Comptes Rendus
no. 4
Une condition suffisante de minimalité pour les géodésiques de la métrique de Hofer
Jérôme Le Crapper1
1 Mathématiques UFR 920, Université Paris 6, 75252 Paris cedex 05, France
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 4, pp. 359-364.

On donne une nouvelle condition suffisante afin qu'un Hamiltonien non autonome H sur ℝ 2n engendre une géodésique minimisante de la distance de Hofer. Cette condition porte sur le spectre des applications linéarisées de l'isotopie {φHt} engendrée par H aux points fixes de l'isotopie. On montre de plus que si deux difféomorphismes φ0 et φ1 sont reliés par une telle géodésique alors la distance de Hofer entre φ0 et φ1 coïncide avec celle de Viterbo.

We give a new sufficient condition for a Hamiltonian H to generate a length minimizing geodesic of the Hofer's metric on the group of Hamiltonian diffeomorphisms on ℝ 2n . This condition is related to the spectra of the linearized maps of the flow {φHt} generated by H at the fixed points of the flow. In addition we show that if φ0, φ1 are two diffeomorphisms linked by such a geodesic, then the Hofer's distance between φ0 and φ1 is the same as Viterbo's one.

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DOI : 10.1016/S1631-073X(02)02484-6
Jérôme Le Crapper 1

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Jérôme Le Crapper. Une condition suffisante de minimalité pour les géodésiques de la métrique de Hofer. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 335 (2002) no. 4, pp. 359-364. doi : 10.1016/S1631-073X(02)02484-6. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(02)02484-6/

[1] M. Bialy; L. Polterovich Geodesics of Hofer's metric on the group of Hamiltonian diffeomorphisms, Duke Math. J., Volume 76 (1994), pp. 273-292

[2] H. Hofer On the topological properties of symplectic maps, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, Volume 115 (1990), pp. 25-38

[3] H. Hofer Estimates for the energy of a symplectic map, Comment. Math. Helv., Volume 68 (1993), pp. 48-72

[4] H. Hofer; E. Zehnder Symplectic Invariants and Hamiltonien Dynamics, Progress in Math., Birkhäuser, 1994

[5] K.F. Siburg New minimal geodesics in the group of symplectic diffeomorphisms, Calc. Var., Volume 3 (1995), pp. 299-309

[6] C. Viterbo Symplectic topology as the geometry of generating functions, Math. Ann., Volume 292 (1992), pp. 685-710

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