Weak convexity does not imply convexity for curves in $ \mathbb{R}P^{n}$, <i>n</i>>2

Ricardo Uribe-Vargas

doi:10.1016/S1631-073X(02)02435-4

Weak convexity does not imply convexity for curves in

ℝ P^{n}

, n>2
[La convexité faible n'implique pas la convexité des courbes dans

ℝ P^{n}

, n>2]

Ricardo Uribe-Vargas ¹

¹ Université Paris 7, Équipe géométrie et dynamique, UFR de Math., case 7012, 2, place Jussieu, 75005 Paris, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 1, pp. 47-52.

Résumé
Abstract

Une courbe lisse fermée dans $ℝ P^{n}$ est appelée convexe si chaque hyperplan l'intersecte en au plus n points, compte tenu des multiplicités. Une courbe convexe n'a pas d'aplatissement et son hyperplan osculateur ne l'intersecte qu'au point d'osculation. Une courbe fermée dans $ℝ P^{2}$ est convexe si et seulement si elle a ces deux propriétés. En réponse à une question de V.I. Arnol'd ([2,3] et [4]), nous montrons que pour n>2, ces deux propriétés n'impliquent pas la convexité des courbes fermées dans $ℝ P^{n}$ .

A smooth closed curve in $ℝ P^{n}$ is called convex if any hyperplane intersects it in at most n points, taking multiplicities into account. A convex curve has no flattening and its osculating hyperplane intersects it only at the point of osculation. A closed curve in $ℝ P^{2}$ (in $ℝ^{2}$ ) is convex if and only if it has these two properties. Answering a question of V.I. Arnol'd ([2,3] and [4]), we show that, for n>2, these two properties do not imply the convexity of closed curves in $ℝ P^{n}$ .

Reçu le : 2002-04-23
Accepté le : 2002-05-03
Publié le : 2002-01-01

DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02435-4

Affiliations des auteurs :

Ricardo Uribe-Vargas ¹

¹ Université Paris 7, Équipe géométrie et dynamique, UFR de Math., case 7012, 2, place Jussieu, 75005 Paris, France

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Ricardo Uribe-Vargas. Weak convexity does not imply convexity for curves in $ \mathbb{R}P^{n}$, n>2. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 1, pp. 47-52. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02435-4. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02435-4/

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