Comptes Rendus
no. 3
Zéros des fonctions 𝐋 et formes toriques
Gilles Lachaud1
1 Institut de mathématiques de Luminy, Luminy, case 907, 13288 Marseille cedex 9, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 3, pp. 219-222.

À partir d'un corps de nombres K de degré n, on définit un tore maximal T de G=GLn. Si χ est un caractère du groupe des classes d'idèles de K, satisfaisant des conditions adéquates, les formes toriques pour χ sont les fonctions sur GQZA⧹GA, dont le coefficient de Fourier correspondant à χ par rapport au sous-groupe induit par T est nul. L'hypothèse de Riemann pour L(s,χ) est équivalente à des conditions portant sur certains espaces de formes toriques, construits à partir des séries d'Eisenstein. Enfin, on construit un espace de Hilbert et un opérateur auto-adjoint sur cet espace, dont le spectre est égal à l'ensemble des zéros de L(s,χ) sur la droite critique.

An algebraic number field K defines a maximal torus T of the linear group G=GLn. Let χ be a character of the idele class group of K, satisfying suitable assumptions. The χ-toric form are the functions defined on GQZA⧹GA such that the Fourier coefficient corresponding to χ with respect to the subgroup induced by T is zero. The Riemann hypothesis is equivalent to certain conditions concerning some spaces of toric forms, constructed from Eisenstein series. Furthermore, we define a Hilbert space and a self-adjoint operator on this space, whose spectrum equals the set of zeroes of L(s,χ) on the critical line.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02447-0

Gilles Lachaud 1

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Gilles Lachaud. Zéros des fonctions $ \mathbf{L}$ et formes toriques. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 3, pp. 219-222. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02447-0. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02447-0/

[1] J. Arthur A trace formula for reductive groups II: Applications of a truncation operator, Compositio Math., Volume 40 (1980), pp. 87-121

[2] J. Arthur On the inner product of truncated Eisenstein series, Duke Math. J., Volume 49 (1982), pp. 35-70

[3] A. Connes Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function, Sel. Math. (N.S.), Volume 5 (1999), pp. 29-106

[4] A.W. Knapp Theoretical aspects of the Trace formula for GL(2), Proc. Symp. Pure Math., Volume 61 (1997), pp. 355-405

[5] C. Soulé Sur les zéros des fonctions L automorphes, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 328 (1999), pp. 955-958

[6] A. Weil Basic Number Theory, Grund. Math. Wiss. Einzel., 144, Springer, Berlin, 1967

[7] F. Wielonsky Séries d'Eisenstein, intégrales toroïdales et une formule de Hecke, Enseign. Math., Volume 31 (1985), pp. 93-135

[8] D. Zagier Eisenstein Series and the Riemann zeta function, Automorphic Forms, Representation Theory and Arithmetic, Tata Inst. Fund. Res. Studies in Math., 10, Tata Institut of Fundamental Research, Bombay, 1981, pp. 275-301

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