Une condition suffisante de minimalité pour les géodésiques de la métrique de Hofer

Jérôme Le Crapper

doi:10.1016/S1631-073X(02)02484-6

Une condition suffisante de minimalité pour les géodésiques de la métrique de Hofer

Jérôme Le Crapper ¹

¹ Mathématiques UFR 920, Université Paris 6, 75252 Paris cedex 05, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 4, pp. 359-364.

Résumé
Abstract

On donne une nouvelle condition suffisante afin qu'un Hamiltonien non autonome H sur $ℝ^{2 n}$ engendre une géodésique minimisante de la distance de Hofer. Cette condition porte sur le spectre des applications linéarisées de l'isotopie {φ^H_t} engendrée par H aux points fixes de l'isotopie. On montre de plus que si deux difféomorphismes φ₀ et φ₁ sont reliés par une telle géodésique alors la distance de Hofer entre φ₀ et φ₁ coïncide avec celle de Viterbo.

We give a new sufficient condition for a Hamiltonian H to generate a length minimizing geodesic of the Hofer's metric on the group of Hamiltonian diffeomorphisms on $ℝ^{2 n}$ . This condition is related to the spectra of the linearized maps of the flow {φ^H_t} generated by H at the fixed points of the flow. In addition we show that if φ₀, φ₁ are two diffeomorphisms linked by such a geodesic, then the Hofer's distance between φ₀ and φ₁ is the same as Viterbo's one.

Reçu le : 2002-06-04
Accepté le : 2002-06-24
Publié le : 2002-01-01

DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02484-6

Affiliations des auteurs :

Jérôme Le Crapper ¹

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Jérôme Le Crapper. Une condition suffisante de minimalité pour les géodésiques de la métrique de Hofer. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 4, pp. 359-364. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02484-6. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02484-6/

Bibliographie
Cité par

[1] M. Bialy; L. Polterovich Geodesics of Hofer's metric on the group of Hamiltonian diffeomorphisms, Duke Math. J., Volume 76 (1994), pp. 273-292

[2] H. Hofer On the topological properties of symplectic maps, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, Volume 115 (1990), pp. 25-38

[3] H. Hofer Estimates for the energy of a symplectic map, Comment. Math. Helv., Volume 68 (1993), pp. 48-72

[4] H. Hofer; E. Zehnder Symplectic Invariants and Hamiltonien Dynamics, Progress in Math., Birkhäuser, 1994

[5] K.F. Siburg New minimal geodesics in the group of symplectic diffeomorphisms, Calc. Var., Volume 3 (1995), pp. 299-309

[6] C. Viterbo Symplectic topology as the geometry of generating functions, Math. Ann., Volume 292 (1992), pp. 685-710

Cité par Sources :

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