A maximum principle for bounded solutions of the telegraph equation in space dimension three

Jean Mawhin; Rafael Ortega; Aureliano M. Robles-Pérez

doi:10.1016/S1631-073X(02)02406-8

A maximum principle for bounded solutions of the telegraph equation in space dimension three
[Un principe du maximum pour les solutions bornées de l'équation des télégraphistes en dimension spatiale trois]

Jean Mawhin ¹ ; Rafael Ortega ² ; Aureliano M. Robles-Pérez ²

¹ Département de mathématique, Université Catholique de Louvain, 1348, Louvain-la-Neuve, Belgium
² Departamento de Matemática Aplicada, Facultad de Ciencias, Universidad de Granada, 18071, Granada, Spain

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 12, pp. 1089-1094.

Résumé
Abstract

On démontre un principe du maximum pour les solutions faibles $u \in L^{\infty} (ℝ \times 𝕋^{3})$ de l'équation des télégraphistes u_tt−Δ_xu+cu_t+λu=f(t,x) en dimension spatiale trois lorsque c>0, λ∈(0,c²/4] et $f \in L^{\infty} (ℝ \times 𝕋^{3})$ (Théorème 1). Le résultat est étendu à une solution et un terme forçant appartenant à un certain espace de mesures bornées (Théorème 2). Ces résultats fournissent une méthode de sous- et sur-solutions pour l'équation semilinéaire u_tt−Δ_xu+cu_t=F(t,x,u).

A maximum principle is proved for the weak solutions $u \in L^{\infty} (ℝ \times 𝕋^{3})$ of the telegraph equation u_tt−Δ_xu+cu_t+λu=f(t,x), in space dimension three, when c>0, λ∈(0,c²/4] and $f \in L^{\infty} (ℝ \times 𝕋^{3})$ (Theorem 1). The result is extended to a solution and a forcing belonging to a suitable space of bounded measures (Theorem 2). Those results provide a method of upper and lower solutions for the semilinear equation u_tt−Δ_xu+cu_t=F(t,x,u).

Reçu le : 2002-04-14
Accepté le : 2002-04-15
Publié le : 2002-01-01

DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02406-8

Affiliations des auteurs :

Jean Mawhin ¹ ; Rafael Ortega ² ; Aureliano M. Robles-Pérez ²

¹ Département de mathématique, Université Catholique de Louvain, 1348, Louvain-la-Neuve, Belgium
² Departamento de Matemática Aplicada, Facultad de Ciencias, Universidad de Granada, 18071, Granada, Spain

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Jean Mawhin; Rafael Ortega; Aureliano M. Robles-Pérez. A maximum principle for bounded solutions of the telegraph equation in space dimension three. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 334 (2002) no. 12, pp. 1089-1094. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02406-8. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02406-8/

Bibliographie
Cité par

[1] J. Dieudonné Éléments d'analyse, Tome II, Gauthier-Villars, Paris, 1974

[2] A.M. Fink Almost Periodic Differential Equations, Lecture Notes in Math., 377, Springer, Berlin, 1974

[3] J. Mawhin; R. Ortega; A.M. Robles-Pérez A maximum principle for bounded solutions of the telegraph equations and applications to nonlinear forcings, J. Math. Anal. Appl., Volume 251 (2000), pp. 695-709

[4] R. Ortega; A.M. Robles-Pérez A maximum principle for periodic solutions of the telegraph equation, J. Math. Anal. Appl., Volume 221 (1998), pp. 625-651

[5] V.S. Vladimirov Equations of Mathematical Physics, Marcel Dekker, New York, 1971

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