À partir d'un corps de nombres K de degré n, on définit un tore maximal T de G=GLn. Si χ est un caractère du groupe des classes d'idèles de K, satisfaisant des conditions adéquates, les formes toriques pour χ sont les fonctions sur , dont le coefficient de Fourier correspondant à χ par rapport au sous-groupe induit par T est nul. L'hypothèse de Riemann pour L(s,χ) est équivalente à des conditions portant sur certains espaces de formes toriques, construits à partir des séries d'Eisenstein. Enfin, on construit un espace de Hilbert et un opérateur auto-adjoint sur cet espace, dont le spectre est égal à l'ensemble des zéros de L(s,χ) sur la droite critique.
An algebraic number field K defines a maximal torus T of the linear group G=GLn. Let χ be a character of the idele class group of K, satisfying suitable assumptions. The χ-toric form are the functions defined on such that the Fourier coefficient corresponding to χ with respect to the subgroup induced by T is zero. The Riemann hypothesis is equivalent to certain conditions concerning some spaces of toric forms, constructed from Eisenstein series. Furthermore, we define a Hilbert space and a self-adjoint operator on this space, whose spectrum equals the set of zeroes of L(s,χ) on the critical line.
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Gilles Lachaud 1
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Gilles Lachaud. Zéros des fonctions $ \mathbf{L}$ et formes toriques. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 3, pp. 219-222. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02447-0. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02447-0/
[1] A trace formula for reductive groups II: Applications of a truncation operator, Compositio Math., Volume 40 (1980), pp. 87-121
[2] On the inner product of truncated Eisenstein series, Duke Math. J., Volume 49 (1982), pp. 35-70
[3] Trace formula in noncommutative geometry and the zeros of the Riemann zeta function, Sel. Math. (N.S.), Volume 5 (1999), pp. 29-106
[4] Theoretical aspects of the Trace formula for GL(2), Proc. Symp. Pure Math., Volume 61 (1997), pp. 355-405
[5] Sur les zéros des fonctions L automorphes, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 328 (1999), pp. 955-958
[6] Basic Number Theory, Grund. Math. Wiss. Einzel., 144, Springer, Berlin, 1967
[7] Séries d'Eisenstein, intégrales toroïdales et une formule de Hecke, Enseign. Math., Volume 31 (1985), pp. 93-135
[8] Eisenstein Series and the Riemann zeta function, Automorphic Forms, Representation Theory and Arithmetic, Tata Inst. Fund. Res. Studies in Math., 10, Tata Institut of Fundamental Research, Bombay, 1981, pp. 275-301
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