Comptes Rendus
no. 4
Quelques calculs de la cohomologie de GL 𝐍 (ℤ) et de la K-théorie de ℤ
Philippe Elbaz-Vincent1 ; Herbert Gangl2 ; Christophe Soulé3
1 Laboratoire GTA., UMR CNRS 5030, CC51, Université Montpellier II, 34095 Montpellier cedex 5, France
2 MPI für Mathematik Bonn, Vivatsgasse 7, D-53111 Bonn, Allemagne
3 CNRS et IHÉS, 35, route de Chartres, 91440 Bures-sur-Yvette, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 4, pp. 321-324.

Pour N=5 et N=6, nous calculons le complexe cellulaire défini par Voronoï à partir des formes quadratiques réelles de dimension N. Nous en déduisons l'homologie de GL N (ℤ) à coefficients triviaux, à de petits nombres premiers près. Nous montrons aussi que K 5 (ℤ)=ℤ et que K 6 (ℤ) n'a que de la 3-torsion.

For N=5 and N=6, we compute the Voronoï cell complex attached to real N-dimensional quadratic forms, and we obtain the homology of GL N (ℤ) with trivial coefficients, up to small primes. We also prove that K 5 (ℤ)=ℤ and K 6 (ℤ) has only 3-torsion.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02481-0
Philippe Elbaz-Vincent 1 ; Herbert Gangl 2 ; Christophe Soulé 3

1 Laboratoire GTA., UMR CNRS 5030, CC51, Université Montpellier II, 34095 Montpellier cedex 5, France
2 MPI für Mathematik Bonn, Vivatsgasse 7, D-53111 Bonn, Allemagne
3 CNRS et IHÉS, 35, route de Chartres, 91440 Bures-sur-Yvette, France 
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Philippe Elbaz-Vincent; Herbert Gangl; Christophe Soulé. Quelques calculs de la cohomologie de $ \mathrm{GL}_{\mathbf{N}}\mathbf{(}\mathbb{Z}\mathbf{)}$ et de la K-théorie de $ \mathbb{Z}$. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 4, pp. 321-324. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02481-0. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02481-0/

[1] D. Arlettaz The Hurewicz homomorphism in algebraic K-theory, J. Pure Appl. Algebra, Volume 71 (1991), pp. 1-12

[2] C. Batut, K. Belabas, D. Bernardi, H. Cohen, M. Olivier, The PARI/GP package, 1989–2001, Laboratoire A2X, Université Bordeaux I. Primary ftp site: ftp://megrez.math.u-bordeaux.fr/pub/pari. Home Page: http://www.parigp-home.de

[3] A. Borel; J.-P. Serre Corners and arithmetic groups, Comment. Math. Helv., Volume 48 (1973), pp. 436-491

[4] K. Brown Cohomology of Groups, Graduate Texts in Math., 87, Springer, New York, 1982

[5] D.-O. Jaquet, Énumération complète des classes de formes parfaites en dimension 7, Thèse de doctorat, Université de Neuchâtel, 1991

[6] R. Lee; R.H. Szczarba On the torsion in K 4 (ℤ) and K 5 (ℤ), Duke Math. J., Volume 45 (1978), pp. 101-129

[7] W. Plesken; B. Souvignier Computing isometries of lattices, J. Symbolic Comput., Volume 24 (1997), pp. 327-334

[8] D. Quillen Higher algebraic K-theory I, Lecture Notes in Math., 341, Springer, 1973, pp. 85-147

[9] D. Quillen Finite generation of the groups Ki of rings of algebraic integers, Lecture Notes in Math., 341, Springer, 1973, pp. 179-198

[10] J. Rognes K 4 (ℤ) is the trivial group, Topology, Volume 39 (2000), pp. 267-281

[11] J. Rognes; C. Weibel Two-primary algebraic K-theory of rings of integers in number fields (with an appendix by M. Kolster), J. Amer. Math. Soc., Volume 13 (2000), pp. 1-54

[12] C. Soulé The cohomology of SL 3 (ℤ), Topology, Volume 17 (1978), pp. 1-22

[13] C. Soulé Addendum to the article [6] “On the torsion in K * (ℤ)”, Duke Math. J., Volume 45 (1978), pp. 131-132

[14] C. Soulé On the 3-torsion in K 4 (ℤ), Topology, Volume 39 (2000), pp. 259-265

[15] G. Voronoï Nouvelles applications des paramètres continus à la théorie des formes quadratiques I, J. Crelle, Volume 133 (1907), pp. 97-178

[16] The GAP Group, GAP – Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.2, 2000. http://www.gap-system.org

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