Comptes Rendus
no. 3
Differential Geometry
Hyperbolic manifolds, amalgamated products and critical exponents
[Variétés hyperboliques, produits amalgamés et exposants critiques]

Présenté par : Étienne Ghys

Gérard Besson1 ; Gilles Courtois2 ; Sylvestre Gallot1
1 Institut Fourier, Université de Grenoble I, UMR 5582 CNRS-UJF, 38402 Saint-Martin-d'Hères, France
2 École polytechnique, centre de mathématiques, 91128 Palaiseau cedex, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 3, pp. 257-261.

Nous donnons une preuve nouvelle d'un résultat dû à Y. Shalom ; précisément, nous montrons que, si le groupe fondamental d'une variété hyperbolique réelle compacte de dimension n est le produit libre de ses sous-groupes A et B amalgamé sur C, alors l'exposant critique de C est plus grand que n−2. La preuve, géométrique, permet de traiter le cas d'égalité ainsi qu'une extension au cas de courbure variable.

We give a new proof of a result due to Y. Shalom: if the fundamental group of a compact real hyperbolic manifold of dimn is a free product of its subgroups A and B over the amalgamated subgroup C, then the critical exponent of C is not smaller than n−2. The proof, which is geometric, allows one to treat the equality case and an extension to variable curvature.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(02)00019-5
Gérard Besson 1 ; Gilles Courtois 2 ; Sylvestre Gallot 1

1 Institut Fourier, Université de Grenoble I, UMR 5582 CNRS-UJF, 38402 Saint-Martin-d'Hères, France
2 École polytechnique, centre de mathématiques, 91128 Palaiseau cedex, France 
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Gérard Besson; Gilles Courtois; Sylvestre Gallot. Hyperbolic manifolds, amalgamated products and critical exponents. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 3, pp. 257-261. doi : 10.1016/S1631-073X(02)00019-5. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)00019-5/

[1] G. Besson; G. Courtois; S. Gallot Lemme de Schwarz réel et applications géométriques, Acta Math., Volume 183 (1999), pp. 145-169

[2] G. Carron, E. Pedon, On the differential form spectrum of hyperbolic manifold, to appear

[3] M. Gromov Filling Riemannian manifolds, J. Differential Geom., Volume 18 (1983), pp. 1-147

[4] M. Kapovich Hyperbolic Manifolds and Discrete Groups, Progress in Math., 183, Birkhaüser, 2001

[5] A. Lubotsky Free quotients and the first Betti number of some hyperbolic manifolds, Transformation Groups, Volume 1 (1996) no. 1, 2, pp. 71-82

[6] J.-P. Serre Arbres, amalgames, SL2, Astérisque, Volume 46 (1977)

[7] Y. Shalom Rigidity, unitary representations of semisimple groups, and fundamental groups of manifolds with rank one transformation group, Ann. of Math., Volume 152 (2000), pp. 113-182

[8] W. Thurston, The geometry and topology of three-manifolds, Lecture Notes, Princeton

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