The range of the derivative of a differentiable bump

Thierry Gaspari

doi:10.1016/S1631-073X(02)02223-9

The range of the derivative of a differentiable bump
[L'image de la dérivée d'une fonction bosse différentiable]

Thierry Gaspari ¹

¹ Mathématiques pures de Bordeaux (MPB), UMR 5467 CNRS, Université Bordeaux 1, 351, cours de la Libération, 33405 Talence cedex, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 3, pp. 189-194.

Résumé
Abstract

Nous étudions l'image de la dérivée d'une fonction bosse Fréchet différentiable. X est un espace de Banach séparable de dimension infinie et C^p-lisse. Tout d'abord nous montrons que tout ouvert connexe de $X^{*}$ contenant 0 est l'image de la dérivée d'une bosse de classe C^p. Ensuite, les parties analytiques de $X^{*}$ qui vérifient une condition naturelle de liaison sont l'image de la dérivée d'une bosse de classe C¹. Nous trouvons des résultats analogues en dimension finie. Finalement, nous prouvons que si f est une C²-bosse sur $ℝ^{2}$ , $f' (ℝ^{2})$ est l'adhérence de son intérieur.

We study the range of the derivative of a Frechet differentiable bump. X is an infinite dimensional separable C^p-smooth Banach space. We first prove that any connected open subset of $X^{*}$ containing 0 is the range of the derivative of a C^p-bump. Next, analytic subsets of $X^{*}$ which satisfy a natural linkage condition are the range of the derivative of a C¹-bump. We find analogues of these results in finite dimensions. We finally show that $f' (ℝ^{2})$ is the closure of its interior, if f is a C²-bump on $ℝ^{2}$ .

Reçu le : 2001-11-23
Accepté le : 2001-11-26
Publié le : 2002-02-01

DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02223-9

Affiliations des auteurs :

Thierry Gaspari ¹

¹ Mathématiques pures de Bordeaux (MPB), UMR 5467 CNRS, Université Bordeaux 1, 351, cours de la Libération, 33405 Talence cedex, France

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Thierry Gaspari. The range of the derivative of a differentiable bump. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 3, pp. 189-194. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02223-9. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02223-9/

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