}}\mathrm{d}\mathrm{S}=0$, du fait de la conservation de la masse, et le terme entre parenthèse est, d'après (6) et (11), égal à $-{\mathrm{K}}_{\Omega }\overrightarrow{\mathrm{A}}\text{'}$. On peut donc écrire :

Or, du fait de la symétrie de $\mathrm{k}$, on peut changer le rôle de p et p′ au premier membre de cette égalité. Il en donc de même en ce qui concerne $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{A}}\text{'}$, au second membre. On en déduit que ${\mathrm{K}}_{\Omega }$ est symétrique.

Ce résultat contredit celui de [5] rapporté dans [7], suivant lequel « les conditions aux limites uniformes (variant linéairement sur le contour) ne produisent pas de perméabilité symétrique ». La différence résulte du fait que, comme nous l'avons expliqué ci-dessus, le flux moyen n'est pas correctement calculé dans [5].

Dans le cas particulier où $\overrightarrow{\mathrm{A}}\text{'}=\overrightarrow{\mathrm{A}}$, la relation (12) devient :

Comme $\mathrm{k}$ est positif, le premier et donc le second membres de (13) sont toujours positifs, ce qui montre que ${\mathrm{K}}_{\Omega }$ est positif. Si un vecteur $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ annule le second membre, le $\overrightarrow{\nabla }p$ correspondant doit être nul au premier membre (car $\mathrm{k}$ est défini), et donc sa moyenne $\overrightarrow{\mathrm{G}}$ est également nulle. On déduit de alors (9) que $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ est nulle, ce qui montre que le tenseur ${\mathrm{K}}_{\Omega }$ est défini.

En reportant (9) dans (11), on trouve :

Le tenseur ${\mathrm{K}}_{\Omega }$ reliant le flux moyen au gradient moyen de pression dans le domaine $\Omega$ (sous conditions de pression linéaire au contour) sera appelé le tenseur de conductivité hydraulique moyenne de ce domaine. Nous venons de montrer qu'il est symétrique et défini positif. Par ailleurs, en reportant (9) dans (13), on trouve :

Au premier membre de (15), nous trouvons l'expression de la dissipation donnée par Indelman et Dagan [4]. Cette relation montre que la dissipation macroscopique calculée par ${\mathrm{K}}_{\Omega }$ est égale à la dissipation moyenne réelle dans le milieu (sous conditions de pression linéaire au contour).

Supposons maintenant que $\Omega$ soit un sous-domaine d'un milieu hétérogène infini et qu'il soit caractérisé par une longueur caractéristique D (par exemple le diamètre moyen). Supposons que, pour le milieu considéré, ${\mathrm{K}}_{\Omega }$ tende vers une limite $\mathrm{K}$ quand D tend vers l'infini. Si la limite $\mathrm{K}$ existe, elle est symétrique et positive. Dans ce cas, le comportement à grande échelle du milieu considéré peut être assimilé à un milieu poreux de perméabilité $\mathrm{K}$.

Dans le cas d'un milieu fracturé bi-dimensionnel, la formule (6) s'écrit sous la forme discrétisée :

La perméabilité équivalente d'un domaine hétérogène et de forme quelconque peut être étudiée par une méthode non locale en appliquant sur la frontière de ce domaine des conditions de pression linéaire au contour, définies par la relation (7). Le gradient moyen de pression dans le domaine sera alors exactement égal à $\overrightarrow{\mathrm{A}}$. Le flux moyen peut être plus facilement calculé à partir des valeurs de flux sur la frontière par la formule (6). La relation entre ce flux moyen et $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ est linéaire et définit un tenseur de conductivité hydraulique moyenne pour le domaine. Ce tenseur peut être identifié en calculant le flux moyen pour deux ou trois (suivant la dimension du problème) directions différentes de $\overrightarrow{\mathrm{A}}$. Nous avons montré que ce tenseur est symétrique et défini positif si, en tout point du domaine, le tenseur local de perméabilité est symétrique et défini positif.