Comptes Rendus
Propriétés de l'intégrale de Cauchy Harish-Chandra pour certaines paires duales d'algèbres de Lie
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 11, pp. 945-948.

On considère un groupe symplectique Sp et une paire duale réductive et irréductible (G,G′) de Sp au sens de R. Howe. On désigne par 𝔤 (resp. 𝔤') les algèbres de Lie de G (resp. G′). T. Przebinda définit une application appelée intégrale de Cauchy Harish-Chandra et notée Chc qui associe à toute fonction de 𝒟(𝔤) une fonction définie sur 𝔤 ' reg , l'ouvert des éléments semi-simples réguliers. Dans cette Note, on montre que ces fonctions sont des intégrales invariantes si la paire est de type II et elles possèdent les propriétés locales des intégrales invariantes si la paire est formée de groupes unitaires de même rang. Les relations de sauts sont alors obtenues à une constante multiplicative près.

We consider a symplectic group Sp and an reductive and irreductible dual pair (G,G′) in Sp in the sense of R. Howe. Let 𝔤 (resp. 𝔤') be the Lie algebra of G (resp. G′). T. Przebinda has defined a map Chc , called the Cauchy Harish-Chandra integral from the space of smooth compactly supported functions of 𝔤 to the space of functions defined on the open set 𝔤 ' reg of semisimple regular elements of 𝔤'. We prove that these functions are invariant integrals if G and G′ are linear groups and they behave locally like invariant integrals if G and G′ are unitary groups of same rank. In this last case, we obtain the jump relations up to a multiplicative constant which only depends on the dual pair.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02380-4

Florent Bernon 1

1 Laboratoire analyse, géométrie et applications, UMR CNRS 7539, Département de mathématiques, Université Paris 13, 93430 Villetaneuse, France
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[1] F. Bernon, Propriétés de l'intégrale de Cauchy Harish-Chandra pour les paires duales d'algèbres de Lie réductives, Thèse de l'Université de Poitiers, 2001

[2] A. Bouaziz Intégrales orbitales sur les algèbres de Lie réductives, Invent. Math., Volume 115 (1994), pp. 163-207

[3] M. Duflo; M. Vergne La formule de Plancherel des groupes de Lie semi-simples réels, Representations of Lie Groups, Kyoto, Hiroshima, 1986, Adv. Stud. Pure. Math., 14, 1988, pp. 289-336

[4] R. Howe Transcending invariant theory, J. Amer. Math. Soc., Volume 2 (1989), pp. 535-552

[5] T. Przebinda A Cauchy Harish-Chandra integral for a reductive dual pair, Invent. Math., Volume 141 (2000), pp. 299-363

[6] W. Schmid On the character of the discrete series, the Hermitian symmetric case, Invent. Math., Volume 30 (1975), pp. 47-144

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